人教版高中数学【必修二】[知识点整理及重点题型梳理]_平面_提高

人教版数学高中必修2知识点整理（3）平行于同一个平面的两个平面平行. 符号表示：//,////αγβγαβ⇒面面平行的性质定理：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面. //,//a a αβαβ⊂⇒（2）若两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.//,,//a b a b αβαγβγ==⇒8、直线与平面垂直的判定定理：（1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 数学符号表示：,,,,m n m n l m l n l ααα⊂⊂=A ⊥⊥⇒⊥（2）若两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. //,a b a b αα⊥⇒⊥（3）若一条直线垂直于两个平行平面中一个，那么该直线也垂直于另一个平面. //,a a αβαβ⊥⇒⊥直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.,//a b a bαα⊥⊥⇒9、两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. ,a a βααβ⊥⊂⇒⊥平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 数学符号表示：,,,b a a b a αβαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥10、直线的倾斜角和斜率：（1）设直线的倾斜角为α()0180α≤<，斜率为k ，则tan 2k παα⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭.当2πα=时，斜率不存在. （2）当090α≤<时，0k ≥；当90180α<<时，0k <. （3）过111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线斜率212121()yy k x x xx -=≠-.11、两直线的位置关系： 两条直线111:l y k x b =+，222:ly k x b =+斜率都存在，则：（1）1l ∥2l⇔12k k =且12b b ≠（2）12121ll k k ⊥⇔⋅=-（当1l 的斜率存在2l 的斜率不存在时12ll ⊥）（3）1l 与2l 重合⇔12kk =且12b b =12、直线方程的形式： （1）点斜式：()0y yk x x -=-（定点，斜率存在） （2）斜截式：y kx b=+（斜率存在，在y 轴上的截距）（3）两点式：1121212121(,)y yx x y y x x y yx x --=≠≠--（两点） （4）一般式：()2200x y C A B A +B += +≠（5）截距式：1x ya b+=（在x 轴上的截距，在y 轴上的截距） 13、直线的交点坐标： 设11112222:0,:0l A x B y c l A x B y c++=++=，则：（1）1l 与2l 相交1122AB AB ⇔≠；（2）1l ∥2l 111222AB C AB C ⇔=≠；（3）1l 与2l 重合111222AB C AB C ⇔==.14、两点111(,)P x y ，222(,)P x y 间的距离公式22122121()()PP x x y y =-+-原点()0,0O 与任一点(),x y P 的距离22OP x y =+15、点0(,)P x y 到直线:0l x y C A +B +=的距离0022Ax By C d A B++=+（1）点0(,)P x y 到直线:0l x C A +=的距离0Ax C d A+=（2）点0(,)P x y 到直线:0l y C B +=的距离0By C d B += （3）点()0,0P 到直线:0l x y C A +B +=的距离22C d A B=+16、两条平行直线10x y C A +B +=与20x y CA +B +=间的距离1222C C d A B-=+17、过直线1111:0l A x B y c++=与2222:0lA xB y c ++=交点的直线方程为()111222()()0A x B y C A x B y c R λλ+++++=∈18、与直线:0l x y C A +B +=平行的直线方程为()0x y D C D A +B +=≠ 与直线:0l x y C A +B +=垂直的直线方程为0x y D B -A += 19、中心对称与轴对称：（1）中心对称：设点1122(,),(,)P x y E x y 关于点0(,)M x y 对称，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩（2）轴对称：设1122(,),(,)P x y E x y 关于直线:0l x y C A +B +=对称，则：a 、0B =时，有122x xC A +=-且12y y =； b 、0A =时，有122y yC B+=-且12x x =c 、0A B ⋅≠时，有12121212022y y Bx x Ax x y y A B C -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⋅+⋅+=⎪⎩20、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=（圆心(),A a b ，半径长为r ）圆心()0,0O ，半径长为r 的圆的方程222x y r +=。

