高中数学基础知识与练习
题
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第一讲集合与逻辑用语
第1节集合及其运算
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.
(2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种:属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“?”表示).
(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
表示
关系
文字语言符号语言
集合间的基本关系
相等集合A与集合B中的所有元素都相同A=B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A?B 真子集
A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少
有一个元素不是A中的元素
A B
空集空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集集合的并集集合的交集集合的补集
符号表示A∪B A∩B
若全集为U,则
集
合A的补集为?U A
图形表示
意义
{x|x∈A,或
x∈B}{x|x∈A,且
x∈B}
{x|x∈U,且x?A}
并集的性质:A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A. 交集的性质:A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B. 补集的性质:A∪(?U A)=U;A∩(?U A)=?;?U(?U A)=A;
?U (A ∪B )=(?U A )∩(?U B );?U (A ∩B )=(?U A )∪(?U B ).
★练习
1.已知集合A ={x |3≤x <7},B ={x |2<x <10},则(?R A )∩B =________.
2.(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A ={x |x =3n +2,n ∈N },B ={6,8,10,12,14},则集合A ∩B 中元素的个数为( )
.4
3.(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A ={x |-1<x <2},B ={x |0<x <3},则A ∪B 等于( ) A.(-1,3)
B.(-1,0)
C.(0,2)
D.(2,3)
4.(2015·浙江卷)已知集合P ={x |x 2-2x ≥3},Q ={x |2<x <4},则P ∩Q 等于( ) A.[3,4) B.(2,3]
C.(-1,2)
D.(-1,3]
一、选择题
1.(2015·安徽卷)设全集U ={1,2,3,4,5,6},A ={1,2},B ={2,3,4},则A ∩(?U B )等于( ) A.{1,2,5,6} B.{1}C.{2}
D.{1,2,3,4}
2. (2015·南昌监测)已知集合A ={(x ,y )|x ,y ∈R ,且x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|x ,y ∈R ,且y =x },则A ∩B 的元素个数为( )
B.1
3.(2015·长春监测)已知集合P ={x |x ≥0},Q =??????x ???x +1x -2≥0,则P ∩Q 等于
( )
A.(-∞,2)
B.(-∞,-1]
C.[0,+∞)
D.(2,+∞)
4.(2015·江西师大附中模拟)设集合A ={x |-1<x ≤2,x ∈N },集合B ={2,3},则A ∪B 等于( ) A.{2}
B.{1,2,3}
C.{-1,0,1,2,3}
D.{0,1,2,3}
5.已知集合M ={0,1,2,3,4},N ={1,3,5},P =M ∩N ,则P 的子集共有( )
个个个个
6.(2014·宜春检测)设集合P={x|x>1},Q={x|x2-x>0},则下列结论正确的是()
?Q?=Q∪Q=R
第2节命题及其关系、充分条件与必要条件
1.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系.
2.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件p?q且q?p
p是q的必要不充分条件p?q且q?p
p是q的充要条件p?q
p是q的既不充分也不必要条件p?q且q?p
★练习
1.(2015·山东卷)设m∈R, 命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是()
A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0
B.若方程x2+x-m=0有实根,则
m≤0
C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0
D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
2(2015·安徽卷)设p:x<3,q:-1 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2015·浙江卷)设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列命题: ①x=2是x2-4x+4=0的必要不充分条件; ②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件; ③sin α=sin β是α=β的充要条件;④ab≠0是a≠0的充分不必要条件. 其中为真命题的是__________(填序号). 基础巩固题组 一、选择题 1.(2015·重庆卷)“x=1”是“x2-2x+1=0”的() A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是() A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数 B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数 C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数 D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数 3.设x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题 4.“若a≤b,则ac2≤bc2”,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________. 5.