有限单元法读书报告
摘要：有限单元法以变分原理和加权余量法为基础，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
关键词：有限单元法；插值函数；网格划分；实例分析
1 有限单元法概述
1.1 有限单元法的简介
有限单元法[1]是应用局部的近似解来建立整个定义域的解的一种方法。先把注意力集中在单个单元上，进行上述所谓的单元分析。基本前提是每一单元要尽可能小，以致其边界值在整个边界上的变化也是小的。这样，边界条件就能取某一在结点间插值的光滑函数来近似，在单元内也容易建立简单的近似解。因此，比起经典的近似法，有限元法具有明显的优越性。比如经典的Ritz法，要求选取一个函数来近似描述整个求解区域中的位移，并同时满足边界条件，这是相当困难的。而有限元法采用分块近似，只需对一个单元选择一个近似位移函数，且不必考虑位移边界条件，只须考虑单元之间位移的连续性即可。对于具有复杂几何形状或材料、荷载有突变的实际结构，不仅处理简单，而且合理适宜。
1.2 有限单元法的基本方法简介
有限单元法，是一种有效解决数学问题的解题方法。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中[2]，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函
数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。
插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。
1.3 有限单元法的应用
在工程计算过程中，对于许多力学问题，人们可以给出他们的数学模型，即基本方程和定解条件。但能用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，并且几何形状要非常规则。对于大多数的问题，由于几何形状的不规则等原因，只能采用数值分析的方法。随着计算机的广泛应用，有限单元法已经成为求解复杂问题的一条很适用的方法。
已经发展的偏微分方程数值分析方法可以分为两类。一类以有限差分法为代表，主要应用在流体问题的分析。而另一类即是有限单元法。有限单元法区别与传统的加权余量法和求解泛函驻值法，该法不是在整个求解域上假设近似函数，而是在各个单元上分片假设近似函数。这样就克服了在全域上假设近似函数所遇到的困难，是近代工程仿真分析方法领域的重大突破。
1.4 有限单元法的原理概述
有限单元法一开始就对一个连续体用有限个（然而是大量的）坐标或自由度来近似地（然而是系统的）加以描绘。一个离散化的结构可由许多结构单元组成，这些单元仅在有限个结点上彼此铰结。每一单元所受的已知体力和面力都按静力等效原则移置到结点上，成为结点荷载。计算通常采用位移法，取结点的未知位移分量{δ}e为基本未知量。为了在求得结点位移后可求得应力，必须建立单元中应力与结点位移的关系，由应力转换矩阵[S]表达。
有限单元法基本方程的推导有很多途径，被广泛接受的是变分法，即结合最小势能原理推导有限单元法的过程。由最小势能原理可以推导下列方程式：
()e e e e e
U W ∏=∏=+∑∑
1()()()2e
eT T e eT T eT T p e e e e S
B DBtdxdy N ftdxdy N TtdS ααααΩΩ∏=∏=--∑∑∑∑⎰⎰⎰ 故
0α
∂∏=∂ 可得
Ka P =
利用弹性力学的几何方程写出单元应变与结点位移的关系矩阵，称应变矩阵
[B]，即 {}[]{}e
e B δε= 再由材料的本构关系（即物理方程），得到单元弹性矩阵[D]，从而推出用结点位移表示单元应力表达式
{}[]{}[][]{}[]{}e e e e S B D D δδεσ===
其中，[S] = [D][B]。
然后考虑结点平衡求得单元结点力与结点位移的关系，由矩阵[k]e 表示，称单元刚度矩阵。根据虚功原理或最小势能原理（平衡条件），也可导出用结点位移表示结点力的表达式{}[][][]{}[]{}e
e e T e k dxdydz B D B F δδ==⎰⎰⎰ 其中，单元刚度矩阵 [][][][][][][]V B D B dxdydz B D B k T
T e ==⎰⎰⎰ 利用虚功原理（或变分原理）可同时导出单元等效结点力{F}e 。
在经逐个单元（逐个结点）叠加其贡献予以集合（整体分析）后，生成结构刚度矩阵[K]（也称总刚）、荷载列阵{F}和结构结点位移列阵{δ}，并利用平衡条件建立表达结构的力-位移的关系式，即所谓结构刚度方程：
[]{}{}F K =δ Ka P =
考虑几何边界条件作适当修改后，求解上式所示的高阶线性代数方程组，得到结构所有的未知结点位移（同矩阵位移法）。最后利用已求出的结点位移计算各个单元的应力，并经后处理软件整理、显示计算结果。
从上面的理论推导过程可以总结出有限单元法分析问题的步骤的几个部分：对结构进行离散、生成单元的刚度矩阵和等效节点荷载矩阵、集成结构的刚度矩阵和等效节点荷载列阵、引入强制的边界条件、求解有限元求解方程，得到节点位移、计算单元应变和应力。有限元中要解决的问题也就是在这几个方面。 2 复杂结构的离散（网格的划分）
2.1 网格划分基础与划分原则
