高一下学期期末数学试题(共4套,含参考答案)

天津市河西区、四十一中2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．实部为2-，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限〖解 析〗实部为2-，虚部为1的复数所对应的点的坐标为(2,1)-，位于第二象限． 〖答 案〗B2．在频率分布直方图中，各个长方形的面积表示( ) A ．落在相应各组的数据的频数 B ．相应各组的频率C ．该样本所分成的组数D ．该样本的样本容量〖解 析〗频率分布直方图中，各个长方形的面积表示相应数据的频率， 它等于这组的频数除以样本容量的值， 小长方形的个数表示该样本所分成的组数． 〖答 案〗B3．已知(5,2)a =-，(4,3)b =--，(,)c x y =，若230a b c -+=，则(c = ) A ．8(1,)3B ．138(,)33C ．134(,)33D ．134(,)33-- 〖解 析〗由题意可得：23(133,43)0a b c x y -+=++=， 所以1330x +=，并且430y +=，所以133x =-，43y =-． 〖答 案〗D4．将无盖正方体纸盒展开如图，则直线AB 、CD 在原正方体中的位置关系是( )A ．平行B ．相交且垂直C ．相交成60︒D ．异面〖解 析〗将正方体还原得到A ，B ，C ，D 的位置如图因为几何体是正方体，所以连接AC ，得到三角形ABC 是等边三角形，所以60ABC ∠=︒；〖答 案〗C5．已知||4a =，e 为单位向量，当向量a 与e 的夹角θ等于150︒时，则向量a 在向量e 上的投影向量为( ) A ．2eB ．2e -C ．3eD ．3e -〖解 析〗||4a =，e 为单位向量，向量a 与e 的夹角θ等于150︒时，∴||||cos15041(a e a e ⋅=︒=⨯⨯=-∴向量a 在向量e 上的投影||a ee ⋅为-a 在向量e 上的投影向量为3e -． 〖答 案〗D6．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数．则下列事件是互斥事件但不是对立事件的是( ) A ．恰好有1件次品和恰好有2件次品B ．至少有1件次品和全是次品C ．至少有1件正品和至少有1件次品D ．至少有1件次品和全是正品〖解 析〗从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，∴在A 中，恰好有1件次品和恰好有2件次品不能同时发生，但能同时不发生， ∴恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件但不是对立事件，故A 成立；在B 中，至少有1件次品和全是次品，能同时发生， ∴至少有1件次品和全是次品不是互斥事件，故B 不成立；在C 中，至少有1件正品和至少有1件次品能同时发生， ∴至少有1件正品和至少有1件次品不是互斥事件，故C 不成立；在D 中，至少有1件次品和全是正品不能同时发生，也不能同时不发生， ∴至少有1件次品和全是正品是对立事件，故D 不成立．〖答 案〗A7．两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是( ) A ．两个角均为锐角 B ．一个角为0︒，一个角为90︒ C ．两个角均为0︒D ．两个角均为90︒〖解 析〗两条异面直线与同一平面所成的角，两个角均为锐角，所以A 正确， 如果异面直线互相垂直时，一条直线与平面平行，另一条直线与平面垂直， 满足一个角为0︒，一个角为90︒，所以B 正确；如果两条异面直线都与平面平行，此时两条异面直线与同一平面所成的角两个角均为0︒，所以C 正确；如果两个角均为90︒，则两条直线与平面垂直，两条直线是平行线，所以D 不正确． 〖答 案〗D8．袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2个球．设A = “两个球颜色相同”， B = “两个球颜色不同”，则( ) A ．P （A ）P =（B ） B ．2P （A ）P =（B ）C ．P （A ）2P =（B ）D ．3P （A ）P =（B ）〖解 析〗袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2个球．基本事件总数246n C ==， 设A = “两个球颜色相同”， B = “两个球颜色不同”，则A 中包含的基本事件个数221222m C C =+=，B 中包含的基本事件个数112224m C C ==， P ∴（A ）2163==，P （B ）4263==，2P ∴（A ）P =（B ）． 〖答 案〗B9．如图，圆柱OO '中，AA '是侧面的母线，AB 是底面的直径，C 是底面圆上一点， 则( )A ．BC ⊥平面A AC 'B ．BC ⊥平面A AB 'C ．AC ⊥平面A BC 'D ．AC ⊥平面A AB '〖解 析〗C 是底面圆周上异于A ，B 的任意一点，且AB 是圆柱底面圆的直径，BC AC ∴⊥，AA '⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，AA BC '∴⊥，AA AC A '=，AA '⊂平面AA C '，AC ⊂平面AA C '，BC ∴⊥平面A AC '．〖答 案〗A二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.10．已知i 是虚数单位，若复数z 满足(1)2i z +=，则z 的虚部为 ；z = ． 〖解 析〗(1)2i z +=，22(1)11(1)(1)i z i i i i -∴===-++-， 故z 的虚部是1-，1z i =+． 〖答 案〗1-，1i +11．某中学有高中生3500人，初中生1500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为 ． 〖解 析〗分层抽样的抽取比例为701350050=， 总体个数为350015005000+=，∴样本容量1500010050n =⨯=． 〖答 案〗10012．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则四棱锥111A BB D D -的体积为 ．〖解 析〗由题意可知四棱锥111A BB D D -的底面是矩形，边长：1四棱锥的高：1112AC =．则四棱锥111A BB D D -的体积为：11133⨯=．〖答 案〗1313．从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是 ． 〖解 析〗从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数共有2510C =种情况， 和为5的有(1，4)(2，3)两种情况，故所求的概率为：20.210=． 〖答 案〗0.214．已知a ，b ，c 是直线，给出下列命题： ①若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥； ③若//a b ，b c ⊥，则a c ⊥；④若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直． 其中真命题是 （写出所有正确命题的序号） 〖解 析〗已知a ，b ，c 是直线，给出下列命题：①若//a b ，//b c ，根据平行线的传递性可得：//a c ，正确； ②若a b ⊥，b c ⊥，则a 与c 平行、相交或为异面直线，因此不正确； ③若//a b ，b c ⊥，则a c ⊥，正确；④若a 与b 异面，则有无数条直线与a ，b 都垂直，因此不正确． 其中真命题是 ①③． 〖答 案〗①③15．在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =．若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ． 〖解 析〗如图所示，ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，2BD DC =，∴AD AB BD =+23AB BC =+2()3AB AC AB =+-1233AB AC =+，又()AE AC AB R λλ=-∈，∴12()()33AD AE AB AC AC AB λ⋅=+⋅-221212()3333AB AC AB AC λλ=-⋅-+221212()32cos603243333λλ=-⨯⨯⨯︒-⨯+⨯=-， ∴1113λ=，解得311λ=． 〖答 案〗311三、解答题：本大题共5小题，共49分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（9分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F ，G 分别是AD ，BC 的三等分点1(3AF AD =，13BG BC =．设AB a =，AD b =．（1）用a ，b 表示EF ，EG ； （2）如果3||||2b a =，EF ，EG 有什么位置关系？用向量方法证明你的结论． 解：（1）11113232EF AF AE AD AB b a =-=-=-，1111122323EG EB BG AB AF AB AD a b =+=+=+=+， （2）EF EG ⊥，证明：由（1）得，1132EF b a =-，1132EG b a =+，∴2222111111191()()0323294944EF EG b a b a b a a a ⋅=-⋅+=-=⨯-=，∴EF EG ⊥，EF EG ∴⊥．17．（10分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos()6b A a B π=-． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）设2a =，3c =，求b ． 解：（Ⅰ） 在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=，又sin cos()6b A a B π=-．可得sin cos()6B B π=-，1sin sin 2B B B ∴=+，则tan B ． 又(0,)B π∈，可得3B π=．（Ⅱ） 在ABC ∆中，由余弦定理及2a =，3c =，3B π=，2222cos 49223cos73b ac ac B π∴=+-=+-⨯⨯⨯=，解得b =．18．（10分）为了了解某学校高一年级的712名学生身高的情况，现从该学校386名女生中抽取一个样本容量为27的样本，其观测数据（单位：)cm 如下： 163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0 （1）计算女生身高的样本平均数；（2）若该学校男生平均身高为170.6cm ，试估计该校高一年级学生的平均身高； （3）根据女生的样本数据估计该学校高一年级女生身高的第75百分位数． 解：（1）根据题意，女生身高的样本平均数1(163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0162.5154.027x =++++++++++ 154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0155.0148.0172.0162.5158.0155.5157.0163.0172.0)160.6cm ++++++++++++++++≈，（2）根据题意，高一年级共712名学生，其中女生386名，则男生有712386326-=， 则高一年级学生的平均身高为386160.6326170.6165.2712cm ⨯+⨯=，（3）根据题意，女生身高从小到大排列为：148、149、154、154、155、155.5、157、157、158、159、161、161、162、162.5、162.5、163、163、164、164、164、165、170、171、172、172， 又由2775%20.25⨯=，则女生身高的第75百分位数为第21个数据，即164， 故该学校高一年级女生身高的第75百分位数为164cm ．19．（10分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14． （1）记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求0X =，1X =的概率； （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：（1）由题意可知1111(0)(1)(1)(1)2344P X ==-⨯-⨯-=，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=． （2）两辆车共遇到1个红灯的概率为11111111142424448P =⨯+⨯=， 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148． 20．（10分）如图，在四面体ABCD 中，ABC ∆是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，2AB =，AD =90BAD ∠=︒．（Ⅰ）求证：AD BC ⊥；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ⋂平面ABD AB =，AD AB ⊥， 得AD ⊥平面ABC ，故AD BC ⊥；（Ⅱ）解：取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ，M 为棱AB 的中点，故//MN BC ，DMN ∴∠（或其补角）为异面直线BC 与MD 所成角，在Rt DAM ∆中，1AM =，故DM =，AD ⊥平面ABC ，故AD AC ⊥，在Rt DAN ∆中，1AN =，故DN ==在等腰三角形DMN 中，1MN =，可得12cos MNDMN DM ∠==．∴异面直线BC 与MD （Ⅲ）解：连接CM ，ABC ∆为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM AB ⊥，CM =又平面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ，则CDM ∠为直线CD 与平面ABD 所成角．在Rt CAD ∆中，4CD =，在Rt CMD ∆中，sin CM CDM CD ∠==．∴直线CD 与平面ABD ．。

2022-2023学年黑龙江省牡丹江市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．“治国之道，富民为始.”共同富裕是社会主义的本质要求，是中国式现代化的重要特征，是人民群众的共同期盼.共同富裕是全体人民通过辛勤劳动和相互帮助最终达到丰衣足食的生活水平，是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕．请你运用数学学习中所学的统计知识加以分析，下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（）A．平均数小，方差大B．平均数小，方差小C．平均数大，方差大D．平均数大，方差小【答案】D【分析】根据平均数与方差的含义即可求解.【详解】方差反映的是一组数据的波动情况，方差越大说明数据偏离平均水平的程度越大，平均数是整体的平均水平，是一组数据的集中程度的刻画，所以最能体现共同富裕要求的是平均数大，方差小.故选：D2．下列说法错误的是（）A．一个棱柱至少有5个面B．斜棱柱的侧面中没有矩形C．圆柱的母线平行于轴D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形【答案】B【分析】根据几何体的性质判断即可.【详解】由棱柱的性质可知A正确，B错误；由圆柱的性质可知C正确；由正棱锥的性质可知D正确.故选：B3．已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率P．先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4，5表示击中目标，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数：169966151525271937592408569683 471257333027554488730863537039据此估计P的值为（）A ．0.6B ．0.65C ．0.7D ．0.75【答案】B【分析】由20组随机数中找出至少2次击中目标的包含的随机数的组数，即可求概率P 的值.【详解】20组随机数中至少2次击中目标的包含的随机数为：151525271592408471257333027554730537039一个有13组，所以其3次射击至少2次击中目标的概率130.6520P ==，故选：B.4．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“都是红球”C ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”【答案】D【分析】根据互斥事件和独立事件的概念，结合试验条件逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，当从口袋中取出两个黑球时，事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，所以事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”不是互斥事件，所以A 不符合题意；对于B 中，从口袋中取出两个球，事件“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但必有一个事件发生，所以事件“至少有一个黑球”与“都是红球”对立事件，所以B 不符合题意；对于C 中，当从口袋中取值一红一黑时，事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”同时发生，所以事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件，所以C 不符合题意；对于D 中，事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，当取出两个红球时，事件都没有发生，所以事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥事件但不是对立事件，符合题意.故选：D.5．掷两枚质地均匀的正方体骰子，设出现的点数之和为5，7，9的概率分别为123,,p p p ，则（）A ．132p p p <<B ．132p p p =<C ．132p p p =>D ．132p p p >>【答案】B【分析】根据题意可知，掷两枚骰子，一共有36种等可能的结果，分析出点数之和分别为5，7，9的情况种数，接下来利用概率计算公式进行计算，再比较三个概率的大小即可.【详解】掷两枚质地均匀的正方体骰子，记出现的点数为(,)m n ，{},1,2,3,4,5,6m n ∈，共有36种结果，点数之和为5的情况有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4种，191346p ∴==，点数之和为7的情况有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6种，261366p ∴==，点数之和为9的情况有3,6,4,5,5,4,()()()(6,3)，共4种，391346p ∴==，则132p p p =<.故选：B.6．某校开展“正心立德，劳动树人”主题教育活动，对参赛的100名学生的劳动作品的得分情况进行统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，这组数据中位数的估计值为（）A ．70B ．77C ．80D ．82【答案】B【分析】由频率之和为1求出x 值，由中位数公式计算中位数的估计值．【详解】由频率之和为1得：()100.0050.0350.0300.0101x ++++=，解得0.020x =，[50,70)的频率为0.005100.02100.250.5⨯+⨯=<，[50,80)的频率为0.005100.02100.035100.60.5⨯+⨯+⨯=>，则中位数在[70,80)内，所以这组数据中位数的估计值为0.50.2570770.035-+≈，故选：B ．7．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=︒，且12AA =，则1AC 的长为（）A ．5B ．22C ．10D ．15【答案】C【分析】将1,,AB AD AA作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示1AC uuur ，然后对其平方化简后，再开方可求得结果【详解】由题意得11,2AB AD AA === ，11,90,,,60AB AD AA AB AD AA =︒==︒ ，因为11AC AB BC CC =++1AB AD AA =++uuu r uuu r uuu r ,所以()2211AC AB AD AA =++ 212121222AD AA AD AB AA AD AA AB AB =+++⋅+⋅+⋅ 114211cos90212cos60212cos60=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒10=，所以110AC =uuur，故选：C8．我们可以用24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度．其中小雨(小于10mm)，中雨(10mm －25mm)，大雨(25mm －50mm)，暴雨(50mm －100mm)，小明用一个圆锥形容器(如图)接了24小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（）A ．小雨B ．中雨C ．大雨D ．暴雨【答案】C【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得积水厚度，即可得解.【详解】由题意，一个半径为()300150mm 2=的圆面内的降雨充满一个底面半径为()300200100mm 2300⨯=，高为()200mm 的圆锥，所以积水厚度()221π100200329.6mm π150d ⨯⨯=≈⨯，属于大雨.故选：C.二、多选题9．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11C D ，1C C 的中点，其中正确的结论为（）A ．直线AM 与1C C 是异面直线B ．A ，M ，B ，N 四点共面C ．直线BN 与1MB 是异面直线D ．直线MN 与AC 是相交直线【答案】AC【分析】根据图形及异面直线的定义判断即可.【详解】因为A ∉面11CDD C ，M ∈面11CDD C ，1C C ⊂面11CDD C ，1M C C ∉，所以AM 与1C C 是异面直线，故A 正确；连接11,A D BC ，因为N ∉面11ABCD ，B ∈面11ABC D ，AM ⊂面11ABC D ，B AM ∉，所以AM 与BN 是异面直线，故B 错误；因为M ∉面11BCC B ，1B ∈面11BCC B ，BN ⊂面11BCC B ，1B BN ∉，所以BN 与1MB 是异面直线，故C 正确；延长DC 与MN 交于点E ，因为M ∉面ABCD ，E ∈面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，E AC ∉，所以ME 与AC 是异面直线，即MN 与AC 是异面直线，故D 错误.故选：AC.10．如图是一个古典概型的样本空间Ω及事件A 和事件B ，其中()24n Ω=，()12n A =，()8n B =，()16n A B ⋃=，则（）A ．()23P A B ⋃=B ．()13P AB =C ．事件A 与B 互斥D ．事件A 与B 相互独立【答案】ABD【分析】计算出事件A 和事件B ，以及A B ⋃，AB 的概率，即可判断A,B ；由于()4,n AB AB =≠∅，可判断C;分别计算()()(),P A P B P AB ⋅的值，看二者的关系，判断D.【详解】()()()()()Ω24,Ω24168,128164n n AB n n A B n AB =∴=-⋃=-==+-= ，()()()()()()41162,Ω246Ω243n AB n A B P AB P A B n n ⋃∴===⋃===，()81()(Ω)243n AB P AB n ===，故A 正确，B 正确；()4,n AB AB A =∴≠∅∴ 与B 不互斥，故C 错误；()()()()()()()()()12181111,,Ω242Ω243236n A n B P A P B P A P B P AB n n ======∴⋅=⨯== ，∴事件A 与B 相互独立，故D 正确.故选：ABD.11．已知,,a b l 为不同的直线，,,αβγ为不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．若//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a bB ．若,,//a b αβαβ⊥⊂，则a b⊥r rC ．若,,,,l a b a b αβαβαβ⊥⋂=⊂⊂⊥，则,a b 至少有一条与直线l 垂直D ．若,,l αβαγβγ⊥⊥⋂=，则l α⊥【答案】BCD【分析】根据空间直线与平面间的位置关系进行判断A ，由线面、面面垂直的判定写性质判断BCD ．【详解】若//,,a b αβαβ⊂⊂，,a b 可能平行也可能异面，A 错；,a ααβ⊥∥，则a β⊥，又b β⊂，则a b ⊥r r，B 正确；若,,,,l a b a b αβαβαβ⊥⋂=⊂⊂⊥，假设a 与l 不垂直，过直线a 任一点P 在平面α内作直线c l ⊥，因为αβ⊥，所以c β⊥，又b β⊂，则c b ⊥，又b a ⊥，,a c 是平面α内两相交直线，因此b α⊥，而l ⊂α，所以b l ⊥，即直线,a b 中如果有一条不与l 垂直，则另一条必定与直线l 垂直，C 正确；若,,l αβαγβγ⊥⊥⋂=，如图，设a αβ⋂=，b αγ= ，过直线l 上一点P 在平面β内作直线m a ⊥，则m α⊥，同理过P 在平面γ内作直线n b ⊥，则n α⊥，因为过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，所以,m n 重合，即重合为平面β和γ的交线l ，所以l α⊥，D 正确．故选：BCD ．12．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，O 为底面ABCD 的中心，1AC 交平面1A BD 于点E ，点F 为棱CD 的中点，则（）A ．1,,A E O 三点共线B ．异面直线BD 与1AC 所成的角为60︒C ．点1C 到平面1A BD 的距离为233D ．过点1,,A B F 的平面截该正方体所得截面的面积为98【答案】ACD【分析】由题意可证得1,,A E O 三点都在平面1A BD 与平面11ACC A 的交线上，可判断A ；由题意可证得BD ⊥平面11ACC A ，从而1BD AC ⊥，可判断B ；由题意可证得1AC ⊥平面1A BD ，则1C E 的长度就是点1C 到平面1A BD 的距离，求解可判断C ；取1D D 的中点G ，因为11FG CD A B ∥∥，所以等腰梯形1A BFG 就是过点1,,A B F 的平面截该正方体所得截面，求出面积可判断D.【详解】因为O 为底面ABCD 的中心，所以O 为BD 和AC 的中点，则,O BD O AC ∈∈，因为BD ⊂平面1,A BD AC ⊂平面11ACC A ，所以O ∈平面1,A BD O ∈平面11ACC A ，所以点O 是平面1A BD 与平面11ACC A 的公共点；显然1A 是平面1A BD 与平面11ACC A 的公共点；因为1AC 交平面1A BD 于点1,E AC ⊂平面11ACC A ，所以E 也是平面1A BD 与平面11ACC A 的公共点，所以1,,A E O 三点都在平面1A BD 与平面11ACC A 的交线上，即1,,A E O 三点共线，故A 正确；因为1C C ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以1BD C C ⊥，又11,,,BD AC AC C C C AC C C ⊥=⊂ 平面11ACC A ，所以BD ⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥，即异面直线BD 与1AC 所成的角为90︒，故B 不正确；根据证明1BD AC ⊥的方法，同理可得11AC A B ⊥，因为11,,BD A B B BD A B =⊂ 平面1A BD ，所以1AC ⊥平面1A BD ，则1C E 的长度就是点1C 到平面1A BD 的距离，显然E 为正三角形1A BD 的中心，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，所以正三角形1A BD 的边长为2，所以12362323A E =⨯⨯=，又112AC =，所以2221111623233C E AC A E ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭,即点1C 到平面1A BD 的距离为233，故C 正确；取1D D 的中点G ，连11,,,FG GA BF A B ，因为11FG CD A B ∥∥，所以等腰梯形1A BFG 就是过点1,,A B F 的平面截该正方体所得截面，如图：因为122,2A B FG ==，152A G BF ==，所以等腰梯形1A BFG 的高为22113224A B FG h A G -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以等腰梯形1A BFG 的面积为()1112329222248A B FG h ⎛⎫+⋅=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，即过点1,,A B F 的平面截该正方体所得截面的面积为98，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题13．从我校高三某班抽取10名同学，他们的数学高考成绩如下：116，117，122，125，127，131，135，139，143，150(单位：分)，则这10名同学数学成绩的第70百分位数是．【答案】137【分析】根据百分位数定义可求.【详解】因为1070%7⨯=，所以这10名同学数学成绩的第70百分位数是1351391372+=，故答案为：137.14．在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角111B A C B --的余弦值为．【答案】33/133【分析】连接11AC 和11B D 交于点E ，可证得11A C ⊥平面11BB D D ，则11AC BE ⊥，又111A C B E ⊥，所以1B EB ∠为二面角111B A C B --的平面角，在直角1B EB 中，解三角形即可求出结果.【详解】如图，连接11A C 和11B D 交于点E ，连接,BD BE ．∵1BB ⊥平面1111D C B A ，11AC ⊂平面1111D C B A ，∴111BB AC ⊥，又11111111111,,,A C B D B D BB B B D BB ⊥=⊂ 平面11BB D D ，∴11A C ⊥平面11BB D D ，又BE ⊂平面11BB D D ，∴11A C BE ⊥，又111A C B E ⊥，∴1B EB ∠为二面角111B A C B --的平面角，在直角1B EB 中，设12B B =，则12,6B E BE ==，故13c 3os 26B EB ==∠．故答案为：33.15．如图，圆柱的底面直径AB 与母线AD 相等，E 是弧AB 的中点，则AE 与BD 所成的角为．【答案】π3【分析】过B 作BF AE ，交圆柱底面圆于F ，则FBD ∠即异面直线AE 与BD 所成的角，求解即可.【详解】如图，过B 作BF AE ，交圆柱底面圆于F ，连接AF ，DF ，则FBD ∠即异面直线AE 与BD 所成的角．不妨设2AB AD ==，则22BD =，由题意可得ABF △是等腰直角三角形，所以2BF AF ==．在直角AFD △中，DF =226AF AD +=，所以222DF BF BD +=，所以BDF V 是直角三角形，又2BD BF =，所以π3FBD ∠=，故答案为：π3．16．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，13AA =，E 为棱CD 的中点，F 为棱11C D （包括端点）上的动点，则三棱锥A DEF -外接球表面积的最小值是．【答案】2449π/2449π【分析】取AE 的中点1O ，过1O 作平面ABCD 的垂线，与平面1111D C B A 交于点M ，过M 作11C D 的垂线，垂足为N ，设1OO m =，NF n =，则03n ≤≤．设球O 的半径为R ，求出286n m +=，得到m的取值范围，即得解.【详解】解：如图，取AE 的中点1O ，过1O 作平面ABCD 的垂线，与平面1111D C B A 交于点M ，过M 作11C D 的垂线，垂足为N ，则三棱锥E ADF -外接球的球心O 在1MO 上．设1OO m =，NF n =，则03n ≤≤．设球O 的半径为R ，则222R OE OF ==，即()2222222534R m OM MN NF m n =+=++=-++，所以286n m +=．因为03n ≤≤，所以41736m ≤≤，则226159R m =+≥.故三棱锥A DEF -外接球的表面积224449S R ππ=≥．故答案为：2449π四、解答题17．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos a B b A c +=.（1）求B ；（2）设2a c =，2b =，求c .【答案】（1）4π；（2）2.【分析】（1）由题设，根据正弦定理得sin sin sin cos sin A B B A C +=，结合三角形内角的性质得tan 1B =，即可求B ；（2）由余弦定理，结合已知条件列方程，即可求c .【详解】（1）由正弦定理得：sin sin sin cos sin A B B A C +=，而()()sin sin sin sin cos cos sin C A B A B A B A B π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦，∴sin sin sin cos A B A B =，又sin 0A ≠，cos 0B ≠，∴tan 1B =，又0B π<<，即4B π=.（2）由余弦定理2222cos b c a ac B =+-，即2a c =，∴222242222c c c =+-⨯，解得2c =.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AC 与BD 交于点O ，PA ⊥面ABCD ，且2PA =.(1)求证BD ⊥平面PAC .；(2)求PD 与平面PAC 所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)30【分析】（1）由AC BD ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，得到PA BD ⊥，结合直线与平面垂直的判定定理，即可证得BD ⊥平面PAC ；（2）连接PO ，得到DPO ∠为PD 与平面PAC 所成的角，在直角DPO 中，即可求得PD 与平面PAC 所成的角.【详解】（1）解：因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，因为PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .（2）解：连接PO ，因为BD ⊥平面PAO ，所以DPO ∠为PD 与平面PAC 所成的角，因为2AB PA ==，所以6,2PO DO ==，在直角DPO 中，23tan 36DODPO PO∠===，所以30DPO ∠= ，即PD 与平面PAC 所成的角为30 .19．在①sin 4a C =，②62a b c ++=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，判断 ABC 的形状；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在 ABC ，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且2,23ABC a c b S +== ，______？，注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【分析】若选①，由sin 4a C =结合23ABC S = 可得3b =，则23a c +=，后由基本不等式结合23ABCS = 可判断三角形是否存在；若选②，由题可得224223ABC b a c S ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩ .由余弦定理结合23ABC S = 可得11cos sin B B+=，可解得π3B =，可得,ac a c +.即可判断三角形是否存在.【详解】解：若选①，这样的 ABC 不存在.理由如下：则1sin 233,232ABC S ab C b a c ==⇒=+= 则()213323422sin sin ABC a c ac S ac B B +≤=⇒==≤ .得43sin 13B ≥>，与正弦函数的有界性矛盾.故这样的 ABC 不存在；若选②，这样的 ABC 存在.22223426223ABC ABC a c bb S ac a b c S ⎧+==⎧⎪⎪⎪=⇒+=⎨⎨⎪⎪++==⎩⎪⎩ .由余弦定理：()()2222221cos cos b a c ac B a c ac B =+-=+-+.得()cos 112ac B +=.又123432sin sin ABC S ac B ac B ==⇒= .则1133162cos πsin cos sin sin B B B B B⎛⎫+=⇒-=⇒-= ⎪⎝⎭.因为a ，b ，c 成等差数列，b 不是最大边，所以π02B <<，所以ππ66B -=，即π3B =.则82242ac a c a c =⎧⎪⇒==⎨+=⎪⎩，则此时 ABC 为等边三角形.20．立德中学在端午节到来之际准备举办端午知识趣味竞赛，甲、乙两位同学组成“星队”参赛，每轮活动由甲、乙各回答一道题，已知甲每轮猜对的概率是p ，乙每轮猜对的概率是89p ．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，其中112p <<．(1)若在一轮比赛中“甲答对题目且乙答错题目”的概率为14，求p ;(2)在（1）的条件下，求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率．【答案】(1)34(2)512【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式列式求解；（2）设12,A A 分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，12,B B 分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，设“星队”在两轮活动中猜对3个成语为事件A ，则1221A A B A B = ，根据独立事件及互斥事件的概率公式求解即可.【详解】（1）根据题意，81194112p p p ⎧⎛⎫⋅-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪<<⎪⎩，所以34p =；（2）设12,A A 分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，12,B B 分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据题意得()()1231133339,444484416P A P A =⨯+⨯==⨯=，()()1221124224,33339339P B P B =⨯+⨯==⨯=．设“星队”在两轮活动中猜对3个成语为事件A ，则1221A A B A B = ，且12A B 与21A B 互斥，1A 与22,B A 与1B 相互独立，所以()()()()()()()12211221P A P A B P A B P A PB P A P B =+=+349458916912=⨯+⨯=，因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为512．21．4月23日是世界读书日，树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名．经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间(单位：小时)的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间(单位：小时)的频率分布直方图．(以各组的区间中点值代表该组的各个值)男生一周课外阅读时间频数分布表小时频数[)0,29[)2,425[)4,63[]6,83女生一周课外阅读时间频率分布直方图(1)从一周课外阅读时间为[)4,6的学生中按比例分配抽取6人，再从这6名学生中选出2名同学调查他们阅读书目．求这两人都是女生的概率；(2)分别估计男生和女生一周课外阅读时间的平均数,x y ；(3)估计总样本的平均数z 和方差²s ．参考数据和公式：男生和女生一周课外阅读时间方差的估计值分别为2 2.4s =男和23s =女，()()404060602222211111()()100i i i i i i s x x x z y z y y ====⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑，()140i x i ≤≤和()160i y i ≤≤分别表示男生和女生一周阅读时间的样本，其中Z i ∈．【答案】(1)23(2)3x =，4y =；(3) 3.6z =，23s =.【分析】（1）首先求出[)4,6中女生的人数，再利用分层抽样计算抽取的男生与女生的人数，利用古典概型公式求出概率；（2）根据平均数公式计算可得；（3）首先求出总体的平均数，再根据所给公式及数据求出总体的方差.【详解】（1）一周课外阅读时间为[)4,6的学生中男生有3人，女生有1260158⨯⨯=人，若从中按比例分配抽取6人，则男生有361315⨯=+人，女生有1565315⨯=+人，用a 表示男生，用1，2，3，4，5表示女生，则样本空间为{}Ω1,2,3,4,5,12,13,14,15,23,24,25,34,35,45a a a a a =，设事件A =“选出两人都是女生”，则{}12,13,14,15,23,24,25,34,35,45A =，由于抽中Ω中每一个样本点的可能性相等，所以这是一个古典概型，所以()()()102Ω153n A P A n ===.（2）估计男生一周课外阅读时间平均数193255373340x ⨯+⨯+⨯+⨯==；估计女生一周课外阅读时间的平均数1111212325274244812y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.（3）估计总样本的平均数3404603.6100z ⨯+⨯==，∵()()4060222211112.4,34060i i i i x x s y ys ==-==-==∑∑男女，∴()()406022221140 2.44096,60360180i i i i x xs y ys==-=⋅=⨯=-=⋅=⨯=∑∑男女，4060222211()40(3 3.6)14.4,()60(4 3.6)9.6i i x z y z ==-=⨯-=-=⨯-=∑∑，∴21[9614.49.6180]3100s =+++=，所以估计总样本的平均数 3.6z =，方差23s =．22．如图①所示，长方形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -．(1)求四棱锥P ABCM -的体积的最大值；(2)若棱PB 的中点为N ，求CN 的长；(3)设P AM D --的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值．【答案】(1)24(2)52(3)1111【分析】（1）作出辅助线，得到当平面PAM ⊥平面ABCM 时，P 点到平面ABCM 的距离最大，四棱锥P ABCM -的体积取得最大值，求出1222PG AM ==，从而得到体积最大值；（2）作出辅助线，证明出四边形CNQM 为平行四边形，从而得到2215122CN MQ ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭；（3）作出辅助线，得到∠PGD 为P AM D --的平面角，即PGD θ∠=，建立空间直角坐标系，用含θ的关系式表达出平面PAM 和平面PBC 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到29cos 80609t t α=+-，结合t 的取值范围求出余弦值的最小值【详解】（1）取AM 的中点G ，连接PG ，因为PA =PM ，则PG ⊥AM ，当平面PAM ⊥平面ABCM 时，P 点到平面ABCM 的距离最大，四棱锥P ABCM -的体积取得最大值，此时PG ⊥平面ABCM ，且1222PG AM ==，底面ABCM 为梯形，面积为()1312122+⨯⨯=，则四棱锥P ABCM -的体积最大值为13223224⨯⨯=（2）取AP 中点Q ，连接NQ ，MQ ，则因为N 为PB 中点，所以NQ 为△PAB 的中位线，所以NQ ∥AB 且12NQ AB =，因为M 为CD 的中点，四边形ABCD 为矩形，所以CM ∥AB 且12CM AB =，所以CM ∥NQ 且CM =NQ ，故四边形CNQM 为平行四边形，所以2215122CN MQ ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.（3）连接DG ，因为DA =DM ，所以DG ⊥AM ，所以∠PGD 为P AM D --的平面角，即PGD θ∠=，过点D 作DZ ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DZ 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()1,0,0,0,1,0,0,2,0A M C ，过P 作PH ⊥DG 于点H ，由题意得PH ⊥平面ABCM ，设()000,,P x y z ，因为22PG =，所以()222sin ,cos ,1cos 222PH GH DH θθθ===-，所以()()002211cos 1cos 222x y θθ==-⨯=-，02sin 2z θ=所以()()1121cos ,1cos ,sin 222P θθθ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()1cos cos 121,1,0,,,sin 222AM PA θθθ⎛⎫+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PAM 的法向量为()1111,,n x y z = ，则1111101cos cos 12sin 0222x y x y z θθθ-+=⎧⎪⎨+-+-=⎪⎩，令12z =，则()1tan ,tan ,2n θθ= ，设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z =u u r ，因为()cos 1cos 321,0,0,,,sin 222CB PC θθθ⎛⎫-+==- ⎪ ⎪⎝⎭，则22220cos 1cos 32sin 0222x x y z θθθ=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩令22sin y θ=，可得：()20,2sin ,3cos n θθ=+ ，设两平面夹角为α，则()()21222212sin 2322cos 3cos 1cos cos 11cos 6cos 2tan2sin 6cos 10n n n n θθθθαθθθθθ++⋅+===⋅-++++ 2213cos 3380201201801cos cos 1133393cos 9cos 33θθθθθ+==⎛⎫⎛⎫+--++++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令11cos 3t θ=+，π0,2θ⎛∈⎤ ⎥⎝⎦，所以3,34t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以29cos 80609t t α=+-，所以当3t =时，cos α有最小值1111，所以平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值为1111【点睛】求解二面角的大小或最值，利用空间向量求解，可以将几何问题转化为代数问题，简洁明了，事半功倍.。