“m<1 4”是“一元二次方程x 2+x+m=0有实数解”的________条件(填“充 分不必要、必要不充分、充要”). 6.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是________. 第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非” (1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词. (2)命题p且q、p或q、綈p的真假判断 2 (1)常见的全称量词有:“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等. (2)常见的存在量词有:“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等. 3.全称命题与特称命题 (1)含有全称量词的命题叫全称命题.(2)含有存在量词的命题叫特称命题. 4.命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. (2)p或q的否定为:非p且非q;p且q的否定为:非p或非q. ★练习 1.(2015·湖北卷)命题“存在x∈(0,+∞),ln x=x-1”的否定是() A.任意x∈(0,+∞),ln x≠x-1B.任意x?(0,+∞),ln x=x-1 C.存在x∈(0,+∞),ln x≠x-1D.存在x?(0,+∞),ln x=x-1 2..若命题“?x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则实数a的取值范围是 ________. 基础巩固题组 一、选择题 1.(2015·抚州二检)若p是真命题,q是假命题,则() 且q是真命题或q是假命题 C.非p是真命题 D.非q是真命题 2..命题“存在实数x ,使x >1”的否定是( ) A.对任意实数x ,都有x >1 B.不存在实数x ,使x ≤1 C.对任意实数x ,都有x ≤1 D.存在实数x ,使x ≤1 3.下列四个命题 p 1:存在x ∈(0,+∞),????12x <????13x ;p 2:存在x ∈(0,1),; p 3:任意x ∈(0,+∞),????12x >;p 4:任意x ∈????0,13,??? ?1 2x <. 其中真命题是( ) A .p 1,p 3 B .p 1,p 4 C .p 2,p 3 D .p 2,p 4 第二讲 函数概念与函数基本性质 第1节 函数及其表示 1.函数的基本概念(1)函数的定义 给定两个非空数集A 和B ,如果按照某个对应关系f ,对于集合A 中的任何一个数x ,在集合B 中都存在唯一的数f (x )与之对应,那么就把对应关系f 叫作定义在集合A 上的函数,记作f :A →B 或y =f (x ),x ∈A ,此时x 叫作自变量,集合A 叫做函数的定义域,集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域. (2)函数的三要素是:定义域、值域和对应关系. (3)表示函数的常用方法有:解析法、列表法和图像法. (4)分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫作分段函数. 分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 2.函数定义域的求法 类型 x 满足的条件 2n f (x ),n ∈N * f (x )≥0 1 f (x ) 与[f (x )]0 f (x )≠0 log a f (x ) f (x )>0 四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集 实际问题 使实际问题有意义 ★练习 1.下列函数中,不满足f (2x )=2f (x )的是( ) (x )=|x | (x )=x -|x |(x )=x +1 (x )=-x 2.(2015·重庆卷)函数f (x )=log 2(x 2+2x -3)的定义域是( ) A.[-3,1] B.(-3,1) C.(-∞,-3]∪[1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞) 3.(2015·陕西卷)设f (x )=???1-x ,x ≥0,2x ,x <0,则f (f (-2))等于( ) A.-1 基础巩固题组 一、选择题 1.下图中可作为函数y =f (x )的图象的是( ) 2.下列函数中,与函数y =13x 的定义域相同的函数为( ) =1 sin x =ln x x =x e x =sin x x 3.设函数f (x )=???? ?x 2+1,x ≤1,2x ,x >1,则f (f (3))等于( ) B.3 4..某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y =[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) =???? ?? x 10 =?? ????x +310=???? ?? x +410 =?? ?? ?? x +510 二、填空题 6.函数f (x )=错误!的定义域为________. 7.已知函数f (x )=???3-x 2,x ∈[-1,2], x -3,x ∈(2,5], 则方程f (x )=1的解为________. 第2节 函数的单调性与最大(小)值 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 在函数y =f (x )的定义域内的一个区间A 上,如果对于任意两数x 1,x 2∈A 当x 1<x 2时,都有f (x 1)<f (x 2),那么就说 函数f (x )在区间A 上是增加的 当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2),那么就说函数f (x )在区间A 上是减少的 续表 图像描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 1212①f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0?f (x )在[a ,b ]上是增函数;f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0?f (x )在[a ,b ]上是减函数. ②(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0?f (x )在[a ,b ]上是增函数;(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0?f (x )在[a ,b ]上是减函数. (3)单调区间的定义:如果y =f (x )在区间A 上是增加的或是减少的,那么称A 为单调区间. 2.