重点高中数学思想方法

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重点高中数学思想方法

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目录

前言 (1)

第一章高中数学解题基本方法 (2)

一、配方法 (3)

二、换元法 (7)

三、待定系数法 (14)

四、定义法 (19)

五、数学归纳法 (23)

六、参数法 (28)

七、反证法 (32)

八、消去法………………………………………

九、分析与综合法………………………………

十、特殊与一般法....................................十一、类比与归纳法..............................十二、观察与实验法..............................第二章高中数学常用的数学思想 (35)

一、数形结合思想 (35)

二、分类讨论思想 (41)

三、函数与方程思想 (47)

四、转化(化归)思想 (54)

第三章高考热点问题和解题策略 (59)

一、应用问题 (59)

二、探索性问题 (65)

三、选择题解答策略 (71)

四、填空题解答策略 (77)

前言

美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解

题。而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,

这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯

通时,才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方

法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的

数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问

题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光。

高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查:

①常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、

参数法、消去法等;

②数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法

等;

③数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特

殊与一般、类比、归纳和演绎等;

④常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论

思想、转化(化归)思想等。

数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次。

数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的

推移,记忆力的减退,将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学

意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、

处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,

即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用。

数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行

为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段。

数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知

识的同时获得。

可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,

提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数

学素质的综合体现就是“能力”。

为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先

是介绍高考中常用的数学基本方法:配方法、换元法、待定系数法、

数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般

法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想:

函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想。

最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分

提供了近几年的高考试卷。

在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以

三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法

的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范。

巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用。每个题组中习题

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的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知

识。

第一章高中数学解题基本方法

一、配方法

配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

二、换元法

解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式:4x+2x-2≥0,先变形为设2x=t(t>0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=x+1-x的值域时,易发现x∈[0,1],设x

=sin2α,α∈[0,π

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],问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中

主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2+y2=r2(r>0)时,则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。

均值换元,如遇到x+y=S形式时,设x=S

2

+t,y=

S

2

-t等等。

我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。如上几例

中的t>0和α∈[0,π

2

]。

三、待定系数法

要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是:对于一个任意的a值,都有f(a)≡g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程。使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个

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