9.1向量概念-(新教材)苏教版(2019)高中数学必修第二册课件

9.1向量概念学习目标核心素养1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念．(重点)2．理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义．(重点、难点)3．理解向量的几何表示．(重点)1.通过学习向量的有关概念，培养数学抽象素养．2．通过学习共线向量，相等向量，零向量等概念及表示，培养学生的数学运算素养.1．民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班．每次飞行都是民航客机的一次位移．由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移(如图甲)．2．某著名运动员投掷标枪时，标枪的初速度的记录资料是：平均出手角度θ＝43.242°，平均出手速度大小为v＝28.35 m/s(如图乙)．甲乙问题：上述实例中的“位移”“速度”“力”与生活中，我们接触到的长度、面积、重量等有什么区别？如何表示上述既有大小又有方向的量？1．向量的定义及表示思考1：在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？提示：面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向．思考2：两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？提示：数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．2．向量的有关概念及其表示思考3：零向量的方向是如何规定的？零向量与任一向量共线吗？提示：零向量的方向是任意的；规定零向量与任一向量共线．→和向量BA→相等吗？它们共思考4：已知A，B为平面上不同两点，那么向量AB线吗？→和向量BA→方向不同，所以二者不相等．又表示它们的有向提示：因为向量AB线段在同一直线上，所以两向量共线．思考5：向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？ 提示：不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫作共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)有向线段就是向量． ( ) (2)两个向量的模能比较大小． ( ) (3)有向线段可以用来表示向量． ( ) (4)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ． ( ) (5)单位向量的模都相等．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√2．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有______(填序号)．①⑥⑦⑧ [一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．]向量的概念(1)任何两个单位向量都是平行向量； (2)零向量是没有方向的；(3)在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则向量DE →与CB →是平行向量； (4)对于向量a 、b 、c ，若a ∥b ，且b ∥c ，则a ∥c ；(5)若非零向量AB →与CD →是平行向量，则直线AB 与直线CD 平行； (6)非零向量AB →与BA →是模相等的平行向量．[思路点拨]解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假．[解](1)错误．因为两个单位向量只是模都等于1个单位，方向不一定相同或相反；(2)错误．任何向量都有方向，零向量的方向是任意的；→与CB→方向相反，是平行(3)正确．由三角形中位线性质知，DE∥BC，向量DE向量；(4)错误．b为零向量时，有a∥b且b∥c，但a与c的方向可以任意变化，它们不一定是平行向量；(5)错误．A、B、C、D四点也可能在同一条直线上；→与BA→的模相等，方向相反，二者是平行向量．(6)正确．非零向量AB1．在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)．2．涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量．3．对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可．提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．[跟进训练]1．判断下列命题是否正确，并说明理由：(1)若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；(4)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；[解] (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系． (3)正确．因为|a |＝|b |，且a 与b 同向，由两向量相等的条件，可得a ＝b . (4)不正确．依据规定：0与任一向量平行．向量的表示方向向西偏北50°行驶了200千米到达点C ，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D .(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.[思路点拨] 解答本题应首先确定指向标，然后再根据行驶方向确定有关向量，进而求解．[解] (1)如图：(2) 由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD . 又∵|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB CD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识，求出向量的方向或长度(模)，选择合适的比例关系作出向量．[跟进训练]2．(1)如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A ，点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝5，画出所有的向量AC →.