函数的最值 前提 函数y =f (x )的定义域为D 条件 (1)对于任意x ∈D ,都有f (x )≤M ; (2)存在x 0∈D ,使得f (x 0)=M (3)对于任意x ∈D ,都有f (x )≥M ; (4)存在x 0∈D ,使得f (x 0)=M 结论 M 为最大值 M 为最小值 ★练习 1.(2015·宜春调研)下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递减的是( ) =1 x -x =x 2-=ln x -x =e x -x 2.数f (x )=lg x 2的单调递减区间是______. 3f (x )= 2 x -1 ,x ∈[2,6],则f (x )的最大值为________,最小值为________. 基础巩固题组 一、选择题 1.(2015·九江模拟)下列四个函数中,在区间(0,1)上是减函数的是( ) =log 2x ==-? ?? ??12x =1x 2.已知函数f (x )=2ax 2+4(a -3)x +5在区间(-∞,3)上是减函数,则a 的取值范围是( ) 3.函数f (x )=log 1 2(x 2-4)的单调递增区间为( ) A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(2,+∞) D.(-∞,-2) 二、填空题 4.(2015·中山质检)y =-x 2+2|x |+3的单调增区间为________. 5.已知函数f (x )为(0,+∞)上的增函数,若f (a 2-a )>f (a +3),则实数a 的取值范围为________. 第3节 函数的奇偶性与周期性 1.奇函数、偶函数 图像关于原点对称的函数叫作奇函数.图像关于y 轴对称的函数叫作偶函数. 2.奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”). (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数. ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数. ③一个奇函数,一个偶函数的积函数是奇函数. (3)若函数f (x )是奇函数且在x =0处有定义,则f (0)=0. 3.周期性 (1)周期函数:对于函数y =f (x ),如果存在非零常数T ,对定义域内的任意一个x 值,都有f (x +T )=f (x ),就把f (x )称为周期函数,称T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期. ★练习 1.(2015·广东卷)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) =x +sin 2x =x 2-cos x =2x +1 2x =x 2+sin x 2.已知f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数,那么a +b 的值是( ) A.-13 D.-12 3.(2014·四川卷)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时,f (x )=???-4x 2+2,-1≤x <0,x ,0≤x <1, 则f ? ????32=________. 4.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x (1+x ),则x <0时,f (x )=________. 基础巩固题组 一、选择题 1.(2015·吉安二检)下列函数为偶函数的是( ) =sin x =ln(x 2+1-x )=e x =ln x 2+1 2.(2015·石家庄模拟)设函数f (x )为偶函数,当x ∈(0,+∞)时,f (x )=log 2x , 则f (-2)=( ) A.-1 2 D.-2 3.(2014·福建卷)已知函数f (x )=???x 2+1,x >0, cos x ,x ≤0,则下列结论正确的是( ) (x )是偶函数 (x )是增函数 (x )是周期函数 (x )的值域为[-1,+∞) 4.(2015·沈阳质量监测)已知函数f (x )=x 2+x +1x 2+1,若f (a )=2 3,则f (-a )=( ) B.-23 D.-43 二、填空题 5.函数f (x )在R 上为奇函数,且x >0时,f (x )=x +1,则当x <0时,f (x )=________. 第三讲 基本初等函数及其性质 第1节 二次函数性质的再研究与幂函数 1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式: ①一般式:f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0).②顶点式:f (x )=a (x -m )2+n (a ≠0).③零点式:f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0). (2)二次函数的图象和性质 解析式 f (x )=ax 2+bx +c (a >0) f (x )=ax 2+bx +c (a <0) 图象 定义域 (-∞,+∞) (-∞,+∞) 值域 ??????4ac -b 2 4a ,+∞ ? ? ???-∞,4ac -b 2 4a 单调性 在? ? ? ??-∞,-b 2a 上单调递减; 在? ? ? ??-∞,-b 2a 上单调递增; 在???? ?? -b 2a ,+∞上单调递增 在???? ?? -b 2a ,+∞上单调递减 对称性 函数的图象关于x =-b 2a 对称 (1)幂函数的定义“”如果一个函数,底数是自变量x ,指数是常量α,即y =x α,这样的函数称为幂函数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)常见的5种幂函数的性质 特征 函数 性质 y =x y =x 2 y =x 3 y =x 12 y =x -1 定义域 R R R [0,+∞) {x |x ∈R , 且x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y |y ∈R , 且y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (-∞,0]减, [0,+∞)增 增 增 (-∞,0)减, (0,+∞)减 定点 (0,0),(1,1) (1,1) ★课前练习 1.函数y =1 2x 2-5x +1的对称轴和顶点坐标分别是( ) =5,? ? ? ??5,-232 =-5,? ????-5,232=5,? ? ? ??-5,232 =-5,? ? ? ??5,-232 2.已知f (x )=x 2+px +q 满足f (1)=f (2)=0,则f (-1)的值是( ) B.-5 D.-6 3.在同一坐标系内,函数y =x a (a ≠0)和y =ax +1 a 的图象可能是( ) 4.已知幂函数y =f (x )的图象过点? ???? 2,22,则此函数的解析式为________;在区 间________上递减. 