人教版数学必修2知识点(很完整)（精编）一、几何1、几何体的认识几何体是由一些代表空间形状的舞台上的物体构成的，如立方体、球体、棱形体、圆锥体、平行四边形等。

2、平面几何平面几何中使用的基本概念是点、线、面、角以及其组合而形成的图形，是凡代表空间形状的点、线、面等在平面上的投影。

3、立体几何立体几何是通过立体形体去研究面、带角、斜面、线段、平面等物体形状及其连接关系、构成物体更复杂结构的学科。

4、四面体四面体是一种由四个平行四边形面构成的立体形体，其中每个面都与其他三个面交叉，形成六条边和八个角。

二、直线和圆1、直线直线是平面和空间中的一条空间图形，其特点是两点连结构成的图形单向不断，内插点数量无限多。

2、圆圆也是一种空间图形，由一系列沿一定角度排列的点连接构成，特点是内切直线重合，其中心点永远处于其角度中心位置，表面空间是球形的。

三、曲线1、曲线的概念曲线是一种折线，不论任意方向都是曲折的，包括直线、弧、圆、椭圆和其他更多的曲线图形。

2、弧的概念弧是由一条弧线构成的，其特点是曲率变化缓慢，在某些特定时期弧线的变化量较小。

3、椭圆椭圆是一种由对称的轮廓线构成的曲线，其特点是由边缘处发散出来，两端分别向内外屈曲，形成一个椭圆。

四、圆锥1、圆锥的概念圆锥是一种保持平行的圆台形图形，由两个平行曲率体构成，由曲线组成，其曲率变化范围大，重点在曲线上处于定位而延伸出来的构件交界处。

2、圆锥的本质圆锥的本质是一种比较稳定的非空间结构，其表面曲率有一定的形状变化，两个平行的台面中心圆形弧度可调。

不论是代表实际空间或形式空间的空间图形，都可以由圆锥的特性实现，如洞穴、梯形等。

五、表面积和体积1、表面积表面积指的是某种立体体积几何图形的表面（外面）所围成的几何面积，反映这个物体所含有的面积大小。

2、体积体积是指立体体积几何图形的内部所围成的体积大小，反映这个物体有多大或有多少的体积物质。

人教版高中数学必修二知识点大全[整理版]知识点1: 函数的概念和性质- 函数的定义：函数是一种特殊的关系，每个自变量都对应唯一的一个因变量。

- 函数的符号表示：通常用字母 f、g、h 等表示函数。

- 定义域和值域：函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是函数的所有可能的因变量值。

- 奇函数和偶函数：对于任意的 x，若有 f(-x) = -f(x) 成立，则函数 f(x) 是奇函数；若有 f(-x) = f(x) 成立，则函数 f(x) 是偶函数。

知识点2: 一次函数与二次函数- 一次函数：一次函数的一般形式为 y = kx + b，其中 k 是斜率，b 是截距。

一次函数的图像是一条直线。

- 二次函数：二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数且a ≠ 0。

二次函数的图像是一条抛物线。

知识点3: 指数函数和对数函数- 指数函数：指数函数的一般形式为 y = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。

指数函数的图像呈现递增或递减的特点。

- 对数函数：对数函数的一般形式为 y = loga(x)，其中 a 是底数，x 是函数值。

对数函数是指数函数的反函数，可以互相转化。

知识点4: 三角函数- 正弦函数：正弦函数是一个周期为2π 的周期函数，一般形式为 y = A sin(Bx + C)，其中 A 是振幅，B 是周期系数，C 是相位角。

- 余弦函数：余弦函数也是一个周期为2π 的周期函数，一般形式为 y = A cos(Bx + C)。

- 正切函数：正切函数是一个无穷区间上的周期函数，一般形式为 y = A tan(Bx + C)，其中 A 是振幅，B 是周期系数，C 是相位角。

以上是人教版高中数学必修二的知识点大全。

希望对你的学习有所帮助！。

人教版高中数学必修二知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习直线、平面垂直的性质【学习目标】1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题．【要点梳理】要点一、直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．要点二、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．2．平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内． 要点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．垂直间的关系可按下面的口诀记忆：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清．平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件．面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝．先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见．借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线．两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面．要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间．【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a ，b 为异面直线，AB 是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）．（1）若a ，b 都平行于平面α，求证：AB ⊥α；αβ=，求证：AB∥c．（2）若a，b分别垂直于平面α，β，且c【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥α，可先证明线与线的平行．（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB∥c．证明：（1）如图（1），在α内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面α的交线为a＇，设直线b与点P确定的平面与平面α的交线为b＇．∵a∥α，b∥α，∴a∥a＇，b∥b＇．又∵AB⊥α，AB⊥b，∴AB⊥a＇，AB⊥b＇，∴AB⊥α．（2）如图，过B作BB＇⊥α，则AB⊥BB＇．又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB＇确定的平面．∵b⊥β，∴b⊥c，∵BB＇⊥α，∴BB＇⊥c．∴c也垂直于由BB＇和b确定的平面．故c∥AB．【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明．举一反三：【变式1】设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【答案】B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．：空间的线面垂直398999 例3例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．【思路点拨】（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE；（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE。