2021-2022学年安徽省安庆市第一中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．化简：OP OA PB BC -++=（ ）A ．PCB ．0C ．ABD ．AC【答案】D【分析】利用向量的加减法运算法则直接求解.【详解】OP OA PB BC AP PB BC AB BC AC -++=++=+=. 故选：D2．在ABC 中，1,2,60a c B ===︒，则b =（ ）A．1 B ．2 C D 【答案】D【分析】根据由余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-，代入数据即得.【详解】由余弦定理，得2222212cos 1221232b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴ b =故选：D.3．已知i 为虚数单位，复数z 满足|2i |1z -=，则||z 的最大值为（ ） A．1 B C ．2D ．3【答案】D【分析】设i(,)z x y x y =+∈R ，利用|2i |1z -=推出z 对应复平面上的点的轨迹，||z 的最大值即为轨迹上的点到原点距离的最大值.【详解】设i(,)z x y x y =+∈R ，由|2i |1z -=，1，则22(2)1x y +-=，于是(,)A x y 可看成以(0,2)为圆心，半径为1的圆上运动，||z 意为A 到(0,0)的距离，距离最大值为3，所以max ||=3z . 故选：D.4．如图正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积( )A ．22B ．1C 2D ．(212【答案】A【分析】由题意求出直观图中OB 的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．【详解】解：由题意正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图， 所以OB 2=2 所以原图形的面积为：1×2=2 故选A ．【点睛】本题考查斜二测直观图与平面图形的面积的关系，斜二测画法，考查计算能力． 5．小红同学统计了她妈妈最近6次的手机通话时间（单位：分钟），得到的数据分别为12，5，7，11，15，30，则这组数据的60%分位数是（ ） A ．12 B ．11.5C ．11D ．7【答案】A【分析】将数据排序，根据百分位数的求法求60%分位数. 【详解】将数据从小到大排序为5,7,11,12,15,30， 所以660% 3.6⨯=，故该组数据的60%分位数是12. 故选：A6．设事件A ，B 相互独立，()0.6P A =，()0.3P B =，则()P AB AB ⋃=（ ） A ．0.36 B ．0.504C ．0.54D ．0.9【答案】C【分析】根据独立事件的概率计算公式，结合题意，带值求解即可.【详解】根据题意，AB AB 与互斥，A B ，相互独立，B ，A 相互独立，AB ，AB 相互独立，故()P AB AB ⋃=()()()()()()P AB P AB P A P B P A P B +=+0.60.70.40.30.54=⨯+⨯=.故选：C.7．已知长方体1111ABCD A B C D -中14AB AA ==，3BC =，M 为1AA 的中点，N 为11C D 的中点，过1B 的平面α与DM ，1A N 都平行，则平面α截长方体所得截面的面积为（ ） A ．322 B ．311C ．422D ．511【答案】A【分析】过1B 作11//B E A N 交11D C 延长线于E ，G 为1CC 中点，连接1B G ，利用长方体性质及线面平行的判定证1//A N 面1B GE 、//DM 面1B GE ，即面1B GE 为平面α，再延长EG 交DC 于F ，连接AF ，利用线线、线面的性质确定面1AFGB 为平面α截长方体所得截面，最后延长1,AF B G 分别交BC 于一点并判断交于同一点，根据已知结合余弦定理、三角形面积公式及1134AFGB AHB S S =求截面面积即可.【详解】过1B 作11//B E A N 交11D C 延长线于E ，则11112C ED C =，若G 为1CC 中点，连接1B G ，而M 为1AA 的中点，在长方体中1//B G DM ，而111B G B E B ⋂=且11,B G B E ⊂面1B GE ，由1A N ⊄面1B GE ，则1//A N 面1B GE ，由DM ⊄面1B GE ，则//DM 面1B GE ， 所以面1B GE 即为平面α，延长EG 交DC 于F ，易知：F 为DC 中点，则1//EF C D 且1EF C D =，又11//C D B A 且11C D B A =， 故1AFEB 为平行四边形，则1//EF B A 且1EF B A =，故1,,,,A F E G B 共面， 连接AF ，即面1AFGB 为平面α截长方体所得截面，延长1,AF B G 分别交BC 于一点，而在1,ABH B BH 中,CF CG 都为中位线， 由14AB AA ==，3BC =，则1CG CFB B AB=，故1,AF B G 交BC 于同一点H ， 易知：△1AHB 为等腰三角形且1213AH B H ==142AB =，则1104329cos 25213AHB -∠==⨯，可得1sin AHB ∠=，又113315244213AFGB AHB S S ==⨯⨯⨯=故选：A【点睛】关键点点睛：利用长方体的性质及线面平行的判定确定平面α，再根据平面的基本性质找到平面α截长方体所得截面，并应用余弦定理、三角形面积公式及相似比求截面面积.8．将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 A ．12种 B ．18种C ．24种D ．36种【答案】A【详解】【思路点拨】先排第一列三个位置,再排第二列第一行上的元素,则其余元素就可以确定了.解:先排第一列,由于每列的字母互不相同,因此共有3×2×1种不同的方法;再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法,因此共有3×2×1×2=12(种)不同的方法. 二、多选题9．若复数z 满足()12i 8i z -=-，则（ ）A ．z 的实部为2B ．zC ．z 的虚部为2D ．z 在复平面内表示的点位于第四象限【答案】AB【分析】化简复数后根据实部、虚部的概念可判断选项A 、C ，求出复数的模，可判断选项B ，根据复数的几何意义可判断选项D. 【详解】因为()()()()8i 12i 8i 1015i 23i 12i 12i 12i 5z -+-+====+--+，所以z 的实部为2，z 的虚部为3，所以||z =z 在复平面内表示的点位于第一象限故A 、B 正确，C ，D 错误． 故选：AB10．已知O 是ABC 所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ） A ．若()()0AB AC AB AC +⋅-=，则ABC 为等腰三角形B ．若0OA OB OC ++=，则O 是ABC 的外心 C ．若0AB BC ⋅>，则ABC 为钝角三角形D ．若0OA BC ⋅=，0OB AC ⋅=，则0OC AB ⋅= 【答案】ACD【分析】由数量积的运算判断A ，根据向量的夹角公式判断C ，由垂直的向量表示判断D ，根据向量线性运算判断B ．【详解】由()()0AB AC AB AC +⋅-=，得22AB AC =，即AB AC =，故A 对； 由0OA OB OC ++=，取BC 中点D ，连接OD ，则2OB OC OD OA +==-， 所以,OA OD 共线，且O 在线段AD 上，21OA OD =，即O 为重心，故B 错；由0AB BC ⋅>，得B π-为锐角，B 为钝角故C 对；由0OA BC ⋅=，0OB AC ⋅=，得,OA BC OB AC ⊥⊥，知O 为ABC 的垂心，所以0OC AB ⋅=，故D 对.故选：ACD.11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，在轴截面ABCD 中，2cm AB AD BC ===，且2CD AB =，则（ ）A ．该圆台的高为1cmB ．该圆台轴截面面积为233cmC 373πD ．一只小虫从点C 沿着该圆台的侧面爬行到AD 的中点，所经过的最短路程为5cm 【答案】BCD【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A 选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由圆台体积公式即可判断C 选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D 选项.【详解】如图，作BE CD ⊥交CD 于E ，易得12CD ABCE -==，则22213BE ，则圆台的高为3cm ，A 错误；圆台的轴截面面积为()2133c 4m 232⨯+⨯=，B 正确；圆台的体积为()3173cm 33443πππππ⨯⨯++⋅=，C 正确； 将圆台一半侧面展开，如下图中ABCD ，设P 为AD 中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形COD ，由1CE EO =可得2BC OB ==，则4OC =，4242COD ππ∠==，又32ADOP OA =+=，则22435CP =+=，即点C 到AD 的中点所经过的最短路程为5cm ，D 正确. 故选：BCD.12．如图，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻转过程中，下列命题正确的是（ ）A ．MB 是定值 B ．点M 在圆上运动C ．一定存在某个位置，使DE ⊥A 1CD ．一定存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE 【答案】ABD【分析】取CD 的中点N ，先证平面MBN ∥平面A 1DE ，再得MB ∥平面A 1DE ；根据余弦定理计算BM 为定值；再根据BM 为定值，可得点M 在圆上运动；若DE ⊥A 1C ，根据条件推出DE ⊥A 1E ,与题意矛盾【详解】解：取DC 的中点N ，连接MN ，NB ，则MN ∥A 1D ，NB ∥DE ， 因为MN ∩NB ＝N ，A 1D ∩DE ＝D ， 所以平面MNB ∥平面A 1DE ， 因为MB ⊂平面MNB ，所以MB ∥平面A 1DE ，D 正确；∠A 1DE ＝∠MNB ，MN ＝12A 1D ＝定值，NB ＝DE ＝定值，根据余弦定理得，MB 2＝MN 2＋NB 2－2MN ·NB ·cos ∠MNB ，所以MB 是定值，A 正确； 因为B 是定点，所以M 在以B 为圆心，MB 为半径的圆上，B 正确；在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，所以DE ⊥EC ，若DE ⊥A 1C ，可得DE ⊥平面A 1CE ,即得DE ⊥A 1E ,与∠DEA 1为45︒矛盾，∴不存在某个位置，使DE ⊥A 1C ，C 不正确. 故选： ABD. 三、填空题13．一栋楼有6个单元,小王和小李均住在此楼内,他们住在同一单元的概率为_____. 【答案】16【详解】两人所有的居住方式有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36种,而住同一单元的只有6种:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),故所求概率为61366= 故答案为1614．在正四棱锥P ABCD -中，4AB =，26PA =P ABCD -外接球的体积是______. 【答案】36π【分析】画出图形，作PO '⊥平面ABCD ，垂足为O '，可得正四棱锥P ABCD -外接球的球心O 在PO '上，设四棱锥P ABCD -外接球的半径为R ，然后利用勾股定理求解即可.【详解】连接AC BD ，交于O '点，连接PO '，所以PO '⊥底面ABCD ， 从而正四棱锥P ABCD -外接球的球心O 在PO '上，连接OD ，正方形ABCD 的边长为4， 可得22O D '=26PA PD ==224O P PD O D -'='，设四棱锥P ABCD -外接球的半径为R ，则()2222R O D O O O P O O =+=-''''， 即()22284R O O O O =+='-'，解得1'=O O ， 所以3R =，故四棱锥P ABCD -外接球的体积是34π336π3⨯=. 故答案为：36π.15．安排5名志愿者完成,,A B C 三项工作，其中A 项工作需3人，,B C 两项工作都只需一人，则不同的安排方式共有______种. 【答案】20【分析】先从5人选3人一组参加A 项工作，然后其他两人完成,B C 即可.【详解】A 项工作安排3人有35C 10=，然后安排,B C 有22A 2=，则所安排的方式共10220⨯=种. 故答案为：20.16．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ︒∠=，AB=AD 1=.若点E 为DC 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为______.【答案】2116【分析】建立直角坐标系，得出(1,)AE t =-，33,22BE t ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，利用向量的数量积公式即可得出23322AE BE t t ⋅=-+，结合[0,3]t ∈，得出AE BE ⋅的最小值. 【详解】因为AD CD ⊥，所以以点D 为原点，DA 为x 轴正方向，DC 为y 轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，因为1AD AB ==，所以(1,0)A ，又因为120DAB ︒∠=，所以直线AB 3332B ⎛ ⎝⎭，因为AB BC ⊥，所以直线BC 的斜率为3所以直线BC 的方程为3332y x ⎫=-⎪⎝⎭， 令0x =，解得3y =3)C ， 设点E 坐标为(0,)E t ，则3]t ∈，则(1,)AE t =-，33,2BE t ⎛=- ⎝⎭， 所以23333122AE BE t t t ⎛⎛⎫⋅=-⨯-+⋅=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭又因为t ∈，所以当t =AE BE ⋅取得最小值为2116．【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及直线与方程． 四、解答题17．已知复数()i ,R,0z a b a b ab =+∈<满足z =2z 为纯虚数． (1)求复数z ；(2)设z ，2z ，2z z -在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． 【答案】(1)1i z =-或1i z =-+； (2)1.【分析】（1）由复数模的意义、纯虚数的意义列式计算作答.（2）利用（1）的结论，求出点A ，B ，C 的坐标，求出三角形面积作答. 【详解】(1)设i z a b =+（a ，R b ∈），则2222i z a b ab =-+，依题意，222a b +=且220a b -=，而0ab <，解得a =1，b =-1或a =-1，b =1， 所以1i z =-或1i z =-+.(2)当1i z =-时，22i z =-，21i z z -=+，则()1,1A -，()0,2B -，()1,1C ，2AC =，点B 到边AC 距离为1，则1ABC S =△，当1i z =-+时，22i z =-，213i z z -=-+，则()1,1A -，()0,2B -，()1,3C -，2AC =，点B 到边AC 距离为1，1ABC S =△，所以△ABC 的面积是1.18．在ABC 中，内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，若向量(1,sin )m C =，向量(sin(),1)n B A =-，且3sin 2m n A ⋅=，π3C =(1)求b a(2)若边c =ABC 的周长 【答案】(1)3或1 2(2)4【分析】（1）由已知条件分类讨论即可求得ba的值；（2）分类讨论求得a b 、的值，即可求得ABC 的周长.【详解】(1)sin()sin sin cos cos sin sin()2sin cos m n B A C B A B A B A B A ⋅=-+=-++= 则2sin cos 3sin26sin cos B A A A A ==，即()3sin sin cos 0A B A -=当cos 0A =时，πππ,,236A C B ===，则πsin sin 16πsin 2sin 2b B a A === 当cos 0A ≠时，3sin sin 0A B -=，即sin 3sin B A =，则sin 3sin b B a A == (2)①当πππ,,236A C B ===时，由7c =，可得213b =，2213a = 则ABC 的周长为22121721733a+b+c =++=+； ②当ππ,32C A =≠，3b a =时，由7c =， 可得()()222π7323cos 3a a a a =+-⋅，整理得21a =，则1a =，3b = 则ABC 的周长为13747a+b+c =++=+.19．第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，组委会为普及冬奥知识，面向全市征召a 名志愿者成立冬奥知识宣传小组，现把该小组成员按年龄分成[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45]这5组，得到的频率分布直方图如图所示，已知年龄在[25,30)内的人数为35．(1)求m 和a 的值，并估计该冬奥知识宣传小组成员年龄的中位数（中位数精确到0.1）；(2)若用分层抽样的方法从年龄在[30,35),[35,40),[40,45]内的志愿者中抽取6名参加某社区的宣传活动，再从这6名志愿者中随机抽取2名志愿者去该社区的一所高中组织一次冬奥知识宣讲，求这2名志愿者中至少有1人年龄在[35,40)内的概率．【答案】(1)0.07m =，100a =，31.7(2)35【分析】（1）先计算各组的频率，再根据频率和为1计算出m 的值，然后再根据[25,30)段的人数和对应的频率计算出总人数；利用面积法求出中位数；（2）先计算出年龄在[30,35),[35,40),[40,45]内的志愿者人数；再求从这6名志愿者中随机抽取2名志愿者的基本事件总数和至少有一名志愿者年龄在[35,40)内的事件数，代入古典概型概率计算公式，可得答案【详解】(1)由频率分布直方图知：(0.010.060.040.02)51m ++++⨯=，解得0.07m = … 因为年龄在[25,30)内的人数为35，所以35(0.075)100a =÷⨯=设冬奥知识宣传小组成员年龄的中位数的估计值为x ，则[30,35)x ∈内，且满足0.0150.075(30)0.060.5x ⨯+⨯+-⨯=，解得23131.73x =≈ (2)由频率分布直方图知：小组成员年龄在[30,35),[35,40),[40,45]的人数之比为3:2:1，故抽取的6名志愿者中，在区间[30,35),[35,40),[40,45]中分别抽取了3人，2人，1人记[30,35)中的3名志愿者为123,,A A A ，[35,40)中的2名志愿者为12,B B ，[40,45]中的1名志愿者为C ，则从6人中再随机抽取2人的所有可能有121311121(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A C2321222313231212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A C A B A B A C B B B C B C ； 共15种，至少有1人年龄在[35,40)内的情形有9种，故所求概率为93155P == 20．如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，EF BC ∥，AD BC ⊥，EH BC ⊥，FG BC ⊥，垂足分别是D ，H ，G ，将△ABC 绕AD 所在直线旋转180°．(1)由图中阴影部分旋转形成的几何体的体积记为V ，当E ，F 分别为边AB ，AC 的中点时，求V ；(2)由内部空白部分旋转形成的几何体侧面积记为S ，当E ，F 分别在什么位置时，S 最大？【答案】53(2)E ，F 分别为AB ，AC 的中点时S 最大【分析】（1）依题意可得阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，根据圆锥、圆柱的体积公式计算可得；（2）设DG x =，()0,2x ∈，表示出FG ，则旋转图的侧面积2S DG FG π=⨯⨯，再利用基本不等式计算可得；【详解】(1)解：由圆锥与圆柱的定义可知，将ABC 绕AD 旋转180°，阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为23，圆柱的底面半径为1，高为3．因此阴影部分形成的几何体的体积为V V V =-圆锥圆柱1534231333πππ=⨯⨯⨯-⨯⨯=． (2)解：设DG x =，()0,2x ∈，则2CG x =-，()32FG x =-， 此时()223223S DG FG x x πππ=⨯⨯=-≤，． 当且仅当1x =时等号成立，即E ，F 分别为AB ，AC 的中点时S 最大．21．如图，在直角梯形OABC 中，//,,22,OA CB OA OC OA BC OC M ⊥==为AB 上靠近B 的三等分点，OM 交AC 于,D P 为线段BC 上的一个动点．（1）用OA 和OC 表示OM ；（2）求OD DM； （3）设OB CA OP λμ=+，求λμ⋅的取值范围．【答案】(1)2233OM OA OC =+；(2)3；(3)3[0,]4. 【分析】(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；(2)选定一组基向量，OD 将由这一组基向量的唯一表示出而得解；(3)由动点P 设出1(0)2CP xOA x =≤≤，结合平面向量基本定理，λμ⋅建立为x 的函数求解.【详解】(1)依题意12CB OA =，23AM AB =， 22221221()()33333333AM OB OA OC CB OA OC OA OA OC OA ∴=-=+-=+-=-，2122()3333OM OA AM OA OC OA OA OC ∴=+=+-=+； (2)因OM 交AC 于D ，由(1)知2222()3333t t OD tOM t OA OC OD OA OC ==+==+， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，22133t t +=，则3t 4=，3OD DM =，||3||OD DM =； (3)由已知12OB OC CB OC OA =+=+， 因P 是线段BC 上动点，则令1(0)2CP xOA x =≤≤， ()()()()OB CA OP OA OC OC CP x OA OC λμλμλμμλ=+=-++=++-，又,OC OA 不共线，则有1131222x x λμμλμλμ=--=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨=+=⎪⎪+⎩⎩， 1330111222x x μ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤， 211(1)()24λμμμμ⋅=-=--在3[1,]2μ∈上递增，所以min max 331,()0,,()24μλμμλμ=⋅==⋅=， 故λμ⋅的取值范围是3[0,]4. 【点睛】由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，PAD △是正三角形，E 为线段AD 的中点，()0PF FC λλ=>.（1）求证：平面PBC ⊥平面PBE ；（2）是否存在点F ，使得58B PAE D PFB V V --=若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.（3）若平面PAD ⊥平面ABCD ，在平面PBE 内确定一点H ，使CH FH +的值最小，并求此时BH BP的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，4λ=；（3）点H 是使CH FH +的值最小时，在平面PBE 上的一点，BH 2BP 3=. 【分析】（1）先证明AD ⊥平面PBE .，然后得BC ⊥平面PBE ，再得面面垂直；（2）利用棱锥体积之间的关系111222B PAE P ADB P BCD F BCD V V V V λ----+===，D PFB P BDC F BCC F BCD V V V V λ----=-=，可得λ的关系，求得λ；（3）延长CB 到C '，使得BC BC '=，由（1）知CB ⊥平面PBE ，得C '是点C 关于面PBE 的对称点，在平面PBC 中，过点C '作C F PC '⊥，垂足为F ，交PB 于H ，则点H 是使CH FH +的值最小时，在平面PBE 上的一点，然后计算出长度即得．【详解】解：（1）证明：因为PAD △是正三角形，E 为线段AD 的中点，所以PE AD ⊥.因为ABCD 是菱形，所以AD AB =.因为60BAD ∠=︒，所以ABD △是正三角形，所以BE AD ⊥，而BE PE E ⋂=，,BE PE ⊂平面PBE ，所以AD ⊥平面PBE .又//AD BC ，所以BC ⊥平面PBE .因为BC ⊂平面PBC所以平面PBC ⊥平面PBE .（2）由PF FC λ=，知()1PC PF FC FC λ=+=+. 所以，111222B PAE P ADB P BCD F BCD V V V V λ----+===， D PFB P BDC F BCC F BCD V V V V λ----=-=. 因此，58B PAE D PFB V V --=的充要条件是1528λλ+=， 所以，4λ=.即存在满足()0PF FC λλ=>的点F ，使得58B PAE D PFB V V --=，此时4λ=. （3）延长CB 到C '，使得BC BC '=，由（1）知CB ⊥平面PBE ，PB ⊂平面PBE ，CB PB ⊥，则C '是点C 关于面PBE 的对称点，.在平面PBC 中，过点C '作C F PC '⊥，垂足为F ，交PB 于H ，则点H 是使CH FH +的值最小时，在平面PBE 上的一点设2BC a =，则3PE BE a ==，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PE AD ⊥，PE ⊂平面PAD ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BE ⊂平面ABCD ，所以PE BE ⊥，所以6PB a =，所以2tan tan 6BC BC H BPC PB '∠=∠==， 所以4tan 6BH BC BC H a ''=∠=， 所以BH 2BP 3=．。

武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。

上海市高一数学下学期期末考试试卷考试范围： 必修二 ；总分：150分；考试时间：120分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 4． 测试范围：高二下+高三全部内容 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与β角均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB ，射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0)C -．若6BOC π∠=，则cos()βα-的值是_________．2．化简sin sin()tan(3)23cos sin()2παπαπαπαα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭________． 3．复数112z i =-+，21z i =-，332z i =-，它们所对应的点分别为A 、B 、C ，若(),OC xOA yOB x y R =+∈，则yx=________. 4．设z ＝1－i ，则复数22()z z+·z ＝________． 5．已知向量()()1,3,3,3a b ==-，则a 与b 的夹角大小为___________.6．已知向量()()()2,1,0,1,4,3a b c ===，若λ为实数，且()a b c λ+⊥，则λ=___________.7．若函数()cos f x x =,[]2π,2πx ∈-,则不等式()0xf x >的解集为______. 8．若1sin 33πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.9．已知1sin 64x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25sin sin 63x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______.10．已知函数()3sin 4cos f x x x =+，[]12,0,x x ∈π，则()()12f x f x -的最大值是________． 11．若函数()2sin 21()6f x x a a R π⎛⎫=++-∈ ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点12,x x ，则12x x a +-的取值范围是______________.12．已知将函数()sin()(06,)22f x x ππωθωθ=+<<-<<的图象向右平移3π个单位长度得到画()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ωθ⋅=________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．把复数z 1与z 2对应的向量OAOB ，分别按逆时针方向旋转4π和53π后，重合于向量OM 且模相等，已知21z =-，则复数1z 的代数式和它的辐角主值分别是（ ）A ．，34π B ．3,4πC ．,4πD ．,4π14．已知两非零向量b 与a 的夹角为120︒，且2243a a b =-=，，则b =（ ） A ．8B ．6C ．4D ．215．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论正确的是（ ） A ．()f x 是周期函数B ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在[,]-ππ有4个零点D ．()f x 的值域为[2,2]-16．在ABC 中，已知2b =，45B =︒，c =C 为（ ） A ．60︒B ．150︒C ．60︒或120︒D ．120︒三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．若不等式m 2－(m 2－3m )i <(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值.18．已知向量33cos,sin ,cos ,sin 2222x x a x x b ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求： （1）a b ⋅及||a b +；（2）若()2||f x a b a b λ=⋅-+的最小值为32-，求实数λ的值．19．已知函数21())sin ()(02)632f x x x ππωωω=+++-<<，且()04f π=．（1）求()f x 的解析式;（2）先将函数()y f x =图象上所有的点向右平移6π个单位长度，再将所得各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到函数()y g x =的图象．若()g x 在区间,44ππαα⎛⎫-+⎪⎝⎭有且只有一个0x ，使得0()g x 取得最大值，求α的取值范围．20．在①sinsin sin A b cB C b a+=--；②c a =③2S CB =⋅，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，C ，S 为ABC 的面积，若__________（填条件序号） （1）求角C 的大小；（2）若边长2c =，求ABC 的周长的最大值．21．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知222(2sin )4sin sin A B C B =-． （1）求角C 的大小；（2）若1,b c ==，求cos()B C -的值．高一数学下学期期末答案解析考试范围： 必修二 ；总分：150分；考试时间：120分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：5． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．6． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．7． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 8． 测试范围：高二下+高三全部内容 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