基础巩固题组 一、选择题 1.二次函数y =-x 2+4x +t 图象的顶点在x 轴上,则t 的值是( ) A.-4 B.4 C.-2 2.若a <0,则0.5a ,5a ,5-a 的大小关系是( ) -a <5a <0.5a B.5a <0.5a <5-a C.0.5a <5-a <5a D.5a <5-a <0.5a 3.(2015·汉中模拟)如果函数f (x )=x 2-ax -3在区间(-∞,4]上单调递减,则实数a 满足的条件是( ) ≥8 ≤8 ≥4 ≥-4 4若二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足f (x 1)=f (x 2),则f (x 1+x 2)等于( ) A.-b 2a B.-b a 5..已知函数f (x )=x 2+2ax +3,x ∈[-4,6]. (1)当a =-2时,求f (x )的最值; (2)求实数a 的取值范围,使y =f (x )在区间[-4,6]上是单调函数. 第2节 指数与指数函数 1.根式:(1)概念:式子n a 叫做根式,其中n 叫做根指数,a 叫做被开方数. (2)性质:(n a )n =a (a 使n a 有意义);当n 为奇数时,n a n =a , 当n为偶数时,n a n=|a|= ? ? ?a,a≥0, -a,a<0. 2.分数指数幂 (1)规定:正数的正分数指数幂的意义是a m n= n a m(a>0,m,n∈N*,且n> 1);正数的负分数指数幂的意义是a-m n= 1 n a m (a>0,m,n∈N*,且n>1);0 的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质:a r a s=a r+s;(a r)s=a rs;(ab)r=a r b r,其中a>0,b>0,r,s∈Q. 3.指数函数的图象与性质 a>10<a<1 图象 定义域R 值域 (0,+∞) 性质 过定点(0,1),即x=0时,y=1 当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 当x<0时,y>1; 当x>0时,0<y<1 在(-∞,+∞)上是增函数在(-∞,+∞)上是减函数 ★课前练习 1.下列运算中,正确的是() ·a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2C.(a-1)0=0 D.(-a2)3=-a6 2.(2015·山东卷)设a=,b=,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是() <b<c<c<b <a<c<c<a 3.已知0≤x≤2,则y=4x-1 2-3·2 x+5的最大值为______. 基础巩固题组 一、选择题 1.函数f (x )=a x -2+1(a >0,且a ≠1)的图象必经过点( ) A.(0,1) B.(1,1) C.(2,0) D.(2,2) 2.函数f (x )=1-2x 的定义域是( ) A.(-∞,0] B.[0,+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,+∞) 3..函数y =xa x |x |(0<a <1)的图象的大致形状是( ) 4.若函数f (x )=a |2x - 4|(a >0,且a ≠1),满足f (1)=19,则f (x )的单调递减区间是( ) A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[-2,+∞) D.(-∞,-2] 二、填空题 -34+log 354+log 34 5=________. 6.已知函数f (x )=a -x (a >0,且a ≠1),且f (-2)>f (-3),则a 的取值范围是________. 第三节 对数与对数函数 1.对数的概念 一般地,如果a (a >0,a ≠1)的b 次幂等于N ,即a b =N ,那么数b 叫作以a 为底N 的对数,记作log a N =b .其中a 叫作对数的底数,N 叫作真数. 2.对数的性质与运算性质 (1)对数的性质①a log a N =N ;②log a a N =N (a >0,且a ≠1);③零和负数没有对数. (2)对数的运算性质(a>0,且a≠1,M>0,N>0) ①log a(M·N)=log a M+log a N ;②log a M N=log a M-log a N;③log a M n= n log a M(n∈R). (3)对数的重要公式 ①换底公式:log b N=log a N log a b (a,b均大于零且不等于1);②log a b= 1 log b a,推广 log a b·log b c·log c d=log a d. 3.对数函数的图象与性质 a>10<a<1 图象 定义域(0,+∞) 值域R 性质 过点(1,0),即x=1时,y=0 当x>1时,y>0;当0<x<1时,y< 当x>1时,y<0;当0<x<1 时,y>0 在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数 ★练习 1.函数f(x)=log a(x+2)-2(a>0,且a≠1)的图象必过定点() A.(1,0) B.(1,-2) C.(-1,-2) D.(-1,-1) 2.(2015·浙江卷)计算:log2 2 2=______;2log23+log43=______. 3.函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________. 4.若log a 3 4<1(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是________. 基础巩固题组 一、选择题 1.(2015·四川卷)设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的() A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.若函数y=log a x( a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是() 3.已知b>0,log5b=a,lg b=c,5d=10,则下列等式一定成立的是() =ac=cd =ad=a+c 4.若log a 3 5<1,则a的取值范围是() ∪(1,+∞) 5.(2015·萍乡调研)函数f(x)=log a(ax-3)在[1,3]上单调递增,则a的取值范围是() A.(1,+∞) B.(0,1) C.(0,1 3) D.(3,+∞) 二、填空题 6.(2015·四川卷)lg +log216的值是________. 7.函数y=log 1 2(x 2-2x)的定义域是________;单调递减区间是________. 8.(2016·武汉调研)已知函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则满足不等式f(x)>0的x的取值范围是________.