(2)已知飞机从A 地按北偏东30°的方向飞行2 000 km 到达B 地，再从B 地按南偏东30°的方向飞行2 000 km 到达C 地，再从C 地按西南方向飞行1 000 2 km 到达D 地．①作出向量AB →，BC →，CD →，DA →；②问D 地在A 地的什么方向？D 地距A 地多远？ [解] (1)画出所有的向量AC →，如图所示．(2)①由题意，作出向量AB →，BC →，CD →，DA →，如图所示，②依题意知，三角形ABC 为正三角形，所以AC ＝2 000 km.又因为∠ACD ＝45°，CD ＝1 0002，所以△ACD 为等腰直角三角形，即AD ＝1 000 2 km ，∠CAD ＝45°.所以D 地在A 地的东南方向，距A 地1 000 2 km.共线向量1．两向量平行，则两向量所在的直线平行吗？ [提示] 不一定平行．2．若向量a 与b 平行(或共线)，则向量a 与b 相等吗？反之，若向量a 与b 相等，则向量a 与b 平行(或共线)吗？[提示] 向量a 与b 平行(或共线)，则向量a 与b 不一定相等；向量a 与b 相等，则向量a 与b 平行(或共线)．3．向量平行具备传递性吗？举例说明．[提示] 向量的平行不具备传递性，即若a ∥b ，b ∥c ，则未必有a ∥c ，这是因为，当b ＝0时，a ，c 可以是任意向量，但若b ≠0，必有a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c .【例3】 如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与AC →平行且长度为22的向量个数有______个．[思路点拨] 结合向量相等、平行的条件求解． 8 [如图所示，满足与AC →平行且长度为22的向量有AF →，F A →，EC →，CE →，GH →，HG →，IJ →，JI →共8个．]1．(变条件)本例中，与向量AC →同向且长度为22的向量有多少个？ [解] 与向量AC →同向且长度为22的向量占与向量AC →平行且长度为22的向量中的一半，共4个．2．(变条件)本例中，如图，与向量AO →相等的向量有多少个？[解] 题图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量AO →方向相同的向量与其相等，共有8个．1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．1．本节课的重点是向量的概念、向量的表示方法及几种特殊的向量，难点是几种特殊向量的概念及应用．2．要重点掌握向量的三个问题 (1)向量有关概念的辨析． (2)向量的表示．(3)相等向量与共线向量的应用． 3．本节课要注意两个区别 (1)向量与数量①数量只有大小没有方向，向量既有大小又有方向． ②数量可以比较大小，向量不能比较大小． (2)向量与有向线段①区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．②联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．1．下列说法不正确的是( ) A ．零向量的长度为零B ．零向量与任一向量都是共线向量C ．零向量没有方向D ．零向量的方向是任意的C [零向量的方向是任意的，不能说零向量没有方向，C 错．]2．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，则|AB →|＝1，|AC →|＝2，则|BC →|＝________. 5 [因为|BC →|2＝|AB →|2＋|AC →|2＝5，所以|BC →|＝ 5.]3．(一题多空)如图所示，已知点O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .在以A ，B ，C ，D ，E ，F ，O 为起点或终点的向量中：(1)模与a 的模相等的向量有________个．(2)长度与a 的长度相等，方向相反的向量有________． (3)与a 共线的向量有________．(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量________．(1)23 (2)OD →，BC →，AO →，FE → (3)EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →(4)与a 相等的有EF →，DO →，CB →；与b 相等的有DC →，EO →，F A →；与c 相等的有ED →，FO →，AB →[(1)满足条件的向量有23个．(2)长度与a 的长度相等，方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →. (3)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(4)与a 相等的有EF →，DO →，CB →；与b 相等的有DC →，EO →，F A →；与c 相等的有ED →，FO →，AB →.]4．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.[解] (1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向- 11 - 小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．。

向量概念知识点一、向量概念1.向量与数量的概念向量：既有大小又有方向的量叫做向量（物理中的矢量）．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量（物理中的标量）.2.向量与数量的区别数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小.例：下列物理量中：①速度，②加速度，③质量，④力，⑤路程，其中是向量的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解答】C【解析】判断一个量是否为向量，就看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，上述5个物理量中，①②④既有大小，又有方向，所以这三个是向量，故选C.知识点二、向量的表示1.有向线段带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.如图所示就是以A为起点，B为终点的有向线段（终点处画上箭头表示方向），记作（起点在前，终点在后）.线段是没有方向的，比如线段AB和线段BA表示的是同一条线段，但是有向线段和有向线段表示的就不是同一条有向线段.2.向量的表示（1）向量的几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向；（2）向量的字母表示：向量可以直接用字母a、b、c……表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示，如等.3.向量的模向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度)，记作，向量的模可以用来比较大小.4.零向量长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的方向是任意的.要注意区分0与，0是一个实数，是一个向量，.5.单位向量长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同。

