三角函数及解三角形练习题81275

三角函数及解三角形测试题(含答案)三角函数及解三角形1.在锐角三角形ABC中，角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。

根据正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中R为三角形外接圆的半径。

根据余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。

根据正切的定义，$\tan A=\frac{a}{b}$。

根据余切的定义，$\cotA=\frac{b}{a}$。

根据正割的定义，$\sec A=\frac{c}{a}$。

根据余割的定义，$\csc A=\frac{c}{b}$。

2.选择题：1.设$\alpha$是锐角，$\tan(\frac{\pi}{4}+\alpha)=3+\sqrt{22}$，则$\cos\alpha=\frac{2\sqrt{22}}{36}$。

2.一艘船向XXX，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时5海里。

4.已知函数$f(x)=3\sin\omega x+\cos\omega x$，$y=f(x)$的图象与直线$y=2$的两个相邻交点的距离等于$\pi$，则$f(x)$的单调递增区间是$(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12},\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12})$，其中$k\in Z$。

5.圆的半径为4，$a,b,c$为该圆的内接三角形的三边，若$abc=162$，则三角形的面积为$22$。

6.已知$\cos\alpha=-\frac{4}{\pi}$，且$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，则$\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=-\frac{7}{7}$。

三角函数与解三角形本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部。

总分值150分。

考试时间120分钟。

第一卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符号题目要求的。

)1．角α终边上一点P ，则2sin 23tan αα-=〔 〕A ．1--B ．1-C ．-D ．0[答案] D 2．y＝(sin x＋cos x )2－1是( )A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数[答案] D[解析] y ＝(sin x ＋cos x )2－1＝2sin x cos x ＝sin2x ，所以函数y ＝(sin x ＋cos x )2－1是最小正周期为π的奇函数．3．把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移π6个单位，再将图像上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得的图象解析式为y ＝sin x ，则 ( )A ．ω＝2，φ＝π6B ．ω＝2，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝π12[答案] B[分析] 函数y ＝sin(ωx ＋φ)经过上述变换得到函数y ＝sin x ，把函数y ＝sin x 的图象经过上述变换的逆变换即可得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．[解析] 把y ＝sin x 图象上全部点的横坐标缩小到原来的12倍得到的函数解析式是y ＝sin2x ，再把这个函数图象向右平移π6个单位，得到的函数图象的解析式是y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，与函数比拟得ω＝2，φ＝－π3. [点评] 此题考查三角函数图象的变换，试题设计成逆向考查的方法更能考查出考生的分析解决问题的灵敏性，此题也可以根据比拟系数的方法求解，根据的变换方法，经过两次变换后函数y ＝sin(ωx ＋φ)被变换成y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx 2＋ωπ6＋φ比拟系数也可以得到问题的答案． 4．tan α＝2，则2sin 2α＋1sin2α＝ ( )A.53 B ．－134C.135D.134[答案] D[解析] ∵tan α＝2，∴2sin 2α＋1sin2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝134.5．函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最大值是2，则ω的最小值等于( )A.23B.32 C ．2 D ．3[答案] C[解析] 由条件知f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin π4ω＝2，∴ω＝8k ＋2，∵ω>0，∴ω最小值为2. 6．假设函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫－π8，0 B.⎝⎛⎭⎫π8，0 C ．(0,0) D.⎝⎛⎭⎫－π4，0 [答案] A[分析] 把函数化为一个角的一种三角函数，根据函数的最小正周期求出ω的值，根据对称中心是函数图象与x 轴的交点进行检验或直接令f (x )＝0求解．[解析] f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，这个函数的最小正周期是2πω，令2πω＝1，解得ω＝2，故函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，把选项代入检验知点⎝⎛⎭⎫－π8，0为其一个对称中心．[点评] 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称中心，就是函数图象与x 轴的交点． 7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x＝π3是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是 ( ) A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2[答案] D[解析] 由最大值为4，最小值为0得⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋m ＝4－A ＋m ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2m ＝2， 又因为正周期为π2，∴2πω＝π2，∴ω＝4，∴函数为y ＝2sin(4x ＋φ)＋2，∵直线x ＝π3为其对称轴，∴4×π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－5π6，取k ＝1知φ＝π6，应选D.8．cos(x ―π6)=― 3 3 ，则cosx+cos(x ―π3)的值是 ( )A 、― 2 3 3B 、± 2 33C 、―1D 、±19．△ABC 中，a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则角A 等于 ( )A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°[答案] D[解析] 根据正弦定理得1sin A ＝2sin45°，∴sin A ＝12，∵a <b ，∴A 为锐角，∴A ＝30°，应选D.10．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的一局部图象如下图，如图A >0，ω>0，|φ|<π2，则( )A ．φ＝－π6B ．φ＝－π3C ．φ＝π3D ．φ＝π6[答案] D[解析] 由图可知⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋b ＝4－A ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2b ＝2， 又T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2， ∴y ＝2sin(2x ＋φ)＋2，将⎝⎛⎭⎫5π12，2代入得sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝0，结合选项知选D. 第二卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共5个小题，每题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2cos(10°－60°)2sin 240°＝2cos50°2sin40°＝ 2.12．在△ABC 中，假设a ＝b ＝1，c ＝3，则∠C ＝________.[解析] cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋1－32＝－12，∴C ＝2π3.13．假设tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________．[答案] 17[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)·tan α＝3－21＋3×2＝17.14．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－m 在x ∈[0，π2]上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________． [答案] [－1,2][解析] f (x )在[0，π2]上有两个不同零点，即方程f (x )＝0在[0，π2]上有两个不同实数解，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈[0，π2]与y ＝m 有两个不同交点， ∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin(2x －π6)≤1，∴－1≤y ≤2，∴－1≤m ≤2.15．对于函数f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x －1(x ∈R )给出以下命题： ①f (x )的最小正周期为2π； ②f (x )在区间[π2，5π8]上是减函数；③直线x ＝π8是f (x )的图像的一条对称轴；④f (x )的图像可以由函数y ＝2sin2x 的图像向左平移π4而得到．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的都填上)．[答案] ②③[解析] f (x )＝cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，最小正周期T ＝π；由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，故f (x )在区间[π2，5π8]上是减函数；当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，∴x ＝π8是f (x )的图象的一条对轴称；y ＝2sin2x 的图象向左平移π4个单位得到的图象对应函数为y ＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2，因此只有②③正确． 三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题总分值12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的局部图象如下图．(1)求函数f (x )的解析式；(2)假设f ⎝⎛⎭⎫α2＝45，0<α<π3，求cos α的值． [解析] (1)由图象知A ＝1f (x )的最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝π，故ω＝2πT ＝2 将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入f (x )的解析式得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1， 又|φ|<π2，∴φ＝π6故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 (2)f ⎝⎛⎭⎫α2＝45，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，又0<α<π3， ∴π6<α＋π6<π2，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 又cos α＝[(α＋π6)－π6]＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6＝33＋410. 17．(本小题总分值12分) )cos 2,sin (cos ),sin ,sin (cos x x x b x x x a -=+=,设b a x f ⋅=)(.(1)求函数)(x f 的单调增区间；〔2〕三角形ABC 的三个角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，且满足(),103A fB π==+=，求边c .[解析](1) b a x f ⋅=)( =x x x x x x cos 2sin )sin (cos )sin (cos ⋅+-⋅+ =x x x x cos sin 2sin cos 22+- =x x 2sin 2cos +=)2sin 222cos 22(2x x +=cos2cossin 2)44x x ππ+=)42sin(2π+x ………………………………3分由()f x 递增得：222242k x k πππππ-+≤+≤+即3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ∴)(x f 的递增区间是3[,],88k k k Z ππππ-++∈ 。

