五年高考真题分类汇编
导数及其应用
1．（19全国1文理）曲线23()e x y x x =+在点(0)0，处的切线方程为_y =3x _．
2．（19全国1理）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证
明： （1）
()f x '在区间(1,)2
π
-存在唯一极大值点；
（2）()f x 有且仅有2个零点． 解：（1）设()()g x f 'x =，则1
()cos 1g x x x
=-
+，2
1sin ())(1x 'x g x =-++. 当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝
⎭
时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02
g'g'π><，可得()g'x 在1,2π⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭
有唯一零点，
设为α.则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,2x α⎛π⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()0g'x <.
所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故()g x 在1,2π⎛
⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极
大值点，即()f 'x 在1,2π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭存在唯一极大值点.
（2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.
（i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是
()f x 在(1,0]-的唯一零点.
（ii ）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ⎛⎫
⎪⎝⎭单调递减，
而(0)=0f '，02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在,2βαπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，
()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调
递减.
又(0)=0f ，1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0,2x ⎛π⎤
∈ ⎥⎝⎦时，()0f x >.从而，()f x
在0,2⎛⎤
⎥⎝⎦
π没有零点. （iii ）当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π⎛⎫
π ⎪⎝⎭单调递减.而
02f π⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，()0f π<，所以()f x 在,2π⎛⎤
π ⎥⎝⎦
有唯一零点.
（iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上，()f x 有且仅有2个零点.
3.（19全国1文）已知函数f （x ）=2sin x -x cos x -x ，f ′（x ）为f （x ）的导数．
（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围． （1）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=.
当π(0,)2x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
时，()0g x '<，所以()g x 在π
(0,)2
单调递增，在π
,π2
⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递减. 又π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫
=>=- ⎪⎝⎭，故()g x 在(0,π)存在唯一零点.
所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.
（2）由题设知(π)π,(π)0f a f =，可得a ≤0.
由（1）知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,πx x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减.
又(0)0,(π)0f f ==，所以，当[0,π]x ∈时，()0f x . 又当0,[0,π]a x ∈时，ax ≤0，故()f x ax . 因此，a 的取值范围是(,0]-∞.
4.（19全国2理）已知函数()1
1
ln x f x x x -=-
+.
（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；
（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x y =的切线.
（1）f （x ）的定义域为（0，1）（1，+∞）． 因为2
12
()0(1)f 'x x x =
+>-，所以()f x 在（0，1），（1，+∞）单调递增． 因为f （e ）=e 110e 1+-<-，222
22e 1e 3(e )20e 1e 1
f +-=-=>--，所以f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即
f （x 1）=0．又1
1
01x <<，1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-，故f （x ）在（0，1）有唯一零点1
1
x ． 综上，f （x ）有且仅有两个零点．
（2）因为0
ln 01e x x -=，故点B （–ln x 0，0
1x ）在曲线y =e x 上．