福建师大附中2023-2024学年第二学期期末考试高一数学试卷时间：120分钟满分：150分试卷说明：（1）本卷共四大题，20小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷．（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 为虚数单位，复数满足，则复数的虚部是（ ）A ．B ．C ．3iD ．32．某汽车生产厂家用比例分配的分层随机抽样方法从A ，B ，C 三个城市中抽取若干汽车进行调查，各城市的汽车销售总数和抽取数量如右表所示，则样本容量为（ ）城市销售总数抽取数量A 420m B 28020C 700nA ．60B ．80C ．100D ．1203．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A．B ．C ．D ．4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则5．如图，在三棱锥中，分别是，的中点，则异面直线所成角的余弦值为（）z ()i 142i z +=+z i-1-16131223,m n ,αβ,,m n m n αβ⊥⊥∥αβ⊥,m m αβ⊥∥αβ⊥,,m n m n αβ⊥⊂⊂αβ⊥,,m n m n αβ⊥⊂⊥αβ⊥A BCD -6,4,,AB AC BD CD AD BC M N ======AD BC ,AN CMA．B ．C ．D ．6．有一组样本数据：，其平均数为2024．由这组数据得到一组新的样本数据：，那么这两组数据一定有相同的（ ）A ．极差B ．中位数C ．方差D ．众数7．已知正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，体积为7，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为（ ）ABCD ．8．已知三棱锥中，平面，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，三棱锥，过点作于，过作于，则三棱锥外接球的体积为（）A ．BCD ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

2021-2022学年上海市七宝中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．设z C ∈，则0z z +=是z 为纯虚数的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】B【分析】根据共轭复数的特征，复数的概念，以及充分条件与必要条件的判断方法，即可得出结果. 【详解】对于复数z ，若0z z +=，则z 不一定为纯虚数，可以为0； 反之，若z 为纯虚数，则0z z +=，所以0z z +=是z 为纯虚数的必要非充分条件. 故选：B.2．一个棱锥所有的棱长都相等，则该棱锥一定不是（ ） A ．正三棱锥 B ．正四棱锥 C ．正五棱锥 D ．正六棱锥【答案】D【解析】根据正六变形的中心到底面顶点的距离等于边长判断. 【详解】因为正六变形的中心到底面顶点的距离等于边长， 所以正六棱锥的侧棱必大于底面棱长， 故选：D.3．非零复数1z 、2z 在复平面内分别对应向量1OZ 、2OZ （O 为坐标原点），若22120z z +=，则（ ） A ．O 、1Z 、2Z 三点共线 B ．12OZ Z 是直角三角形 C ．12OZ Z 是等边三角形 D ．以上都不对【答案】B【分析】设()()12i 0,i 0z a b ab z c d cd =+≠=+≠，根据22120z z +=，可得12i z z =±⋅，从而可将复数2z 用,a b 表示，再判断各个选项即可.【详解】解：设()()12i 0,i 0z a b ab z c d cd =+≠=+≠， 则()()21,,,Z a b Z c d ，故()()12,,,OZ a b OZ c d ==，因为22120z z +=，所以()222122i z z z =⋅=-，所以()12i i z z d c =±⋅=±-+，所以d a c b =-⎧⎨=⎩或d a c b=⎧⎨=-⎩，故()2,OZ b a =-或()2,OZ b a =-， 当()2,OZ b a =-时，120OZ OZ ⋅=， 当()2,OZ b a =-时，120OZ OZ ⋅=，所以12OZ OZ ⊥，所以12OZ Z 是直角三角形， 故O 、1Z 、2Z 三点不共线且12OZ Z 不是等边三角形. 故选：B.4．已知四面体ABCD 的棱AB平面α，且3CD =，其余的棱长均为2，有一束平行光线垂直于平面α，若四面体ABCD 绕AB 所在直线旋转，且始终在平面α的上方，则它在平面α内影子面积的最小值为（ ）A 33B ．112C 3D ．32【答案】C【分析】取AB 的中点M ，连接,MD MC ，证明AB ⊥平面MCD ，分别求出点M 到CD 的距离，点C 到MD 的距离，点D 到MC 的距离，从而可得出答案. 【详解】解：取AB 的中点M ，连接,MD MC ， 因为2AB BC AC BD AD =====，所以,MD AB MC AB ⊥⊥，且3MC MD == 又,,MD MC M MC MD ⋂=⊂平面MCD ， 所以AB ⊥平面MCD ，又CD ⊂平面MCD ，所以AB CD ⊥，设点M 到CD 的距离为1d ，点C 到MD 的距离为2d ，点D 到MC 的距离为3d ，则193342d =-=， 由123111222CD d MD d MC d ⋅=⋅=⋅，得2332d d ==，因为3322<， 所以影子面积的最小值为1332222⨯⨯=.故选：C.二、填空题5．三条互相平行的直线最多可确定____个平面． 【答案】3【分析】讨论三条直线的位置关系即可得到答案.【详解】解：若三条直线在同一个平面内，则此时三条直线只能确定一个平面， 若三条直线不在同一个平面内，则此时三条直线能确定三个平面， 所以三条互相平行的直线最多可确定3个平面. 故答案为：3.6．若复数z 满足(34)43i z i +=-，则z 的虚部为___.【答案】45-【分析】先根据复数的模以及除法法则化复数为代数形式，即得结果. 【详解】53434(34)4334555i i z i z i i -+=-∴===-+ 因此z 的虚部为45-.【点睛】本题考查复数的虚部、模以及除法法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为______．【分析】利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【详解】圆锥的侧面展开恰为一个半径为4的半圆，所以圆锥的底面周长为：4π，底面半径为：2，圆锥的高为：212.3π⋅⨯. 【点睛】本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型．8．将复数化为三角形式：11i 22-=______．7π7πcos isin 44⎫+⎪⎝⎭【分析】根据复数的三角表示的定义计算即可.【详解】解：复数11i 22-中，r ==，设θ为复数的辐角主值，[0,2π)θ∈又7π7πcos44==所以117π7πi cos isin 2244⎫-=+⎪⎝⎭.故答案为：7π7πcos isin 244⎫+⎪⎝⎭. 9．若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，直线1AC 与底面ABCD 所成角的大小是60︒，则11A C 到底面ABCD 的距离为______．【分析】根据正四棱柱的几何性质由直线1AC 与底面ABCD 所成角的大小是60︒，确定线段1C C 的长，则则11A C 到底面ABCD 的距离即可求. 【详解】解：如图，连接AC正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，则1AD DC ==，所以22AC AD == 且1C C ⊥底面ABCD ，则直线1AC 与底面ABCD 所成角即160C AC ∠=︒ 则1tan60236C C AC =⋅︒=⨯=则在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，11A C 到底面ABCD 的距离为即1C 到到底面ABCD 的距离16C C =.故答案为：6.10．如下图所示，梯形1111D C B A 是水平放置的平面图形ABCD 的直观图（斜二测画法），若11111111112//,//,43A D O y ABCD A B C D ''==，111A D =，则四边形ABCD 的面积是_____．【答案】10【分析】根据直观图画法的规则，确定原平面图形四边形ABCD 的形状，求出底边边长以及高，然后求出面积．【详解】根据直观图画法的规则， 直观图中11A D 平行于y 轴，111A D =， 所以原图中//AD Oy ，从而得出AD ⊥DC ，且1122AD A D ==， 直观图中1111//A B C D ，1111243A B C D ==，所以原图中//AB CD ，243AB CD ==，即四边形ABCD 上底和下底边长分别为4，6，高为2，故其面积()1462102S =⨯+⨯=.故答案为：10.11．正四棱锥的相邻两侧面所成二面角的大小的取值范围是_______． 【答案】90,1()80︒︒【分析】采用极限思想,让顶点无限接近底面,让顶点无限远离底面,推出范围即可.【详解】假设顶点无限接近底面的中心,那么这四个侧面就趋向一个平面，那两个相邻侧面所成的二面角就无限接近180︒；假设顶点无限远离底面中心,那么四个侧面都垂直于底面,底面两边的夹角就是两个侧面所成二面角的平面角,大小为90︒,因此正四棱锥的两个侧面所成二面角的大小范围是90,1()80︒︒. 故答案为：90,1()80︒︒12．已知关于x 的方程2250(R)x px p -+=∈的两根为1x 、2x .若122x x -=，则实数p 的值是______．【答案】226±【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得1212,25x x p x x +==，则由()21212124x x x x x x -=+-p 的值.【详解】解：关于x 的方程2250x px -+=的两根为1x 、2x ， 所以224251000p p ∆=-⨯=-≥，1212,25x x p x x +==， 所以()2212121241002x x x x x x p -=+-=-=所以104226p ==±故答案为：226±13．已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -各棱长均为2，如果一只小蚂蚁从A 沿表面移动到1D 时，其最短路程为______．【答案】2523+##2235+【分析】根据可能走的路径，将所给的正六棱柱展开，利用平面几何知识求解比较. 【详解】解：将所给的正六棱柱下图（2）表面按图（1）展开， 11144222232A E ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，22162210AD '=+=，()2222111122322523AD AE E D =+=++=+，11AD AD '> ，故从A 沿正侧面和上表面到1D 的路程最短为2523+.故答案为：2523+.14．有以下4个命题：（1）底面是正多边形的棱锥是正棱锥，（2）侧棱和底面所成的角都相等，侧面和底面所成锐二面角也都相等的三棱锥是正三棱锥，（3）底面是正方形，侧面都是等腰三角形的棱锥是正四棱锥，（4）四个面都是全等三角形的四面体是正四面体．其中正确的命题有_______．（写出所有正确的序号） 【答案】（2）【分析】根据正棱锥的定义及结构特征逐一判断即可.【详解】解：（1）中，底面是正多边形，若顶点在底面的射影不落在底面的中心，此时的棱锥不是正棱锥，所以该命题错误;（2）中，侧棱和底面所成的角都相等，则顶点在底面的射影落在底面的外心，若侧面和底面所成锐二面角都相等，则顶点在底面的射影落在底面三角形的内心，所以该底面三角形的外心和内心重合，所以底面三角形为正三角形，故该棱锥为正三棱锥，所以该命题正确;（3）中，若当一条侧棱和底面边长相等时，另外三条侧棱相等，此时满足侧面都是等腰三角形，但该四棱锥不是正四棱锥,所以该命题错误;（4）中，当四面体有一组对棱相等，另外四条棱长相等时，四个面是全等三角形，但该四面体不是正四面体，所以该命题错误. 故答案为：（2）.15．在ABC 中，4BC BD =，E 为AD 的中点，过点E 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ．设AB mAM =，AC nAN =，复数i(,R)z m n m n =+∈，则||z 取到的最小值为__．【答案】4105##4105 【分析】先利用平面向量基本定理及M 、E 、N 三点共线，判断出31=188m n +，对22=z m n +消去n 后利用二次函数判断出||z 的最小值.【详解】在ABC 中，因为4BC BD =，所以()11314444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+.又AB mAM =，AC nAN =，所以31=44AD mAM nAN +.因为E 为AD 的中点，所以131==288AE AD mAM nAN +. 因为M 、E 、N 三点共线，所以31=188m n +，即83n m =-，复数i(,R)z m n m n =+∈，所以()22222=83104864z m n m m m m +=+--+令2212321048641055y m m m ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，故当125m =，z 324105=41016．,a b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与,a b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角；②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60︒．其中正确的是__________(填写所有正确结论的编号) 【答案】②③【分析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，如下图，设CD 为a 直线，CE 为b 直线，不妨设1AC CD CE ===，利用向量法求解判断即可【详解】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，如下图，设CD 为a 直线，CE 为b 直线，不妨设1AC CD CE ===则()1,0,0CD =，()0,1,0CE =，()0,0,1A ，依题意可设(),,0B x y ， 等腰直角三角形ABC 中，,AC BC AC BC =⊥, 则点B ∈平面CDE即点B 在平面CDE 内的轨迹在以C 为圆心，1为半径的圆周上，即有221x y +=，(),,1AB x y =-，设直线AB 与a 成θ角，直线AB 与b 成ϕ角则有cos cos ,,cos cos ,22x y CD AB CE AB θϕ====当直线AB 与a 成60︒1,22x=得到2x =由221x y +=，可得22y =1cos 2ϕ=，所以AB 与b 成60︒角，故②正确; ①不正确.由cos cos ,2xCD AB θ==,又1x ≤，故2cos θ⎡∈⎢⎣⎦，所以,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 所以所以③正确，④错误综上可知选②③． 故答案为：②③．三、解答题17．给定不共面的4点，作过其中3个点的平面，所有4个这样的平面围成的几何体称为四面体（如图所示），预先给定的4个点称为四面体的顶点，2个顶点的连线称为四面体的棱，3个顶点所确定的三角形称为四面体的面．求证：四面体中任何一对不共顶点的棱所在的直线一定是异面直线．(1)请你用异面直线判定定理证明该结论； (2)请你用反证法证明该结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）根据异面直线的判定定理说明即可；（2）假设直线,AC BD 是共面于平面α，则,,,A B C D 四点共面，说明其与已知矛盾即可，即可得证. 【详解】（1）证明：因为A ∈平面ABD ，C ∉平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，A ∉直线BD ， 所以直线AC 与BD 是异面直线，同理AB 与CD ，AD 与BC 也是异面直线，所以四面体中任何一对不共顶点的棱所在的直线一定是异面直线； （2）证明：假设直线,AC BD 是共面于平面α，即,AC BD αα⊂⊂， 则,,,A C B D αααα∈∈∈∈，,,,A B C D 四点共面与已知四点不共面矛盾， 所以假设错误，即直线,AC BD 一定是异面直线， 同理AB 与CD ，AD 与BC 也是异面直线，所以四面体中任何一对不共顶点的棱所在的直线一定是异面直线.18．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥面ABCD ，12AB AA ==(1)证明：1A C BD ⊥；(2)求直线AC 与平面11BB D D 所成的角θ的大小.【答案】(1)证明见解析 (2)4π【分析】（1）以O 为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得向量坐标，利用空间向量数量积证得1AC BD ⊥，11AC BB ⊥，然后利用线面垂直判定定理证得结论.（2）求AC 、平面11BB D D 的一个法向量，由线面角得到向量方法可得答案.【详解】（1）∵OA ､OB ､1OA 两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系， ∵12AB AA ==∴11OA OB OA ===，∴()100A ，，，()010，，B ，()100，，-C ，()010D -，，，()1001，，A ， 由11AB A B =易得()1111B -，，， ∴()1101，，=--AC ，()020，，=-BD ，()1101，，=-BB ， ∴10AC BD ⋅=，110AC BB ⋅=，∴1AC BD ⊥，11AC BB ⊥，∴1AC BD ⊥，11AC BB ⊥，又1BD BB B ⋂=，且BD ､1BB ⊂平面11BB D D ，∴1AC ⊥平面11BB D D .∵BD ⊂平面11BB D D ，∴1A C BD ⊥.（2）由（1），()2,0,0AC =-， ()020，，=-BD ，()1101，，=-BB ，设平面11BB D D 的一个法向量为()n x y z =，，，所以100BD n BB n ⎧⊥=⎪⎨⊥=⎪⎩，即200y x z -=⎧⎨-+=⎩，令1x =，得1,0z y ==， 所以()101，，=n ，设直线AC 与平面11BB D D 所成的角0,2πθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 则22sin cos ,222n ACn AC n AC θ⋅====⋅， 因为0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，所以4πθ=， 所以直线AC 与平面11BB D D 所成的角为4π.19．如图，1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体，P 为面对角线1AD 上的动点（不包括端点），PM ⊥平面ABCD 交AD 于点M ，MN BD ⊥于N ．(1)设AP x =，将PN 长表示为x 的函数()f x ，并求此函数的值域；(2)当PN 最小时，求异面直线PN 与11A C 所成角的大小．【答案】(1)()2321433f x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭(02)x <<；值域为3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ (2)3【分析】（1）设(0AP x x =<<，利用平行线解线段成比例求得AM PM =，得到1MD x =，进一步求得MN ，再由勾股定理列式求解()f x ，结合二次函数求值域； （2）由（1）当x =时，PN最小，此时PN //MN AC ，又11//AC AC ，PNM ∠为异面直线PN 与11A C 所成角的平面角，通过解直角三角形PMN 得答案．【详解】（1）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，∴1AD =设(0AP x x =<<，因为PM ⊥平面ABCD ，故1PM DD ，则1APM AD D ~，故1AM PM AD DD ==，得AM PM =，故1MD =，同理得12MN x =-，()PN f x ∴===(0x <<.故当3x =时，()f xx ()1f x =， ∴函数()f x的值域为⎫⎪⎣⎭；（2）当x =PN最小，此时PN = 在底面ABCD 中，MN BD ⊥，AC BD ⊥，//MN AC ∴，又11//AC AC ，PNM ∴∠为异面直线PN 与11A C 所成角的角，在PMN 中，PMN ∠为直角，1sin PM PNM PN ∠===PNM ∴∠= ∴异面直线PN 与11A C所成角的大小为 20．对于任意的复数(,)z x yi x y R =+∈，定义运算P 为2()(cos sin )P z x y i y ππ=+．（1）设集合A ={|(),||1,Re ,Im P z z z z ωω=≤均为整数}，用列举法写出集合A ；（2）若2()=+∈z yi y R ，()P z 为纯虚数，求||z 的最小值；（3）问：直线:9=-L y x 上是否存在横坐标、纵坐标都为整数的点，使该点(,)x y 对应的复数z x yi =+经运算P 后，()P z 对应的点也在直线L 上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．【答案】（1）{0,1}A =；（2）172；（3）存在，(3,6)-或(3,12)-- 【分析】（1）根据题意得到0,1,,,1=--z i i ，代入计算得到答案.（2）根据计算法则得到1()2=+∈y k k Z ，代入计算复数模，根据二次函数性质得到最值. （3）假设存在这样的点(,9)-x x ，计算得到2()[cos(9)sin(9)]P z x x i x ππ=-+-，讨论x 为奇数和x 为偶数两种情况，计算得到答案.【详解】（1）||1,Re ,Im z z z ≤均为整数，则0,1,,,1=--z i i ，(0)0P =，()11p =，()0p i -=，()0p i =，()11p -=，故{0,1}A =.（2）()4(cos sin )P z y i y ππ=+，∵()P z 是纯虚数，∴cos 0=y π且sin 0≠y π，∴1()2=+∈y k k Z ，∴21||42⎛⎫=++ ⎪⎝⎭z k ，0k =或1-时，||z 的最小值为172. （3）假设存在这样的点(,9)-x x ，设该点对应的复数为z ，则2()[cos(9)sin(9)]P z x x i x ππ=-+-，若x 为奇数，则2()=P z x ，∴209=-x ，3x =±；若x 为偶数，则2()=-P z x ，∴209=--x ，无解．综上，存在这样的点，坐标为(3,6)-或(3,12)--.【点睛】本题考查了复数运算的新定义，复数的模，复数对应的点，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．圆锥的轴截面为等腰Rt SAB ，Q 为底面圆周上一点．(1)若QB 的中点为C ，OH SC ⊥，求证：OH ⊥平面SQB ；(2)如果60AOQ ∠=︒，3QB =(3)如果二面角A SB Q --的大小为arctan(22)，求AOQ ∠的大小．【答案】(1)证明见解析(2)42π (3)45AOQ ∠=︒【分析】（1）连接AQ ，由三角形中位线定理可得//OC AQ ，由圆周角定理我们可得OC BQ ⊥，由圆锥的几何特征，可得SO BQ ⊥，进而由线面垂直的判定定理，得到QB ⊥平面SOC ，则OH BQ ⊥，结合OH SC ⊥及线面垂直的判定定理得到OH ⊥平面SBQ ；（2）若60AOQ ∠=︒，易得30OBQ OQB ∠=∠=︒，又由23QB =，可求出圆锥的底面半径OA 长及圆锥的母线SB ，代入圆锥表面积公式即可；（3）作QM AB ⊥于点M ，由面面垂直的判定定理可得QM ⊥平面SAB ，作MP SB ⊥于点P ，连QP ，则MPQ ∠为二面角A SB Q --的平面角，根据二面角A SB Q --的大小为arctan(22)-，设OA OB R ==，AOQ α∠=，进而根据22MQ MP=-可求出AOQ ∠的大小. 【详解】（1）连接AQ ，因为O 为AB 的中点，QB 的中点为C ，所以//OC AQ ．因为AB 为圆的直径，所以90AQB ∠=︒，故OC BQ ⊥．因为SO ⊥平面ABQ ，BQ ⊂平面ABQ ，所以SO BQ ⊥.又OC SO O =，,OC SO ⊂平面SOC ，所以QB ⊥平面SOC .又OH ⊂平面SOC ，故OH BQ ⊥．又OH SC ⊥，SC BQ C =，,SC BQ ⊂平面SBQ ，所以OH ⊥平面SBQ ．（2）60AOQ ∠=︒，30OBQ OQB ∴∠=∠=︒，23BQ =4cos30BQ AB ∴==︒，2OA =，又SA SB ⊥，22SA SB ==故圆锥的侧面积π··42πS OA SB ==．（3）作QM AB ⊥于点M ，平面SAB ⊥平面ABQ 且平面SAB 平面ABQ AB =QM ∴⊥平面SAB ．再作MP SB ⊥于点P ，连QP ，QP SB ∴⊥MPQ ∴∠为二面角A SB Q --的平面角如图：(arctan 22MPQ ∴∠=，22MQ MP∴= 设OA OB R ==，AOQ α∠=，sin MQ R α∴=，cos OM R α=，(1cos )MB R α=+，45SBA ∠=︒，MP BP ∴=，22(1cos )MP α∴+，222(1cos )R α=+sin 211cos αα∴=+， 即22sincos 22212cos 2ααα=，tan 212α=，故22tan 2tan 11tan 2ααα==-，解得45α=︒，45AOQ ∠=︒.。