PS：零向量与单位向量是两个特殊向量，都是从向量的模的角度定义的，不涉及方向.例：下列说法正确的是（）A. 零向量没有大小，没有方向B. 零向量的长度为0C. 零向量是唯一没有方向的向量D. 任意两个单位向量方向相同【解答】B【解析】零向量的长度为0，且方向是任意的，故A、C错误，B正确，任意两个单位向量的长度相等，但是方向不一定相同，故D错误，故选B.知识点三、共线向量与相等向量1.共线向量（1）方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量)；（2）任一向量都与它自身是平行向量，规定：零向量与任一向量是平行向量；（3）共线向量的四种情况：①方向相同且模相等；②方向相同但模不相等；③方向相反且模不相等；④方向相反但模相等；（4）在不改变向量的大小和方向的前提下，向量是可以平行移动的，所以，任意一组平行向量都可以移动同一条直线上.2.相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.（1）零向量与两向量相等，任一两个相等的非零向量都可以用同一条有向线段来表示，且与有向线段的起点无关；（2）若两向量共线，则这两个向量所在的直线要么是平行的，要么是重合的；例：下列命题正确的是（ ）A.B.C.D.【解答】D【解析】A 选项，两个向量的模相等，但是方向不一定相同，故A 选项错误；B 选项，两个向量不能比较大小，故B 选项错误；C 选项，两个向量平行，只能说明这两个向量的方向相同或相反，不能得到两个向量的大小关系，故C 选项错误；D 选项，如果一个向量的模等于0，那个这个向量就是零向量.故选D.巩固练习一、选择题1. 下列物理量中不是向量的个数是（ ）．（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】A【解析】看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向性的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，（1）（5）（6）（7）（8）只有大小没有方向，不是向量.2．有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，终点也相同；②若|a →|=|b →|，则a →=b →；③若|AB →|=|DC →|，则四边形ABCD 是平行四边形；④若m →=n →，n →=k →，则m →=k →；⑤若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【解答】C【解析】对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，若|a →|=|b →|，则a →、b →不一定相同，∴②错误；对于③，若|AB →|=|DC →|，AB →、DC →不一定相等，∴四边形ABCD 不一定是平行四边形，③错误；对于④，若m →=n →，n →=k →，则m →=k →，④正确；对于⑤，若a →∥b →，b →∥c →，当b →=0→时，a →∥c →不一定成立，∴⑤错误；对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，∴⑥错误；综上，假命题是②③⑤⑥，共4个．故选：C ．3．下列命题中，正确的个数是（ ）①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若a →，b →满足|a →|＞|b →|且a →与b →同向，则a →＞b →；④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；⑤若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解答】A【解析】对于①，单位向量的大小相等相等，但方向不一定相同，故①错误；对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；对于⑤，b →=0→时，a →∥b →，b →∥c →，则a →与c →不一定平行．综上，以上正确的命题个数是0．故选：A ．4．有下列四个命题：①互为相反向量的两个向量模相等；②若向量AB →与CD →是共线的向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上；③若|a →|＝|b →|，则a →=b →或a →=−b →；④若a →•b →=0，则a →=0→或b →=0→；其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】D【解析】对于①，互为相反向量的两个向量模相等，命题正确；对于②，向量AB →与CD →是共线的向量，点A ，B ，C ，D 不一定在同一条直线上，如平行四边形的对边表示的向量，原命题错误；对于③，当|a →|＝|b →|时，a →=b →或a →=−b →不一定成立，如单位向量模长为1，但不一定共线，原命题错误；对于④，当a →•b →=0时，a →=0→或b →=0→或a →⊥b →，原命题错误；综上，正确的命题是①，共1个．故选：D ．5．下列说法中错误的是（ ）A ．零向量与任一向量平行B ．方向相反的两个非零向量不一定共线C ．零向量的长度为0D ．方向相反的两个非零向量必不相等【解答】B【解析】对于A ，零向量的方向是任意的，零向量与任一向量平行，A 正确；对于B ，方向相反的两个非零向量一定共线，B 错误；对于C ，零向量的模长为0，C 正确；对于D ，根据向量相等的定义知，方向相反的两个非零向量一定不相等，D 正确．故选：B ．6．下列说法错误的是（ ）A ．向量 CD →与向量DC →长度相等B ．单位向量都相等C ．向量的模可以比较大小D ．