计算方法 3 牛顿插值

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解：构造差商表如下，
xi -2 0 f(xi ) 1阶 17 1 -8 1 17 3 8 1.25 2阶 3阶
1
2
2
19
N 3 ( x ) 17 8( x 2) 3( x 2) x 1.25( x 2) x ( x 1) f 0.9 N 3 (0.9) 1.30375, R3 0.9 1.25 0.9 2 0.9 0.9 1 0.9 2 0.358875
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例题
例： 已知函数 y f x 的观测数据如表， 求三阶牛顿差值多项式， 再求 f 0.9 的近似值并估计误差。
x y -2 17 0 1 1 2 2 19
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f(x) 1
5
9
-4
5
6
-4
13
51 2 20 2 22 95 0 2 40 2 0 13 2 5 0 1 44 29 13 0 5 5 4 52 -13 5 -5 -1 5 ( 1) 15 1 13 ( 4) 17 ( 13 ) ( 5) 5 6 0 17 15 17 15 5 6 4 61 2 65
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牛顿基本插值公式
一般地 f ( x ) 在x0，x1， xn 为插值结点的 n 次 插值多项式为： N n ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) ... an ( x x0 )...( x xn1 ) f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x0 , x ] f [ x0 , x ] f [ x0 , x1 ] ( x x1 ) f [ x0 , x1 , x ] f [ x , ... , x , x ] f [ x , ... , x ] 0 n1 0 n ( x xn ) f [ x0 , ... , xn , x ]
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差商表
粗线框出的部分在计算机上可存入二维数组
xi x0 x1 f(xk) f(x0) f(x1) f(x0,x1 ) 1阶 2阶 3阶 4阶

f [ x 3 , x4 ] f [ x 2 , x 3 ] f [ x 2 , x 3 , x4 ] x4 x 2
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牛顿基本插值公式
同理有： N 2 ( x ) f ( x0 ) f [ x0，x1 ]( x x0 ) f [ x0，x1，x2，x ]( x x0 )( x x1 ) 1 (3) f [ x0 , x1 , x2 , x ] f ( ) 3!
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i 0， 1， n ；
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(2)
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分析
为了得到计算系数 ci 的一般方法， 下面引进一般差商的概念。 定义： f ( x ) 在 x0，x1， xn 的 n 阶差商为 f [ x1 , x2 xn ] f [ x0 , x1 , xn -1 ] f [ x0 , x1 , xn ] x n x0
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(1) (2)
(n - 1)
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牛顿基本插ຫໍສະໝຸດ Baidu公式
由式（1）（ ~ n-1）从下而上依次代入前式得到： f ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) ... f [ x0 , ... , xn ]( x x0 )...( x xn1 )
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2
分析
显然， L2 ( x0 ) y0，L2 ( x1 ) y1；利用插值 条件， L2 ( x2 ) y2 y1 y0 y 2 y0 ( x2 x0 ) a ( x2 x0 )( x2 x1 ) x1 x0 y2 y0 y1 y0 x2 x0 x1 x0 y1 y0 a L2 y0 ( x x0 ) x2 x1 x1 x0 y2 y0 y1 y0 x2 x0 x1 x0 ( x x0 )( x x1 ) x2 x1
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牛顿基本插值公式
N 1 ( x ) 的余项： R1 ( x ) f ( x ) N 1 ( x ) f [ x0，x1，x ]( x x0 )( x x1 ) 1 (2) f ( )( x x0 )( x x1 ) 2! 1 (2) f [ x0，x1，x ] f ( ) 2!
f(x0,x1,x2 )
f(x1,x2,x3 )
x2
x3
f(x2)
f(x3)
f(x1,x2 )
f(x2,x3 )
f [ x1 , x2 , x3 , x4 ]
f(x0,x1,x2,x3 )
f [ x2 , x3 , x4 ] f [ x1 , x2 , x3 ] x4 x1
x4
f(x4)
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分析
一般地构造以下基函数问题 求作 n 次多项式 N n ( x ) N n ( x ) c0 x c1 ( x x0 )
0
c2 ( x x0 )( x x1 ) cn ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) ( x xn 1 ) (1) 使满足 N n ( x i ) f ( xi )，
f(x3,x4 )
f(x2,x3,x4 )
f(x1,x2,x3,x4 )
f(x0,x1,x2,x3,x4 )
┊
┊
┊
┊
┊
┊
……
计算规律：任一个k(≥1) 阶差商的数值等于一个分式的值，其 分子为所求差商左侧的数减去左上侧的数，分母为所求差商同一行 最左边的基点值减去由它往上数第k个基点值。
注意：差商表中，对角线上的差商是构造牛顿型插值公式的重要数据。
f[2,4,5]= -5
f[2,4,5,6]=5
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牛顿基本插值公式
f ( x ) f ( x0 ) 由 f [ x0 , x ] x x0 有 f ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x ]( x x0 ) f [ x0 , x ] f [ x0 , x1 ] 又 f [ x0 , x1 , x ] x x1 将 f [ x0 , x1 ]代入得 f ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x ]( x x0 )( x x1 )
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例题
已知函数y=f(x)的观测数据如表，试构造差商表， 并求f[2,4,5]及f[2,4,5,6]的值。 x 0 2 4 5 解
xi 0 2 4
6 13
n=4, 构造差商表
f(xi ) 1阶 1 5 9 2阶 3阶 4阶
Nn ( x)
f [ x0 , ... , xn , x ]( x x0 )...( x xn1 )( x xn )
ai f x0，x1， ，xi
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Rn ( x )
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牛顿基本插值公式
N n ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1 , , xn ]( x x0 )( x x1 ) ( x xn ) 称为 n 次牛顿基本插值公式，由唯一性， Ln ( x ) N n ( x ) 1 其余项也相同， f [ x0 , x1 , xn , x ] f ( n1) ( ) ( n 1)! 计算余项时，取近似值 f [ x0 , x1 , xn , x ] f [ x0 , x1 , xn ]
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牛顿基本插值公式
其中，线性部分 N 1 ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) 满足 N 1 ( x0 ) f ( x 0 ) f ( x1 ) f ( x0 ) N 1 ( x1 ) f ( x0 ) ( x1 x0 ) f ( x1 ) x1 x0 N 1 ( x ) 为 f ( x ) 以 x0，x1 为插值结点的 线性插值函数，即： N （ 1 x ) L1 ( x )
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分析
y1 y0 其中， 为 f ( x ) 在 [ x0 , x1 ] 上的平均变化率， x1 x0 称为一阶差商，记为 f [ x0 , x1 ] y2 y0 y1 y0 x2 x0 x1 x0 称为 f ( x ) 关于 x0，x1，x2 的 x2 x1 f [ x0 , x2 ] f [ x0 , x1 ] 二阶差商，记为 f [ x0 , x1 , x2 ] x2 x1
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2016/2017 学年
第一学期
东1301 每周二第五节（16周）
计算方法 – 牛顿插值法
教师：贾飞
问题的提出
以 x0，x1 为插值结点的一阶插值公式为 x x0 x x1 L1 ( x ) y0 y1 x0 x1 x1 x0 y1 y0 y0 ( x x0 ) x1 x0 现考虑增加一个插值结点 x2，且使原有项不变 可令 L2 ( x ) L1 a ( x x0 )( x x1 )