2021-2022学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校高一下学期期末数学试题一、单选题1．设集合()(){}130A x x x =-+<，{}0B x x =>，则（ ） A ．A B ⋂=∅B ．A B ⋃=RC ．{}01A B x x ⋂=<<D ．{}1A B x x ⋃=>【答案】C【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再根据交集、并集的定义计算可得；【详解】解：由()()130x x -+<，解得31x -<<，即()(){}{}13031A x x x x x =-+<=-<<， 又{}0B x x =>，∴{}01A B x x ⋂=<<，{}3A B x x ⋃=>-； 故选：C ．2．设命题001:0,02022p a a ∃<+>，则p ⌝为（ ） A ．0010,02022a a ∀≥+≤ B ．10,02022a a ∀<+≤ C ．0010,02022a a ∃<+≤ D ．10,02022a a ∀≥+≤ 【答案】B【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得： 命题“001:0,02022p a a ∃<+>”的否定为“1:0,02022p a a ⌝∀<+≤”. 故选：B.3．设复数z 满足3i 1i z +-=-+，则z =（ ）A ．B ．C ．4D ．5【答案】B【分析】由复数的加减运算求出复数z ，根据模的计算求得答案.【详解】42i z =-+，z ∴=故选:B.4．复数23iiz +=，则z 的虚部是（ ） A ．2i B ．2i -C ．2-D ．2【答案】D【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用共轭复数的定义以及复数的概念可得合适的选项. 【详解】223i 3i 2i 32i i iz +-===-，则32i z =+，因此，z 的虚部是2. 故选：D.5．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点()1,3A ，点()2,B k -，若向量OA AB ⊥，则实数k =（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．23【答案】A【分析】根据向量垂直的坐标表示建立方程求解即可. 【详解】解：()1,3A ，()2,B k -，()1,3OA ∴=，()3,3AB k =--. ()333312OA AB k k ∴⋅=-+-=-. 又OA AB ⊥，3120k ∴-=，即4k =， 故选：A.6．已知两非零向量a ，b 满足()4a b a ⊥-，且4b =，则2a b -=（ ）A ．8B ．3C ．2D 【答案】A【分析】根据向量的垂直关系进行向量的数量积和向量的模的运算即可.【详解】两非零向量a ，b 满足()4a b a ⊥-，且4b =，可得24a b a ⋅=，22244a b a a b b -=-⋅+22248a a b =-+=.故选：A7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为CD 的中点，F 为BC 的中点，则直线1B F 与1D E 所成角的余弦值为（ ）A ．35B ．23C ．45D ．34【答案】C【分析】分别取AD ，AB 的中点G ，H ，连接11,,AG A H GH ，易得1GA H ∠或其补角为异面直线1B F 与1D E 所成的角求解.【详解】解：如图所示：分别取AB ，AD 的中点G ，H ，连接11,,AG A H GH ， 易知1111//,//A G D E A H B F ，则1GA H ∠或其补角为直线1B F 与1D E 所成的角， 设正方体棱长2AB =，则115,2AG A H GH === 所以222222111115524cos 25255AG A H GH GA H AG A H +-+-∠===⋅⋅，故选：C.8．直三棱柱111ABC A B C 的各个顶点都在同一个球面上，若12120AB AC AA BAC ===∠=，则此球的表面积为（ ） A ．20π B ．200πC ．10πD ．30π【答案】A【分析】由已知求出底面外接圆半径，再由直三棱柱的外接球半径与底面外接圆半径、侧棱的几何关系求球体半径，进而求此球的表面积.【详解】由题意，棱柱底面三角形中BC =22sin BCr BAC==∠，又111ABC A B C 为直三棱柱且12AA =，所以其外接球半径R =2420R ππ=. 故选：A二、多选题9．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，则下列说法正确的有（ ） A ．::::A B C a b c = B ．sin sin sin sin a b c aA B C A++=++C ．4c =，45B ∠=︒，若3b =，则这样的三角形有两个D ．若222a b c +>，则ABC 为锐角三角形 【答案】BC【分析】A. 利用正弦定理判断；B. 利用正弦定理判断；C. 利用余弦定理判断；D. 利用余弦定理判断.【详解】A. 由正弦定理得sin sin sin a b cA B C==，则sin :sin :sin ::A B C a b c =，故错误； B. 由正弦定理得sin sin sin a b cA B C ==，再由比例性质得sin sin sin sin a b c a A B C A++=++，故正确；C. 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-∠，即2916=+-a ，即270-+=a ，解得1a =或1a =，故正确；D. 由余弦定理得222cos 02+-=>b a c C ab，则C 为锐角，但A ，B 不一定是锐角，故错误.故选：BC10．设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列说法错误的是（ ） A ．若a b ⊥，b α⊂，则a α⊥ B ．若αβ∥，b β⊂，则b α∥ C ．若a α⊂，b β⊂，αβ⊥，则a b ⊥ D ．若a α⊥，a β∥，则αβ⊥【答案】AC【分析】根据线面、面面关系的性质定理与判定定理一一判断即可；【详解】解：对于A ：若a b ⊥，b α⊂，则a α⊥或//a α或a α⊂或a 与α相交不垂直，故A 错误； 对于B ：若//αβ，b β⊂，根据面面平行的性质可得b α∥，故B 正确；对于C ：若a α⊂，b β⊂，αβ⊥，则a b ⊥或//a b 或a 与b 相交或a 与b 异面，故C 错误； 对于D ：若a α⊥，//a β，根据面面垂直的判定定理可得αβ⊥，故D 正确； 故选：AC11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为1,AC A B 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．MN平面11ADD AB ．MN AB ⊥C ．直线MN 与平面ABCD 所成角为45 D ．异面直线MN 与1DD 所成角为60 【答案】ABC【分析】连接BD ，1A D ，可得1MNA D ，利用线面平行的判定定理即可证明MN平面11ADD A ，故A 正确；由线面垂直的性质可以得到AB MN ⊥，故B 正确；直线MN 与平面ABCD 所成角即直线1A D 与平面ABCD 所成角为45，故C 正确；异面直线MN 与1DD 所成角即为直线1A D 与1DD 所成角，故D 错误.【详解】\如图，连接BD ，1A D .在正方形ABCD 中，M 为AC 的中点,AC BD M ∴⋂=，即M 也为BD 的中点， 在1A BD 中，,M N 分别为1,BD A B 的中点，1MNA D ，又MN ⊄平面11ADD A ，1A D ⊂平面11ADD A ，MN ∴平面11ADD A ，故A 正确；AB ⊥平面11ADD A ，1AB A D ∴⊥，AB MN ∴⊥，故B 正确；1MNA D ，∴直线MN 与平面ABCD 所成角即直线1A D 与平面ABCD 所成角为45，故C 正确；由题可知，异面直线MN 与1DD 所成角即为直线1A D 与1DD 所成角，即11A DD ∠，为45，故D 错误. 故答案为：ABC.12．给出下列命题，其中错误的选项有（ ） A ．非零向量,a b ，满足a b >且a 与b 同向，则a b >B ．已知()()1,2,1,1a b ==且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．若单位向量12,e e 的夹角为60，则当()122e te t R +∈取最小值时，1t =D ．在ABC 中，若0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，则ABC 为等腰三角形 【答案】ABC【分析】A 选项，向量具有大小和方向的量，无法比较大小，A 错误；B 选项，向量夹角为锐角，要满足夹角的余弦大于0且夹角余弦值不等于1，求出53λ>-且0λ≠，B 错误；C 选项，利用向量的数量积运算法则计算得到()2212213e te t +=++，得到1t =-时，()122e te t R +∈取得最小值，C 错误；D 选项，从向量的几何意义得到AB AC ABAC+表示A ∠的平分线方向上的向量，由三线合一得到ABC 是等腰三角形.【详解】向量无法比较大小，故A 错误；()()()1,2,1,2a b λλλλλ+=+=++，要想a 与a λb +的夹角为锐角，则()cos ,0a a ba ab a a bλλλ⋅++=>⋅+，且()cos ,1a a ba ab a a bλλλ⋅++=≠⋅+，()1220λλ+++>，且1212λλ≠++，解得：53λ>-且0λ≠，B 错误； ()222222212112212444424132e te e te e t e t t t t t +=+⋅+=+⨯+=++=++，当1t =-时，()122e te t R +∈取得最小值，C 错误；在ABC 中，AB AB表示AB 方向上的单位向量，AC AC表示AC 方向上的单位向量，则AB AC ABAC+表示A ∠的平分线方向上的向量，由0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭得：A ∠的平分线方向上的向量与BC 垂直， 由三线合一可知：AB AC =，则ABC 为等腰三角形，D 正确. 故选：ABC三、填空题13．已知 ,a b 为正实数， 且1912ab+=， 则 a b +的最小值为___________．【答案】43【分析】由基本不等式求解【详解】由题意199()()10412123b aa b a b a b a b +++++==≥= 当且仅当9b aa b=即1,13a b ==时等号成立，故答案为：4314．在ABC 中，三个内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，若7sin 5sin A B =，85a c =，则B =______. 【答案】3π##60 【分析】利用正弦定理角化边可利用a 表示出,b c ，利用余弦定理可求得结果. 【详解】由正弦定理可得：75a b =，又85a c =，75b a ∴=，85c a =； 由余弦定理得：222222644912525cos 82225a a a a c bB aca a +-+-===⋅，()0,B π∈，3B π∴=.故答案为：3π. 15．已知圆锥的底面直径为________．【分析】由截面面积可构造方程求得圆锥母线长，进而得到圆锥的高，利用圆锥体积公式可求得结果.【详解】由题意知：圆锥的底面半径3r =；设圆锥的母线长为l ，则2213sin 23234l l π⋅==，解得：22l =，∴圆锥的高22835h l r =-=-=，∴圆锥的体积2153V r h ππ=⋅=.故答案为：5π.四、双空题16．在长方体1111ABCD A B C D -中，,AB BC CC ===121；点,E F 分别为AB CD ､中点；那么长方体1111ABCD A B C D -外接球表面积为__________；三棱锥的1D BEF -外接球的体积为__________.【答案】 6π1111【分析】求出长方体的对角线即为长方体外接球的直径，由此可得球表面积，设,,,G H I J 分别是1111,,,A D AD BC B C 中点，可证明EF ⊥平面GHIJ ，设平面GHIJ 与1,,D E BF EF 的交点分别为,,N M Q ，在平面GHIJ 内过N 作PN NQ ⊥，过M 作PM QM ⊥交PN 于点P ，证得P 是三棱锥1D BEF -的外接球球心．在四边形PMQN 中求得四边形外接圆直径，然后求出PN ，再求出三棱锥的1D BEF -外接球的半径后球体积．【详解】长方体对角线长为2222116l ++=62l R ==264(6S ππ=⨯=； 如图，,,,G H I J 分别是1111,,,A D AD BC B C 中点，则GHIJ 是矩形，平面//GHIJ 平面11CDD C ，,E F 分别是,AB CD 中点，则//EF AD ，而AD ⊥平面11CDD C ，所以EF⊥平面11CDD C ，所以EF ⊥平面GHIJ ，而EF ⊂平面1D EF ，EF ⊂平面BEF ，所以平面1D EF ⊥平面GHIJ ，平面BEF ⊥平面GHIJ ，由EF ⊥平面11CDD C ，1D F ⊂平面11CDD C ，得1EF D F ⊥，而EF EB ⊥，设平面GHIJ 与1,,D E BF EF 的交点分别为,,N M Q ，则,,N M Q 分别是1,,D E BF EF 的中点， 所以,N M 分别是1D EF 和EFB △的外心，在平面GHIJ 内过N 作PN NQ ⊥，过M 作PM QM ⊥交PN 于点P ， 由EF ⊥平面11CDD C ，得EF PN ⊥，EF PM ⊥， 而NQ EF Q =，,NQ EF ⊂平面1D EF ，所以PN 平面1D EF ，同理PM ⊥平面BEF ，所以P 是三棱锥1D BEF -的外接球球心． 四边形PMQN 是圆内接四边形， 由长方体性质知14NQH D FD π∠=∠=，所以34NQM π∠=，11222NQ D F ==，12MQ =， 1121352cos 242242MN π=+-⨯⨯⨯=，由PM ⊥平面BEF ，BM ⊂平面BEF ，得PM BM ⊥，51023sin 2sin 4MN PQ NQM π===∠，2232PM PQ QM =-=，1222BM BF ==，所以22112PB PM BM =+=， 所以三棱锥的1D BEF -外接球的体积为34111111()326V ππ=⨯=． 故答案为：6π；11116π．五、解答题17．已知()11,0e =，()20,1e =，122a e e λ=+，12b e e =-，且//a b . (1)求λ的值；(2)求向量a 与向量122c e e =+夹角的余弦. 【答案】(1)2λ=- (2)1010-【分析】（1）根据题意求出,a b 的坐标，由向量平行的判断方法可得关于λ的方程，即可得到结果； （2）设a 与c 的夹角为θ，由向量夹角公式计算即可得到结果.【详解】（1）根据题意，()11,0e =，()20,1e =，122a e e λ=+，12b e e =-， 则()()()2,00,2,a λλ=+=，()()()1,00,11,1b =-=- 因为//a b ，则有121λ-=，解得2λ=- （2）由（1）可知()2,2a =-，()1,2c = 设a 与c 的夹角为θ， 则()()()22222,21,2210cos 102252212a c a cθ-⋅⋅-====-⨯⋅+-⋅+18．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1AA ⊥平面ABC ，1,2AB BC AC AA AB ===，D 是BC 的中点，O 是1AC 与1A C 的交点．(1)证明：1//A B 平面1AC D ；(2)若2AB =，求三棱锥1B AC D -的体积． 【答案】(1)证明见解析(2)233 【分析】（1）由1//OD A B ，根据线面平行的判定定理证明；（2）由棱锥体积公式计算．【详解】（1）连接OD ，易知O 是1A C 的中点．又D 是BC 的中点，OD ∴是1A BC 的中位线，1//OD A B ∴，,A B ⊄平面1AC D ，OD ⊂平面1AC D ．1//A B ∴平面1AC D ．（2）三棱锥1B AC D -与三棱锥1C ABD -是同一个三棱锥，且12,4AB BC AC AA ====，3AD =，111123134323B ACD C ABD V V --∴==⨯⨯⨯⨯=． 19．如图，已知AF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，90DAB ∠=︒，//AB CD ，2AD CD ==，4AB =．(1)求证：AF ∥平面BCE ；(2)求证：平面ACF ⊥平面BCE ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据线面平行的判定，证明AF BE ∥即可；（2）过C 作CM AB ⊥，垂足为M ，根据勾股定理证明AC BC ⊥，再根据线面垂直的性质与判定证明AC ⊥平面BCE 即可【详解】（1）证明：因为四边形ABEF 为矩形，所以AF BE ∥，又BE ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ，所以AF ∥平面BCE ．（2）过C 作CM AB ⊥，垂足为M ，则四边形ADCM 为矩形．因为2AD CD ==，4AB =，所以2AM MB ==，22AC =，2CM =，22BC =，所以222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥．因为AF ⊥平面ABCD ，AF BE ∥，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BE AC ⊥．又BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BE BC B =，所以AC ⊥平面BCE ，又AC ⊂平面ACF ，所以平面ACF ⊥平面BCE ．20．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin sin a A B b B c C ++=.(1)求角C 的大小；(2)若93sin sin A B +=，8c =，求ABC 的面积. 【答案】(1)23C π=； 173【分析】（1）先利用正弦定理化简，再利用余弦定理得解；（2）利用正弦定理得9a b +=，再求出17ab =即得解.【详解】（1）解：由正弦定理得，222a ab b c ++=，∴2221cos 22a b c C ab +-==-， ∵()0,C π∈，∴23C π=.（2）解：因为816sin sin sin 332a b c A B C ====，∴3sin 16a A =，3sin 16b B =， 代入已知得，()3931616a b +=，即9a b +=， 又∵()2222c a b ab a b ab =++=+-，∴()22816417ab a b c =+-=-=，∴1213173sin 1723224ABC S ab π==⨯⨯=△. 21．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos a b C C =+.(1)求B ；(2)若1b =，求ABC 面积的最大值.【答案】(1)π4(2)124+【分析】（1）由正弦定理及和角公式得sin cos sin sin C B B C =，进而求得tan 1B =，即可求出B ； （2）由余弦定理及基本不等式求出222ac +≤，再结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为()sin cos a b C C =+，由正弦定理得()sin sin sin sin sin cos A B C B C B C =+=+，整理得sin cos sin sin C B B C =，因为sin 0C >，所以sin cos B B =，即tan 1B =，由B 为三角形内角得π4B =； （2）由余弦定理得，()222222cos 222b a c ac B a c ac ac =+-=+-≥-，当且仅当a c =时取等号，解得222ac +≤， ABC 面积1212sin 244S ac B ac +==≤，所以ABC 面积的最大值124+. 22．如图，三棱锥-P ABC ，侧棱2PA =，底面三角形ABC 为正三角形，边长为2，顶点P 在平面ABC 上的射影为D ，有AD DB ⊥，且1DB =.(1)求证：//AC 平面PDB ；(2)求二面角P AB C 的余弦值.【答案】(1)证明见解析； (2)217-. 【分析】（1）证明//DB AC ，原题即得证； （2）以D 为原点，AD 方向直线为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】（1）解：因为AD DB ⊥，且1DB =，2AB =，所以3AD =， 所以60DBA ∠=︒．因为ABC 为正三角形，所以60CAB ∠=︒，又由已知可知ACBD 为平面四边形，所以//DB AC ． 因为AC ⊂/平面PDB ，DB ⊂平面PDB ，所以//AC 平面PDB ．（2）解：由点P 在平面ABC 上的射影为D 可得PD ⊥平面ACBD ， 所以PD DA ⊥，PD DB ⊥．如图，以D 为原点，AD 方向直线为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则由已知可知(0B ，1，0)，(3A -，0，0)，(0P ，0，1)，(3C -，2，0)． 平面ABC 的法向量(0n →=，0，1)，所以(3,1,0),(0,1,1)BA BP →→=--=-, 设(m x →=，y ，)z 为平面PAB 的一个法向量，则 由00m BA m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得300x y y z ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，则3y =-，3z =-， 所以平面PAB 的一个法向量(1m →=， 3,3)--，所以321cos ,771n m →→-<>==-⨯， 由图象知二面角PAB C 是钝二面角， 所以二面角P AB C 的余弦值为217-.。

2021-2022学年辽宁省大连市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知复数，其中是虚数单位，则的共轭复数是（ ）()i 12i z =-i z A ．B ．C ．D ．2i -2i+12i+12i-A【分析】结合复数乘法、共轭复数等知识求得正确答案.【详解】.()2i 12i i,2iz z =+==--故选：A 2．若，且为第四象限角，则的值为（ ）12cos 13α=αtan αA ．B ．C ．D ．125125-512512-D【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】由于，且为第四象限角，12cos 13α=α所以，5sin 13α==-.sin 5tan cos 12ααα==-故选：D3．若、是空间中两条不同的直线，则的充分条件是（ ）a b a b ∥A ．直线、都垂直于直线B ．直线、都垂直于平面a b l a b αC ．直线、都与直线成角D ．直线、都与平面成角a b l 30°a b α60︒B【分析】根据线线平行、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，都与垂直，可能，A 选项错误.,a b l a b ⊥B 选项，都垂直于平面，则，B 选项正确.,a b αa b ∥C 选项，都与成角，可能相交，C 选项错误.,a b l 30°,a bD 选项，都与平面成角，可能异面，D 选项错误.,a b α60︒,a b 故选：B4．民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径，16cm AB =圆柱体的高，圆锥体的高，则这个陀螺的表面积是（ ）8cm BC =6cm CD =A ．B ．C ．D ．2192πcm 2208πcm 2272πcm 2336πcm C【分析】结合组合体表面积的计算方法计算出正确答案.【详解】圆柱、圆锥的底面半径为，8cm，10cm =所以陀螺的表面积是.22π82π88π810272πcm ⨯+⨯⨯+⨯⨯=故选：C5．如图，小明同学为测量某建筑物的高度，在它的正东方向找到一座建筑物，CD AB 高为，在地面上的点（，，三点共线）测得楼顶、建筑物顶部的仰12m M B M D A C 角分别为和，在楼顶处测得建筑物顶部的仰角为，则小明测得建筑物15︒60︒A C 30°的高度为（ ）（精确到CD 1m 1.414≈ 1.732≈A ．B ．C ．D ．42m 45m 51m 57mD【分析】先求得，然后利用正弦定理求得，进而求得.AM CM CD 【详解】在直角三角形中，，ABM 1212sin15,sin15AM AM ︒==︒在三角形中，，ACM 301545,1806015105CAM CMA ∠=︒+︒=︒∠=︒-︒-︒=︒，1801054530ACM ∠=︒-︒-︒=︒由正弦定理得,sin 45sin 45sin 30sin 30CM AM AM CM ==⋅︒=︒︒︒在直角三角形中，CDM sin60,sin60CDCD CMCM︒==⋅︒======.363612 1.73257m=+=+⨯≈故选：D6．设是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是A B C D，，，A．若与共面，则与共面AC BD AD BCB．若与是异面直线，则与是异面直线AC BD AD BCC．若==，则AB AC DB，DC AD BC⊥D．若==，则=AB AC DB，DC AD BCD【分析】由空间四点共面的判断可是A,B正确，；C,D画出图形，可以判定AD与BC不一定相等，证明BC与AD一定垂直．【详解】对于选项A，若与共面，则与共AC BD A B C D AD，，，是四点共面，则BC面，正确；对于选项B，若与是异面直线，则四点不共面，则与是异面AC BD,,,A B C D AD BC直线，正确；如图，空间四边形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，则AD与BC不一定相等，∴D错误；对于C,当四点共面时显然成立，A B C D，，，当四点不共面时，取BC的中点M，连接,,,A B C DAM、DM，AM⊥BC，DM⊥BC，∴BC⊥平面ADM，∴BC⊥AD，∴C正确；本题通过命题真假的判定，考查了空间中的直线共面与异面以及垂直问题，是综合题．7．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，sin 2y x =ϕcos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则的值可以是（ ）ϕA ．B ．C ．D ．12π6π3π23πD【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式，由已知可得出关于的ϕ等式，即可得出结果.【详解】因为，2cos 2sin 2sin 26623y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数sin 2y x =ϕ的图象，()()sin 2sin 22y x x ϕϕ=-=-⎡⎤⎣⎦由题意可得，可得，当时，，()2223k k ππϕ=-∈Z ()3k k πϕπ=-∈Z 1k =23ϕπ=故选：D.8．已知圆台上下底面半径分别为3、4，圆台的母线与底面所成的角为．且该圆台45︒上下底面圆周都在某球面上，则该球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．100π5003π200π7003πB【分析】根据圆台轴截面及已知求圆台的高，再根据球体半径与圆台上下底面半径的几何关系列方程求出球体半径，进而求球体的体积.【详解】由题意，轴截面如下图示，1AE DE ==若球体半径为R ，则，可得.229(1R -=5R =所以该球体积为.3450033R ππ=故选：B 二、多选题9．设非零复数、所对应的向量分别为，，则下列选项能推出1z 2z 1OZ 2OZ的是（ ）12OZ OZ ⊥A ．B ．C ．D ．12i z z =122z z =12=z z 1212z z z z +=-AD【分析】A 根据的几何意义判断；B 由即可判断；C 由12i z z =122OZ OZ =即可判断；D 由并结合向量数量积的运算律即可12||||OZ OZ = 1212OZ OZ OZ OZ +=- 判断.【详解】A ：等价于将绕原点逆时针旋转得到，即，符12i z z =2OZ 90︒1OZ 12OZ OZ ⊥合；B ：等价于，即共线，不符合；122z z =122OZ OZ =12,OZ OZ C ：等价于，但不一定有，不符合；12=z z 12||||OZ OZ =12OZ OZ ⊥ D ：等价于，两边平方并应用数量积的运算律1212z z z z +=-1212OZ OZ OZ OZ +=-可得，即，符合.120OZ OZ ⋅=12OZ OZ ⊥ 故选：AD10．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的图形可能是（ ）A．B．C．D．ABC【分析】根据正方体截面过外接球球心，讨论截面是否过顶点及所过顶点个数、是否与侧面平行，即可判断截面图形的元素.【详解】当过球心的截面不平行于侧面且不过顶点时，截面图形为A；当过球心的截面平行于一对侧面时，截面图形为C；当过球心的截面过其中4个顶点，则截面图形为圆中含一个长方形，B正确，D错误.故选：ABC11．下列各式正确的是（）A．B．()()1tan11tan442+︒+︒=12sin10-=︒C．D．23sin7022cos10-=-︒︒)tan70cos102012︒⋅︒︒-=AC【分析】结合三角恒等变换对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，()tan1tan44tan45tan144,11tan1tan44︒+︒︒=︒+︒=-︒⋅︒，tan1tan441tan1tan44︒+︒=-︒⋅︒所以()()1tan11tan441tan1tan44tan1tan44+︒+︒=+︒+︒+︒⋅︒，A选项正确.tan1tan44tan1t211an44︒⋅︒+︒⋅+-︒==B选项，1sin10=︒()()2cos60cos10sin60sin102cos601011sin20sin2022︒︒-︒︒︒+︒==︒︒，B选项错误.cos70sin20444sin20sin20︒︒=⋅=⋅=︒︒C 选项，，C 选项正确.23sin 703cos 203cos 2021cos 203cos 202cos 10222--︒-︒===+︒-︒-︒-︒D选项，)sin 70tan 70cos10201cos101cos 70⎫︒︒⋅︒⋅︒-=⋅︒⋅⎪⎪︒⎭cos 20cos10sin 20︒=⋅︒cos10︒，D 选项错误.()sin 20301sin10︒-︒===-︒故选：AC12．已知函数在区间上单调，且满足()()()sin 0,f x x ωϕωϕ=+>∈R 75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭有下列结论正确的有( )73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．若，则函数的最小正周期为；()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x πC ．关于x 的方程在区间上最多有4个不相等的实数解()1f x =[0,2)πD ．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为()f x 213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ω8,33⎛⎤ ⎥⎝⎦ABD【分析】A ：在上单调，，，故()f x 73,124ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭73212423πππ+=；203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ：求出区间右端点关于的对称点，由题可知在75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭56x π=23x π=2x π=()f x 上单调，据此可求出f (x )周期的范围，从而求出ω的范围.再根据5,26ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭知是f (x )的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭512x π=倍即可求出ω，从而求出其周期；()214k k +∈Z C ：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解；D ：由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在203f π⎛⎫=⎪⎝⎭23π()f x 23π⎡⎢⎣136π⎫⎪⎭()f x 区间上恰有5个零点，则，据此即可求ω的范围.213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭13252632T T ππ<- 【详解】A ，∵，∴在上单调，又7375,,124126ππππ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 73,124ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴，故A 正确；73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭73212423πππ+=203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ，区间右端点关于的对称点为，∵，f (x )在75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭56x π=23x π=2x π=203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭上单调，∴根据正弦函数图像特征可知在上单调，∴75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭为的最小正周期，即3，又，∴.若512(62322T T ππππω-==⋅ ()f x )ω0>ω03ω< ，则的图象关于直线对称，结合，得()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x 512x π=203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即，故()252121312442k k T k ππππω++-===⋅∈Z ()42k k ω=+∈Z k ＝0，，故B 正确.2,T ωπ==C ，由，得，∴在区间上最多有3个完整的周期，而03ω< 23T π()f x [)0,2π在1个完整周期内只有1个解，故关于的方程在区间上最多()1f x =x ()1f x =[)0,2π有3个不相等的实数解，故C 错误.D ，由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在203f π⎛⎫=⎪⎝⎭23π()f x 23π⎡⎢⎣136π⎫⎪⎭()f x 区间上恰有5个零点，则，结合，得，213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭13252632T T ππ<- 2T πω=81033ω< 又，∴的取值范围为，故D 正确.03ω< ω8,33⎛⎤⎥⎝⎦故选：ABD.本题综合考察的周期、单调性、对称中心、对称轴等特性，()()()sin 0f x x ωϕω=+>解题的关键是熟练掌握正弦型函数对称轴，对称中心的位置特征，掌握正弦型函数单调性与周期的关系.常用结论：(1)单调区间的长度最长为半个周期；(2)一个完整周期内只有一个最值点；(3)对称轴和对称中心之间的距离为周期的倍.()214k k +∈Z 三、填空题13．函数的最小正周期为___________.()tan2xf x =2π直接由正切函数的周期公式可得答案.【详解】.212T ππ==故答案为.2π14．如图，在正四棱柱中，，是棱的中点，异面直1111ABCD A B C D-1AB =E BC 线与所成角的余弦值为，则______．1AB 1CE m m=127-【分析】作辅助线，根据异面直线的定义找到与所成角，解三角形即可求得1AB 1C E 答案.【详解】在正四棱柱中，连接 ,1111ABCD A B C D-1DC 则由于四边形是平行四边形，故 ,1111,AD B C AD B C =∥11AB C D 11AB DC ∥故异面直线与所成角即为与所成角,1AB 1C E 1DC 1C E 即即为异面直线与所成角或其补角，1DC E ∠1AB 1C E 设,则所以 ,12AA=1AB ==112,4CC DC ====1DE C E ===所以,1cos DC E ∠==故异面直线与所成角的余弦值为，则1AB 1C E m m =15．已知函数不是常数函数，且函数满足：定义域为，的图象关于()f x ()f x R ()f x 直线对称，的图象也关于点对称．写出一个满足条件的函数2x =()f x ()1,0______．（写出满足条件的一个即可）()f x （答案不唯一）()ππsin 22f x x ⎛⎫- ⎝=⎪⎭【分析】根据对称性确定正确答案.【详解】依题意，不是常数函数，定义域为，()f x R 图象关于直线对称，也关于点对称，2x =()1,0所以符合题意.()ππsin 22f x x ⎛⎫- ⎝=⎪⎭故（答案不唯一）()ππsin 22f x x ⎛⎫- ⎝=⎪⎭16．如图，四边形为正方形，平面，，若ABCD AG ⊥ABCD ////AG DF CE ，，，则______．3AG AB ==2DF =1CE =:B EGD G BEF V V --=22:1【分析】将几何体补全为正方体，由、G BEF ABCD GIHJ G HEBJ G HIFE B CDFE B DFGA V V V V V V ------=----求出体积，即可得结果.B EGD ABCD GIHJ G HEBJ G HIDE E BCD G ABD V V V V V V ------=----【详解】将几何体补全为正方体，如下图示，G BEF ABCD GIHJ G HEBJ G HIFE B CDFE B DFGAV V V V V V ------=----111111112735333333335332323232=-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯.3=B EGD ABCD GIHJ G HEBJ G HIDE E BCD G ABDV V V V V V ------=----111111112735335313333332323232=-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯.6=所以.:2:1B EGD G BEF V V --=故2:1四、解答题17．已知向量，．()1,2a =(),3b x =(1)若，求的值；()3a b b -⊥ x (2)若向量，夹角为锐角，求的取值范围．a b x(1)；x =(2)或.362x -<<32x >【分析】（1）应用向量线性运算坐标表示可得，根据向量垂直的坐标3(3,3)a b x -=- 表示即可求参数值；（2）由题设有，注意排除，同向共线时对应x 值即可.60a b x ⋅=+> a b【详解】(1)由题设，，又，3(3,3)a b x -=- ()3a b b-⊥ 所以，即，(3)90x x -+=2390x x --=可得.x =(2)由题设，，即，60a b x ⋅=+>6x >-当，同向共线时，有且，此时，可得，不满足，夹角a b a b λ= 0λ>132x λλ=⎧⎨=⎩32x =a b 为锐角，综上，或.362x -<<32x >18．如图1，菱形中，，，垂足为点，将沿翻折ABCD 60A ∠=︒DE AB ⊥E AED DE 到，使，如图2．A ED ' A E BE '⊥(1)求证：平面；A E '⊥EBD (2)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求的值；若不存A D 'F EF ∥A BC 'DFFA '在，说明理由．(1)证明见解析；(2)存在，.1DFFA ='【分析】（1）推导出，由此能证明平面.,,DE AE A E DE A E BE ⊥⊥⊥''A E '⊥BCDE（2）分别取的中点，连接，推导出四边形是平行,A D A C '',F M ,,EF FM BM EBMF 四边形，，从而在线段上存在一点，使平面，且.//EF BM A D 'F //EF A BC '1DFFA ='【详解】(1)在菱形中，，ABCD ,DE AB DE AE ⊥∴⊥ ，,,A E DE A E BE DE BE E ''∴⊥⊥⋂= 平面.A E '∴⊥EBD (2)在线段上存在一点，使平面.A D 'F EF //A BC '理由如下：分别取的中点，连接，,A D A C '',F M ,,EF FM BM 为的中位线，，且，FM A DC 'FM DC ∴∥12FM DC =在菱形中，，且，ABCD EB DC ∥12EB DC=，且四边形是平行四边形，，FM EB ∴∥,FM EB =∴EBMF EF BM ∴∥平面平面，EF ⊄ ,A BC BM '⊂A BC '平面，EF ∴ A BC '为中点，F A D '.1DFFA ∴'=19．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数O ()sin cos f x a x b x =+(),a M b O =的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．()f x ()f x OM (1)若向量为的相伴特征向量，求实数的值；()2,2m =()sin 4h x x πλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭λ(2)记向量的相伴函数是，求在的值域．()5,12m =()f x ()f x 20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(1)(2)⎤⎥⎦【分析】（1）根据已知相伴特征向量的定义可得，即可求解；()2sin 2cos h x x x =+（2）根据相伴函数的定义结合三角恒等变换得到函数的解析式，利用正弦型函数()f x 的性质求解值域即可.【详解】(1)解：因为向量为的相伴特征向量，()2,2m =()sin 4h x x πλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则，()sin 2sin 2cos 44h x x x x x ππλ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得.λ=(2)解：因为向量的相伴函数是()5,12m =，()5125sin 12cos 13sin cos 1313f x x x x x ⎛⎫=+=⨯+ ⎪⎝⎭设，则，512cos ,sin 1313θθ==sin 1θ<<32ππθ<<所以，()13sin()f x x θ=+当时，，20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2,3x πϕϕϕ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦当时，函数有最大值为13，2x πϕ+=()f x 当时，即，函数有最小值为23x πϕϕ+=+23x π=()f x，222()5sin 12cos 333f πππ=⨯+⨯=故函数的值域为.()f x ⎤⎥⎦20．如图，在直三棱柱中，，且111ABC A B C -AC BC ⊥AC ==BC ，是棱的中点，是棱上的点，满足．12AA AB=D 1BB E 1CC 15CE EC =(1)证明：平面；AD ⊥1A DE (2)求直线与平面所成角的正弦值．AE 1ABB (1)证明见解析【分析】（1）先根据数量关系证明线线垂直，然后可得线面垂直；（2）先求解到平面的距离，然后根据线面角的定义求解正弦值.E 11ABB A【详解】(1)证明：因为，且;AC BC ⊥AC ==BC 3AB =因为，所以；12AA AB =16AA =因为是棱的中点，所以，D 1BB 1AD A D ==因为，所以；22211AD A D AA +=1AD A D ⊥因为，，所以；15CE EC =16AA =11,5C E CE ==在直角梯形中，，所以.11C B DE 11B C =13B D =DE =在直角三角形中，，所以ACE AC ==5CE AE 因为，所以.222AD DE AE +=AD DE ⊥由，，且，所以平面.1AD A D ⊥AD DE ⊥1=A D DE D ⋂AD ⊥1A DE (2)在直角三角形中，作于，如图，ACB CH AB ⊥H由等面积法可得；CH 由直棱柱的性质可得，所以平面;1AA CH ⊥CH ⊥11ABB A因为平面，所以到平面，1//CC 11ABB A E 11ABBA 设直线与平面所成角为，则AE 1ABB θsinθ==21．已知平面四边形中，，，．ABCD AB AD =AB AD ⊥AC =1BC =(1)若，求四边形的面积；56ACB π∠=ABCD (2)若记，．()0ACB θθπ∠=<<()CD f θ=①求的解析式；()f θ②求的最小值及此时角的值．CD θ(2)①②，此时．()f θ=CD 14πθ=【分析】（1）由余弦定理求得，，继而得，，根据三AB =cos CAB ∠sin DAC ∠AD 角形的面积公式可求得答案；（2）①由余弦定理求得，再由正弦定理求得，继而得，AB sin CAB ∠cos DAC ∠，根据余弦定理可求得；AD ()f θ②由角的范围和正弦函数的性质可求得的最小值及此时角的值．CD θ【详解】(1)在中，，，所 以ABCAC=1BC =56ACB π∠=，222+2cos AB AC CB AC BCACB =-⋅∠即，所以2225+11cos6AB π=-⨯AB =所以，222cos 2CA AB BCCABCA AB +-∠===⋅又，，所以AB AD =AB AD ⊥sin DAC ∠=AD AB ==所以，151sin 26ABC S π=⨯=19sin 24ADC S DAC =∠= 所以四边形ABCD (2)①在中，，，所 以ABC AC =1BC =ACB θ∠=，222+2cos AB AC CB AC BC θ=-⋅即，所以，222+11cos AB θ=-⨯24AB θ=-又，所以sin sin AB CB CAB θ=∠sinCAB ∠=又，，所以AB AD =AB AD⊥co s DAC ∠=，224A AB D θ=-=所以2222+cos AD AC CD AD AC DAC-⋅=∠4+3θ=--，7+4πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以；()CD f θ==②因为，所以，0θπ<<5444πππθ<<+所以当，即时，，42ππθ=+4πθ=min 14CD f π⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以，此时．CD 14πθ=关键点睛：本题主要考查运用正弦定理、余弦定理解三角形，关键在于运用正弦定理 、余弦定理表示其边和角得的解析式.()f θ22．如图，在四棱锥中，，底面为正方形．记直线S ABCD -SAB SAD∠=∠π2≤ABCD 与平面所成的角为．SA ABCD θ(1)求证：平面平面；SAC ⊥SBD (2)若二面角的大小为，求的值；B SA D --2π3cos θ(3)当时，、中点为，，点为线段上的动点（包括端点），π2θ=SB BC M N P CD ，二面角的大小记为，求的取值范围．2SA AB =M NP A --αtan α(1)证明详见解析(3)2⎤⎦【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.BD ⊥SAC SAC ⊥SBD （2）判断出直线与平面所成的角，解直角三角形求得.SA ABCD θcos θ（3）作出二面角的平面角，结合三角函数值域的求法，求得的取值M NP A --tan α范围.【详解】(1)连接，交点设为，连接.,AC BD O SO 依题意可知，所以，SAB SAD ≅ AB SD =所以三角形中，，SBD SO BD ⊥由于，,BD AC AC SO O ⊥⋂=所以平面，BD ⊥SAC 由于平面，BD ⊂SBD 所以平面平面.SAC ⊥SBD (2)过作，垂足为，连接，B BK SA ⊥K DK 由已知，得，SAB SAD ≅ DK SA ⊥所以是二面角的平面角，BKD ∠B SA D --所以.2π3BKD ∠=设正方形的边长为，则，ABCD a BD =所以，,BK DK AK ===由于，,,DK SA BK SA DK BD K ⊥⊥⋂=所以平面，则.SA ⊥DKB SA KO ⊥过作，垂足为，S SE AC ⊥E 由于平面，所以，BD ⊥SAC BD SE ⊥由于，所以平面，AC BD O = SE ⊥ABCD 所以，即是直线与平面所成角.SAC θ∠=SAC ∠SA ABCD 在中，，Rt AKOAO =所以cos AK AO θ==(3)取中点，过作，垂足为，连接，AB Q Q QR NP ⊥R ,MQ MR 则为二面角的平面角，即，MRQ ∠M NP A --MRQ α∠=则，tan MQ QR α=由已知，设正方形的边长为，则，=MQ AB ABCD a MQ AB a ==在正方形中，设，ABCD PNC β∠=，当时，在三角形中，QN =π,arc tan 24PNC β⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦QNR ，3π3ππarc tan 2,442QNR β⎡⎤∠=-∈-⎢⎥⎣⎦()()3π3π3πsin arc tan 2sin cos arc tan 2cos sin arc tan 2444⎛⎫-=- ⎪⎝⎭==，3πsin 4β⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎦.3πsin 4QR QN β⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.tan MQ QRα==当时，在三角形中，，π0,4PNC β⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦QNR πππ,442QNR β⎡⎤∠=+∈⎢⎥⎣⎦，.πsin 4β⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦πsin 4QR QN β⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭.tan 2MQQRα⎤==⎦综上所述，的取值范围是.tanα2⎤⎦。

高一下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}A |2,x x x R =≤∈，集合B 为函数y lg(1)x =-的定义域，则B A I （ ） A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2) D ．(1,2]2.已知20.5log a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c b a <<3.一个单位有职工800人，其中高级职称160人，中级职称300人，初级职称240人，其余人员100人，为了解职工收入情况，现采取分层抽样的方法抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别为（ ）A ．15,24,15,19B ．9,12,12,7C ．8,15,12,5D ．8,16,10,6 4.已知某程序框图如图所示，若输入实数x 为3，则输出的实数x 为（ ）A ．15B ．31 C.42 D ．63 5.为了得到函数4sin(2)5y x π=+，x R ∈的图像，只需把函数2sin()5y x π=+，x R ∈的图像上所有的点（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍．B ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标伸长到原来的2倍．C ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标缩短到原来的12倍． D ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标伸长到原来的2倍．6.函数()1ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2) C.(2,3) D ．(3,4)7.下面茎叶图记录了在某项体育比赛中，九位裁判为一名选手打出的分数情况，则去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的方差为（ ）A ．327 B ．5 C.307D ．4 8.已知函数()222cos 2sin 1f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最正周期为2π，最大值为3．B ．()f x 的最正周期为2π，最大值为1． C.()f x 的最正周期为π，最大值为3． D ．()f x 的最正周期为π，最大值为1．9.平面向量a r 与b r 的夹角为23π，(3,0)a =r ，||2b =r ，则|2|a b +=r r （ ）A C.7 D ．3 10.已知函数2log (),0()(5),0x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则()2018f 等于（ ）A ．1-B ．2 C.()f x D ．111.设点E 、F 分别为直角ABC ∆的斜边BC 上的三等分点，已知3AB =，6AC =，则AE AF ⋅u u u r u u u r（ ）A ．10B ．9 C. 8 D ．712.气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天连续使用，第n 天的维修保养费为446(n )n N *+∈元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了（ ）A ．300天B ．400天 C.600天 D ．800天第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知θ为锐角且4tan 3θ=，则sin()2πθ-= ． 14.A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度不小于半径的概率为 ．15.若变量x ，y 满足2425()00x y x y f x x y +≤⎧⎪+≤⎪=⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值是 ．16.关于x 的不等式232x ax >+（a为实数）的解集为，则乘积ab 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，角A ，B C ，所对应的边分别为a ，b ，c ，且5a =，3A π=，cos B =（1）求b 的值； （2）求sin C 的值．18. 已知数列{}n a 中，前n 项和和n S 满足22n S n n =+，n N *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19. 如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，AC AP >，60PAC ∠=︒，PC =10AP AC +=．（1）求sin ACP ∠的值；（2）若APB ∆的面积是，求AB 的长．20. 已知等差数列{}n a 的首项13a =，公差0d >．且1a 、2a 、3a 分别是等比数列{}n b 的第2、3、4项． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足2 (n 1)(n 2)n n na c ab =⎧=⎨⋅≥⎩，求122018c c c +++L 的值（结果保留指数形式）．21.为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位知道一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入．紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势．下表给出了2018年种植的一批试验紫甘薯在不同温度时6组死亡株数：经计算：615705i i i x y ==∑，6214140ii x ==∑，62110464i i y ==∑≈0.00174．其中i x ，i y 分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6.i =（1）y 与x 是否有较强的线性相关性？请计算相关系数r （精确到0.01）说明．（2）求y 与x 的回归方程ˆˆˆ+a y bx =（ˆb 和ˆa 都精确到0.01）；（3）用（2）中的线性回归模型预测温度为35C ︒时该批紫甘薯死亡株数（结果取整数）． 附：对于一组数据11(,v )u ，22(,v )u ，L L ，(,v )n n u ，①线性相关系数ni i u v nu vr -=∑，通常情况下当|r |大于0.8时，认为两个变量具有很强的线性相关性．②其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1221ˆni i i nii u v nu vunu β==-=-∑∑，ˆˆˆav u β=-；22.已知函数()2lg(a)1f x x =+-，a R ∈． （1）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；（2）在在（1）的条件下，判断函数()y f x =与函数lg(2)xy =的图像公共点各数，并说明理由；（3）当[1,2)x ∈时，函数lg(2)x y =的图像始终在函数lg(42)xy =-的图象上方，求实数a 的取值范围．答案一、选择题答案9. 【解析】方法1： (1,b =-,2(1,a b +=±,|2|13a b +=。

2021-2022学年上海市控江中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则21z =-的θ值可能是 A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】D 【详解】把2π代入验证即得． 2．已知向量,,a b c ，则“()a b c ⊥-”是“a b a c ⋅=⋅”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A【分析】根据向量垂直以及平面向量的运算律可推出充分条件；举特例可判断必要条件是否成立. 【详解】因为()a b c ⊥-，所以有()0a b c ⋅-=，即0a b a c ⋅-⋅=，所以a b a c ⋅=⋅； 若b c =，显然有a b a c ⋅=⋅，此时0b c -=，显然()a b c ⊥-不成立. 所以，“()a b c ⊥-”是“a b a c ⋅=⋅”的充分非必要条件. 故选：A.3．已知常数0a >，函数π()sin(2)3f x x =+在区间[0,]a 上是严格增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．π0,12⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．π{|2π2π,N}2a k a k k <≤+∈D ．π{|2π2π,N}12a k a k k <≤+∈ 【答案】B【分析】根据正弦型三角函数的单调性列不等式，由此求得a 的取值范围. 【详解】πππ0,022,22333x a x a x a ≤≤≤≤≤+≤+， 由于0a >且π()sin(2)3f x x =+在区间[0,]a 上是严格增函数，所以πππ2,03212a a +≤<≤， 即a 的取值范围是π0,12⎛⎤⎥⎝⎦.故选：B4．如图，两个椭圆221259x y +=，221259y x +=内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，现在给出下列四个判断：①P 到1(4,0)F -、2(4,0)F 、1(0,4)E -、2(0,4)E 四点的距离之和为定值； ②曲线C 关于直线0x y +=对称； ③曲线C 所围成区域面积必小于36； ④曲线C 的长度必小于8π.上述判断中，错误命题的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】A【分析】①根据椭圆的定义判断即可； ②利用两个椭圆的对称性判断即可；③根据图形可得曲线C 所围区域在边长为6的正方体内部，即可得到面积必小于36； ④联立两个椭圆的方程得到2245091634x y <+=<，即可得到曲线C 在半径为4的圆的内部，长度小于8π.【详解】①当点P 不是交点时，若点P 在椭圆221259x y +=上，P 到1F ，2F 的距离之和为定值10，到1E ，2E 两点的距离之和不为定值，故①错；②两个椭圆关于0x y +=对称，所以曲线C 关于0x y +=对称，故②正确；③由图可知，曲线C 所围区域在边长为6的正方体内部，所以面积必小于36，故③正确； ④将两个椭圆的方程相加可得2245091634x y <+=<，所以曲线C 在半径为4的圆的内部，长度小于8π，故④正确. 故选：A.二、填空题5．若()tan 0,ααπ∈，则角α=______. 【答案】6π【分析】解方程tan α=k 赋值与(0,)απ∈取交集即可得结果.【详解】∵tan α= ∴Z 6k k παπ=+∈， ，又∵(0,)απ∈ ∴6πα=故答案为：6π. 6．以点()3,4C 为圆心，且过点()6,0M 的圆的方程是______. 【答案】()()223425x y -+-=【分析】求得圆的半径，进而求得圆的方程.【详解】依题意，圆的半径为5CM ， 所以圆的方程为()()223425x y -+-=. 故答案为：()()223425x y -+-= 7．如果1cos 5α=，且α是第四象限的角，那么3πcos()2α+=______.【答案】 【分析】结合同角三角函数的基本关系式、诱导公式求得正确答案. 【详解】由于1cos 5α=，且α是第四象限的角，所以sin α==所以3πcos sin 2αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故答案为：8．在相距2千米的A 、B 两点处测量目标C ，若0075,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离是_______________ 千米．【详解】解：由A 点向BC 作垂线，垂足为D ，设AC=x ， ∵∠CAB=75°，∠CBA=60°， ∴∠ACB=180°-75°-60°=45° ∴AD=22x ∴在Rt △ABD 中，AB•sin60°= 22x x=" 6" （千米）答：A 、C 两点之间的距离为 千米．故答案为下由正弦定理求解：∵∠CAB=75°，∠CBA=60°， ∴∠ACB=180°-75°-60°=45° 又相距2千米的A 、B 两点 ∴22322AC= ，解得AC=答：A 、C 两点之间的距离为 千米．故答案为9．已知tan 3α=-，则4sin 3cos 2sin 5cos αααα-=+______.【答案】15【分析】齐次式分子分母同时除以cos α，再代入tan 3α=-即可得到答案. 【详解】tan 3α=-， cos 0α∴≠， 4sin 3cos 4tan 3123152sin 5cos 2tan 565αααααα----∴===++-+.故答案为：15.10．若方程2223x m y +⋅=表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是______. 【答案】()0,2【分析】根据焦点在y 轴的椭圆方程的条件，建立关于m 的不等式组，解之即可得到实数m 的取值范围【详解】椭圆化成标准方程形式，得221332x y m+=，∵方程2223x m y +⋅=表示焦点在y 轴上的椭圆，∴332m >，解得02m <<，得实数m 的取值范围是()0,2. 故答案为：()0,211．若直线l 的一个方向向量(1,3)d =，则l 与直线20x y ++=的夹角α的余弦值cos α=______.【分析】根据题意可得两直线的倾斜角分别为60︒，135︒，进而可得两直线的夹角为75︒，再由两角和的余弦公式即可求得答案.【详解】解：因为直线l 的一个方向向量(1,3)d =，所以直线l 的斜率k = 所以直线l 的倾斜角为60︒，又因为直线20x y ++=的斜率1k '=-， 所以线20x y ++=的倾斜角为135︒， 所以直线l 与直线20x y ++=的夹角1356075α，所以cos cos 75cos(3045)cos30cos 45sin 30sin 45α=︒=︒+︒=︒⋅︒-︒⋅︒=12．在三角形ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2223330a ab b c -+=+，则角C 的大小是______. 【答案】1arccos 6π-.【分析】根据已知条件结合余弦定理求解即可. 【详解】由2223330a ab b c -+=+，得 22213a cb ab -=-+，由余弦定理得2221cos 13226aba b C ab ab c --=+==-，因为()0,C π∈， 所以1arccos 6C π=-，故答案为：1arccos 6π-.13．已知向量,a b 满足=3,2a b =且(2)()5a b a b -⋅+=，则a 在b 方向上的数量投影为______.【答案】2-【分析】先求得a b ⋅，进而求得a 在b 方向上的数量投影.【详解】22(2)()2985a b a b a a b b a b -⋅+=-⋅-=-⋅-=，4a b ⋅=-， 所以a 在b 方向上的数量投影为422a b b⋅-==-. 故答案为：2-14．函数π()3sin(2)3f x x =-的图象为C ，现有三个论断： （1）图象C 关于直线11π12x =对称； （2）函数()f x 在区间ππ(,)22-内是增函数；（3）由函数3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C . 以上三个论断中，正确结论的序号为______. 【答案】（1）【分析】根据三角函数的对称性、单调性、三角函数图象变换等知识求得正确答案. 【详解】（1），11π11ππ3π3sin 3sin 312632f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以（1）正确. （2），ππ4ππ2π,π2π,222333x x x -<<-<<-<-<， 根据正弦函数的单调性可知，()f x 在区间ππ(,)22-内不是增函数.所以（2）错误.（3）函数3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度得到π2π3sin 23sin 233y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以（3）错误. 故答案为：（1）15．定义点P 对应到点Q 的对应法则：:(,)(f P m n Q →(0,0)m n ≥≥，按照该对应法则，当点P 在线段AB 上运动时（其中，点(4,0)A ，点(0,4)B ），点Q 的轨迹方程为______. 【答案】2214x y +=，[]2,0x ∈-，[]1,0y ∈-【分析】线段AB 所在的方程为4y x =-+，设(),Q x y ，2n x =，24m y =，将点代入线段方程再确定范围得到答案.【详解】线段AB 所在的方程为4y x =-+，[]0,4x ∈，设(),Q x y ，则x =y =2n x =，24m y =， []0,4m ∈，[]0,4n ∈，故[]2,0x ∈-，[]1,0y ∈-，P 在线段AB 上，故2244x y =-+，即2214x y +=，[]2,0x ∈-，[]1,0y ∈-.故答案为：2214x y +=，[]2,0x ∈-，[]1,0y ∈-16．已知AB 为单位圆O （注：单位圆指的是半径为1的圆）的一条定弦，P 为单位圆O 上的点.当λ在R 中任意取值时，关于λ的函数()f AP AB λλ=-()R λ∈的最小值记作m .分析发现：当点P 在单位圆O 上运动时，m 的最大值为43.根据以上信息，可以推导得到线段AB 的长度为______.【分析】设AC AB λ=，点C 在直线AB 上，当CP AB ⊥时，()f λ最小为m ，当CP 过圆心时，m 最大，再利用弦长公式计算得到答案.【详解】设AC AB λ=，点C 在直线AB 上，()f AP AB AP AC CP λλ=-=-=， 对一个固定的点P ，当CP AB ⊥时，()f λ最小为m ，当点P 在单位圆O 上运动时，CP 过圆心时，m 最大值为43，此时AB =故答案为：3三、解答题17．已知向量(4,1),(1,3)OA OB ==-，且,//OC OB BC OA ⊥，求向量OC 的坐标. 【答案】()39,13OC =【分析】设出向量OC 的坐标，根据已知条件列方程组，由此求得正确答案. 【详解】设(),OC x y =，则()1,3BC OC OB x y =-=+-， 由于,//OC OB BC OA ⊥，所以()30431OC OB x y y x ⎧⋅=-+=⎪⎨-=+⎪⎩，解得39,13x y ==，所以()39,13OC =.18．())2ππsin 2sin 22cos 1,R 33f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)将函数()f x 化为()sin (0,0,02π)A x A ωϕωϕ+>>≤<的形式，并写出其最小正周期； (2)求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】(1)()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期πT =(2)[]1,2-【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简()f x 的解析式，并求得最小正周期. （2）根据三角函数值域的求法，求得函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.【详解】（1）())2ππsin 2sin 22cos 133f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin 22sin 22222x x x x x =++ πsin 222sin 23x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==. （2）由于ππππππ5π,2,24422636x x x -≤≤-≤≤-≤+≤， 所以[]π1πsin 2,1,2sin 21,2323x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+∈-+∈- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，所以()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-.19．已知复数123i,13i z z =--=-+，设复数12,,z z z 分别对应复平面上的点,,A B C .定义复数2222()()i w z z z z =++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-.(1)若121233z z z =+，求w ；(2)当点C 在线段AB 上运动时，求||w 的最大值. 【答案】(1)1009(2)1007【分析】对于（1），由共轭复数定义及复数四则运算法则可得答案.对于（2），由点C 坐标得w 表达式，继而结合C 横坐标范围及函数知识得||w 最大值.【详解】（1）因123i,13i z z =--=-+， 则121233z z z =+1255123333i-i=-i =--++，5533i z =--. 又2509i z =-，()2509i z = 则50501000999i i i w ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭. （2）由题()()3,11,3A B ---，，则线段AB 方程为：()()313113y x ---=+---，即25y x =+，其中31x -≤≤-. 由题，设()11,C x y ，则11i z x y =+，11i z x y =-，其中1125y x =+. 则()2222221*********i ，i z x y x y zx y x y =-+=--故2222()()i w z z z z =++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-221111224x y x y =--，得w 为实数. 则||w =221111224x y x y --，又1125y x =+，则222111111224146050x y x y x x --=---21151001477x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭又令()2146050f x x x =---，其中[]3,1x ∈--.因()340f -=>，()1510077max f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()140f -=-<.则015,17x ⎛⎫∃∈-- ⎪⎝⎭，使()00f x =.且()f x 在()0153,,17x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，上单调递增，在015,7x ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减. 故()()1517max max max ，w f x f f ⎧⎫⎛⎫⎪⎪==--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭1510077f ⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：本题涉及复数运算，复数的几何意义及求复数的模.（1）问较为基础，（2）问计算量较大，需注意计算w 表达式时，不要先代入1125y x =+. 20．已知R k ∈，圆()222:2410(5209)0C x y kx k y k k +++++++=. (1)若圆C 与圆221x y +=外切，求实数k 的值； (2)当k 在R 中任意取值时，求圆心C 的轨迹方程；(3)是否存在定直线l ，使得：动圆C 截直线l若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1)0k =或4k =- (2)25y x =-(3)存在，且l 的方程为5202x y --=或15202x y --=.【分析】（1）根据两圆外切列方程，化简求得k 的值. （2）求得C 的坐标并消去参数k ，从而求得C 的轨迹方程.（3）求得圆心到直线l 的距离，根据两平行线间的距离公式求得正确答案.【详解】（1）圆()222:2410(5209)0C x y kx k y k k +++++++=()22222225(42025)16x kx k y k y k k ++++++++=，()()222254x k y k ++++=，所以圆C 的圆心为(),25C k k ---，半径4r =. 圆221x y +=的圆心为()0,0，半径为1，由于圆C 与圆221x y +=415=+=， 解得0k =或4k =-.（2）由（1）得(),25C k k ---，即25x ky k =-⎧⎨=--⎩，消去k 得25y x =-，所以圆心C 的轨迹方程为25y x =-.（3）设直线l 交圆C 于,A B 两点，设(),25C k k ---到直线l 的距离为d ，则AB =l ，2259516,,44d d d ==-==，即圆心C 与直线l ， 而圆心C 的轨迹方程为250x y --=，所以可设直线l 的方程为20x y t -+=552t =+=， 解得52t =-或152t =-，所以存在符合题意的定直线l ，且定直线l 的方程为5202x y --=或15202x y --=.21．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．设点(4,3)P ，记PA 、PB 的斜率分别为1k 和2k ．（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线l 的斜率等于1-，求出12k k ⋅的值；（3）探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出12k k +的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）12；（3）2. 【分析】（1）根据椭圆过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ，得到2,1a c ==求解.（2）设直线l 的方程为1y x =-+,联立221143y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，然后利用韦达定理和斜率公式求解. （3）分直线AB 的斜率不存在和直线AB 的斜率存在讨论，当直线AB 的斜率不存在时求得A ，B 的坐标，利用斜率公式求解；当直线AB 的斜率存在时，设()1y k x =-，联立 ()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，然后利用韦达定理和斜率公式求解.【详解】（1）因为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ， 所以2,1a c ==，所以 23b =，所以椭圆C 的方程是22143x y +=； （2）设直线l 的方程为1y x =-+，()()1122,,,A x y B x y ， 由221143y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得27880x x --=， 由根与系数的关系得121288,77x x x x +=⋅=-， 所以1212123344y y k k x x --=⋅--， 12122244x x x x ----=⋅--， ()()121212122214162x x x x x x x x ⋅+++==⋅-++． （3）当直线AB 的斜率不存在时，331,,1,22A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1233332221414k k ---+=⋅=--， 当直线AB 的斜率存在时，设()1y k x =-，()()1122,,,A x y B x y ，由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()()22224384120k x k x k +-+-=， 由根与系数的关系得221212228412,4343k k x x x x k k -+=⋅=++， 所以1212123344y y k k x x --+=+--， ()()()()1212121225383416kx x k x x k x x x x ⋅-++++=⋅-++． ()()()()22222222224128253837214343241283614164343k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫--+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭===⎛⎫-+-+ ⎪++⎝⎭. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。