高中数学 三角函数 三角恒等变化 解三角形 专题练习(76页)1．在ABC ∆中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ，若()()(),a c a c b b +-=+则cos A = A．2-B．2 C ．12D．3- 2．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是( )3．已知角α的终边上一点的坐标为(12，则角α的正弦值为( )A．－2B.2 C ．－12 D.124．在ABC ∆中，若20sin A sin BcosC -=，则ABC ∆必定是 （ ）A 、钝角三角形B 、等腰三角形C 、直角三角形D 、锐角三角形 5．把函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移6π个单位长度得到函数 A ．sin 2y x =B ．sin(2)6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+ D ．cos 2y x = 6．=ο2010sin （ ）A.21 B.21- C. 23- D.2377．．已知m =αtan 化简αα22sin 2cos 1+得结果为：（ ） A. 22211mm ++ B.m m 211++ C.m 211+ D. 211m +xxA ．B ．C ．D ．8． 将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是（ ） A ．3π B ．3π- C ．6π D ．6π- 9．在ABC ∆中，若sinA ︰sinB ︰sinC=1:2:3，则::a b c 等于（ ） A.1:2:3 B.3:2:1 C.2:3:1 D.1:3:2 10．要得到一个偶函数，只需将函数)3sin()(π-=x x f 的图象A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位 C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位 11．设0)3cos )(sin sin cos 2(=++-x x x x ，则xxx tan 12sin cos 22++的值为（ ）A ．52 B ．85 C ．58 D ．25 12．函数1sin 6cos 22++=x x y 的最大值为（ ） A ． 10 B ．9 C ．8 D ． 713．半径为5cm ，面积为252cm 的扇形中，弧所对的圆心角为 A ． ︒2 B.π2弧度 C ．2弧度 D ．4弧度 14．化简sin()2απ+等于（ ）. A.cos α B.sin α C.cos α- D.sin α-15．函数y ＝sin(ωx ＋ϕ)(x ∈R,ω＞0,0≤ϕ＜2π)的部分图象如右图，则 （ ） A.ω＝π2,ϕ＝π4 B.ω＝π3,ϕ＝π6C.ω＝π4,ϕ＝π4D.ω＝π4,ϕ＝π5416．为了得到函数sin(2)6y x π=-的图像,可以将函数cos 2y x =的图像A 、向右平移6π个单位 B 、 向左平移3π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向右平移3π个单位17．在ABC ∆中，120A =︒5AB =，7BC =，则sin sin BC的值为 A ．85 B ．58 C ．53 D ．3518． △ABC 中，若030C =，8a =，b =S ABC V 等于（ ）A.19．已知tan x =x 的集合为（ ）A ．4{|2,}3x x k k Z ππ=+∈B ．{|2,}3x x k k Z ππ=+∈C ．4,33ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．{|,}3x x k k Z ππ=+∈20．已知α为锐角，2cos sin m=αα，则ααcos sin +的值是 （ ） A ．1-m B ．1+m C ．1-±m D ．1+±m21．若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m 的范围是( )A.(1,2)B.(2,+∞)C.[3,+∞)D.(3,+∞) 22．求0sin 600的值是 （ ）A 、12 B、D 、12-23．下列关系式中正确的是（ ）A ．sin11cos10sin168︒<︒<︒B ．sin168sin11cos10︒<︒<︒C ．sin11sin168cos10︒<︒<︒D ．sin168cos10sin11︒<︒<︒ 24．若2π-≤x ≤2π，则()cos f x x x =+的取值范围是 （ ） A ．[1,2]- B ．[1,1]- C．[2] D．[ 25．已知x x x tan 1tan 14tan -+=⎪⎭⎫⎝⎛+π⎪⎭⎫⎝⎛+≠4ππk x ，那么函数x y tan =的周期为π。

三角函数和解三角形测试 一、选择题1. 已知复数12z i =-，那么1z=( )A C.1255i + D.1255i -2．下列说法中，正确的是：A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“x R ∃∈，02>-x x ”的否定是：“x R ∀∈，02≤-x x ” C ．命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题 D ．已知R x ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件3．已知ααcos sin 2=，则ααα2cos 12sin 2cos ++的值是( ) A.3B.6C. 12D.23 4.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位5.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）A ．sin(2)3y x π=-，x R ∈ B ．sin()26x y π=+，x R ∈C ．sin(2)3y x π=+，x R ∈D ．sin(2)32y x π=+，x R ∈6. 已知f(x)=sin(2x+θ)+3 cos(2x+θ)为奇函数,且在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上是减函数的θ的一个值是（ ） A.3π B.35π C.32π D.34π7. 已知cos （α-6π）+sin α=的值是则)611sin(,354πα-（ ） A ．-532 B ．532 C ．-54 D ． 548．设2()|2|f x x =-，若0a b <<，且()()f a f b =，则ba 22的取值范围是（ ）A ．(0,2)B ．(0,2]C ．（0,4） D．(0二、填空题9．已知二项式81⎪⎭⎫ ⎝⎛+a x 展开式的前三项系数成等差数列，则a 的值是____________10．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则目标函数y x z +=5的最大值为____________11．以Rt ABC ∆的直角边AB 为直径作圆O ，圆O 与斜边AC 交于D ，过D 作圆O 的切线与BC 交于E ，若3BC =，4AB =，则OE =_____________12.在极坐标系中，点A 的极坐标是（1，π），点P 是曲线2C :sin ρθ=上的动点，则|PA|的最大值为 ．13.执行如图1-2S ＝ ．14．已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，当x x 21≤时，))((21x f x f ≤当x ∈[0,1]，)2014171()2014152()2014151()2014150(),1(1)(),()5(2-++-+-+---==f f f f x f x f x f x f 则1B 1A 1CA= 。

1、已知函数2()2sin()21,.4f x x x x Rπ=+-∈（1）求()f x的最大值及对应的x的取值；（2）写出()f x的单调递减区间。

2、已知(sin,cos),(cos,)a x xb x x=-=r r，函数()f x a b=⋅r r．（1）求()f x的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；（2）当0,2xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x的最大值与最小值及对应的x的取值.3.已知函数()())2,0(sin2πϕωϕω<>+=xxf的最小正周期为π，在6π=x处取得最大值。

(1)求函数()f x的解析式；(2)写出函数()f x的单调递增区间(3)设ABC∆的内角A,B,C的对边分别为,,a b c且()1,3,sinsin2===CfcBA，求,a b的值4、ABC∆中,角,,A B C的对应边分别为,,a b c,1sin222Cπ⎛⎫-=⎪⎝⎭且222b a c+<.(1)求角C的大小(2)求a bc+的取值范围5、已知函数)0,(sin )1sin 2(cos 2sin )(2πααα<<∈-+⋅=R x x x x f（1）求函数)(x f 的最小正周期及最大值； （2）若函数)(x f y =向左平移4π个单位后，关于直线6π=x 对称，求α的值，并写出函数)(x f 的单调递减区间.6、在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知3AB AC BA BC ⋅=⋅．（1）求证A B tan 3tan =； （2）若ab c b a 552222=-+，求角A 的大小。

三角求值与解三角形专项训练1 三角公式运用【通俗原理】1．三角函数的定义：设(,)P x y ，记xOP α∠=∈R ，||r OP == 则sin ,cos ,tan (0)y x y x r r xααα===≠. 2．基本公式：22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==. 3．诱导公式：4．两角和差公式：sin( cos(sin sin α tan tan tan(1tan tan αβαβ±. 5．二倍角公式：sin2cos αα，22cos2sin 2cos 1ααα-=-tan 2αα. 6．辅助角公式：①22sin cos sin()a b a b θθθϕ+=++，其中ϕ由tan b aϕ=及点(,)a b 所在象限确定.②sin cos cos sin )a b a b θθθθθϕ'''+=+=-， 其中ϕ'由tan b a ϕ''='及点(,)a b ''所在象限确定.【典型例题】1．已知α∈R ，证明：sin()cos 2ααπ-=-.2．若(0,)2απ∈，tan 2α=，求sin cos αα+的值.3．已知sin()1αβ+=，1sin()2αβ-=，求tan tan αβ的值.4．求cos15tan15+的值.5．证明：3cos34cos3cos ααα=-.【跟踪练习】1．已知3sin()35απ-=，求cos()6απ+的值.2．若1sin 22β=，求tan β的值.三角求值与解三角形专项训练2. 解三角形1．三角形边角关系：在ABC △中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，①A B C ++=π；②若a b c ≤≤，则a b c +>；③等边对等角，大边对大角.2．正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===(R 是ABC △外接圆的半径). 变形：2sin a R A =，2sin ,2sin b R B c R C ==. 3．余弦定理：2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩.变形：222cos 2b c a A bc +-=，其他同理可得. 4．三角形面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ===△. 5．与三角形有关的三角方程：①sin2sin2A B =⇒A B =或22A B =π-；②cos2cos2A B =⇒A B =.6．与三角形有关的不等式：①sin sin cos cos a b A B A B >⇔>⇔<. 7．解三角形的三种题型：①知三个条件(知三个角除外)，求其他(角、边、面积、周长等)； ②知两个条件，求某个特定元素或范围；③知一边及其对角，求角、边、周长、面积的范围或最值.【典型例题】1．在ABC △中，若cos cos a A b B =，试判断ABC △的形状.2．在ABC △中，证明：sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇔<.3．在ABC △中，1a =，6A π=，3b =C 的大小.4．在ABC △中，2C A =，2c a =，求角A 的大小.5．在ABC △sin 3cos c CA =，求角A 的大小.6．在ABC △中，c =3C π=. (I)求ABC △面积的最大值；(II)求ABC △周长的取值范围.【跟踪练习】1．在B C A ∆中，(sin sin )()(sin sin )a A B c b C B -=-+，求角C .2．在B C A ∆中，222a c b ac +=-．(I)求B ∠的大小；(II)求C A cos cos +的最大值．3．在B C A ∆中，222+-=b c a ，23B π=，=b . (I)求BC 边上的中线AD 的长；(II)求BAC ∠的角平分线AE 的长.参考答案5.1 三角公式【典型例题】1．证明：如图，在单位圆中，记xOP α∠=， =2xOQ απ∠-，有(,),(,)P x y Q y x -， 则sin()2x απ-=-，而cos x α=-， ∴sin()cos 2ααπ-=-. 2．解法一：∵(0,)2απ∈，tan 2α=，有sin 2cos αα=， 代入22sin cos 1αα+=得21cos 5α=，则cos 5α=，sin 5α=，∴sin cos αα+=. 解法二：∵(0,)2απ∈，tan 2α=，∴2(sin cos )12sin cos αααα+=+ 222sin cos 1sin cos αααα=+=+22tan 91tan 15αα+=+， 又sin cos 0αα+>，有sin cos 5αα+=. 3．解：由sin()1αβ+=，1sin()2αβ-=， 得sin cos cos sin 11sin cos cos sin 2αβαβαβαβ+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，则31sin cos ,cos sin 44αβαβ==，∴tan tan αβsin sin cos cos 3sin cos sin cos ααβαβαββ===. 4．解：∵cos15cos(4530)cos45cos30sin 45sin 30=-=+122224=⨯+⨯=， tan 45tan 30tan15tan(4530)1tan 45tan 30-=-=+2==-∴cos15tan15+2=+-5．证明：cos3cos(2)cos cos2sin sin2ααααααα=+=-22cos (2cos 1)2cos sin αααα=--322cos cos 2cos (1cos )αααα=---34cos 3cos αα=-.【跟踪练习】 1．解：∵()()632ααπππ+--=，且3sin()35απ-=， ∴3cos()cos[()]sin()62335αααππππ+=+-=--=-. 2．解：由1sin 22β=得12sin cos 2ββ=，即22sin cos 1sin cos 4ββββ=+， ∴2tan 1tan 14ββ=+，即2tan 4tan 10ββ-+=，解得tan 2β=±. 由cos ϕ=得cos(2)2k α3ππ+-=，即sin sin αα-=⇒=.由sin ϕ=sin(2)2k α3ππ+-=，即cos cos αα-=⇒=，∴2sin cos αα+=5.3 解三角形【典型例题】1．解：由cos cos a A b B =及正弦定理得sin cos sin cos A A B B =，即sin2sin2A B =， 又,(0,)A B ∈π，有22A B =或22A B =π-，即A B =或2A B π+=， ∴ABC △是等腰三角形或直角三角形.2．证明：a b A B >⇔>，由a b >及正弦定理得2sin 2sin sin sin R A R B A B >⇔>， 而函数()cos f x x =在(0,)π上单调递减，有0()()B A f B f A <<<π⇔>，∴cos cos A B A >⇔<，∴sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇔<.3．解：由正弦定理得sin sin a b A B=，得sin 1sin 2b A B a ===．因为1b a =>=，所以B A >，故3B π=或32π． 当3B π=时，()()632C A B πππ=π-+=π-+=． 当23B π=时，()2()636C A B πππ=π-+=π-+=． ∴角C 为2π或6π. 4．解：∵a c 2=，∴ 由正弦定理有sin C =2sin A ．又C =2A ，即sin2A =2sin A ，于是2sin A cos A =2sin A ，在△ABC 中，sin A ≠0，于是cos A =22，∴ A =4π． 5sin sin c a C A==，从而sin A A =，tan A =，∵0A <<π，∴3A π=.6．解：(I)∵3c C π==，由余弦定理得2222cos 3a b ab π=+-， ∴2232a b ab ab ab ab =+-≥-=，仅当a b =时等号成立，∴ABC △的面积11sin sin 322344S ab C ab π==≤⨯=，∴当a b ==时，ABC △； (II)由(I)得223a b ab =+-，即23()3a b ab =+-，∴221()1()32a b ab a b +=+-≤，则2()12a b +≤，即a b +≤a b =时等号成立.∴ABC △的周长a b c ++≤=a b ==而a b c +>=a b c ++>，∴ABC △周长的取值范围是.【跟踪练习】1．解：由已知以及正弦定理，得()()()a a b c b c b -=-+，即222a b c ab +-=. ， ∴2221cos 22a b c C ab +-==，又()0πC ∈，，所以π3C =. 2．解：(I)由已知得:212cos 222-=-+=ac b c a B ，0B <<π，23B π∴=； (II)由(I)知:3A C π+=，故033A C C ππ=-<<,，所以3cos cos cos()cos cos 322A C C C C C π+=-+=+)3C π=+，0,sin()133C C ππ<<<+≤，3cos cos 23≤+<∴C A .3．解：(I)由222+-=b c a 及余弦定理得222cos 2b c a A bc +-==，又(0,)A ∈π，∴6A π=，则6C A B π=π--=，即a c =，而b =sin sin sin a b cA B C ==得sin sin sin 636a c ==π2ππ，即2a c ==. AD 是BC 边上的中线，则1()2AD AB AC =+，∴2221(2cos )746AD c b bc π=++=，有||7AD =即BC；(II)由(I)得2,c b ==6A π=，又AE 是BAC ∠的平分线， 由ABE CAE ABC S S S +=△△△得111sin sin sin 21221226c AE b AE bc πππ+=，∴1)sin 2312AE π=1)sin312AE π=，又1sinsin()123422224πππ=-=⨯-⨯=， ∴AE =BAC ∠的角平分线AE =5.2 三角函数的图象与性质【通俗原理】1．三个基本三角函数的图象与性质sin y x = (1)奇偶性：奇函数，图象关于原点对称； (2)对称性：关于(,0)k π中心对称，关于 2x k π=π+轴对称；(k ∈Z ，下同) (3)周期性：周期为2T =π；(4)单调性：在[2,2]22k k πππ-π+上递增，在[2,2]22k k π3ππ+π+上递减；(5)最值性：当22x k π=π+时，max 1y =，当22x k 3π=π+时，max 1y =-；(6)有界性：当x ∈R 时，sin [1,1]x ∈-.cos y x =(1)奇偶性：偶函数，图象关于y 轴对称；(2)对称性：关于(,0)2k ππ+中心对称， 关于x k =π轴对称；(k ∈Z ，下同) (3)周期性：周期为2T =π；(4)单调性：在[2,2]k k ππ+π上递减， 在[2,22]k k π+ππ+π上递增； (5)最值性：当2x k =π时，max 1y =， 当2x k =π+π时，max 1y =-； (6)有界性：当x ∈R 时，sin [1,1]x ∈-.tan y x =(1)奇偶性：奇函数，图象关于原点对称；(2)对称性：关于(,0)2k π中心对称，不是 tan y x = y x =sin y x =(1)切线：曲线sin y x =在0x =处的切线 为y x =，曲线tan y x =在0x =处的切线也为y x =；2．函数图象平移与伸缩变换(1)左右平移：()()y f x a y f x a ==-向右平移个单位； 同理有如下结果：(2)上下平移：()()y f x b y b f x =-=向上平移个单位，即()y f x b =+；说明：①当0a >时，()y f x =向右平移a 个单位得()y f x a =-，当0a <时，()y f x =向左平移||a 个单位得()y f x a =-；②当0b >时，()y f x =向上平移b 个单位得()y b f x -=， 即()y f x b =+，当0b <时，()y f x =向下平移||b 个单位得()y b f x -=，即()y f x b =+. (3)横向伸缩：1()()()y f x x A y f x A==横向伸长到原来的倍； (4)纵向伸缩：1()()()y f x y B y f x B==纵向伸长到原来的倍，即()y Bf x =. 说明：当1A >时，表示伸长，当01A <<时，表示缩短；当1B >时，表示伸长，当01B <<时，表示缩短.【典型例题】1．已知函数()sin(2)3f x x π=+. (1)求()f x 的对称轴及对称中心；(2)求()f x 的单调递增区间及在[0,]π上的单调递增区间； (3)求()f x 在[,0]2π-上的最大值与最小值，并求出相应的x 的值.3．把函数()sin f x x =的图象经过怎样的平移与伸缩变换可得到函数1()2cos 13g x x =+的图象？【跟踪练习】1．函数|tan2|y x =的对称轴是 .2．已知0a >，0ϕ<，函数()sin()f x x ϕ=+，把()y f x =的图象向右平移a 个单位得到一个偶函数()y g x =的图象，把()y f x =的图象向左平移a 个单位得到一个奇函数()y h x =的图象，当||ϕ取得最小值时，求()y f x =在[0,2]π上的单调递减区间.3．若把函数2()2xf x x =+的图象向左平移1个单位，再把横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的解析式.5.2 三角函数的图象与性质 【典型例题】1．解：(1)由232x k ππ+=π+得212k x ππ=+，即()f x 的对称轴为212k x ππ=+， 由23x k π+=π得26k x ππ=-，即()f x 的对称轴为(,0)26k ππ-，k ∈Z ；(2)由222232k x k ππππ-≤+≤π+得1212k x k 5πππ-≤≤π+，∴()f x 的单调递增区间为[,],1212k k k 5πππ-π+∈Z ，当[0,]x ∈π时，2[,]333x ππ7π+∈，由2332x πππ≤+≤或2233x 3ππ7π≤+≤得012x π≤≤或12x 7π≤≤π， ∴()f x 在[0,]π上的单调递增区间是[0,][,1212π7ππ]；(3)由[,0]2x π∈-得2[,]333x π2ππ+∈-，∴当233x ππ+=，即0x=时，max ()(0)sin 32f x f π===， 当232x ππ+=-，即12x 5π=-时，min ()()sin()1122f x f 5ππ=-=-=-. 2．证明：锐角ABC △中，有2A B π<+<π，即022A B ππ<-<<，又函数()sin f x x =在(0,)2π上单调递增，有()()2f A f B π-<，∴sin()sin cos sin 2A B A B π-<⇒<，同理cos sin B C <，cos sin C A <，∴sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++.3．解：方法一(先平移再伸缩)：()sin cos()2f x x x π==-cos()2x π=-，把x a -代换x 得，cos()2y x a π=--，把1x A 代换x 得1cos()2y x a A π=--，与1cos 3y x =对比得02113a A π⎧--=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴23a A π⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即把()sin f x x =的图象向左平移2π个单位，再将横坐标伸长到原来的3倍得1cos3y x =的图象，再将纵坐标伸长到原来的2倍得12cos 3y x =的图象，后向上平移1个单位得1()2cos 13g x x =+的图象.方法二(先伸缩再平移)：()sin cos()2f x x x π==-cos()2x π=-，把1x A代换x 得1cos()2y x A π=-，再将x a -代换x 得1cos[()]2y x a A π=--11cos()2x a A A π=--，与1cos 3y x =对比得113102A a A ⎧=⎪⎪⎨π⎪--=⎪⎩，∴32A a =⎧⎪⎨3π=-⎪⎩，即把()sin f x x =的图象横坐标伸长到原来的3倍，再向左平移23π个单位得1cos 3y x =的图象，再将纵坐标伸长到原来的2倍得12cos 3y x =的图象， 后向上平移1个单位得1()2cos 13g x x =+的图象.【跟踪练习】 1．4k x π=，k ∈Z .解：由22k x π=得4k x π=，即|tan2|y x =的对称轴是4k x π=，k ∈Z . 2．解：可得()()sin()g x f x a x a ϕ=-=-+为偶函数， ()()sin()h x f x a x a ϕ=+=++为奇函数，∴1122(21)22(2)2a k k a k k ϕϕππ⎧-+=-⨯=π-⎪⎪⎨π⎪+=⨯=π⎪⎩，则12()24k k ϕ+ππ=-，又0ϕ<，当120k k +=时，||ϕ取得最小值4π，这时4ϕπ=-，即()sin()4f x x π=-，由[0,2]x ∈π得[,]444x ππ7π-∈-，由242x ππ3π≤-≤得44x 3π7π≤≤，∴()sin()4f x x π=-在[0,2]π上的单调递减区间是[,]443π7π. 3．解：把2()2xf x x =+的图象向左平移1个单位得21(1)2x y x +=++，再把横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)得221221(21)24421x x y x x x ++=++=+++， ∴221()4421x g x x x +=+++.。

解三角形与三角函数题型综合训练一、梳理必备知识1.正弦定理a sin A=b sin B =c sin C =2R .(其中R 为ΔABC 外接圆的半径)⇔a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ;(边化角)⇔sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c 2R;(角化边)2.余弦定理：cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac,cos C =a 2+b 2-c 22ab . ⇒a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos C .3.三角形面积公式：S ΔABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =12a +b +c r r 为三角形ABC 的内切圆半径 4.三角形内角和定理：在△ABC 中，有A +B +C =π⇔C =π-(A +B )⇔C 2=π2-A +B 2⇔2C =2π-2(A +B ).5.二倍角的正弦、余弦、正切公式①sin2α=2sin αcos α②cos2α=cos 2α−sin 2α=2cos 2α−1=1−2sin 2α升幂公式：1+cos2α=2cos 2α1-cos2α=2sin 2α降幂公式：cos 2α=12(1+cos2α)sin 2α=12(1-cos2α) ③tan2α=2tan α1−tan 2α.6.辅助角公式a sin x ±b cos x =a 2+b 2sin (x ±φ)，(其中tan φ=b a )；求f (x )=A sin (ωx +φ)+B 解析式A ,B 求法方法一：代数法A +B =f (x )max -A +B =f (x )min 方法二：读图法B 表示平衡位置；A 表示振幅ω求法方法一：图中读出周期T ，利用T =2πω求解；方法二：若无法读出周期，使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取舍答案.φ求法方法一：将最高(低)点代入f (x )=A sin (ωx +φ)+B 求解；方法二：若无最高(低)点，可使用其他特殊点代入f (x )=A sin (ωx +φ)+B求解；但需注意根据具体题意取舍答案.7.三角形中线问题如图在ΔABC 中，D 为CB 的中点，2AD =AC +AB ，然后再两边平方，转化成数量关系求解！(常用)8.角平分线如图，在ΔABC 中，AD 平分∠BAC ，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c①等面积法S ΔABC =S ΔABD +S ΔADC ⇒12AB ×AC ×sin A =12AB ×AD ×sin A 2+12AC ×AD ×sin A 2(常用)②内角平分线定理：AB BD =AC DC 或AB AC=BD DC ③边与面积的比值：AB AC=S △ABDS △ADC 9.基本不等式(最值问题优先用基本不等式)①ab ≤a +b 2②a 2+b 2≥2ab10.利用正弦定理化角(函数角度求值域问题)利用正弦定理a =2R sin A ，b =2R sin B ，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。

三角函数与解三角形 测试题(时间120分钟，满分150分) 第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的)1．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于 ( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．sin45°·cos15°＋cos225°·sin15°的值为 ( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.323．要得到y ＝sin(2x －π3)的图像，只要将y ＝sin2x 的图像 ( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位4．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3 5．有一种波，其波形为函数y ＝sin(π2x )的图像，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为 ( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2 7．使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的θ 值为 ( )A ．－π3B ．－π6 C.5π6 D.2π38．若向量a ＝(sin(α＋π6),1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于 ( )A ．－34 B.34 C ．－14 D.149．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图，则 ( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π2，φ＝5π410．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ≠0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的图像关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则 ( ) A ．f (x )的图像过点(0，12)B ．f (x )的图像在[5π12，2π3]上递减C ．f (x )的最大值为AD ．f (x )的一个对称中心是点(5π12，0)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上) 11．已知α是第二象限角，sin α＝12，则sin2a 等于________12．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像如下图所示，则f (7π12)＝________.13．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.14．设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图像关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________.15．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且a cos B －b cos A ＝35c .则tan A tan B的值为________． 答案：4三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)设函数f (x )＝cos x －sin x ，试求f (α)的值．17．(本小题满分12分)如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．18．(本题满分13分)(2010·黄冈模拟)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且lg a－lg b ＝lgcos B －lgcos A ≠0. (1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(－m ＋n )＝14，求a ，b ，c .19．(本小题满分12分)已知a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a 与b 共线时，求2cos 2x －sin2x 的值； (2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的值域．20．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)周期为2π3，当x∈[0，π3]时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．21．(本小题满分13分)已知函数y＝|cos x＋sin x|.(1)画出函数在x∈[－π4，7π4]上的简图；(2)写出函数的最小正周期和在[－π4，3π4]上的单调递增区间；试问：当x在R上取何值时，函数有最大值？最大值是多少？(3)若x是△ABC的一个内角，且y2＝1，试判断△ABC的形状．。

三角函数之解三角形与练习（答案）一、知识结构要点：三角形中的三角函数→ 解斜三角形→ 实际应用↓↓ ↓常用方法：（1）A+B+C=180° 可进行角的代换（2）R CcB b A a 2sin sin sin === 可进行边角互换（3）abc b a C 2cos 222-+= 可进行角转化为边（4）A ab S sin 21=面积与边角联系。

1．正弦定理：CcB b A a sin sin sin ===2R （R 为△ABC 外接圆半径）。

推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 21sin 21sin 21B ca A bc C ab ==推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a.正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。

先证推论1，由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 21；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a 2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA bca cb A 2cos 222-+=?，下面用余弦定理证明几个常用的结论。

（1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq qp q c p b -++ （1）【证明】因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ADB ∠，所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠，② 因为∠ADB+∠ADC=π，所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0，所以q ×①+p ×②得qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)，即AD 2=.22pq qp qc p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.222222a c b AD -+=（2）海伦公式：因为412=? ABC S b 2c 2sin 2A=41b 2c 2 (1-cos 2A)= 41b 2c 21614)(1222222=-+-c b a c b [(b+c)2-a 2][a 2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c). 余弦定理正弦定理这里.2cb a p ++=所以S △ABC =).)()((c p b p a p p ---二、方法与例题1．面积法。

三角函数、解三角形专题测试(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．cos(－17π4)－sin(－17π4)的值是 ( ) A.2 B ．－ 2 C ．0 D.22解析：原式＝cos(－4π－π4)－sin(－4π－π4)＝cos(－π4)－sin(－π4)＝cos π4＋sin π4＝ 2.答案：A 2．已知sin α＝2m －5m ＋1，cos α＝－mm ＋1，且α为第二象限角，则m 的允许值为( ) A.52＜m ＜6 B ．－6＜m ＜52 C ．m ＝4 D ．m ＝4或m ＝32 解析：由sin 2α＋cos 2α＝1得，(2m －5m ＋1)2＋(－m m ＋1)2＝1，∴m ＝4或32，又sin α＞0，cos α＜0，把m 的值代入检验得，m ＝4. 答案：C3．已知sin(x ＋π4)＝－35，则sin2x 的值等于 ( )A ．－725 B.725 C ．－1825 D.1825解析：sin(x ＋π4)＝22(sin x ＋cos x )＝－35，所以sin x ＋cos x ＝－325，所以(sin x ＋cos x )2＝1＋sin2x ＝1825，故sin2x ＝－725.答案：A4．设a ＝sin15°＋cos15°，b ＝sin17°＋cos17°，则下列各式中正确的是 ( ) A ．a ＜a 2＋b 22＜b B ．a ＜b ＜a 2＋b 22C ．b ＜a 2＋b 22＜aD ．b ＜a ＜a 2＋b 22解析：a ＝2sin(15°＋45°)＝2sin60°， b ＝2sin(17°＋45°)＝2sin62°，b ＞a .a 2＋b 22＝sin 260°＋sin 262°＞2sin60°sin62°＝3sin62°， ∴a 2＋b 22＞b ＞a .答案：B5．(2010·惠州模拟)将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π6)的图象，则φ等于 ( )A.π6B.11π6C.7π6D.5π6解析：依题意得y ＝sin(x －π6)＝sin(x －π6＋2π)＝sin(x ＋11π6)，将y ＝sin x 的图象向左平移11π6个单位后得到y ＝sin(x ＋11π6)的图象，即y ＝sin(x －π6)的图象． 答案：B6．在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，且cos A ＞sin B ，则△ABC 的形状是 ( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 解析：cos A ＝sin(π2－A )＞sin B ，π2－A ，B 都是锐角，则π2－A ＞B ，A ＋B ＜π2，C ＞π2.答案：C7．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称．则下列四个函数中，同时具有性质①②的是 ( ) A ．y ＝sin(x 2＋π6) B ．y ＝sin(2x ＋π6)C ．y ＝sin|x |D ．y ＝sin(2x －π6)解析：∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2.对于选项D ，又2×π3－π6＝π2，所以x ＝π3为对称轴．答案：D8．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为( )A.922B.924C.928 D ．9 2解析：由余弦定理得：三角形第三边长为22＋32－2×2×3×13＝3，且第三边所对角的正弦值为 211()3＝223，所以2R ＝3223⇒R ＝928.答案：C9．在△ABC 中，角A ，B 所对的边长为a ，b ，则“a ＝b ”是“a cos A ＝b cos B ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件解析：a ＝b ⇒A ＝B ⇒a cos A ＝b cos B ，条件是充分的；a cos A ＝b cos B ⇒sin A cos A ＝sin B cos B ⇒sin2A ＝sin2B ⇒2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，故条件是不必要的． 答案：A10．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R)图象的一条对称轴方程为x ＝π12，则a 的值为( )A.12B. 3C.33 D ．2 解析：函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝kπ＋π2，k ∈Z ，f (x )＝a 2＋1sin(2x ＋φ)，其中tan φ＝1a ，故函数f (x ) 的对称轴方程为2x ＋φ＝kπ＋π2，k ∈Z ，而x ＝π12是其一条对称轴方程，所以2×π12＋φ＝kπ＋π2，k ∈Z ，解得φ＝kπ＋π3，k ∈Z ，故tan φ＝1a ＝tan(kπ＋π3)＝3，所以a ＝33. 答案：C11．已知函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可能为 ( )A ．f (x )＝2cos(x 2－π3)B ．f (x )＝2cos(4x ＋π4)C ．f (x )＝2sin(x 2－π6)D ．f (x )＝2sin(4x ＋π4)解析：设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，由函数的最大值为2知A ＝2，又由函数图象知该函数的周期T ＝4×(5π3－2π3)＝4π，所以ω＝12，将点(0,1)代入得φ＝π6，所以f (x )＝2sin(12x ＋π6)＝2cos(12x －π3)．答案：A12．(2010·抚顺模拟)当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x的最小值为 ( )A ．2B ．2 3C ．4D ．4 3解析：f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x ＝2cos 2x ＋8sin 2x 2sin x cos x ＝cos x sin x ＋4sin xcos x ≥2cos x sin x ·4sin xcos x＝4，当且仅当cos x sin x ＝4sin x cos x ，即tan x ＝12时，取“＝”，∵0＜x ＜π2，∴存在x 使tan x ＝12，这时f (x )min ＝4.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中的横线上) 13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，C ＝75°，a ＝4，则b ＝________.解析：易知A ＝45°，由正弦定理a sin A ＝b sin B 得4sin45°＝b sin60°，解得b ＝2 6.答案：2 6 14．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2cos(10°－60°)2sin 240°＝2cos50°2sin40°＝ 2. 答案：215．在△ABC 中，已知tan A ＝3tan B ，则tan(A －B )的最大值为________，此时角A 的大小为________．解析：由于tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝3tan B －tan B1＋3tan B ·tan B ＝2tan B 1＋3tan 2B ≤33.当且仅当1＝3tan B 时取“＝”号，则tan B ＝33⇒tan A ＝3⇒A ＝60°. 答案：3360°16．如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π＜φ＜π)，x ∈R 的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________． ①函数f (x )的最小正周期为π2；②函数f (x )的振幅为23；③函数f (x )的一条对称轴方程为x ＝7π12；④函数f (x )的单调递增区间为[π12，7π12]；⑤函数的解析式为f (x )＝3sin(2x －2π3)． 解析：由图象可知，函数f (x )的最小正周期为(5π6－π3)×2＝π，故①不正确；函数f (x )的振幅为3，故②不正确；函数f (x )的一条对称轴方程为x ＝5π6＋π32＝7π12，故③正确；④不全面，函数f (x )的单调递增区间应为[π12＋2kπ，7π12＋2kπ]，k ∈Z ；由3sin(2×7π12＋φ)＝3得2×7π12＋φ＝π2＋2kπ，k ∈Z ，即φ＝2kπ－2π3，k ∈Z ，∵－π＜φ＜π，故k 取0，从而φ＝－2π3，故f (x )＝3sin(2x －2π3)．答案：③⑤三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知tan(α＋π4)＝－3，α∈(0，π2)．(1)求tan α的值； (2)求sin(2α－π3)的值．解：(1)由tan(α＋π4)＝－3可得tan α＋11－tan α＝－3.解得tan α＝2.(2)由tan α＝2，α∈(0，π2)，可得sin α＝255，cos α＝55.因此sin2α＝2sin αcos α＝45，cos2α＝1－2sin 2α＝－35，sin(2α－π3)＝sin2αcos π3－cos2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋3(2cos 2x －1)．(1)将函数f (x )化为A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的形式，填写下表，并画出函数f (x )在区间[－16π，56π]上的图象；x ωx ＋φ 0 π2 π 32π 2π f (x )(2)求函数f (x )的单调减区间． 解：(1)f (x )＝2sin x cos x ＋3(2cos 2x －1) ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋π3).x －π6 π12 π3 7π12 5π6 ωx ＋φ 0 π2 π 32π 2π f (x )2－2图．(2)由2kπ＋π2≤2x ＋π3≤2kπ＋3π2(k ∈Z)得kπ＋π12≤x ≤kπ＋7π12(k ∈Z)，故函数f (x )的单调减区间为[kπ＋π12，kπ＋7π12](k ∈Z)．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin x cos(π2－x )－3sin(π＋x )cos x ＋sin(π2＋x )cos x .(1)求函数y ＝f (x )的最小正周期和最值；(2)指出y ＝f (x )图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于原点对称． 解：(1)f (x )＝2sin 2x ＋3sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋3sin x cos x ＝1＋1－cos2x 2＋32sin2x＝sin(2x －π6)＋32，y ＝f (x )最小正周期T ＝π.y ＝f (x )的最大值为32＋1＝52，最小值为32－1＝12.(2)∵y ＝32＋sin(2x －π6)的图象1232π−−−−−→左移个单位下移个单位y ＝sin2x 的图象．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＋C 2＝33.(1)求cos B 的值；(2)若BC BA ·BC ＝2，b ＝22，求a 和c 的值． 解：(1)∵cos A ＋C 2＝33，∴sin B 2＝sin(π2－A ＋C 2)＝33，∴cos B ＝1－2sin 2B 2＝13.(2)由BA ·BC ＝2可得a ·c ·cos B ＝2，又cos B ＝13，故ac ＝6，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 可得a 2＋c 2＝12， ∴(a －c )2＝0，故a ＝c ，∴a ＝c ＝ 6.21．(本小题满分12分)如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为152海里/小时，在甲 船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛 出发，朝北偏东θ(tan θ＝12)的方向作匀速直线航行，速度为105海里/小时．(1)求出发后3小时两船相距多少海里？(2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？ 解：以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立如图所示 的平面直角坐标系．设在t 时刻甲、乙两船分别在P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝152t cos45°＝15t y 1＝x 1＝15t ， 由tan θ＝12可得，cos θ＝255，sin θ＝55， 故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝105t sin θ＝10t ，y 2＝105t cos θ－40＝20t －40. (1)令t ＝3，P 、Q 两点的坐标分别为(45,45)，(30,20)， |PQ |＝(45－30)2＋(45－20)2＝850＝534.即出发后3小时两船相距534海里． (2)由(1)的解法过程易知：|PQ |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(10t －15t )2＋(20t －40－15t )2 ＝50t 2－400t ＋1 600 ＝50(t －4)2＋800≥202，∴当且仅当t ＝4时，|PQ |取得最小值20 2.即两船出发后4小时时，相距202海里为两船的最近距离． 22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2cos x sin(x ＋π3)－32.(1)求函数f (x )的最小正周期T ；(2)若△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且边b 所对角为B ，试求cos B 的取值范围，并确定此时f (B )的最大值． 解：(1)f (x )＝2cos x ·sin(x ＋π3)－32＝2cos x (sin x cos π3＋cos x sin π3)－32＝2cos x (12sin x ＋32cos x )－32＝sin x cos x ＋3·cos 2x －32＝12sin2x ＋3· 1＋cos2x 2－32 ＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3)．∴T ＝2π|ω|＝2π2＝π. (2)由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac 得，cos B ＝a 2＋c 2－ac2ac＝a 2＋c 22ac －12≥2ac 2ac －12＝12，∴12≤cos B ＜1，而0＜B ＜π，∴0＜B ≤π3.函数f (B )＝sin(2B ＋π3)，∵π3＜2B ＋π3≤π，当2B ＋π3＝π2，即B＝π时，f(B)max＝1.12。

三角函数与解三角形测试卷第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．sin （－）的值是（ ）A ．B ．－C ．D ．－答案：A2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )A.－32 B. 32 C.－12 D. 12答案：D3．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m 等于( )A.－8B.－6C. 6D. 8答案：D4．若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于( ) A.6425 B.4825 C.1 D.1625答案：A5．若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α等于( ) A. 725 B. 15 C.－15 D.－725答案：D6．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A. y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B. y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2C. y ＝sin 2x ＋cos 2xD. y ＝sin x ＋cos x答案：A7．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点() A.向左平行移动π3个单位长度 B.向右平行移动π3个单位长度 6π1921212323C.向左平行移动π6个单位长度 D.向右平行移动π6个单位长度 答案：D 8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)其中A ＞0，|φ|＜π2的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin 2x 的图象，则只需将f (x )的图象( )A.向右平移π6个长度单位B.向左平移π6个长度单位 C.向右平移π3个长度单位 D.向左平移π3个长度单位 答案：A9．已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，若a ＝f (lg 5)，b ＝f (lg 15)，则( ) A.a ＋b ＝0 B.a －b ＝0 C.a ＋b ＝1 D.a －b ＝1答案：C10．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°答案：C11．已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC 等于( ) A.30° B.45° C.60° D.120°答案：A12．在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC 等于( )A.1B.2C.3D.4答案：A第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．o 600tan =答案314．函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________.答案 π； ