习题
4-1. 如图所示的圆锥摆，绳长为l ，绳子一端固定，另一端系一质量为m 的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。在质点旋转一周的过程中，试求：
（1）质点所受合外力的冲量I ； （2）质点所受张力T 的冲量I T 。 解：
（1）根据冲量定理：???==t
t P P d dt 0
?
?P P F
其中动量的变化：0v v m m -
在本题中，小球转动一周的过程中，速度没有变化，动量的变化就为0，冲量之和也为0，所以本题中质点所受合外力的冲量I 为零
（2）该质点受的外力有重力和拉力，且两者产生的冲量大小相等，方向相反。 重力产生的冲量=mgT=2mg /；所以拉力产生的冲
量2
mg /，方向为竖直向上。
4-2.一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度=4m/s 。已知其中一力F 方向恒与运动方向一致，大小随时
间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。求：
（1）力F 在1s 到3s 间所做的功； （2）其他力在1s 到s 间所做的功。 解：
（1）由做功的定义可知：
J S v Fdt v Fvdt Fdx W x 6.1253
1
3
1
x 2
1
=?====???椭圆
（2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的总功为零，所以当该F 做的功为125.6J 时，其他的力的功为-125.6J 。
4-3.质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，运动学方程为
j i r t b t a ωωsin cos +=，求：
（1）质点在任一时刻的动量；
（2）从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量。 解：（1）根据动量的定义：(sin cos )P mv m a t b t ωωωω==-+i j （2）从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量等于它在这段时间内动量的变化，因为动量没变，所以冲量为零。
4-4.质量为M =2.0kg 的物体（不考虑体积），用一根长为l =1.0m 的细绳悬挂在天花板上。今有一质量为m =20g 的子弹以0v =600m/s 的水平速度射穿物体。刚射出物体时子弹的速度大小v =30m/s ，设穿透时间极短。求：
（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小； （2）子弹在穿透过程中所受的冲量。 解：
（1）解：由碰撞过程动量守恒可得： 10Mv mv mv += 代入数据 123002.060002.0v +?=? 可得：s m v /7.51=
根据圆周运动的规律：T-G=2
v M R
2184.6v T Mg M N R =+=
（2）根据冲量定理可得：
s N mv mv I ?-=?-=-=4.1157002.00
4-5. 一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子的动量为m /s kg 102.122??-，中微子的动量为236.410kg m/s -??，两动量方向彼此垂直。（1）求核反冲动
量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为kg 108.526-?，求其反冲动能。
由碰撞时，动量守恒，分析示意图，可写成分量式：
ααcos sin 21m m =
ααsin cos 21m m P +=
所以221.410/P kg m s -=??ο9.151=-=απθ
（2）反冲的动能为：2
180.17102k P E J m
-==?
4-6. 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为
3/1044005t F ?-=，子弹从枪口射出时的速率为m/s 300。设子
弹离开枪口处合力刚好为零。求：
（1）子弹走完枪筒全长所用的时间t ； （2）子弹在枪筒中所受力的冲量I ； （3）子弹的质量。
解：（1）由3/1044005t F ?-=和子弹离开枪口处合力刚好
为零，则可以得到：03/1044005=?-=t F 算出t=0.003s 。
（2）由冲量定义：
0.003
0.003
0.0035520
400410/3400210/3
0.6I Fdt t dt t t N s
==-?=-?=??
?
（）
（3）由动量定理：0.003
00.60.6/3000.002I Fdt P mv N s m kg
==?==?==?所以：
4-7. 有质量为m 2的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为c x 。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。
解：在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为x c 。
1122
12c m x m x x m m +=
+ 因为12m m m ==，12
c x x =
故 2223
,42
c c c mx mx x x x m +==
4-8. 两个质量分别为1m 和2m 的木块B A 、，用一劲度系数为k 的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。A 紧靠墙。今用
力推B 块，使弹簧压缩0x 然后释放。（已知m m =1，m m 32=）求：
（1）释放后B A 、两滑块速度相等时的瞬时速度的大小； （2）弹簧的最大伸长量。
解：分析题意，可知在弹簧由压缩状态回到原长时，是弹簧的弹性势能转换为B 木块的动能，然后B 带动A 一起运动，此时动量守恒，可得到两者相同的速度v ，并且此时就是弹簧伸长最大的位置，由机械能守恒可算出其量值。
2
02
0222121kx v m = v v 2）（2102m m m +=
所以m
k x v 3430
= （2）221220222
1212
1
v m m kx v m ）（++= 那么计算可得：02
1x x =
4-9. 二质量相同的小球，一个静止，一个以速度
0与另
一个小球作对心碰撞，求碰撞后两球的速度。（1）假设碰撞是完全非弹性的；（2）假设碰撞是完全弹性的；（3）假设碰
撞的恢复系数5.0=e .
解：由碰撞过程动量守恒以及附加条件，可得 （1）假设碰撞是完全非弹性的，即两者将以共同的速度前行：mv mv 20=
所以：02
1v v =
（2）假设碰撞是完全弹性的，
210mv mv mv +=
2221202
12121mv mv mv += 两球交换速度， 01=v 02v v =
（3）假设碰撞的恢复系数5.0=e ，也就是
210mv mv mv +=
5.020
101
2=--v v v v
所以：0141v v = ， 024
3v v =
4-10. 如图，光滑斜面与水平面的夹角为ο30=α，轻质弹簧上端固定．今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为
kg 0.1=M 的木块，木块沿斜面从静止开
始向下滑动．当木块向下滑cm 30=x 时，恰好有一质量
kg 01.0=m 的子弹，沿水平方向以速度m/s 200=v 射中木块并陷
在其中。设弹簧的劲度系数为N/m 25=k 。求子弹打入木块后它们的共同速度。
解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，可得：
22111
sin 22
Mv kx Mgx α+=10.83v ?= (碰撞前木快的速度) 1cos Mv mv m M v α'-=+（）0.89v '?=-
4-11. 水平路面上有一质量kg 51=m 的无动力小车以匀速率
m/s 2=运动。小车由不可伸长的轻绳与另一质量为
kg 252=m 的车厢连接，车厢前端有一质量为kg 203=m 的物体，
物体与车厢间摩擦系数为2.0=μ。开始时车厢静止，绳未拉紧。求：
(1)当小车、车厢、物体以共同速度运动时，物体相对车
厢的位移；
(2)从绳绷紧到三者达到共同速度所需要的时间。(车与路面间摩擦不计，取g =10m/s 2)
解：（1）由碰撞过程动量守恒，可得
v m m m v m '++=）（321012.0='?v m s v m m v m )(2101+=s m v m m m v 3
1
255250211=+?=+=
232122132
1)(21
v m m m v m m gs m '++-+=）（μ
m g m v m m m v m m s 60
121
)(213321221='
++-+=μ）（
（2）t g m μv m 33='s g μv t 1.010
2.02.0=?='=
4-12. 一质量为M 千克的木块，系在一固定于墙壁的弹簧的末端，静止在光滑水平面上，弹簧的劲度系数为k .一质量为m 的子弹射入木块后，弹簧长度被压缩了L .
(1)求子弹的速度；(2)若子弹射入木块的深度为s ，求子弹所受的平均阻力。
解：（1）碰撞过程中子弹和木块动量守恒，碰撞结束后的运动由机械能守恒条件可得，
v M m mv '+=）（0
222
121kL v M m ='+）（ 计算得到：）
（M m k m
L
v +=0 （2）子弹射入木快所受的阻力做功使子弹动能减小，木块动能增加，两次作功的位移差为s ，所以：
）
（22
021v v m fx '-=
221
v M x f '=' 其中s x x ='-
所以：ms
MkL f 22
=
4-13. 质量为M 、长为l 的船浮在静止的水面上，船上有一质量为m 的人，开始时人与船也相对静止，然后人以相对于船的速度u 从船尾走到船头，当人走到船头后人就站在船头上，经长时间后，人与船又都静止下来了。设船在运动过程中受到的阻力与船相对水的速度成正比，即kv f -=.求在整个过程中船的位移x ?.