山西省2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|}A x y lnx ==，集合{|sin B y y x ==，}x A ∈，则(A B = )A ．[1-，)∞B ．(0，1]C ．(0,1)D ．(0,)+∞〖解 析〗{|}(0,)A x y lnx ===+∞，集合{|sin B y y x ==，}[1x A ∈=-，1]，(0A B ∴=，1]，〖答 案〗B2．某次体育考试，甲、乙的成绩达到优秀的概率分别为0.4，0.9，两人的成绩互不影响，则甲、乙两人的成绩都未达到优秀的概率为( ) A ．0.06B ．0.36C ．0.28D ．0.64〖解 析〗甲、乙达到优秀的概率分别是0.4、0.9， 则甲、乙未达到优秀的概率分别是10.4-和10.9-， 又甲、乙两人考试成绩互不影响，相互独立．∴甲、乙都未达到优秀的概率为(10.4)(10.9)0.06P =-⨯-=．〖答 案〗A3．若复数z 满足1z i =-+，则下列说法正确的是( ) A ．z 的虚部为iB ．z 的共轭复数为1z i =+C ．z 在复平面内对应的点在第三象限D ．||z =〖解 析〗1z i =-+，z ∴的虚部为1，1z i =--，z 在复平面内对应的点(1,1)-在第二象限，|||1|z i =--=ABC 错误，D 正确．〖答 案〗D4．数据22，24，32，33，35，28，56，x 的第65百分位数为35，则x 的取值可以是() A ．20B ．25C ．30D ．35〖解 析〗865% 5.2⨯=，∴这组数据的第65百分位数是第6项数据35，35x ∴．〖答 案〗D5．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，3A π=，2b =，8c =，则2sin 2sin sin a b cA B C-+-+值等于( )AB． CD〖解 析〗由余弦定理得22212cos 464228522a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，解得a =ABC ∆外接圆半径为R ，则22sin 4sin 2sin 2sin 2sin sin sin 2sin sin sin a b c R A R B R C a R A B C A B C A -+-+=====-+-+． 〖答 案〗C6．设平面向量a ，b 满足||12a =，(1,22)b =，18a b ⋅=，则b 在a 方向上的投影向量为() A ．18aB ．18bC ．12aD ．12b〖解 析〗||12a =，18a b ⋅=，∴b 在a 方向上的投影向量1811||||12128a b a a a a a ⋅=⋅=⋅⋅=． 〖答 案〗A7．正三棱锥P ABC -的底面边长等于球O 的半径，且正三棱锥P ABC -的高等于球O 的直径，则球O的体积与正三棱锥P ABC -体积的比值为( ) ABC D ． 〖解析〗设球O 的半径为r，球O 的体积为3143V r π=，正三棱锥P ABC -的底面积2212S r =，2h r =，棱锥的体积为232123V r =⨯=．所以12V V 〖答 案〗C8．已知点P 在ABC ∆的边BC 上，2AP PC CA ===，ABC ∆，则sin (PAB ∠= )A B C D〖解 析〗因为2AP PC CA ===，故等边三角形APC 的面积212sin 602APC S ∆=⨯⨯︒=，又ABC ∆1sin1202ABP S PA PB ∆=⋅⋅︒=， 解得3PB =，故5BC =，所以在ABC ∆中，22226019AB BC AC BC AC =+-⋅⋅︒=，故AB =，所以sin sin AB BPAPB PAB=∠∠3sin PAB =∠，解得：sin PAB ∠=． 〖答 案〗D9．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是( )A ．直线CD 与直线GH 异面B ．直线CD 与直线EF 共面C ．直线AB 与直线EF 异面D ．直线GH 与直线EF 共面〖解 析〗如图，点C 与点G 重合，故A 错误；//CE BD ，且CE BD =，∴四边形CDBE 是平行四边形，//CD EF ∴，CD ∴与EF 是共面直线，故B 正确；AB EF B =，AB ∴与EF 相交，故C 错误；EF ，GH 不在一个平面内，且EF 与GH 既不平行也不相交，EF ∴，GH 是异面直线，故D 错误．〖答 案〗B10．甲、乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是13，从乙盒中摸出一个红球的概率是12，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列结论错误的是( ) A ．小明得6分的概率为16B ．小明得分低于6分的概率为13C ．小明得分不少于3分的概率为23D ．小明恰好得3分的概率为12〖解 析〗设“从甲盒中摸出一个红球”为事件1A ，“从乙盒中摸出一个红球”为事件2A ， 则11()3P A =，21()2P A =，且1A ，2A 独立． 对选项A ，小明得（6分）的概率为111326⨯=，故A 正确；对选项B ，小明得分低于（6分）的概率为15166-=，故B 错误； 对选项C ，小明得分不少于（3分）的概率为122121()()1323P A P A -=-⨯=，故C 正确；在D 中，小明恰好得（3分）的概率为1121132322⨯+⨯=，故D 正确．〖答 案〗B11．下列四个等式中正确的是( )A．tan 205tan35205tan35︒+︒︒︒=B ．2tan811tan8ππ=-C ．221cos sin 882ππ-=D．14sincos1818π=〖解 析〗对于A，tan 205tan35tan 240tan(20535)1tan 205tan35︒+︒︒=︒+︒==-︒︒，tan 205tan35205tan35∴︒+︒︒⋅︒A 错误，对于B ，原式22tan1118tan 224218tan πππ=⋅==-，故B 错误，对于C，原式cos4π==，故C 错误， 对于D，7cos 2(coscossinsin )4cos11818183183181sincossincossin sin 18181818299ππππππππππππ---=== 4cos()4sin2994sin sin 99πππππ-===，故D 正确． 〖答 案〗D12．若点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -表面上的动点，点M 是棱11A D 的中点，AP DM ⊥，则线段AP 长度的最大值为( )AB．C ．3D．〖解 析〗分别取1DD ，1CC 中点E ，F ，连接EA ，EF ，FB ，首先EF 与CD 平行且相等，CD 与AB 平行且相等，因此EF 与AB 平行且相等，四边形EFBA 是平行四边形，在同一平面内，易得ADE ∆≅△1DD M ，1EAD MDD ∠=∠，所以190EAD MDA MDD MDA ∠+∠=∠+∠=︒，所以MD AE ⊥， 又AB ⊥平面11ADD A ，MD ⊂平面11ADD A ，所以AB MD ⊥， 又AEAB A =，AB ，AE ⊂平面ABFE ，所以MD ⊥平面ABFE ．而MD AP ⊥，则P ∈平面ABFE ，所以P 点轨迹是矩形ABEF （除A 点）， 四边形ABFE 是矩形，当P 与F 重合时，AF3=．〖答 案〗C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若幂函数()y f x =的图象过点1(2,)4，则此函数的〖解 析〗式为 ．〖解 析〗设幂函数为a y x =，幂函数()y f x =的图象过1(2,)4，∴124a =，解得2a =-．21()f x x∴=．〖答 案〗21x14．如图，作用于同一点O 的三个力1F ，2F ，3F 处于平衡状态，已知1||1F =，2||F ，1F 与2F 的夹角为34π，则3F 的大小为 ．〖解 析〗三个力1F ，2F ，3F 处于平衡状态，123F F F ∴+=-，1||1F =，2||F =，1F 与2F 的夹角为34π，∴22223121212()21221(1F F F F F F F =+=++⋅=++⨯=， 3F ∴的大小为1．〖答 案〗115．关于函数()sin()sin 6f x x x π=+-①其表达式可写成()cos(2)6f x x π=-+；②曲线()y f x =关于直线12x π=-对称；③()f x 在区间[,]63ππ上单调递增；④(0,)2πα∃∈，使得()(3)f x f x αα+=+恒成立．其中正确的是 （填写正确的序号）， 〖解 析〗函数11cos21()sin()sin cos )sin sin26224x f x x x x x x x π-=+=+=+11sin2sin(2)423x x x π==-， 对于①：由于11()sin(2)cos(2)2326f x x x ππ=-=-+，故①正确；对于②：函数()f x 满足11()sin()12222f ππ-=-=-，故②正确； 对于③：由于[,]63x ππ∈，故2[0,]33x ππ-∈，故函数在该区间上单调递增，故③正确；对于④，当4πα=时，使得3()()44f x f x ππ+=+恒成立，故④恒成立． 〖答 案〗①②③④16．如图所示，边长为a 的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将ADE ，EBF ，FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A ，B ，C 三点重合于点A '，若四面体A EFD '的四个顶点在同一个球面上，且该球的表面积为6π，则a = ．〖解 析〗由题意可知△A EF '是等腰直角三角形，且90EA F ∠'=︒，又易知A E A D '⊥'，A F A D '⊥'，A E A F A ''='，A E '，A F '⊂平面A EF '，所以A D '⊥平面A EF '，将三棱锥的底面A EF '扩展为边长为2a的正方形， 然后扩展为底面边长为2a，高为a 的正四棱柱， 则三棱锥A EFD '-的外接球与正四棱柱的外接球相同，正四棱柱的对角线的长度就是外接，所以外接球的半径为R =，故球的表面积为222344)62S R a ππππ==⋅==，所以2a =． 〖答 案〗2三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）已知函数2()(22)x f x m m m =--⋅是指数函数．（1）求实数m 的值；（2）解不等式22(2)(1)mm x x +<-．解：（1）由题意函数2()(22)x f x m m m =--⋅是指数函数，可知222101m m m m ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩，求得3m =．（2）由（1）得，不等式即3322(2)(1)x x +<-，32y x =在[0，)+∞上单调递增，∴201021x x x x+⎧⎪-⎨⎪+<-⎩，解得122x -<-， 故原不等式的解集为1[2,)2--．18．（12分）为减少水资源的浪费，某市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度．为了确定一个较为合理的用水标准，有关部门通过随机抽样调查的方式，获得过去一年4000户居民的月均用水量数据（单位：吨），并根据获得的数据制作了频率分布表：（1）求m ，n ，p ，q 的值；（2）求所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率；（3）若在第4，5，6组用按比例分配的分层抽样的方法随机抽取6户做问卷调查，并在这6户中任选2户进行座谈会，求这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的概率． 解：（1）由表中数据可得，4000(0.04610)1840m =⨯⨯=，0.046100.46n =⨯=，0.018100.0018p =÷=，40000.00624q =⨯=．（2）所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率为0.0180.0120.0060.036++=．（3）用分层抽样的方法在4，5，6，组随机抽取6户做回访调查的人数分别为3，2，1， 设上述6户分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ，在这6户中任选2户进行座谈会，分别有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种，其中这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的事件为AF ，BF ，CF ，DF ，EF ，共5种， 故所求概率为51153P ==． 19．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，E 是线段PB 的中点，F 是线段DC 上的点，且12DF AB =．（1）证明：//EF 平面PAD ；（2）若AB ⊥平面PAD ，PD AD =，PH AD ⊥，且PHAD H =．记直线PB 与平面ABCD所成角为α，直线PB 与平面PAD 所成角为β，比较cos α与sin β的大小，并说明理由． （1）证明：取PA 的中点M ，连接DM ，EM ，E 是PB 的中点，//EM AB ∴，且12EM AB =， 又//AB CD ，12DF AB =， //EM DF ∴，且EM DF =，∴四边形EFDM 为平行四边形，//EF DM ∴，DM ⊂平面PAD ，EF ⊂/平面PAD ，//EF ∴平面PAD ．（2）解：连接BH ，AB ⊥平面PAD ，PH ⊂面PAD ，PH AB ∴⊥，又PH AD ⊥，ABAD A =，AB ，AD ⊂平面ABCD ，PH ∴⊥平面ABCD ，即PBH ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，∴cos cos BHPBH PBα=∠=， AB ⊥平面PAD ，BPA ∴∠为直线PB 与平面PAD 所成角，又PA ⊂平面PAD ，PA AB ∴⊥，即sin sin ABBPA PBβ=∠=， 在PAD ∆中，PD AD =，H ∴与A 不重合，AB BH ∴≠， 在Rt ABH ∆中，AB BH <，sin cos βα∴<．20．（12分）已知复数1z a bi =+，a R ∈，b R ∈，0b ≠，2114z z z =+，221z -<． （1）求实数a 的取值范围； （2）若1122z z ω-=+，求22||z ω-的最小值． 解：（1）2122221444()()a b z z a b i z a b a b =+=++-++ 221z -<，2z ∴是实数，∴224bb a b=+，即224a b +=，22z a ∴=， 221z -<，221a ∴-<，即112a-<， 1z ∴的实部的取值范围为1(1,]2-；（2）2212212244422(2)842z a bi a b bi bi biz a bi a b a a ω--+-++=====+++++++， 222222()22(2)bi b z a a a a ω--=-=-++， 224a b +=，∴2222424222(2)5(2)22a a z a a a a a aω---=+=+=++-+++， 1(1,]2a ∈-，20a ∴+>，∴当42(2)2a a=++时，即2a =-22zω-取到最小值5， 又50>，故22||z ω-的最小值为5．21．（12分）如图，在四边形ABCD 中，3AB =，AD BCD ∆是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，BAD θ∠=，(,)2πθπ∈．（1）当cos θ=时，求AC ； （2）当四边形ABCD 的面积取最大值时，求BD ．解：（1）由题干可知，在ABD ∆中，3AB =，AD =cos θ=．则由余弦定理可得到：2222cos 1414620BD AB AD AB AD θθ=+-⋅=-=+=．解得BD =又因为(,)2πθπ∈，故sin θ==．再根据正弦定理得sin sin BD ABBAD ADB =∠∠3sin ADB =∠． 解得3sin 5ADB ∠=，由题意知在BCD ∆中，D 为直角，且BCD ∆是等腰直角三角形，所以2CDB π∠=且CD BD ==故得到3cos cos()sin 25ADC ADB ADB π∠=∠+=-∠=-．在ACD ∆中，由余弦定理得AC =（2）根据第一问可得：214BD θ=-，2113sin 722ABCD ABD BCD S S S BD θθθ∆∆=+=⨯+⨯=+-1572cos )7sin()2θθθϕ=-=+-．此时sin ϕ=cos ϕ= 又因为(0,)2πϕ∈，当2πθϕ-=时，四边形ABCD 的面积取得最大值．即2πθϕ=+，解得sin θ=cos θ=所以21414(26BD θ=-=-=．即BD22．（12分）如图，在三棱柱111?ABC A B C 中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，160A AC ACB ∠=∠=︒，12C C AC BC ==，D 是BC 的中点．（1）证明：平面11A B D ⊥平面11BB C C ；（2）若2BC =，分别求过1A ，1B ，D 三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积． （1）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，取AC 的中点H ，连接1A H ，HD ，1A C ， 因为H ，D 分别为AC ，BC 的中点，所以//HD AB ，所以11//HD A B ， 所以平面11A HDB 即为平面11A B D ，因为160A AC ∠=︒，1AA AC =，所以△1A AC 为正三角形，所以1A H AC ⊥， 又平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A ⋂平面ABC AC =，1A H ⊂平面11ACC A ， 所以1A H ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以1A H BC ⊥， 在ABC ∆中，2AC BC =，60ACB ∠=︒，由余弦定理可得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，即AB ， 所以222AC AB BC =+，即AB BC ⊥，因为//HD AB ，所以BC HD ⊥， 因为1A HHD H =，1A H ⊂平面11A HDB ，HD ⊂平面11A HDB ，所以BC ⊥平面11A HDB ，又BC ⊂平面11BB C C ，所以平面11A HDB ⊥平11BB C C ，即平面11A B D ⊥平面11BB C C ； （2）解：因为2BC =，所以14AC AA ==，因为H ，D 分别为AC ，BC 的中点，且11111//,2HD A B HD A B =， 所以111HDC A B C -是三棱台，因为ABC ∆中，,2AB BC AB BC ⊥==，所以11222ABC S AB BC ∆=⋅=⨯=，所以111A B C S =14HDC ABC S S ∆∆==，又1A H ⊥平面ABC ，且1A H =111HDC A B C -的体积1111111111()33HDC A B C HDC A B C V A H S S S S∆∆=++⋅=⨯+ 173=⨯，所以剩余几何体的体积111111212752ABC A B C HDC A B C V V V --=-=⨯⨯=，所以过A ，1B ，D 三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积分别为5和7．山西省2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|}A x y lnx ==，集合{|sin B y y x ==，}x A ∈，则(A B = )A ．[1-，)∞B ．(0，1]C ．(0,1)D ．(0,)+∞〖解 析〗{|}(0,)A x y lnx ===+∞，集合{|sin B y y x ==，}[1x A ∈=-，1]，(0A B ∴=，1]，〖答 案〗B2．某次体育考试，甲、乙的成绩达到优秀的概率分别为0.4，0.9，两人的成绩互不影响，则甲、乙两人的成绩都未达到优秀的概率为( ) A ．0.06B ．0.36C ．0.28D ．0.64〖解 析〗甲、乙达到优秀的概率分别是0.4、0.9， 则甲、乙未达到优秀的概率分别是10.4-和10.9-， 又甲、乙两人考试成绩互不影响，相互独立．∴甲、乙都未达到优秀的概率为(10.4)(10.9)0.06P =-⨯-=．〖答 案〗A3．若复数z 满足1z i =-+，则下列说法正确的是( ) A ．z 的虚部为iB ．z 的共轭复数为1z i =+C ．z 在复平面内对应的点在第三象限D．||z =〖解 析〗1z i =-+，z ∴的虚部为1，1z i =--，z 在复平面内对应的点(1,1)-在第二象限，|||1|z i =--=ABC 错误，D 正确．〖答 案〗D4．数据22，24，32，33，35，28，56，x 的第65百分位数为35，则x 的取值可以是() A ．20B ．25C ．30D ．35〖解 析〗865% 5.2⨯=，∴这组数据的第65百分位数是第6项数据35，35x ∴．〖答 案〗D5．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，3A π=，2b =，8c =，则2sin 2sin sin a b cA B C-+-+值等于( )AB． CD〖解 析〗由余弦定理得22212cos 464228522a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，解得a =ABC ∆外接圆半径为R ，则22sin 4sin 2sin 2sin 2sin sin sin 2sin sin sin a b c R A R B R C a R A B C A B C A -+-+=====-+-+． 〖答 案〗C6．设平面向量a ，b 满足||12a =，(1,22)b =，18a b ⋅=，则b 在a 方向上的投影向量为()A ．18aB ．18bC ．12aD ．12b〖解 析〗||12a =，18a b ⋅=，∴b 在a 方向上的投影向量1811||||12128a b a a a a a ⋅=⋅=⋅⋅=． 〖答 案〗A7．正三棱锥P ABC -的底面边长等于球O 的半径，且正三棱锥P ABC -的高等于球O 的直径，则球O的体积与正三棱锥P ABC -体积的比值为( ) ABC D ． 〖解析〗设球O 的半径为r ，球O 的体积为3143V r π=，正三棱锥P ABC -的底面积2212S r =，2h r =，棱锥的体积为232123V r =⨯=．所以12V V〖答 案〗C8．已知点P 在ABC ∆的边BC 上，2AP PC CA ===，ABC∆，则sin (PAB ∠= )ABCD 〖解 析〗因为2AP PC CA ===，故等边三角形APC的面积212sin 602APC S ∆=⨯⨯︒=，又ABC ∆1sin1202ABP S PA PB ∆=⋅⋅︒=， 解得3PB =，故5BC =，所以在ABC ∆中，22226019AB BC AC BC AC =+-⋅⋅︒=， 故AB =， 所以sin sin AB BPAPB PAB=∠∠3sin PAB=∠，解得：sin PAB ∠=． 〖答 案〗D9．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是( )A ．直线CD 与直线GH 异面B ．直线CD 与直线EF 共面C ．直线AB 与直线EF 异面D ．直线GH 与直线EF 共面〖解 析〗如图，点C 与点G 重合，故A 错误；//CE BD ，且CE BD =，∴四边形CDBE 是平行四边形，//CD EF ∴，CD ∴与EF 是共面直线，故B 正确；AB EF B =，AB ∴与EF 相交，故C 错误；EF ，GH 不在一个平面内，且EF 与GH 既不平行也不相交，EF ∴，GH 是异面直线，故D 错误．〖答 案〗B10．甲、乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是13，从乙盒中摸出一个红球的概率是12，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列结论错误的是( ) A ．小明得6分的概率为16B ．小明得分低于6分的概率为13C ．小明得分不少于3分的概率为23D ．小明恰好得3分的概率为12〖解 析〗设“从甲盒中摸出一个红球”为事件1A ，“从乙盒中摸出一个红球”为事件2A ， 则11()3P A =，21()2P A =，且1A ，2A 独立． 对选项A ，小明得（6分）的概率为111326⨯=，故A 正确；对选项B ，小明得分低于（6分）的概率为15166-=，故B 错误； 对选项C ，小明得分不少于（3分）的概率为122121()()1323P A P A -=-⨯=，故C 正确；在D 中，小明恰好得（3分）的概率为1121132322⨯+⨯=，故D 正确．〖答 案〗B11．下列四个等式中正确的是( )A．tan 205tan35205tan35︒+︒︒︒=B ．2tan811tan8ππ=-C ．221cos sin 882ππ-=D．14sincos1818π=〖解 析〗对于A，tan 205tan35tan 240tan(20535)1tan 205tan35︒+︒︒=︒+︒==-︒︒，tan 205tan35205tan35∴︒+︒︒⋅︒A 错误，对于B ，原式22tan1118tan 224218tan πππ=⋅==-，故B 错误， 对于C，原式cos4π==，故C 错误， 对于D，7cos 2(coscossinsin )4cos11818183183181sincossincossin sin 18181818299ππππππππππππ---=== 4cos()4sin2994sin sin 99πππππ-===，故D 正确． 〖答 案〗D12．若点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -表面上的动点，点M 是棱11A D 的中点，AP DM ⊥，则线段AP 长度的最大值为( )AB．C ．3D．〖解 析〗分别取1DD ，1CC 中点E ，F ，连接EA ，EF ，FB ，首先EF 与CD 平行且相等，CD 与AB 平行且相等，因此EF 与AB 平行且相等，四边形EFBA 是平行四边形，在同一平面内，易得ADE ∆≅△1DD M ，1EAD MDD ∠=∠，所以190EAD MDA MDD MDA ∠+∠=∠+∠=︒，所以MD AE ⊥， 又AB ⊥平面11ADD A ，MD ⊂平面11ADD A ，所以AB MD ⊥， 又AEAB A =，AB ，AE ⊂平面ABFE ，所以MD ⊥平面ABFE ．而MD AP ⊥，则P ∈平面ABFE ，所以P 点轨迹是矩形ABEF （除A 点），四边形ABFE 是矩形，当P 与F 重合时，AF 3=．〖答 案〗C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若幂函数()y f x =的图象过点1(2,)4，则此函数的〖解 析〗式为 ．〖解 析〗设幂函数为a y x =，幂函数()y f x =的图象过1(2,)4，∴124a =，解得2a =-．21()f x x∴=．〖答 案〗21x14．如图，作用于同一点O 的三个力1F ，2F ，3F 处于平衡状态，已知1||1F =，2||F ，1F 与2F 的夹角为34π，则3F 的大小为 ．〖解 析〗三个力1F ，2F ，3F 处于平衡状态，123F F F ∴+=-，1||1F =，2||F =，1F 与2F 的夹角为34π，∴22223121212()21221(12F F F F F F F =+=++⋅=++⨯-=，3F ∴的大小为1．〖答 案〗115．关于函数()sin()sin 6f x x x π=+-①其表达式可写成()cos(2)6f x x π=-+；②曲线()y f x =关于直线12x π=-对称；③()f x 在区间[,]63ππ上单调递增；④(0,)2πα∃∈，使得()(3)f x f x αα+=+恒成立．其中正确的是 （填写正确的序号）， 〖解 析〗函数11cos21()sin()sin cos )sin sin26224x f x x x x x x x π-=+=+=+11sin2sin(2)423x x x π==-， 对于①：由于11()sin(2)cos(2)2326f x x x ππ=-=-+，故①正确；对于②：函数()f x 满足11()sin()12222f ππ-=-=-，故②正确； 对于③：由于[,]63x ππ∈，故2[0,]33x ππ-∈，故函数在该区间上单调递增，故③正确；对于④，当4πα=时，使得3()()44f x f x ππ+=+恒成立，故④恒成立． 〖答 案〗①②③④16．如图所示，边长为a 的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将ADE ，EBF ，FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A ，B ，C 三点重合于点A '，若四面体A EFD '的四个顶点在同一个球面上，且该球的表面积为6π，则a = ．〖解 析〗由题意可知△A EF '是等腰直角三角形，且90EA F ∠'=︒，又易知A E A D '⊥'，A F A D '⊥'，A E A F A ''='，A E '，A F '⊂平面A EF '，所以A D '⊥平面A EF '，将三棱锥的底面A EF '扩展为边长为2a的正方形， 然后扩展为底面边长为2a，高为a 的正四棱柱， 则三棱锥A EFD '-的外接球与正四棱柱的外接球相同，正四棱柱的对角线的长度就是外接，所以外接球的半径为R =，故球的表面积为222344)62S R a ππππ==⋅==，所以2a =． 〖答 案〗2三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）已知函数2()(22)x f x m m m =--⋅是指数函数． （1）求实数m 的值；（2）解不等式22(2)(1)mm x x +<-．解：（1）由题意函数2()(22)x f x m m m =--⋅是指数函数，可知222101m m m m ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩，求得3m =．（2）由（1）得，不等式即3322(2)(1)x x +<-，32y x =在[0，)+∞上单调递增，∴201021x x x x+⎧⎪-⎨⎪+<-⎩，解得122x -<-，故原不等式的解集为1[2,)2--．18．（12分）为减少水资源的浪费，某市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度．为了确定一个较为合理的用水标准，有关部门通过随机抽样调查的方式，获得过去一年4000户居民的月均用水量数据（单位：吨），并根据获得的数据制作了频率分布表：（1）求m，n，p，q的值；（2）求所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率；（3）若在第4，5，6组用按比例分配的分层抽样的方法随机抽取6户做问卷调查，并在这6户中任选2户进行座谈会，求这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的概率．解：（1）由表中数据可得，4000(0.04610)1840m=⨯⨯=，0.046100.46n=⨯=，0.018100.0018p=÷=，40000.00624q=⨯=．（2）所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率为0.0180.0120.0060.036++=．（3）用分层抽样的方法在4，5，6，组随机抽取6户做回访调查的人数分别为3，2，1，设上述6户分别为A，B，C，D，E，F，在这6户中任选2户进行座谈会，分别有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种，其中这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的事件为AF，BF，CF，DF，EF，共5种，故所求概率为51153P==．19．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD-中，//AB CD，E是线段PB的中点，F是线段DC上的点，且12DF AB=．（1）证明：//EF 平面PAD ；（2）若AB ⊥平面PAD ，PD AD =，PH AD ⊥，且PHAD H =．记直线PB 与平面ABCD所成角为α，直线PB 与平面PAD 所成角为β，比较cos α与sin β的大小，并说明理由． （1）证明：取PA 的中点M ，连接DM ，EM ，E 是PB 的中点，//EM AB ∴，且12EM AB =， 又//AB CD ，12DF AB =， //EM DF ∴，且EM DF =，∴四边形EFDM 为平行四边形，//EF DM ∴，DM ⊂平面PAD ，EF ⊂/平面PAD ，//EF ∴平面PAD ．（2）解：连接BH ，AB ⊥平面PAD ，PH ⊂面PAD ，PH AB ∴⊥，又PH AD ⊥，ABAD A =，AB ，AD ⊂平面ABCD ，PH ∴⊥平面ABCD ，即PBH ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，∴cos cos BHPBH PBα=∠=， AB ⊥平面PAD ，BPA ∴∠为直线PB 与平面PAD 所成角，又PA ⊂平面PAD ，PA AB ∴⊥，即sin sin ABBPA PBβ=∠=， 在PAD ∆中，PD AD =，H ∴与A 不重合，AB BH ∴≠， 在Rt ABH ∆中，AB BH <，sin cos βα∴<．20．（12分）已知复数1z a bi =+，a R ∈，b R ∈，0b ≠，2114z z z =+，221z -<． （1）求实数a 的取值范围；（2）若1122z z ω-=+，求22||z ω-的最小值． 解：（1）2122221444()()a b z z a b i z a b a b =+=++-++ 221z -<，2z ∴是实数，∴224bb a b=+，即224a b +=，22z a ∴=， 221z -<，221a ∴-<，即112a-<， 1z ∴的实部的取值范围为1(1,]2-；（2）2212212244422(2)842z a bi a b bi bi biz a bi a b a a ω--+-++=====+++++++， 222222()22(2)bi b z a a a a ω--=-=-++， 224a b +=，∴2222424222(2)5(2)22a a z a a a a a aω---=+=+=++-+++，1(1,]2a ∈-，20a ∴+>，∴当42(2)2a a=++时，即2a =-22z ω-取到最小值5， 又50>，故22||zω-的最小值为5．21．（12分）如图，在四边形ABCD 中，3AB=，AD BCD ∆是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，BAD θ∠=，(,)2πθπ∈．（1）当cos θ=时，求AC ； （2）当四边形ABCD 的面积取最大值时，求BD ．解：（1）由题干可知，在ABD ∆中，3AB=，AD=cos θ=． 则由余弦定理可得到：2222cos 1414620BD AB AD AB AD θθ=+-⋅=-=+=．解得BD =又因为(,)2πθπ∈，故sin θ==．再根据正弦定理得sin sin BD ABBAD ADB =∠∠3sin ADB=∠． 解得3sin 5ADB ∠=，由题意知在BCD ∆中，D 为直角，且BCD ∆是等腰直角三角形，所以2CDB π∠=且CD BD ==故得到3cos cos()sin 25ADC ADB ADB π∠=∠+=-∠=-．在ACD ∆中，由余弦定理得AC =（2）根据第一问可得：214BD θ=-，2113sin 722ABCD ABD BCD S S S BD θθθ∆∆=+=⨯+⨯=+-1572cos )7sin()2θθθϕ=-=+-．此时sin ϕ=cos ϕ= 又因为(0,)2πϕ∈，当2πθϕ-=时，四边形ABCD 的面积取得最大值．即2πθϕ=+，解得sin θ=cos θ=所以21414(26BD θ=-=-=．即BD22．（12分）如图，在三棱柱111?ABC A B C 中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，160A AC ACB ∠=∠=︒，12C C AC BC ==，D 是BC 的中点．（1）证明：平面11A B D ⊥平面11BB C C ；（2）若2BC =，分别求过1A ，1B ，D 三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积．（1）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，取AC 的中点H ，连接1A H ，HD ，1A C ， 因为H ，D 分别为AC ，BC 的中点，所以//HD AB ，所以11//HD A B ， 所以平面11A HDB 即为平面11A B D ，因为160A AC ∠=︒，1AA AC =，所以△1A AC 为正三角形，所以1A H AC ⊥， 又平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A ⋂平面ABC AC =，1A H ⊂平面11ACC A ， 所以1A H ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以1A H BC ⊥， 在ABC ∆中，2AC BC =，60ACB ∠=︒，由余弦定理可得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，即AB ， 所以222AC AB BC =+，即AB BC ⊥，因为//HD AB ，所以BC HD ⊥， 因为1A HHD H =，1A H ⊂平面11A HDB ，HD ⊂平面11A HDB ，所以BC ⊥平面11A HDB ，又BC ⊂平面11BB C C ，所以平面11A HDB ⊥平11BB C C ，即平面11A B D ⊥平面11BB C C ； （2）解：因为2BC =，所以14AC AA ==，因为H ，D 分别为AC ，BC 的中点，且11111//,2HD A B HD A B =， 所以111HDC A B C -是三棱台，因为ABC ∆中，,2AB BC AB BC ⊥==，所以11222ABC S AB BC ∆=⋅=⨯=，所以111A B C S =14HDC ABC S S ∆∆==，又1A H ⊥平面ABC ，且1A H =111HDC A B C -的体积1111111111()33HDC A B C HDC A B C V A H S S S S∆∆=++⋅=⨯+ 173=⨯，所以剩余几何体的体积111111212752ABC A B C HDC A B C V V V --=-=⨯⨯=，所以过A ，1B ，D 三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积分别为5和7．。