新课标人教版高一数学必修二知识点归纳
(全套)
本文档旨在对新课标人教版高一数学必修二中的知识点进行全面归纳和总结，帮助学生更好地掌握和理解相关内容。

一、函数的基本概念
函数是数学中重要的概念之一，本单元主要涉及函数的定义、值域、定义域、图像和性质等方面的内容。

二、一次函数与二次函数
本单元重点研究一次函数和二次函数的性质和图像。

其中，一次函数包括直线的斜率和截距等基本概念，二次函数则涉及顶点、对称轴和开口等重要特征。

三、函数与方程
本部分主要探讨函数与方程之间的关系，包括方程的根与函数的零点、函数图像与方程的解以及解方程的基本方法等。

四、指数函数与对数函数
指数函数和对数函数是本单元的核心内容，涉及指数和对数的性质、运算法则、指数函数的图像和对数函数的定义等。

五、三角函数的概念与简单应用
本单元将介绍三角函数的基本概念，包括正弦、余弦和正切等的定义、性质和基本关系，以及在实际问题中的简单应用。

六、统计与概率
这一部分将介绍统计学和概率论的基本概念，包括统计数据的收集和处理、频数分布和概率计算等内容。

七、函数的导数及其应用
函数的导数是这个单元的重要内容，将包括导数的定义、导数的计算方法以及导数在实际问题中的应用等。

以上为新课标人教版高一数学必修二知识点的简要归纳，希望对学生们的研究有所帮助。

> 注：本文内容仅供参考，并不代表绝对正确性。

具体的教材和教师指导内容为准。

高中数学必修2知识点总结归纳
1、二次函数及其图像的性质：二次函数的定义，形式，及其未知量的解析解，二次
函数图像的性质，凹凸性和极值点位置，及其判定方法。

2、三角函数及其图形：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，平面直角坐标系下
的正弦余弦正切函数图像的性质及其判定方法，正弦定理，余弦定理，根据图形求三角函
数值，及其应用。

3、小数和分数的运算：常用的小数转分数的方法，小数和分数的加减乘除运算，及
其规律性的分析。

4、指数及对数：指数的定义，特殊指数的运算及其规律性，指数函数的图像及性质，对数的定义及其特殊性质，对数函数及其图形性质，及其一元二次多项式的变换。

5、多项式及其因子分解：多项式的基本定义，及其分母和分子的几何概念，多项式
的因子分解，及其唯一性的判断。

6、不定积分及其应用：不定积分的定义及其特殊性，常用的不定积分计算方法，及
其实际应用，求积分近似值的方法，以及实际的应用案例。

7、应用题中的数字变换：应用题中常见的实数变化，及其最高次数的判定，同时变
化的最小公倍数及其关系，求解应用题中特殊方程组的方法，及其实际案例。

8、圆的参数方程及极坐标方程：圆的定义，参数方程与极坐标方程的转换，园的性质，及其圆上点的定位方法，过定点且与圆的关系及应用。

9、高等函数及应用：高次函数的定义，及其图像的特点，高次函数的求解及其实际
应用，对数及指数函数的求解及应用，以及多项式、二次曲线等拟合应用。

10、三角型函数与几何图形的关系：三角型函数的定义及其特殊性质，三角型函数的
变换及其图形改变，及其三角函数与几何图形联系的应用。

新人教 A 版数学必修二知识要点总结第一章 立体几何初步1、柱、锥、台、球的构造特点（ 1〕棱柱：定义 ：两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体。

分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示 ：用各极点字母，如五棱柱 ABCDE A ' B ' C ' D ' E ' 或用对角线的端点字母，如五棱柱 AD ' 。

几何特点 ：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（ 2〕棱锥：定义 ：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共极点的三角形，由这些面所围成的几何体。

分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示 ：用各极点字母，如五棱锥PA 'B 'C 'D 'E '几何特点 ：侧面、对角面是三角形； 平行于底面的截面与底面相似， 其相似比等于极点到截面距离与高的比。

（ 3〕棱台：定义 ：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的局部分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示 ：用各极点字母，如五棱台 几何特点 ：①上下底面是相似平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的极点。

（ 4〕圆柱：定义 ：以矩形一边所在直线为轴旋转, 其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。

几何特点 ：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面张开图是一个矩形。

（ 5〕圆锥：定义 ：以直角三角形一条直角边为旋转轴, 旋转一周所成的曲面所围成的几何体。

几何特点 ：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的极点；③侧面张开图是一个扇形。

（ 6〕圆台：定义： 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的局部几何特点： ①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥极点；③侧面张开图是一弓形。

人教版必修二数学知识点人教版必修二数学知识点两个平面的位置关系：(1)两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点(2)两个平面的位置关系：两个平面平行-----没有公共点;两个平面相交-----有一条公共直线。

a、平行两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

b、相交二面角(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。

(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

二面角的取值范围为[0°，180°](3)二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。

(4)二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

esp.两平面垂直两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

记为⊥两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

数学二次函数的性质(1)二次函数的图像是抛物线，抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

(2)二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a0时，抛物线开口向上;当a0时，抛物线开口向下。

|a|越大，则抛物线的开口越小;|a|越小，则抛物线的开口越大。

(3)一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左侧;当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右侧。