任一非零向量都可以平行移动【解答】B【解析】对于A ，CD →和DC →长度相等，方向相反，故A 正确；对于B ，单位向量长度都为1，但方向不确定，故B 错误；对于C ，向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C 正确；对于D ，向量只与长度和方向有关，无位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，即D 正确． 故选：B ．7．下列关于向量的命题正确的是（ ）A ．若|a →|＝|b →|，则a →=b →B ．若|a →|＝|b →|，则|a →|∥|b →|C ．若a →=b →，b →=c →，则a →=c →D ．若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c → 【解答】C【解析】向量长度相等，得不出向量相等，因为向量还有方向；∴A 错误；向量长度是数值，不能平行；∴B 错误；a →=b →，b →=c →显然得出a →=c →；∴C 正确；a →∥b →，b →∥c →得不出a →∥c →，比如，a →，c →不平行，b →=0→；∴D 错误．故选：C ．8．以下说法正确的是（ ）A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．零向量没有方向C ．共线向量又叫平行向量D ．若a →和b →都是单位向量，则a →=b →【解答】C【解析】只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A 错误，零向量是没有方向的向量，B 错误；共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C 正确；若a →，b →都是单位向量，两向量的方向不定，D 错误；故选：C ．二．多选题9．下列有关向量命题，不正确的是（ ）A ．若|a →|＝|b →|，则a →=b →B ．已知c →≠0→，且a →•c →=b →•c →，则a →=b →C ．若a →=b →，b →=c →，则a →=c →D ．若a →=b →，则|a →|＝|b →|且a →∥b → 【解答】AB【解析】向量由两个要素方向和长度描述，A 错误；若a →∥b →，且与c →垂直，结果成立，当a →不一定等于b →，B 错误；若a →=b →，b →=c →，由向量的定义可得a →=c →，C 正确；相等向量模相等，方向相同，D 选项正确．故选：AB ．10.下列说法中正确的有（ ）A. 向量的长度与向量的长度相等B. 有向线段就是向量，向量就是有向线段C. 两向量的大小与其方向有关D. 向量的模可以比较大小【解答】AD【解析】向量的长度与向量的长度都等于线段AB的长度，故A选项正确；有向线段是向量的几何表示，两个并不相同，故B选项错误；向量不能比较大小，故C选项错误；向量的模就是有向线段的长度，可以比较大小，故D选项正确，故选AD.11.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是（）A. 与相等的向量（不含）只有一个B. 与的模相等的向量（不含）有9个C. 的模是的模的倍D. 与不共线【解答】ABC【解析】因为，所以与相等的向量只有，故A选项正确；与的模相等的向量有，故B选项正确；在R t△AOD中，∵∠ADO＝30°，，故，故C选项正确；因为，所以与是共线的，故D选项错误，故选ABC.三.填空题12. 已知、、为非零向量，且与不共线，若∥，则与必定________．【解答】不共线【解析】∵与不共线，与共线，∴与不共线.13. 已知四边形ABCD中，，则四边形ABCD的形状是 .【解答】等腰梯形【解析】∵，∴AB∥DC，且，即线段AB平行于线段CD，且线段AB的长度是线段CD 长度的一半，∴四边形ABCD 是梯形， 又∵，∴梯形的两个腰相等，∴四边形ABCD 是等腰梯形.14. 如图所示，已知AD ＝3，B ，C 是线段AD 的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有________.【解答】AC →，CA →，BD →，DB →，AD →，DA →【解析】满足条件的向量有以下几类：模长为2的向量有：AC →，CA →，BD →，DB →；模长为3的向量有：AD →，DA →.15. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，E ，f 分别是AD 与BC 的中点，则在以A ，B ，C ，D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量为________．【解答】FE →，CD →，BA →【解析】∵AB ∥E f ，CD ∥E f ，∴与EF →方向相反的向量为FE →，CD →，BA →.四、解答题16.一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地.(1)在如图所示的坐标系中画出AD →，DC →，CB →，AB →；(2)求B 地相对于A 地的方位.【解答】（1）见解析；（2）B 地相对于A 地的方位是“北偏东60°距A 地6千米”【解析】（1）向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示：（2）由题意知AD →＝BC →，∴AD BC ，则四边形ABCD 为平行四边形，∴AB →＝DC →，则B 地相对于A 地的方位是“北偏东60°距A 地6千米”.17. 如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OC f B 都是正方形.(1)写出与AO →相等的向量；(2)写出与AO →共线的向量；(3)向量AO →与CO →是否相等？【解答】见解析【解析】(1)与AO →相等的向量有：OC →，BF →，ED →.(2)与AO →共线的向量有：OA →，OC →，CO →，AC →，CA →，ED →，DE →，BF →，FB →.(3)向量AO →与CO →不相等，因为AO →与CO →的方向相反，所以它们不相等.18. 如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点.(1)写出图中所示向量与向量DE →长度相等的向量；(2)写出图中所示向量与向量FD →相等的向量；(3)分别写出图中所示向量与向量DE →，FD →共线的向量．【解答】见解析【解析】(1)与DE →长度相等的向量是EF →，FD →，AF →，FC →，BD →，DA →，CE →，EB →.(2)与FD →相等的向量是CE →，EB →.(3)与DE →共线的向量是AC →，AF →，FC →；与FD →共线的向量是CE →，EB →，CB →.。