福州2023—2024学年第二学期期末考试高一年级数学（答案在最后）（全卷共4页，四大题，19小题；满分：150分；时间：120分钟）班级__________座号__________姓名__________注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填涂自己的准考证号､姓名.考生要认真核对答题卡上的“准考证号､姓名”与考生本人准考证号､姓名是否一致.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上规定的范围内书写作答，请不要错位､越界答题!在试题卷上作答的答案无效.3.考试结束，考生必须将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知样本数据10，11，9，13，10，9，12，则这组样本数据的上四分位数为（）A.9B.10C.11D.122.已知复数12z i =-，则zz=（）A.12B.1C.2D.43.设l ，m 是两条直线，α，β是两个平面，则（）A.若//αβ，//l α，//m β，则//l mB.若//αβ，//l m ，m β⊥，则l α⊥C .若αβ⊥，//l α，//m β，则l m⊥D.若αβ⊥，//l α，//m β，则//l m4.已知向量,a b 满足||||a b == =0a b ⋅，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则下列各式一定成立的是（）A.0λμ+= B.1λμ+=- C.0λμ= D.1λμ=-5.如图，某人为测量塔高AB ，在河对岸相距s 的C ，D 处分别测得BCD α∠=，BCA ∠=β，BDC γ∠=（其中C ，D 与塔底B 在同一水平面内），则塔高AB =（）A.()sin tan sin s γβαγ⋅+B.()sin sin tan s γαγβ⋅+C.()sin sin tan s αγγβ⋅+D.()sin sin sin s αγγβ⋅+6.如图，圆锥底面半径为23，母线2PA =，点B 为PA 的中点，一只蚂蚁从A 点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B 点，其最短路线长度和其中下坡路段长分别为（）A.277,3B.77,3C.77,3D.77,77.依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，1A 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，2A 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，3A 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，4A 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（）A.3A 与4A 为对立事件B.1A 与3A 为相互独立事件C.2A 与4A 为相互独立事件D.2A 与4A 为互斥事件8.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ===BPA CPA CPB ∠=∠=∠，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a =，222sin a b c ab C +-=，cos sin a B b A c +=，则下列结论正确的是（）A.tan 2C = B.π4A =C.b =D.△ABC 的面积为610.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A.图（1）的平均数=中位数=众数B.图（2）的平均数<众数<中位数C.图（2）的众数<中位数<平均数D.图（3）的平均数<中位数<众数11.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，所有棱长均2，60BAD ∠=︒，P 为1CC 的中点，点Q 在四边形11DCC D 内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（）A.当点Q 在线段1CD 上运动时，四面体1A BPQ 的体积为定值B.若AQ//平面1A BP ，则AQC.若1A BQ △的外心为M ，则11AB A M ⋅为定值2D.若1AQ =，则点Q 的轨迹长度为23π三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC 中，120,2,ACB AC AB ACB ∠∠===的角平分线交AB 于D ，则CD =__________.13.某同学用“随机模拟方法”计算曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[]1,e 上的均匀随机数i x 和10个在区间[]0,1上的均匀随机数i y （*,110i N i ∈≤≤），其数据如下表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22y 0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为_________．14.若正四面体ABCD 的顶点都在一个表面积为6π的球面上，过点C 且与BD 平行的平面α分别与棱,AB AD 交于点,E F ，则空间四边形BCFE 的四条边长之和的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.成都石室中学生物基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm ）介于[]15,25之间，现对生物基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.（1）求a 的值；（2）若从高度在[)15,17和[)17,19中分层抽样抽取5株，再在这5株中随机抽取2株，求抽取的2株高度均在[)17,19内的概率.16.在平面四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，135C ∠=︒，BD =CD =.（1）求cos CBD ∠；（2）若ABD △为锐角三角形，求ABD △的面积的取值范围.17.年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味问答活动．该活动共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正确的概率为23，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为215，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的概率为310；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为324,,435．且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影响．（1）在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率；（2）分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率．18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，M 为棱AC 的中点，AB BC =，2AC =，1AA =.（1）求证：1//B C 平面1A BM ；（2）求证：1AC ⊥平面1A BM ；（3）在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AA C C ？如果存在，求此时1BN BB 的值；如果不存在，请说明理由.19.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==，18.439≈，()()1618.5 2.78ii x x i =--=-∑其中ix 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,...,16i =.（1）求()(),1,2,...,16i x i i =的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在()3,3x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.（i ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ii ）请利用已经学过的方差公式：()2211n i i s x x n ==-∑来证明方差第二公式22211n i i s x n x ==-∑.（iii ）在()3,3x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，并利用（ii ）中公式估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.（精确到0.01）附：样本()(),1,2,...,i i x y i n =的相关系数ˆniix ynxyr-=∑0.09≈.福州2023—2024学年第二学期期末考试高一年级数学（全卷共4页，四大题，19小题；满分：150分；时间：120分钟）班级__________座号__________姓名__________注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填涂自己的准考证号､姓名.考生要认真核对答题卡上的“准考证号､姓名”与考生本人准考证号､姓名是否一致.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上规定的范围内书写作答，请不要错位､越界答题!在试题卷上作答的答案无效.3.考试结束，考生必须将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知样本数据10，11，9，13，10，9，12，则这组样本数据的上四分位数为（）A.9B.10C.11D.12【答案】D【解析】【分析】利用百分位的定义求解即可.【详解】将样本数据按从小到大的顺序排列为：9，9，10，10，11，12，13．上四分位数即75%分位数，775% 5.25⨯=，所以该组数据的上四分位数为从小到大排列的第6个数，即12，故选：D．2.已知复数12z i=-，则zz=（）A.12B.1C.2D.4【答案】B【解析】【分析】根据条件，利用共轭复数的定义及复数的运算法则，得到34i55zz=--，再利用复数模的定义，即可求出结果.【详解】因为12z i =-，所以12i 14i 434i 12i 555z z ---===--+，得到1z z=，故选：B.3.设l ，m 是两条直线，α，β是两个平面，则（）A.若//αβ，//l α，//m β，则//l mB.若//αβ，//l m ，m β⊥，则l α⊥C.若αβ⊥，//l α，//m β，则l m ⊥D.若αβ⊥，//l α，//m β，则//l m 【答案】B 【解析】【分析】根据线面平行或垂直的判定及性质定理逐个判断即可．【详解】对于A ，若//αβ，//l α，//m β，则l 与m 可能平行，也可能相交，还可能异面，故A 错误；对于B ，若//l m ，m β⊥，则l β⊥，又//αβ，所以l α⊥，故B 正确；对于C ，D ，αβ⊥，//l α，//m β，则l 与m 可能平行，也可能异面或相交，故C ，D 错误；故选：B ．4.已知向量,a b 满足||||a b == =0a b ⋅，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则下列各式一定成立的是（）A.0λμ+=B.1λμ+=- C.0λμ= D.1λμ=-【答案】A 【解析】【分析】由向量垂直得到数量积为0，再由向量的数量积运算化简可得λ和μ的关系.【详解】因为向量,a b 满足||||a b == ，=0a b ⋅，若()()a b a b λμ+⊥+ ，所以22()()(1)()3()0a b a b a a b b λμμλμλλμ+⋅+=++⋅+=+=，所以0λμ+=．故选：A ．5.如图，某人为测量塔高AB ，在河对岸相距s 的C ，D 处分别测得BCD α∠=，BCA ∠=β，BDC γ∠=（其中C ，D 与塔底B 在同一水平面内），则塔高AB =（）A.()sin tan sin s γβαγ⋅+B.()sin sin tan s γαγβ⋅+C.()sin sin tan s αγγβ⋅+D.()sin sin sin s αγγβ⋅+【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，在BCD △中，利用正弦定理求出BC ，再利用直角三角形边角关系求解即得.【详解】在BCD △中，由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD =∠∠，sin sin(π)BC s γαγ=--，则sin sin()s BC γαγ=+，在Rt ABC △中，sin sin tan tan tan sin()sin()s s AB BC ACB γγββαγαγ=∠=⋅=++.故选：A6.如图，圆锥底面半径为23，母线2PA =，点B 为PA 的中点，一只蚂蚁从A 点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B 点，其最短路线长度和其中下坡路段长分别为（）A.277,3B.77,3C.277,3D.277,7【答案】D 【解析】【分析】将圆锥侧面沿母线PA 剪开并展开成扇形，最短路线即为扇形中的直线段AB ，利用余弦定理即可求解，过P 作AB 的垂线，垂足为M ，由题意得到AM 为上坡路段，MB 为下坡路段，计算即可.【详解】如图，将圆锥侧面沿母线PA 剪开并展开成扇形，由题可得该扇形半径2PA =，弧长为24π2π33⨯=，故圆心角4π2π323APB ∠==，最短路线即为扇形中的直线段AB ，由余弦定理可得：222cos 7AB PA PB PA PB APB =+-⋅∠=；2227cos 27PB AB PA PBA PB BA +-∠==⋅，过P 作AB 的垂线，垂足为M ，当蚂蚁从A 点爬行到点M 过程中，它与点P 的距离越来越小，故AM 为上坡路段，当蚂蚁从点M 爬行到点B 的过程中，它与点P 的距离越来越大，故MB 为下坡路段，下坡路段长27cos 7MB PB PBA =⋅∠=，故选：D7.依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，1A 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，2A 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，3A 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，4A 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（）A.3A 与4A 为对立事件B.1A 与3A 为相互独立事件C.2A 与4A 为相互独立事件D.2A 与4A 为互斥事件【答案】C 【解析】【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由3434,A A A A =∅≠Ω 即可判断A ；由1313()()()P A P A P A A ≠即可判断B ；由2424()()()P A P A P A A =即可判断C ，由24A A ≠∅ 即可判断D.【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间Ω如下：()()()()()(){1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),()()()()()()6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6}，共36个样本点．则事件1A 包括(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，共6个，11()6P A =，事件2A 包括(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),，共18个，21()2P A =，事件3A 包括(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)，共5个，35()36P A =，事件4A 包括(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6个，461()366P A ==.对于A ，3434,A A A A =∅≠Ω ，所以3A 与4A 不为对立事件，故A 错误；对于B ，事件13A A 包括(2,4)，则131()36P A A =，又11()6P A =，35()36P A =，所以131315()()()636P A P A P A A =⨯≠，即1A 与3A 不相互独立，故B 错误；对于C ，事件24A A 包括(1,6),(3,4),(5,2)，则241()12P A A =，又21()2P A =，41()6P A =，所以2424111()()()2612P A P A P A A =⨯==，即2A 与4A 相互独立，故C 正确；对于D ，事件24A A 包括(1,6),(3,4),(5,2)，则24A A ≠∅ ，即2A 与4A 不为互斥事件，故D 错误.故选：C.【点睛】关键点点睛：利用列举法和古典概型的概率公式求得各事件的概率是解决本题的关键.8.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ===BPA CPA CPB ∠=∠=∠，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得2AB BC AC ===，从而得-P ABC 为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】PA PB PC == ，BPA CPA CPB ∠=∠=∠，所以AB BC AC ==，故ABC 为等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，取AC 的中点O ，连接,PO BO ，则,AC BO AC PO ⊥⊥，又,,BO PO O BO PO =⊂ 面PBO ，所以AC ⊥面PBO ，又BP ⊂面PBO ，所以AC PB ⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥ 平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，又,PA PC ⊂面PAC ，所以,PA PB PC PB ⊥⊥，PA PB PC === ，2AB BC AC ∴===，在APC △中由勾股定理得PA PC ⊥，P ABC ∴-为正方体一部分，2R ==2R =，344π338V R ∴=π=⨯=，故选：D ．【点睛】思路点睛：补体法解决外接球问题，可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a =，222sin a b c ab C +-=，cos sin a B b A c +=，则下列结论正确的是（）A.tan 2C = B.π4A =C.b =D.△ABC 的面积为6【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，由余弦定理得sin cos 2CC =，求出sin tan 2cos C C C==；B 选项，由正弦定理和sin sin cos cos sin C A B A B =+化简得到sin cos A A =，求出π4A =；C 选项，在A 选项基础上求出sin 5C =，cos 5C =，从而得到sin 10B =，由正弦定理得到b =D 选项，由三角形面积公式求出答案.【详解】A 选项，由余弦定理得222sin sin cos 222a b c ab C CC ab ab +-===，故sin tan 2cos CC C==，A 正确；B 选项，cos sin a B b A c +=，由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=，因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin cos sin sin sin cos cos sin A B B A A B A B +=+，即sin sin cos sin B A A B =，因为()0,πB ∈，所以sin 0B ≠，故sin cos A A =，又()0,πA ∈，故π4A =，B 正确；C 选项，由A 选项可知，sin cos 2C C =，又22sin cos 1C C +=，故25sin 14C =，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，解得sin 5C =，故5si cos n 2C C ==，()sin sin sin cos cos sin 252510=+=+=⨯+⨯=B AC A C A C ，由正弦定理得sin sin a bA B=12=b =C 错误；D 选项，△ABC的面积为11sin 6225ab C ==.故选：ABD10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A.图（1）的平均数=中位数=众数B.图（2）的平均数<众数<中位数C.图（2）的众数<中位数<平均数D.图（3）的平均数<中位数<众数【答案】ACD 【解析】【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A 正确；图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B 错误，C 正确；图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D 正确.故选：ACD.11.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，所有棱长均2，60BAD ∠=︒，P 为1CC 的中点，点Q 在四边形11DCC D 内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（）A.当点Q 在线段1CD 上运动时，四面体1A BPQ 的体积为定值B.若AQ//平面1A BP ，则AQ 5C.若1A BQ △的外心为M ，则11A B A M ⋅为定值2D.若17AQ =，则点Q 的轨迹长度为23π【答案】ABD 【解析】【分析】由题易证得1//D C 面1A BP ，所以直线1CD 到平面1A BP 的距离相等，又1A BP 的面积为定值，可判断A ；取1,DD DC 的中点分别为,M N ，连接,,AM MN AN ，由面面平行的判定定理可得平面1//A BP 面AMN ，因为AQ ⊂面AMN ，所以AQ//平面1A BP ，当AQ MN ⊥时，AQ 有最小值可判断B ；由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断C ；在111,DD D C 上取点32,A A ，使得13123=1D A D A =，，易知点Q 的轨迹为圆弧23A A 可判断D.【详解】对于A ，因为11//A B D C ，又因为1A B ⊂面1A BP ，1D C ⊄面1A BP ，所以1//D C 面1A BP ，所以直线1CD 到平面1A BP 的距离相等，又1A BP 的面积为定值，故A 正确；对于B ，取1,DD DC 的中点分别为,M N ，连接,,AM MN AN ，则易证明：//AM PC ，AM ⊄面1A BP ，PC ⊄面1A BP ，所以//AM 面1A BP ，又因为1//A B MN ，，MN ⊄面1A BP ，1A B ⊄面1A BP ，所以//MN 面1A BP ，MN AM M ⋂=，所以平面1//A BP 面AMN ，AQ ⊂面AMN ，所以AQ//平面1A BP当AQ MN ⊥时，AQ 有最小值，则易求出5,2,AM MN ==2212cos1204122172AN AD DN AD DN ⎛⎫=+-⋅︒=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,Q M 重合，所以则AQ 的最小值为5AM =，故B 正确；对于C ，若1A BQ △的外心为M ，，过M 作1MH A B ⊥于点H ，2212+2=22A B 则21111==42A B A M A B ⋅ .故C 错误；对于D ，过1A 作111A O C D ⊥于点O ，易知1A O ⊥平面11C D D ，111cos 13OD A D π==在111,DD D C 上取点32,A A ，使得13123=1D A D A =，，则13127A A A A ==，32732OA OA ==-=所以若17AQ =，则Q 在以O 为圆心，2为半径的圆弧23A A 上运动，又因为1131,3,D O D A ==所以323A OA π∠=，则圆弧23A A 等于23π，故D 正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC 中，120,2,7,ACB AC AB ACB ∠∠=== 的角平分线交AB 于D ，则CD =__________.【答案】23【解析】【分析】在ABC 中，由余弦定理可得：1BC =，由正弦定理可得21sin 7B =，根据角平分线的性质可得：2723DA BD ==，在BCD △中，由正弦定理可得：sin sin CD BD B DCB =∠即可求解.【详解】因为在ABC 中，120,2,7ACB AC AB ∠===由余弦定理可得：2222cos AB AC BC AB BC ACB =+-⋅⋅∠，解得1BC =由正弦定理可得：sin sin AC AB B ACB =∠，即27sin 3B =，解得：21sin 7B =，因为ACB ∠的角平分线交AB 于D ，所以60BCD ︒∠=，由角平分线性质可得：BD BCDA AC=，所以2723DA BD ==，在BCD △中，由正弦定理可得：sin sin CD BDB DCB =∠7321372=23CD =故答案为：2313.某同学用“随机模拟方法”计算曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[]1,e 上的均匀随机数i x 和10个在区间[]0,1上的均匀随机数i y （*,110i N i ∈≤≤），其数据如下表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22y 0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为_________．【答案】()315e -【解析】【分析】先根据题意以及题中数据，可得：向矩形区域101x ey ≤≤⎧⎨≤≤⎩内随机抛掷10个点，有6个点在曲边三角形内，由此即可估计出曲边三角形的面积.【详解】由题意以及表中数据可得，向矩形区域101x ey ≤≤⎧⎨≤≤⎩内随机抛掷10个点，有6个点在曲边三角形内，所以其频率为63105=，因为矩形区域面积为()111e e -⨯=-，所以这个曲边三角形面积的一个近似值为()315e -.故答案为()315e -【点睛】本题主要考查几何概型，以及定积分在求面积中的应用，属于常考题型.14.若正四面体ABCD 的顶点都在一个表面积为6π的球面上，过点C 且与BD 平行的平面α分别与棱,AB AD 交于点,E F ，则空间四边形BCFE 的四条边长之和的最小值为__________.【答案】4+4【解析】【分析】根据条件求出正四面体ABCD 的棱长为2，设(01)AF AD λλ=<<，利用几何关系得到空间四边形BCFE 的四条边长之和4L =+，即可求出结果.【详解】如图，将正四面体放置到正方体中，易知正四面体外接球即正方体的外接球，设正四面体ABCD ，所以正方体的边长为a ，易知正方体的外接球直径为体对角线DH 的长，又DH =，所以正四面体的半径22DH R ==，依题有224π3π6πR a ==，得到a =，即正四面体ABCD 的棱长为2，因为//BD 面CEF ，面ABD ⋂面CEF EF =，BD ⊂面ABD ，所以//EF BD ，设(01)AF AD λλ=<<因为2AB AD BD ===，则2AF AE λ==，22BE DF λ==-，在EAF △中，因为π3EAF ∠=，所以2EF λ=，在FDC △中，π3FDC ∠=，2DC =，则FC =，所以空间四边形BCFE 的四条边长之和2222442L λλ=+-++++，又01λ<<，当12λ=时，min 4L =+，故答案为：4+.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于设出(01)AF AD λλ=<<后，利用几何关系得出FC =2EF λ=，22BE λ=-，从而得出空间四边形BCFE 的四条边长之和4L =+，转化成求L 的最小值来解决问题.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.成都石室中学生物基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm ）介于[]15,25之间，现对生物基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.（1）求a 的值；（2）若从高度在[)15,17和[)17,19中分层抽样抽取5株，再在这5株中随机抽取2株，求抽取的2株高度均在[)17,19内的概率.【答案】（1）0.125；（2）310【解析】【分析】（1）由频率分布直方图各小矩形的面积和等于1，可求得a 的值；（2）再由[)15,17和[)17,19的频率比0.120.153=，确定这5株分别在[)15,17和[)17,19的株数，最后由古典概型的计算公式求得结果即可.【小问1详解】依题意可得()0.050.0750.150.121a ++++⨯=，解得0.125a =；【小问2详解】由（1）可得高度在[)15,17的频率为：20.0500.1⨯=；高度在[)17,19的频率为：20.0750.15⨯=；且0.120.153=，所以分层抽取的5株中，高度在[)15,17和[)17,19的株数分别为2和3，因此记高度在[)15,17植株为,m n ，记高度在[)17,19植株为,,A B C ，则所有选取的结果为（m ，n ）、（m ，A ）、（m ，B ）、（m ，C ）、（n ，A ）、（n ，B ）、（n ，C ）、（A ，B ）、（A ，C ）、（B ，C ）共10种情况，令抽取的2株高度均在[)15,17内为事件M ，事件M 的所有情况为（A ，B ）、（A ，C ）、（B ，C ）共3种情况，由古典概型的计算公式得：()310P M =.16.在平面四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，135C ∠=︒，BD =CD =.（1）求cos CBD ∠；（2）若ABD △为锐角三角形，求ABD △的面积的取值范围.【答案】（1（2）()1,5【解析】【分析】（1）在BCD △中，由正弦定理可得sin CBD ∠，从而求得cos CBD ∠.（2）解法一：由（1）求得sin ADB ∠sin cos 55A A =∠+∠，AB 21tan A =+∠，从而ABD S = 21tan A +∠，再利用ππ22ABD A -∠<∠<，即可求得ABD △面积的取值范围；解法二：作1A D AB ⊥于1A ，作2A D BD ⊥于D ，交BA 于2A ，求得1A D ，1A B ，2A D ，分别求出1A BD S ，2A BD S ，利用12A BD ABD A BD S S S <<△△△即可求得范围.【小问1详解】在BCD △中，由正弦定理可得sin sin BD CDBCD CBD ∠∠=，所以22sin 5CBD ∠==，又π0,4CBD ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos 5CBD ∠==.【小问2详解】解法一：由（1）可知，πsin sin cos 25ABD CBD CBD ⎛⎫∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭，因为ABD ∠为锐角，所以5cos 5ABD ∠=，所以()sin sin ADB A ABD ∠=∠+∠sin cos cos sin A ABD A ABD =∠∠+∠∠sin cos 55A A =∠+∠，在ABD △中，由正弦定理得sin sin AB BDADB A=∠∠，所以sin 2cos sin sin ADB A AAB A A∠∠+∠==∠∠21tan A =+∠，1sin 2ABD S AB BD ABD=⋅⋅∠122112tan 5tan A A⎛⎫=⨯+⨯=+ ⎪∠∠⎝⎭，因为()πADB ABD A ∠=-∠+∠，且ABD △为锐角三角形，所以()π0π2π02ABD A A ⎧<-∠+∠<⎪⎪⎨⎪<∠<⎪⎩，所以ππ22ABD A -∠<∠<，所以πtan tan 2A ABD ⎛⎫∠>-∠⎪⎝⎭πsin cos 12πsin 2cos 2ABD ABD ABD ABD ⎛⎫-∠ ⎪∠⎝⎭===∠⎛⎫-∠ ⎪⎝⎭，所以102tan A<<∠，所以2115tan A<+<∠，即15ABD S <<△，所以ABD △的面积的取值范围为()1,5.解法二：由（1）可知，sin sin cos 25πABD CBD CBD ∠∠∠⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，因为ABD ∠为锐角，所以5cos 5ABD ∠=，tan 2ABD ∠=，如图，作1A D AB ⊥于1A ，作2A D BD ⊥于D ，交BA 于2A ，所以15sin 525A D BD ABD ∠=⋅==，15cos 515A B BD ABD ∠=⋅==，所以112112A BD S =⨯⨯=△，又2tan 5225A D BD ABD ∠=⋅==，所以215552A BD S =⨯=△.由图可知，仅当A 在线段12A A 上（不含端点）时，ABD △为锐角三角形，所以12A BD ABD A BD S S S <<△△△，即15ABD S <<△.所以ABD △面积的取值范围为()1,5.17.年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味问答活动．该活动共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正确的概率为23，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为215，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的概率为310；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为324,,435．且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影响．（1）在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率；（2）分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率．【答案】（1）“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为31;52；（2）“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为122,,;255三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率825【解析】【分析】（1）根据独立事件的乘法公式分别求解即可；（2）综合应用独立事件的乘法公式和互斥事件的概率加法公式分别求解即可.【小问1详解】记=i A “玲儿姐回答正确第i 个问题”，i B =“关关姐回答正确第i 个问题”，i C =“页楼哥回答正确第i 个问题”，1,2i =.根据题意得111111122()()()(1())(1())(1)(1())315P A B P A P B P A P B P B ==--=--=，所以13()5P B =；1111133()()()()510P B C P B P C P C ===，所以11()2P C =；故在第一个问题中，“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为35和12.【小问2详解】由题意知222324(),(),()435P A P B P C ===，“玲儿姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为11212231()()()342P P A A P A P A ====；“关关姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为21212322()()()535P P B B P B P B ====；“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为31212142()()()255P P C C P C P C ===⨯=；三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为123123123(1)(1)(1)P P P P P P P PP P =-+-+-122132123825525525525=⨯⨯+⨯⨯+⨯=.所以“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为122255，，；三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为825.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，M 为棱AC 的中点，AB BC =，2AC =，1AA =.（1）求证：1//B C 平面1A BM ；（2）求证：1AC ⊥平面1A BM ；（3）在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AA C C ？如果存在，求此时1BNBB 的值；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，112BN BB =.【解析】【分析】（1）连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ，利用三角形中位线性质得到1//OM B C ，再利用线面平行的判定即可证.（2）应用线面垂直的性质、判定可得BM ⊥平面11ACC A ，从而得到1BM AC ⊥，根据11AC C A MA∠=∠和111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=得到11A M AC ⊥，再利用线面垂直的判定即可证.（3）当点N 为1BB 的中点，设1AC 的中点为D ，连接DM ，DN ，易证四边形BNDM 为平行四边形，从而得到//BM DN ，进而有DN ⊥平面11ACC A ，再利用面面垂直的判定即可证.【小问1详解】连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM，在1B AC △中M ，O 分别为AC ，1AB 的中点，所以1//OM B C ，又OM ⊂平面1A BM ，1B C ⊄平面1A BM ，所以1//B C 平面1A BM .【小问2详解】因为1AA ⊥底面ABC ，BM ⊂平面ABC ，所以1AA BM ⊥.又M 为棱AC 的中点，AB BC =，所以BM AC ⊥.因为1AA AC A = ，1AA ，AC ⊂平面11ACC A ，所以BM ⊥平面11ACC A ，1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BM AC ⊥.因为2AC =，所以1AM =.又1AA =，在1Rt ACC V 和1Rt A AM中，11tan tan AC C A MA ∠=∠=，所以11AC C A MA ∠=∠，即111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=，所以11A M AC ⊥，又1BM A M M = ，BM ，1A M ⊂平面1A BM ，所以1AC ⊥平面1A BM .【小问3详解】当点N 为1BB 的中点，即112BN BB =时，平面1AC N ⊥平面11AA C C .证明如下：设1AC 的中点为D ，连接DM ，DN，因为D ，M 分别为1AC ，AC 的中点，所以1//DM CC 且112DM CC =，又N 为1BB 的中点，所以//DM BN 且DM BN =，所以四边形BNDM 为平行四边形，故//BM DN ，由（2）知：BM ⊥平面11ACC A ，所以DN⊥平面11ACC A ，又DN ⊂平面1AC N ，所以平面1AC N ⊥平面11ACC A .19.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==，18.439≈，()()1618.5 2.78ii x x i =--=-∑其中ix 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,...,16i =.（1）求()(),1,2,...,16i x i i =的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在()3,3x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.（i ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ii ）请利用已经学过的方差公式：()2211n i i s x x n ==-∑来证明方差第二公式22211n i i s x n x ==-∑.（iii ）在()3,3x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，并利用（ii ）中公式估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.（精确到0.01）附：样本()(),1,2,...,i i x y i n =的相关系数ˆniix ynxyr-=∑0.09≈.【答案】（1）0.178-；可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（2）（i ）从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查；（ii ）证明见解析；（iii ）均值10.02；标准差0.09【解析】【分析】（1）根据数据和公式即可计算r 的值，根据0.25r <的规则进行判断即可；（2）（i ）计算()3,3x s x s -+的值，根据13个零件的尺寸与区间的关系进行判断；（ii ）根据已学公式进行变形即可证明；（iii ）代入公式计算即可.【小问1详解】由题可得()()16118.5 2.78n i iii i x y nxy x x i ==-=--=-∑∑，40.848s===，18.439=≈所以 2.780.180.84818.439ˆniix ynxyr--=≈-⨯∑，则0.180.25r =<，所以可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小【小问2详解】（i ）由题可得39.9730.2129.334x s -=-⨯=，39.9730.21210.606x s +=+⨯=，因为第13个零件的尺寸为9.22，9.229.334<，所以从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查；。

2024学年郑州市高一年级（下）期末考试数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每道选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题p ：0x ∃>，0y >，使得不等式(5x y λ+>++成立，则命题p 成立的一个充分不必要条件可以是（）A.52λλ⎧⎪≥⎨⎪⎪⎩⎭B.53λλ⎧⎪≥⎨⎪⎪⎩⎭C.54λλ⎧⎪>⎨⎪⎪⎩⎭D.55λλ⎧⎪>⎨⎪⎪⎩⎭2.已知 1.30.920.9, 1.3,log 3a b c ===，则（）A.a c b <<B.c a b <<C .a b c<< D.c b a<<3.将函数()πcos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()()242h x g x x x =-+-的零点个数为（）A.1B.2C.3D.44.甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为123,,234且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（）A.14B.724C.1124D.17245.华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A.sin ()2xf x = B.cos ()2xf x = C.()sin 12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.()cos 12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭6.在ABC 中，D 为BC 上一点，且3BD DC =，ABC CAD ∠=∠，2π3BAD ∠=，则tan ABC ∠=（）A.3913B.133C.33D.357.已知π02α<<，()2ππ1sin 2sin 2cos cos 2714αα+=，则α=（）A.3π14B.5π28C.π7D.π148.已知z 是复数，z 是其共轭复数，则下列命题中正确的是（）A.22z z= B.若1z =，则1i z --1+C.若()212i z =-，则复平面内z 对应的点位于第一象限D.若13i -是关于x 的方程20(R)x px q p q ++=∈,的一个根，则8q =-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.已知函数()()()sin 0,0,π2πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点()π0,1,,13⎛⎫-⎪⎝⎭，则（）A.11π6ϕ=B.3ω=C.()f x 在π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D.方程()()21f x a a =-<<-在0,π]［内恰有4个互不相等的实根10.已知a ，b ，c是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（）A.一定存在实数x ，y 使得a xb yc =+成立B.若a b a c ⋅=⋅，那么一定有()a b c⊥- C.若()()a c b c -⊥-，那么2a b a b c-=+- D .若()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ，那么a ，b ，c 一定相互平行11.已知函数2()2sin cos 23cos f x x x x =-，则下列结论中正确的有（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.()f x 的对称轴为ππ32k x =+，k ∈Z C.()f x 的对称中心为ππ(0)3,2k +，k ∈ZD.()f x 的单调递增区间为π5π[π,π]1212k k -++，k ∈Z 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知142x y >->-，，且21x y +=，则19214x y +++的最小值为_________.13.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为R ，球冠的高是h ，球冠的表面积公式是2πS Rh =，如图2，已知,C D 是以AB 为直径的圆上的两点，π,6π3COD AOC BOD S ∠=∠==扇形，则扇形COD 绕直线AB 旋转一周形成的几何体的表面积为__________.14.已知点O 是ABC 的外心，60BAC ∠=︒，设AO mAB nAC =+，且实数m ，n 满足42m n +=，则mn 的值是___________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知,a b R ∈且0a >，函数4()4x xbf x a+=-是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）对任意(0,)x ∈+∞，不等式()02x mf x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.16.本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，得到如图所示频率分布直方图.（1）估计该校高二学生数学成绩的平均数和85%分位数；（2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在[)60,70的概率.17.已知ABC 的面积为9，点D 在BC 边上，2CD DB =．（1）若4cos 5BAC ∠=，AD DC =，①证明：sin 2sin ABD BAD ∠=∠；②求AC ；（2）若AB BC =，求AD 的最小值．18.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r，2AFFB =.（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为33，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.19.已知),cos2a x x =，()2cos ,1b x =- ，记()()R f x a b x =⋅∈（1）求函数()y f x =的值域；（2）求函数()y f x =，[]0,πx ∈的单调减区间；（3）若()π24F x f x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，π0,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恰有2个零点12,x x ，求实数m 的取值范围和12x x +的值．2024学年郑州市高一年级（下）期末考试数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每道选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

