“离散数学”实验报告(实验3ABC)
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日期：2011.12.19
目录
一、实验目的 (3)
二、实验内容 (3)
三、实验环境 (3)
四、实验原理和实现过程（算法描述） (3)
1实验原理 (3)
2实验过程 (5)
五、实验数据及结果分析 (6)
六、源程序清单 (10)
七、其他收获及体会 (16)
一、实验目的
理解图论的基本概念，图的矩阵表示，图的连通性，图的遍历，以及求图的连通支方法。
二、实验内容
以偶对的形式输入一个无向简单图的边，建立该图的邻接矩阵，判断图是否连通（A）。并计算任意两个结点间的距离（B）。对不连通的图输出其各个连通支（C）。
三、实验环境
C或C＋＋语言编程环境实现。
四、实验原理和实现过程（算法描述）
1、实验原理
（1）建立图的邻接矩阵，判断图是否连通
根据图的矩阵表示法建立邻接矩阵A，并利用矩阵的乘法和加法求出可达矩阵，从而判断图的连通性。
连通图的定义：在一个无向图G 中，若从顶点vi到顶点vj有路径相连(当然从vj到vi也一定有路径)，则称vi和vj是连通的。如果G 是有向图，那么连接vi和vj的路径中所有的边都必须同向。如果图中任意两点都是连通的，那么图被称作连通图。
判断连通图的实现：在图中，从任意点出发在剩余的点中，找到所有相邻点循环，直到没有点可以加入为止，如果有剩余的点就是不连通的，否则就是连通的。或者也可用WallShell算法，由图的邻接矩阵判断图是否连通。
（2）计算任意两个结点间的距离
图中两点i，j间的距离通过检验A l中使得a ij为1的最小的l值求出。
路径P中所含边的条数称为路径P的长度。在图G中，从结点Vi到Vj最短路径的长度叫从Vi到Vj的距离，记为d。
设图的邻接矩阵是A，则所对应的aij的值表示，点Vi到点Vj距离为n的路径有aij条。
若aij(1)，aij(2)，…，aij(n-1)，中至少有一个不为0，则可断定Vi与Vj可达，使aij(l)≠0的最小的l即为d(Vi，Vj)。
问题求解原理为：
（1）先构造初始邻接矩阵A=Vij，Vij为顶点Vi到顶点Vj的权。如果Vi 和Vj之间不存在弧段或者是负向回路或者是i=j，则令Vij其值为∞。
（2）再构造初始中间顶点矩阵。
（3）然后开始迭代计算（迭代的次数等于顶点的个数1）
（4）最后查找Vi到Vj的最短路径。
计算节点Vi与Vj之间的距离的方法为：
利用邻接矩阵相互间相乘后得到的矩阵来判断节点间的距离。如果c2[s][i][j]==0，则这两个节点的距离为无穷大。如果c2[s-2][i][j]==0,c2[s-1][i][j]==1时，则这两点间的距离为s。
（3）对不连通的图输出其各个连通支
图的连通支的求法则可采用图的遍历算法，图的遍历有深度优先和广度优先两种方法，其中深度优先算法又分为递归和非递归两种。
在无向图中，如果任何两点可达，则称图G是连通的，如果G的子图G’是连
通的，没有包含G’的更大的子图G’’是连通的，则称G’是G的连通支。
当有判断出关系不是连通的之后，将需要求出分支模块
实现方法如下：先定义一个二维数组用来存放相应的分块，先选定一个点，并将
它放在数组中，然后判断，如果后面的和他是联通的便将它也放在同一个数组中，
否则将其存入其他的数组中，后面以此类推，在输出相应的数组，便可判断出连
通分支。
2、实验过程
（1）程序整体思路
本程序完成了实验所要求的全部功能，其基本思路是——“运用模块化的思想，将实现“求连通支”、“输入结点关系”、“输出邻接矩阵”、“显示两结点间的距离”、“求可达矩阵”和“图的遍历”的子函数分开编写，然后将它们以子函数的形式添加到主函数main的代码后面，在要使用相应的子函数时，进行子函数调用就可以实现相应的功能了。”
本程序的一大特色就是开发者灵活使用了C语言中的数组概念来进行开发，用
数组来模拟矩阵的运算，通过相应的算法实现了全部的功能。
（2）具体算法流程
在main(){系统界面显示；用do…while循环语句和switch语句实现功能
1,2,3……的选择，并调用相关的子程序；用start、goto start实现控制流的转移；}
liantongzhi(){求连通支，此子函数通过一个for循环控制遍历每个结点，并调
用函数DFS（）求每个结点的连通支；}
DFS（int a）{通过实参与形参，将结点数据代入函数；定义顺序栈变量；通
过for循环初始化；为a置已访问标志，已经访问了的元素为1；定义顺序栈的
第一个元素；通过while循环实现结点遍历，栈不为空时执行循环；栈顶元素赋值；通过for循环寻找v的下个未访问的邻接点；通过if条件句，若x,i是边和节点i未被访问过，处理结点的访问，并进行访问标志，进栈等操作；通过if条件句，若v已访问到的出点，则将其退栈；}
shuru(){输入结点关系；通过for循环先将矩阵所有元素赋值0；再通过另一for循环，根据输入结点的关系，将矩阵中相应的元素赋值，有关系则为1；} linjiejuzhen(){输出邻接矩阵；通过for循环，依次按格式输出邻接矩阵的元素；}
julijuzhen(){根据A的n次方矩阵及其中元素，判断并显示两结点间的距离；调用子函数linjiejuzhen()，以确定并显示距离为1的两结点；通过for循环显示距离为1的结点对；再通过一系列的for循环，计算A的n次方矩阵并显示结果，根据其中的元素，判断并显示结点间的距离；详细算法请见附录相关部分的注释；}
kedajuzhen(){求可达矩阵；通过一系列for循环，根据公式，计算可达矩阵；通过for循环，将矩阵中不为0的一切值赋为1以生成可达矩阵并显示；通过for 循环和if条件句的组合，根据可达矩阵的元素特点，判断图的连通性，若可达矩阵矩阵中有0，则跳出循环，显示不可连接；根据判断结果显示内容，不可连通或可连通；}
五、实验数据及结果分析
1输入界面
简单无向图的输入界面友好，有清楚的操作说明，方便用户进行使用。