(4)常数项c决定抛物线与y轴交点。

必修二第一章 空间几何体 知识点：1、空间几何体的结构⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。

⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

2、长方体的对角线长2222c b a l ++=；正方体的对角线长a l 3=3、球的体积公式：334　R V π=，球的表面积公式：24　R S π= 4、柱体h s V ⋅=，锥体h s V ⋅=31，锥体截面积比：222121h h S S =5、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；lr S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：lr S ⋅⋅=π侧面典型例题：★例1：下列命题正确的是( ) Ａ.棱柱的底面一定是平行四边形 Ｂ.棱锥的底面一定是三角形Ｃ.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 Ｄ.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥★★例2：若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ）A 21倍 B 42倍 C 2倍 D 2倍★例3：已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如下图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是（ ） Ａ．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱 Ｂ．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱Ｃ．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱★★例4：一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是A ．28cm πB 212cm π. C 216cm π． D ．220cm π二、填空题★例1：若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为_______________．★例2：球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍. 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 知识点：1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

(完整版)高中数学人教版必修二知识点总
结
高中数学人教版必修二知识点总结
本文档总结了高中数学人教版必修二的知识点，帮助学生进行复和总结。

以下是各个章节的重点内容：
第一章函数与导数
- 函数的概念和性质
- 函数的图像与奇偶性
- 导数的定义和性质
- 函数的单调性与极值
第二章三角函数
- 正弦、余弦、正切函数的定义和性质
- 三角函数的基本关系式
- 三角函数的图像和性质
- 三角恒等式的运用
第三章数列与数学归纳法- 数列的定义和性质
- 数列的通项公式和通项求和- 数学归纳法的原理和应用
第四章二次函数与其应用- 二次函数的定义和性质
- 二次函数的图像和性质
- 二次函数的最值问题
- 二次函数在实际问题中的应用
第五章平面向量
- 向量的定义和运算
- 向量共线与共面的判定
- 向量的数量积和性质
- 向量的应用
第六章概率
- 概率的基本概念和性质
- 随机事件与概率
- 条件概率和乘法定理
- 排列与组合的应用和概率计算
第七章统计与回归分析
- 统计的基本概念和性质
- 数据的收集和整理
- 统计图表的制作和分析
- 回归分析的原理和应用
以上是高中数学人教版必修二的主要知识点总结，希望对学生的复有所帮助。

详细内容以教材为准。

高中数学必修2知识点总结归纳(人教版最全)高中数学必修二知识点汇总第一章：立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征1) 棱柱：是由两个平行的多边形底面和若干个侧面组成的几何体。

根据底面多边形的边数不同，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

棱柱的侧面和对角面都是平行四边形，侧棱平行且相等，平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

2) 棱锥：是由一个多边形底面和若干个三角形侧面组成的几何体。

根据底面多边形的边数不同，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。

棱锥的侧面和对角面都是三角形，平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

3) 棱台：是由一个平行于棱锥底面的平面截取棱锥，截面和底面之间的部分组成的几何体。

根据底面多边形的边数不同，可以分为三棱台、四棱台、五棱台等。

棱台的上下底面是相似的平行多边形，侧面是梯形，侧棱交于原棱锥的顶点。

4) 圆柱：是由一个圆形底面和一个平行于底面的圆柱面组成的几何体。

底面是全等的圆，母线与轴平行，轴与底面圆的半径垂直，侧面展开图是一个矩形。

5) 圆锥：是由一个圆形底面和一个以底面圆心为顶点的锥面组成的几何体。

底面是一个圆，母线交于圆锥的顶点，侧面展开图是一个扇形。

6) 圆台：是由一个圆形底面和一个平行于底面的圆台面组成的几何体。

上下底面是两个圆，侧面母线交于原圆锥的顶点，侧面展开图是一个弓形。

7) 球体：是由一个半圆面绕其直径旋转一周所形成的几何体。

球的截面是圆，球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图三视图是指正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）、侧视图（从左向右）和俯视图（从上向下）组成的视图。

正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度。

俯视图和侧视图是用来反映物体在不同方向上的位置关系的，前者反映长度和宽度，后者反映高度和宽度。

斜二测画法是一种直观的图示方法，它的特点是原来与x轴平行的线段仍然与x轴平行且长度不变，原来与y轴平行的线段仍然与y轴平行，但长度为原来的一半。

新人教版高中数学（必修二）重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习空间几何体的结构【学习目标】1．利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球的结构特征；2．认识由柱、锥、台、球组成的几何组合体的结构特征；3．能用上述结构特征描绘现实生活中简单物体的结构．【要点梳理】【空间几何体的结构394899 棱柱的结构特征】要点一：棱柱的结构特征1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面．2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……3、棱柱的表示方法：①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为1111ABCD A B C D -、11111ABCDE A B C D E -、111111ABCDEF A B C D E F -；②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱1A C 或棱柱1D B 等；五棱柱可表示为棱柱1AC 、棱柱1AD 等；六棱柱可表示为棱柱1AC 、棱柱1AD 、棱柱1AE 等．4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行.要点诠释：有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱．如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱．判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱．【空间几何体的结构394899 棱锥的结构特征】要点二：棱锥的结构特征1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥S ABCD ．要点诠释：棱锥有两个本质特征：（1）有一个面是多边形；（2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可．【空间几何体的结构394899 旋转体的结构特征】要点三：圆柱的结构特征1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线．2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱/OO ．要点诠释：（1）用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个与底面全等的圆面．（2）经过圆柱的轴的截面是一个矩形，其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径，经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面．（3）圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴．要点四：圆锥的结构特征1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线．2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥SO ．要点诠释：（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面．（2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线．（3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线．【空间几何体的结构394899 棱台的结构特征】要点五：棱台和圆台的结构特征１、定义：用一个平行于棱锥(圆锥)底面的平面去截棱锥(圆锥)，底面和截面之间的部分叫做棱台(圆台)；原棱锥(圆锥)的底面和截面分别叫做棱台(圆台)的下底面和上底面；原棱锥(圆锥)的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台(圆台)的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴.2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台1111ABCD A B C D -；3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台OO '；要点诠释：（1）棱台必须是由棱锥用平行于底面的平面截得的几何体．所以，棱台可还原为棱锥，即延长棱台的所有侧棱，它们必相交于同一点．（2）棱台的上、下底面是相似的多边形，它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方．（3）圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成.（4）圆台的上、下底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方．要点六：球的结构特征1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球.半圆的半径叫做球的半径.半圆的圆心叫做球心.半圆的直径叫做球的直径.2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O.要点诠释：（1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径．（2）若半径为R 的球的一个截面圆半径为r ，球心与截面圆的圆心的距离为d ，则有d =要点七：特殊的棱柱、棱锥、棱台特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体；特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体；特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；注：简单几何体的分类如下表：要点八：简单组合体的结构特征1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体；2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合.①多面体与多面体的组合体由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体．②多面体与旋转体的组合体由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的．③旋转体与旋转体的组合体由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的．要点九：几何体中的计算问题几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧：(1)在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关．(2)正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来．(3)研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系．(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一．(5)圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决．(6)关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面．【经典例题】类型一：简单几何体的结构特征例1．判断下列说法是否正确．（1）棱柱的各个侧面都是平行四边形；（2）一个n（n≥3）棱柱共有2n个顶点；（3）棱柱的两个底面是全等的多边形；（4）如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形．【答案】（1）（2）（3）正确，（4）不正确．【解析】（1）由棱柱的定义可知，棱柱的各侧棱互相平行，同一个侧面内两条底边也互相平行，所以各侧面都是平行四边形．（2）一个n棱柱的底面是一个n边形，因此每个底面都有n个项点，两个底面的顶点数之和即为棱柱的顶点数，即2n个．（3）因为棱柱同一个侧面内的两条底边平行且相等，所以棱柱的两个底面的对应边平行且相等，故棱柱的两个底面全等．（4）如果棱柱有一个侧面是矩形，只能保证侧棱垂直于该侧面的底边，但其余侧面的侧棱与相应底边不一定垂直，因此其余侧面不一定是矩形．故（1）（2）（3）正确，（4）不正确．【总结升华】解决这类与棱柱、棱锥、棱台有关的命题真假判定的问题，其关键在于准确把握它们的结构特征，也就是要以棱柱、棱锥、棱台概念的本质内涵为依据，以具体实物和图形为模型来进行判定．举一反三：【变式1】如下图中所示几何体中是棱柱有（）A．1 B．2个C．3个D．4个【答案】C【空间几何体的结构394899 同步练习】【变式2】有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱吗？【答案】不一定例2．有下面五个命题：（1）侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；（2）侧棱都相等的棱锥是正棱锥；（3）底面是正方形的棱锥是正四棱锥；（4）正四面体就是正四棱锥；（5）顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是底面多边形的外心的棱锥必是正棱锥．其中正确命题的个数是（）．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】 A【解析】本题主要考查正棱锥的概念，关键看是否满足定义中的两个条件．命题（1）中的“各侧面都是全等的等腰三角形”并不能保证底面是正多边形，也不能保证顶点在底面上的射影是底面的中心，故不是正棱锥，如下图（1）中的三棱锥S-ABC，可令SA=SB=BC=Ac=3，SC=AB=1，则此三棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形，但它不是正三棱锥；命题（2）中的“侧棱都相等”并不能保证底面==EF=1，三条侧棱都相等，是正多边形，如下图（2）中的三棱锥P-DEF，可令PD=PE=PF=1，DE DF但它不是正三棱锥；命题（3）中的“底面是正方形的棱锥”，其顶点在底面上的射影不一定是底面的中心，如下图（3），从正方体中截取一个四棱锥D1-ABCD，底面是正方形，但它不是正四棱锥；命题（4）中的“正四面体”是正三棱锥．三棱锥中共有4个面，所以三棱锥也叫四面体．四个面都是全等的正三角形的正三棱锥也叫正四面体；命题（5）中的“顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心”，说明了底面是一个正多边形，符合正棱锥的定义．【变式1】如果一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥．这种说法是否正确？如果正确说明理由；如果不正确，举出反例．【答案】不正确．【解析】如图所示的几何体由两个底面相等的四棱锥组合而成，它有一个面是四边形，其余各面都是三角形，但是该几何体不是棱锥．例3．判断下图所示的几何体是不是台体？为什么？【解析】三个图都不是台体．（1）AA 1，DD 1交于一点，而BB 1，CC 1交于另一点，此图不能还原成锥体，故不是台体：（2）中面ABCD 与面A 1B 1C 1D 1不平行，故也不是台体；（3）中应⊙O 与⊙O 1不平行，故也不是台体．【总结升华】判断一个几何体是否为台体，必须紧扣台体的两个本质特征：（1）由锥体截得的；（2）截面平行于锥体的底面．即棱台的两底面平行，且侧棱必须相交于同一点；圆台的两底面平行，且两底面圆心的连线与两底面垂直．举一反三：【变式1】判断如下图所示的几何体是不是台体？为什么？【答案】 ①②③都不是台体．【解析】因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是台体；虽然②是由棱锥所截，但截面不和底面平行，故不是台体．只有用平行于锥体底面的平面去截锥体，底面与截面之间的部分才是台体．④是一个台体，因为它是用平行于圆锥SO 底面的平面截圆锥SO 而得的．类型二：几何体中的基本计算例4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．【答案】14 cm ，，7 cm 和21 cm ．【解析】圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm和3x cm ，延长1AA 交1OO 的延长线于点S ．在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SAO ＝45°． ∴SO ＝AO ＝3x cm ，12OO x cm =．∴ 1(62)2392x x x +⋅=，解得x ＝7，∴圆台的高114OO cm =，母线长1l cm ==，底面半径分别为7 cm 和21 cm ． 【总结升华】对于这类旋转体的有关计算问题，其关键在于作出它们的轴截面（即过旋转铀的截面），再把它们转化为平面几何问题即可．【变式1】已知圆台的上、下底面积之比为1：9，圆台的高为10，求截得圆台的圆锥的高．【解析】设圆锥的高为h，上、下底半径为,r R．则1013r hR h-==，解得15h=．类型三、简单几何体的组合体例5．指出下图中的图形是由哪些简单几何体构成的．【解析】分割原图，使它们的每一部分构成简单几何体．（1）是一个三棱柱和一个四棱柱组合而成的；（2）是一个圆锥和一个四棱柱组合而成的．【总结升华】判定实物图是由哪些简单几何体所组成的图形问题，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征，其次要善于将复杂的组合体“分割”成几个简单的几何体．会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．举一反三：【变式1】如下图，观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的，并说出它们的主要结构特征．【答案】图（1）是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱组成的几何体，它有9个面，14个顶点，21条棱，具有四棱柱和三棱柱的结构特征．图（2）是一个四棱柱和一个底面与该四棱柱上底面重合的四棱锥组成的几何体，它有9个面，9个顶点，16条棱，具有四棱柱和四棱锥的结构特征．图（3）是由一个三棱柱和一个底面与该三棱柱的上底面重合的三棱台组成的几何体，它有9个顶点，8个面，15条棱，具有三棱柱和三棱台的结构特征．【变式2】如下图（1）是由图（2）中的平面图形（）旋转得到的．【答案】A【总结升华】要作出一个平面图形绕某一条直线旋转一周所形成的几何体，一般是先作出这个平面图形的各顶点（如果是半圆形，则取垂直于这条直线的半径的端点）关于这条直线的对称点，再把这些相互对称的两点用圆弧连接起来，也就得出相应的几何体，进而便可判定其是由哪些简单的几何体所组成的几何体．类型四、简单几何体的表面展开与折叠问题例6．请画出下图所示的几何体的表面展开图．【解析】将立体图形沿着某些棱剪开，然后伸展到平面上．表面展开图如下图所示．【总结升华】要画一个多面体的表面展开图，可以先用硬纸做一个相应的多面体的实物模型，然后沿着某些棱把它剪开，并铺成平面图形，进而画出相应的平面图形．将多面体的表面展开成平面图形，有利于我们解决与多面体表面有关的计算问题．例7．根据下图所给的平面图形，画出立体图形．【解析】将各平面图形折起后形成的空间图形如下图所示．【总结升华】平面图形的折叠问题实质上是多面体的表面展开问题的逆向问题（即逆向过程）．这两类问题都是立体几何中的基本问题，我们必须熟练掌握折叠与展开这两个基本功，并能准确地画出折叠和展开前后的平面图形和立体图形，找到这两个图形之间的构成关系．举一反三：【变式1】（2016 广东雷州市月考）如图，正方形ABCD中，E、F分别为CD、BC的中点，沿AE、AF、EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．【思路点拨】根据折叠前、后的图形情况，结合线面垂直的判定定理，得出该多面体是直三棱锥．【答案】直三棱锥【解析】在正方形ABCD中，AB⊥BF，AD⊥DE，折叠后的图形B，C，D三点重合，∴三棱锥A—CEF中，AC⊥CE，AC⊥CF，CF∩CF=C，∴AC⊥平面CEF，三棱锥A—CEF是直三棱锥．故答案为：直三棱锥．【巩固练习】1．一个正方形沿不平行于正方形所在平面的方向平移一段距离一定可以形成（）．A．棱锥B．四棱柱C．正四棱柱D．长方体E F G（不与顶点重合），过此三点作长方体的截面，那么2．从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点,,这个截面的形状是（）．A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上都有可能3．下列说法正确的是()A．直线绕定直线旋转形成柱面B．半圆绕定直线旋转形成球体C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的4.下列图形不是正方体表面展开图的是（）．5．下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截球体得到的截嘶一定是一个圆面；③用任意一个平面去截圆锥得到的截断一定是一个圆面．其中正确的个数是（）．A．0 B．1 C．2 D．36．一个直角梯形以较长底为轴进行旋转，得到的几何体是（）A．一个圆台B．一个圆锥C．由两个圆锥组成的组合体D．由一个圆锥一个圆柱组成的组合体7．（2016春河北石家庄期末）一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的度数是（）A．45°B．30°C．60°D．90°8．由若干个平面图形围成的几何体称为多面体，多面体最少有________个面．9．,A B 为球面上相异两点，则通过,A B 两点可作的球大圆有 个．10．（2016春 安徽宿松县月考）一个长、宽、高分别为a 、b 、c 长方体的体积是8 cm 2，它的全面积是32 cm 2，且满足2b ac =，求这个长方体所有棱长之和．11．已知三棱锥的底面是边长为a 的正三角形，求过各侧棱中点的截面面积．12．一个四棱台的上、下底面均为正方形，且面积分别为1S 、2S ，侧面是全等的等腰梯形，棱台的高为h ，求此棱台的侧棱长和斜高(侧面等腰梯形的高).【答案与解析】1．【答案】B【解析】由棱柱定义可知，选B ．2．【答案】A【解析】 连结,,E F G 三点，用余弦定理证明知，这个三角形是锐角三角形．3．【答案】D【解析】两直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A 错误．半圆以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B 不正确，C 不符合棱台的定义，所以应选D ．4．【答案】C【解析】 由展开图折回去形不成正方体可知选C ．5．【答案】C【解析】 ①②正确，③中截面也可以是一个三角形或椭圆等．6．【答案】D【解析】由圆柱和圆锥的定义可知，该图形是一个圆锥和圆柱．7．【答案】C【解析】一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A 、B 、C 是展开图上的三点，组成立体图形后，可得△ABC 的各边均为正方形的对角线长，△ABC 为等边三角形，∴∠ABC 的度数为60°．故选C ．8．【答案】49．【答案】一个或无穷多个10．【答案】32cm【解析】∵长、宽、高分别为a 、b 、c 长方体的体积是8 cm 2，∴abc =8，∵它的全面得32 cm 2，∴2(ab +bc +ca )=32，∵2b ac =，∴b =2，ac =4，a +c =6，∴这个长方体所有棱长之和为4(a +b +c )=32（cm ）．11．2【解析】如右图，△A ＇B ＇C ＇为所求的截面图形，由三角形中位线性质定理，得△A ＇B ＇C ＇∽△ABC ，且对应边长之比为1∶2．【答案】 ∴2''1124A B C ABC S S ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭．又∵2ABC S a ∆=，∴22'''14A B C S a ∆==．12．，此棱台对角面、过两相对斜高的截面都是等腰梯形，则侧棱长为l ==斜高为h ==空间几何体的三视图和直观图【学习目标】1.了解平行投影与中心投影，了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点，了解空间图形的不同表现形式；2. 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱的简易组合体）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．【要点梳理】【空间几何体的三视图与直观图 395059中心投影与平行投影】要点一、中心投影与平行投影1．投影、投影线和投影面由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面．2．中心投影我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影．中心投影的投影线交于一点，它的实质是一个点光源把一个物体射到一个平面上，这个物体的影子就是它在这个平面上的中心投影．3．中心投影的性质（1）中心投影的投影线交于一点；（2）点光源距离物体越近，投影形成的影子越大．4．平行投影我们把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．5．平行投影的性质（1）平行投影的投影线互相平行．（2）在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子与这个平面图形的形状和大小完全相同．6．中心投影与平行投影的区别与联系（1）平行投影包括斜二测画法和三视图．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体．（2）画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时，一般用平行投影法．要点二、空间几何体的三视图【空间几何体的三视图与直观图395059 三视图】1．三视图的概念把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形，但是只有一个平面图形很难把握几何体的全貌，因此我们需要从多个角度进行投影，这样才能较好地把握几何体的形状和大小．通常，我们总是选择三种投影．（1）光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图；（2）光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图；（3）光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图．几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．2．三视图的画法规则画三视图时，以正视图为准，俯视图在正视图的正下方，侧视图在正视图的正右方，正、俯、侧三个视图之间必须互相对齐，不能错位．正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映物体的长度和宽度，侧视图反映物体的宽度和高度，由此，每两个视图之间有一定的对应关系，根据这种对应关系得到三视图的画法规则：（1）正、俯视图都反映物体的长度——“长对正”；（2）正、侧视图都反映物体的高度——“高平齐”；（3）俯、侧视图都反映物体的宽度——“宽相等”．【空间几何体的三视图与直观图395059 斜二测画法及典型例题1】要点三、斜二测画法在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形．要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图形的直观图画法．对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的z轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x＇轴与y＇轴，两轴交于点O＇，且使∠x＇O＇y＇=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．（2）已知图形中，平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x＇轴、y＇轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．（3）已知图形中，平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了平面图形的直观图．要点诠释：用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段．要点四、立体图形的直观图（1）用斜二测画法画空间几何体的步骤①在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，再取z轴，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°；②画直观图时，把它们画成对应的轴x′，y′，z′，使∠x′O′y′=45°（或135°），∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的。