某某省某某市长安区第一中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学一、选择题：共12题1．不等式的解集为A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查一元二次不等式的解法.,即,解得.即不等式的解集为.选C.2．数列,,,,,,,则是这个数列的A.第10项B.第11项C.第12项D.第21项【答案】B【解析】本题考查数列的通项.由题意得,令,解得.选B.3．在数列中，，，则的值为A.52B.51C.50D.49【答案】A【解析】本题考查等差数列的性质.由得,所以为等差数列,所以==,所以.选A.4．=A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查同角三角函数的诱导公式及两角和的正弦公式.====.选A.【备注】.5．已知角的终边经过点,则的值等于A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的定义.由题意得所以=,=,所以=.选D.6．若数列是等差数列，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查等差数列的性质,诱导公式.因为是等差数列，所以=，又所以，,所以===.选B.【备注】若，等差数列中.7．设,若是与的等比中项，则的最小值为A.8B.4C.1D.【答案】B【解析】本题考查等比数列性质,基本不等式.因为是与的等比中项，所以,即.所以===4(当且仅当时等号成立),即的最小值为4.选B.【备注】若，等比数列中.8．已知是等比数列，，则=A.16()B.16()C.)D.)【答案】C【解析】本题考查等比数列的通项与求和.由题意得的公比=,所以=,所以,令,则是以8为首项,为公比的等比数列,所以的前n项和=).选C.【备注】等比数列中，.9．在△中，已知，，若点在斜边上，，则的值为A.48 B.24 C.12 D.6【答案】B【解析】本题考查平面向量的线性运算和数量积.因为，,所以==,所以==+0=24.选B.【备注】.10．函数,,的部分图象如图所示，则A. B.C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的性质和图象,解析式的求解.由图可得，,,即,即,所以,又过点,所以=2,由可得=.所以.选D.【备注】知图求式.11．已知向量,，且∥，则= A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查向量的坐标运算与线性运算,二倍角公式.因为∥，所以,即,即=-3,所以=====.选C.【备注】二倍角公式：，.12．设函数，若存在使得取得最值，且满足，则m的取值X围是A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查三角函数的性质与最值,一元二次不等式.由题意得,且=,解得,(),所以转化为,而,所以,即,解得或.选C.二、填空题：共6题13．不等式的解集是 .【答案】【解析】本题考查分式不等式,一元二次不等式.由题意得且,所以或.所以不等式的解集是.【备注】一元高次不等式的解法:穿针引线法.14．已知，，则的值为_______.【答案】3【解析】本题考查两角和与差的正切角公式.由题意得=== 3.【备注】=是解题的关键.15．已知向量a=，b=, 若m a+n b=(),则的值为______. 【答案】-3【解析】本题考查平面向量的坐标运算.由题意得===,即,解得,,所以.16．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.【答案】【解析】本题考查解三角形的应用.画出图形,为炮台,为两船的位置;由题意得m,,,;在△中,=m.在Rt△中,,所以m;在△中,由余弦定理得=300.即,两条船相距m.【备注】余弦定理:.17．若将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是.【答案】【解析】本题主要考查三角函数图象平移、函数奇偶性及三角运算.解法一f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位得函数y=sin(2x+-2φ)的图象,由函数y=sin(2x+-2φ)的图象关于y轴对称可知sin(-2φ)=±1,即sin(2φ-)=±1,故2φ-=kπ+,k∈Z,即φ=+,k∈Z,又φ>0,所以φmin=.解法二由f(x)=sin(2x+)=cos(2x-)的图象向右平移φ个单位所得图象关于y轴对称可知2φ+=kπ,k∈Z,故φ=-,又φ>0,故φmin=.【备注】解题关键:解决三角函数的性质问题,一般化为标准型后结合三角函数的图象求解,注意正余弦函数的对称轴过曲线的最低点或最高点是解题的关键所在.18．已知分别为△的三个内角的对边，，且，则△面积的最大值为 . 【答案】【解析】本题考查正、余弦定理,三角形的面积公式.由正弦定理得=,又所以,即,所以=,所以.而,所以;所以≤=(当且仅当时等号成立).即△面积的最大值为.【备注】余弦定理:.三、解答题：共5题19．在△中，已知,,.(1)求的长；(2)求的值.【答案】(1)由余弦定理知，==，所以.(2)由正弦定理知，所以，因为，所以为锐角，则，因此【解析】本题考查二倍角公式,正、余弦定理.(1)由余弦定理知.(2)由正弦定理知，，因此.20．设是公比为正数的等比数列，,.(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.【答案】(1)设q为等比数列{a n}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{a n}的通项为a n＝2·2n-1＝2n(n∈N*)(2)S n＝＋n×1＋×2＝2n+1＋n2－2.【解析】本题考查等差、等比数列的通项与求和.(1)求得q＝2,所以a n＝2n(n∈N*);(2)分组求和得S n＝2n+1＋n2－2.21．已知向量,，函数，且的图象过点.(1)求的值；(2)将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若图象上各最高点到点的距离的最小值为，求的单调递增区间.【答案】(1)已知，过点，解得(2)由(1)知,左移个单位后得到,设的图象上符合题意的最高点为，,解得,，解得,,由得,的单调增区间为【解析】本题考查平面向量的数量积,三角函数的图像与性质,三角恒等变换.(1)由向量的数量积求得，过点，解得;(2),求得,,其单调增区间为.22．某种汽车的购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费用第一年是0.2万元,第二年是0.4万元,第三年是0.6万元,……,以后逐年递增0.2万元. 汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的总和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用x(x∈N*)年的维修总费用为g(x),年平均费用为f(x).(1)求出函数g(x),f(x)的解析式;(2)这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最小?最小值是多少?【答案】(1)由题意,知使用x年的维修总费用为g(x)==0.1x+0.1x2,依题意,得f(x)=[10+0.9x+(0.1x+0.1x2)]=(10+x+0.1x2).(2)f(x)=++1≥2+1=3,当且仅当,即x=10时取等号.所以x=10时,y取得最小值3.所以这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小,最小值是3万元.【解析】无23．把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数．(1)若，求，的值；(2)已知函数，若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为，求数列的前项和.【答案】(1)三角形数表中前m行共有个数，所以第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第项．故第m行最后一个数是．因此，使得的m是不等式的最小正整数解．由得，, 于是，第45行第一个数是，(2)第n行最后一个数是，且有n个数，若将看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为的等差数列，故..故.因为，两式相减得.．【解析】本题考查数列的概念,数列的通项与求和.(1)找规律得第m行最后一个数是.可得，求出第45行第一个数是，(2).．错位相减可得.。

2021-2022学年江苏省南通市海门区高一下学期期末数学试题一、单选题1．设复数z 满足i 12i z ⋅=+（i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-【答案】D【分析】由i 12i z ⋅=+求出复数z ，从而可求出其虚部. 【详解】由i 12i z ⋅=+，得2212i (12i)i(i 2i )2i i iz ++===-+=-， 所以复数z 的虚部是为1-， 故选：D2．现有一组数据8，7，9，9，7，则这组数据的方差是（ ）A B ．25C ．45D ．1【答案】C【分析】根据方差公式计算． 【详解】解：根据题意，得：8799785++++=，则这组数据8，7，9，9，7的平均数是8，所以这组数据的方差为(2222214[(88)(78)(98)(98)78)55⎤⨯-+-+-+-+-=⎦， 故选：C ．3．函数()cos f x x x -图象的一条对称轴方程为（ ） A ．π6x =B ．π3x =C ．2π3x =D ．7π6x =【答案】C【分析】由和差公式化简函数，由整体法令πππ62x k k -=+∈Z ，，即可求解.【详解】()πcos 2sin 6f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令πππ62x k k -=+∈Z ，，即2ππ3x k k =+∈Z ，， 故函数图象的一条对称轴方程为2π3x =． 故选：C4．在ABC 中，已知D 是AB 边上一点，且32CD CA CB =+，则（ ）A ．2AD BD =B ．12AD DB =C ．2AD DB =D ．13AD AB =【答案】C【分析】利用向量的减法运算即可得到答案． 【详解】解：32CD CA CB =+， 则有()2CD CA CB CD -=-， 可得2AD DB =． 故选：C.5．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 是1CC 的中点，则11111D A B C D ABB A V V -- = （ ）A ．16B ．15C ．14D ．23【答案】C【分析】利用等体积转化计算可得答案. 【详解】因为D 是1CC 的中点， 11111116D A B C D ABC ABC A B C V V V ---∴==，1111111111123D ABB A ABC A B C D A B C D ABC ABC A B C V V V V V -----∴=--=，1111114D A B C D ABB A V V --∴=. 故选：C.6．若π1sin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．79- B ．79C 12- D 22【答案】A【分析】结合二倍角公式、诱导公式，由ππ2242αα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭即可转化求值【详解】2ππππ27sin 2sin 2cos 212sin 1424499αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A72，侧面积为6π，则该圆台的体积为（ ） ABC． D．【答案】B【分析】设圆台的上底面半径为r '，下底面半径为r ，母线为l ，由圆台的侧面积得3r r '+=，再由圆台的高h【详解】设圆台的上底面半径为r '，下底面半径为r ，母线为l ， 则圆台的侧面积()π6πS r r l '=+=，可得3r r '+=， 又因为圆台的高h1r r '-=，故有12r r '==，， 圆台的体积()()2211ππ12433V h r r r r ''=++=++=圆台故选：B.8．ABC 中，若,02A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，sin sin sin C A B =，则()tan A B +的取值范围是（ ）A ．4,13⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．4,13⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】利用三角函数恒等变换进行化简，可得tan tan tan tan A B A B +=，利用基本不等式得tan tan 4A B ≥，利用两角和的正切公式表示()tan A B +，结合以上条件即可求解()tan A B +的取值范围．【详解】∵,02A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴cos cos 0A B ≠，∵sin sin sin C A B =，即()sin sin sin A B A B +=， ∴sin cos cos sin sin sin A B A B A B +=，两边同时除以cos cos A B ，得tan tan tan tan A B A B +=， ∵tan ,tan 0A B >，∴tan tan A B +≥，当且仅当tan tan A B =时等号成立， ∴tan tan A B ≥，即tan tan 4A B ≥，tan tan tan tan 1tan()11tan tan 1tan tan 1tan tan A B A BA B A B A BA B++===---，∵tan tan 4A B ≥，∴110tan tan 4A B <≤⋅，∴1311tan tan 4A B -<-≤-⋅，∴411131tan tan A B-≤<--⋅，即()tan A B +的取值范围是4,13⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．故选：A ．二、多选题9．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚正面朝上”，事件B =“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（ ） A ．该试验样本空间共有4个样本点 B ．()14P AB =C ．A 与B 为互斥事件D ．A 与B 为相互独立事件【答案】ABD【分析】由题可得样本空间及事件,A B 样本点，结合互斥事件，独立事件的概念及古典概型概率公式逐项分析即得.【详解】对于A ：试验的样本空间为：{(Ω=正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，共4个样本点，故A 正确;对于B ：由题可知{(A =正，正)，(正，反)}，{(B =正，反)，(反，反)}， 显然事件A ，事件B 都含有“(正，反)这一结果，故()14P AB =，故B 正确； 对于C ：事件A ，事件B 能同时发生，因此事件,A B 不互斥，故C 不正确； 对于D ：()2142P A ==，()2142P B ==，()14P AB =，所以()()()P AB P A P B =，故D正确． 故选：ABD.10．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，.c若c =，30B =，则角A 可能为（ ） A ．135 B ．105 C ．45 D ．15【答案】BD【分析】由正弦定理求角． 【详解】解：正弦定理得sin sin c b C B=，又c ，30B =，sin C =c b >，则C B >，0180C ︒<<︒，故45C =︒或135︒， 105A =︒或15︒故选：BD ．11．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量a ，b 满足2a b ==，23a b +=，则（ ） A ．2a b ⋅=- B ．a 与b 的夹角为π3C ．a b a b -<+D ．a b -在b 上的投影向量为12b【答案】BC【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C,由夹角公式可判断B ，根据投影向量的求法即可判断D. 【详解】2a b ==，23a b +=,22212||2424a b a a b b a b =+=+⋅+=+⋅+,解得2⋅=a b ,故A 错误·cos ,2a b a b a b ⋅==,1cos ,2a b a b a b⋅==，由于()0π，，a b ∈，a ∴与b 的夹角为π3，故B 正确, ()2222424223-a b a ba ab b a b a b -==⋅+=-⋅+=<+-=,故C 正确a b -在b上的投影向量为()21··22b a b b a b b b b b b b b b ⋅-⋅-==-=-，故D 错误, 故选：BC12．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段1B C 上一动点，则下列各选项正确的是（ ）A ．11D P AC ⊥B ．1//D P 平面1A BDC ．直线1D P 与平面11BCC B 所成角随1PB 长度变化先变小再变大 D ．存在点P 使得过A 有4条直线分别与11A B 和AP 所成角大小为30【答案】AB【分析】本题利用立体几何中线面垂直的判定、面面平行的判定对A,B 选项进行判断，C,D 选项需要结合线面角与异面直线成角的相关知识点，通过转化的思想去解决. 【详解】解：对于A ：连接1BD ，1D C由正方体的性质可得：11111AC B D AC B C ⊥⊥， 1111B D B C B =，1AC ∴⊥平面11B CD1D P ⊂平面11B CD ，11D P AC ∴⊥，故A 正确；对于B ：连接11A B A D BD ，， 易证：1111////BD B D A D B C ，11BD A D D BD A D ⋂=⊂，，平面1A BD 1111111B D B C B B D B C ⋂=⊂，，平面11B CD∴平面1//A BD 平面11B CD1D P ⊂平面11B CD ，1//D P ∴平面1A BD ，故B 正确；对于C ：连接1C P ，1D P ⊥平面11BCC B 11D PC ∴∠即为直线1D P 与平面11BCC B 所成角，11111D C tan D PC C P∴∠=当P 从1B 移动至C 的过程中，1B P 增大，1C P 先变小再变大，即11tan D PC ∠先变大再变小，故C 错误； 对于D ：11//AB A B ，∴与11A B 成30角的直线与AB 也成30，当P 在C 或1B 时，()max 45PAB ∠=︒，故过A 点的直线中，有2条分别与AB 和AP 所成角大小为30，即过A 有2条直线分别与11A B 和AP 所成角大小为30，故D 错误． 故选：AB.【点睛】熟练利用线面垂直的性质定理，线面平行的判定定理将会对这类难题的较为简单的选项做一个清晰的判断，后面较难的有关线面角，线线角的动态变化要能够学会利用转化的思想去解决.三、填空题13．设i 为虚数单位，复数()cos isin z θθθ=+∈R ，则1z -的最大值为__________． 【答案】2【分析】求出模长，利用三角函数的有界性可得答案． 【详解】()cos isin z θθθ=+∈R ，则1cos 1isin z θθ-=-+=2=，则1z -的最大值为2．故答案为：2.14．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，.c 已知6a =，2b =，要使ABC 为钝角三角形，则c 的大小可取__________(取整数值，答案不唯一)． 【答案】5（填7也对，答案不唯一）【分析】利用三角形两边和与差点关系，求出48c <<，再分别讨论a 和c 为钝角时，边c 的取值范围，根据题意即可得到答案.【详解】首先由a ，b ，c 构成三角形有48a b c a b =-<<+=，若c 为钝角所对边，有22240c a b >+=，c >若a 为钝角所对边，有2222364a b c c =>+=+，c <， 由b a <，b 不可能为钝角所对边，综上，c 的取值范围是(()440,8,由题意，c 取整数值，故c 的大小可取5或7. 故答案为：5（填7也对，答案不唯一）.15．我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.现有一个“鳖臑”，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，且3PA =，2BC =，3AC =，则该四面体的外接球的表面积为__________． 【答案】16π【分析】根据题意将三棱锥P ABC -还原到长方体中，如图所示，求出长方体的体对角线的长，即可得外接球的直径，从而可求出其表面积. 【详解】解：将三棱锥P ABC -还原到长方体中，如图所示则长方体的外接球的半径为22229344R PA AC BC =++=++=故2R =所以三棱锥P ABC -外接球的表面积为24π16πR =， 故答案为：16π16．如图，P 为矩形ABCD 边AB 中点，M ，N 分别在线段EF 、CD 上，其中4AB =，3BC =，1AE BF ==，若4PM PN ⋅=，则PM PN +的最小值为__________．【答案】25【分析】根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，设(,1),(,3)M m N n ，然后表示出,PM PN ，由4PM PN ⋅=可得232n m n -=-，代入PM PN +中求其模，利用基本不等式可求出其最小值.【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，可知()20P ，，M ，N 分别在线段EF 、CD 上， 设(,1),(,3)M m N n （04,04m n ≤≤≤≤）， 则(2,1),(2,3)PM m PN n =-=-，所以(2)(2)32()74PM PN m n mn m n ⋅=--+=-++=， 所以2302n m n -=≥-， (4,4)PM PN m n +=+-，所以2(4)16PM PN m n +=+-+2234162n n n -⎛⎫+-+ ⎪-⎝⎭2245162n n n ⎛⎫-++ ⎪-⎝⎭设2n t -=，则2211621625PM PN t t ⎛⎫+=+++ ⎪⎝⎭当且仅当1,3,3t n m ===时，取等号， 所以PM PN +的最小值为25 故答案为：25四、解答题 17．已知向量()31，a =，4a b ⋅=．(1)当4b =，求;a b +(2)求b 的最小值，并求此时向量a ，b 的夹角大小．【答案】(1)(2)最小值为2，此时a ，b 夹角大小为0【分析】（1）根据模长公式即可求解，（2）根据模长的坐标运算即可利用函数的性质求最值. 【详解】(1)因()31312，a a =⇒=+=因为222||2481628a b a a b b +=+⋅+=++=， 所以27a b +=． (2)解法1:设,a b θ<>=，， 因为40a b ⋅=>， 所以02πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，由42cos 42cos cos =a b a b b a θθθ⋅==⇔=≥，当且仅当cos 1θ=即0θ=时取等;所以b 最小值为2，此时a ，b 夹角大小为0． 解法2:设()，b x y =，由44a b y ⋅=⇒+=，所以2b x y =+=;故当x =1y =时b 最小值为2， 此时cos ,1,0a b a b a b a b⋅<>==⇒<>=．18．近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威胁.国际上常用身体质量指数()()22kg m BMI =体重身高衡量人体胖瘦程度是否健康.中国成人的BMI数值标准是：18.5BMI <为偏瘦;18.523.9BMI ≤<为正常;2427.9BMI ≤<为偏胖;28BMI ≥为肥胖.下面是社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100个居民体检数据，将其BMI 值分成以下五组：[)12,16，[)16,20，[)20,24，[)24,28，[]28,32，得到相应的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，求a 的值，并估计该社区居民身体质量指数BMI 的样本数据的50百分位数;(2)现从样本中利用分层抽样的方法从[)16,20，[)24,28的两组中抽取6个人，再从这6个人中随机抽取两人，求抽取到两人的BMI 值不在同一组的概率．【答案】(1)0.04a =，50百分位数为23； (2)815.【分析】（1）由各组频率和为1，可求出a 的值，由百分位数的定义求解， （2）根据分层抽样的定义可求得在[)16,20、[)24,28分别抽取2人和4人，再利用列举法可求得概率.【详解】(1)依据频率直方图意义知， ()0.010.10.080.0241a ++++⨯=，即40.160.04a a =⇔=因为[)12,16，[)16,20两组的频率之和为0.040.160.2+=，而[)20,24的频率为0.4，要求样本数据的50百分位数即求中位数，所以满足频率恰为0.5的位置， 即0.3204230.4+⨯=． (2)由频率直方图知[)16,20的频数为0.1610016⨯=，[)24,28的频数为0.3210032⨯=，所以两组人数比值为1:2，按照分层抽样抽取6人，则在[)16,20、[)24,28分别抽取2人和4人，记[)16,20这组两个样本编号1、2，[)24,28这组编号为3、4、5、6;故从6人随机抽取2人所有可能样本点构成样本空间：()Ω{1,2=，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，()3,4，()3,5，()3,6，()4,5，()4,6，()5,6}，设事件A =“从6人抽取2人的BMI 数值不在同一组”，则(){1,3A =，()1,4，()1,5，()1,6，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6}，故()815P A =， 答：从6人抽取两人，两人的BMI 值不在同一组的概率为815． 19．已知sin 24sin 3cos 24cos 1αααα-=-+，π0.2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， (1)求tan α和sin2α的值;(2)若πsin 2sin 2ββ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求αβ+的大小． 【答案】(1)tan 3α=，3sin 25α=； (2)3π4【分析】（1）结合二倍角公式，商数关系即可化简求得tan 3α=，以及22tan sin2tan 1ααα=+求值； （2）条件等式由诱导公式可得sin 2cos tan 2βββ=⇒=，即可由和差公式求得()tan αβ+，结合αβ+范围即可.【详解】(1)()()2sin cos 2sin 24sin sin cos 4sin tan 3cos 24cos 12cos 4cos 2cos cos 2αααααααααααααα---====-+--２２， 2222sin cos 2tan 3sin2sin cos tan 15ααααααα===++； (2)πsin 2sin 2cos tan 22ββββ⎛⎫=+=⇒= ⎪⎝⎭， ()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--， ∵()0,παβ+∈，∴3π4αβ+=. 20．如图，P 是正方形ABCD 所在平面外一点，2PA PC AB ===，且平面PAC ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，PC 的中点．(1)求证：;BD PC ⊥(2)求证：//EF 平面;PAD(3)求点E 到平面PAD 的距离．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 (3)63【分析】（1）证明BD ⊥平面PAC 后由线面垂直的性质定理得线线垂直；（2）取PD 中点G ，连接FG ，AG ，证明//EF AG 后可得线面平行；（3）由体积法E PAD P ADE V V --=求点面距．【详解】(1)因为正方形ABCD BD AC ⇒⊥，又平面PAC ⊥平面;ABCD平面PAC 平面ABCD AC =， BC ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．(2)取PD 中点G ，连接FG ，AG ， 在PDC △中，因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点，所以//FG CD ，1;2FG CD = 因为E 是正方形ABCD 边AB 中点，所以//AE CD ，1;2AE CD = 所以//AE GF ，;AE GF =即四边形AEFG 是平行四边形，所以//EF AG ，又因为AG ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， 故EF //平面PAD(3)如图，设AC BD O =，连接PO ，因为2PA PC ==，O 为AC 中点，所以PO AC ⊥，又平面PAC ⊥平面ABCD ，平面PAC 平面ABCD AC =，PO ⊂平面PAC ，故PO ⊥平面ABCD ，即PO 是三棱锥P ADE -的高;由正方形ABCD 边22AB AO OD =⇒==222;PO PA OA -=因为Rt Rt POD POA ≌，所以2PA PD ==，设点E 到平面PAD 的距离为d ， 因为1133E PAD P ADE PAD ADE V V S d S PO --=⇒⋅=⋅，3142122d ⨯=⨯⨯6d = 所以点E 到平面PAD 6 21．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin A B c b C a b ++=-． (1)若3a =2b =，求角;B(2)设BAC ∠的角平分线AD 交BC 于点D ，若ABC 3AD 长的最大值．【答案】(1)6B π=(2)1【分析】（1）从正弦定理出发进行角换边，再利用余弦定理求得角A ，再利用一次正弦定理求得角度B .（2）利用角平分线性质及面积公式得到bc AD b c =+，再利用基本不等式得出AD 最值. 【详解】(1)解：因为sin sin sin A B c b C a b ++=-， 依据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==， 所以222a b c b a b bc c c a b++=⇒-=+-， 即222b c a bc +-=-， 由余弦定理变形知2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-， 因为()0A π∈，，所以23A π=．因为a =2b =，则在ABC 中，由正弦定理得：又21sin sin sin sin 2a b B A B B=⇔=⇒=， 因为b a B A <⇔<，所以6B π=． (2)法一：因为1sin 42ABC Sbc BAC bc =∠===， AD 是23BAC π∠=的角平分线， 而ABC ABD ACD S S S =+， 所以111sin 2333sin 222AB AD AC AD AB AC πππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯， 即()b c AD bc +=， 所以bc AD b c=+， 因为0b >，0c >，b c +≥4bc =，故AD 1;bc b c =≤=+ 当且仅当2b c ==取等，所以AD 最大值为1．答：当2b c ==时，AD 最大值为1．法二：因为1sin 42ABC Sbc BAC bc =∠===, 设ABD θ∠=，03θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π， 在ABD △，ACD △中由正弦定理知：sin sin sin sin 3AD c AD c ADB πθθθ=⇔=∠⎛⎫+ ⎪⎝⎭①， sin sin sin sin 333AD b AD b ADC πππθθθ=⇔=∠⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②， 因为4bc =，所以①⋅②得，228sin sin sin sin()33sin ()1cos 21cos 2333bc AD ππθθθθππθθθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭===⎛⎫++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4sin 224cos 2266341cos 21cos 21cos 2333ππθθπππθθθ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令1cos 23t πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，03θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π， 由于3223332t πππθ⎛⎫⎛⎤-∈-⇒∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，，， 所以264AD t =-，易得此函数在3,22t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦为单调递增函数， 所以当26t πθ=⇔=时，AD 最大值为1．【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，利用正弦定理解决范围与最值问题，涉及求余弦定理的值域或最值，利用单调性求最值，属于较难题．22．由两角和差公式我们得到倍角公式2cos22cos 1θθ=-，实际上cos3θ也可以表示为cos θ的三次多项式．(1)试用cos θ表示cos3;θ(2)求sin18的值;(3)已知方程314302x x --=在()11-，上有三个根，记为1x ，2x ，3x ，求证：33312334442x x x ++=． 【答案】(1)3cos34cos 3cos θθθ=-(3)证明见解析【分析】（1）利用两角和差的余弦公式和二倍角的余弦公式展开整理即可证明； （2）利用第（1）问的结论对cos54sin36︒︒=进行代换得到关于sin18︒的方程，解出即可，最后注意检验.（3）利用（1）中结论得到1cos32θ=，再得到三根π5π7π,,999代入式子化简即可. 【详解】(1)解：（1）因为， ()cos3cos 2cos2cos sin 2sin θθθθθθθ=+=-()222cos 1cos 2sin cos θθθθ=-- ()322cos cos 21cos cos θθθθ=---34cos 3cos θθ=- (2)90218318︒︒︒=⨯+⨯所以cos54sin36︒︒=，因为3cos54sin364cos 183cos182sin18cos18︒︒︒︒︒︒=⇔-=，因为cos180︒>，()224cos 1832sin1841sin 1832sin18︒︒︒︒-=⇔--=，即24sin 182sin1810︒︒+-=因为sin180︒>，解得sin18︒=. (3)（3）因(1,1)x ∈-,故可令cos (0)x θθπ=<<， 故由314302x x --=可得: 314cos 3cos 0(0)(*)2θθθπ--=<< 由（1）得:1cos32θ=， 因0θπ<<，故033θπ<<， 故π33θ=,或5π33θ=,或7π33θ= 即方程(*)的三个根分别为π5π7π,,999， 又314302x x --=，故31432x x =+， 于是，()333123123344432x x x x x x ++=+++ π5π7π33cos cos cos 9992⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭ 22233cos 3cos 3cos 393992ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭π2ππ2ππ2ππ2π2π33cos cos sin sin 3cos cos sin sin 3cos 3939393992⎛⎫⎛⎫=++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12π2π36cos 3cos 2992=⨯-+ 32= 【点睛】本题需要对两角和差的余弦即二倍角的余弦公式运用熟练，推导出三倍角的余弦公式，再利用此公式进行应用证明后面的结论，计算和迁移应用要求高.一定要抓住第（1）问所证明的结论去证明.。