人教版高中数学必修二知识点梳理重点题型(常考知识点)巩固练习平面【学习目标】1 .利用生活中的实物对平面进行描述；理解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.2 .重点掌握平面的基本性质.3 .能利用平面的性质解决有关问题.【要点梳理】［空间点线面之间的位置关系知识讲解】要点一、平面的基本概念1 .平面的概念：“平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的.要点诠释：(1) “平面”是平的(这是区别“平面”与“曲面”的依据)；(2) “平面”无厚薄之分；(3) “平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据.2 .平面的画法：通常画平行四边形表示平面.要点诠释：(1)表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成45 ,横边长是其邻边的两倍；(2)两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画：3 .平面的表示法：(1)用一个希腊字母表示一个平面，如平面a、平面0、平面7等；(2)用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD ；(3)用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面AC或者平面BD ；4 .点、直线、平面的位置关系：(1)点A在直线a上，记作Awa；点A在直线a外，记作Ac a ；⑵点A在平面a上，记作Asa ；点A在平面a外，记作A氏a ；(3)直线I在平面a内，记作lua：直线I不在平面a内，记作l(za.要点二、平面的基本性质平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础.1 .公理1：(1)文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内;⑵符号语言表述：AeI , B G I , Awa, Bea =>I ca ；(3)图形语言表述：要点诠释：公理1是判断直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”2 .公理2：(1)文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面：(2)符号语言表述：A、B、C三点不共线=有且只有一个平面a ,使得Awa, Bea, Cea；(3)图形语言表述：要点诠释：公理2的作用是确定平面，是把^间问题化归成平面问题的重要依据.它还可用来证明“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件.“有且只有一个”的含义可以分开来理解.“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义.(4)公理2的推论：①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面：②过两条相交直线，有且只有一个平面；③过两条平行直线，有且只有一个平面.(5)作用：确定一个平面的依据.3 .公理3：(1)文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线:(2)符号语言表述：Pwa nPnanP = l且P E I；（3）图形语言表述:要点诠释：公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据.要点三、点线共面的证明所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题.1 .证明点线共面的主要依据：（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）:②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及期隹论）.2 .证明点线共面的常用方法：（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；20辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面。

高中数学必修二复习基本概念公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直esp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a 和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

高中数学必修二知识点复习（细致，条理，归纳，提高）基本概念公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

③直线和平面平行——没有公共点直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。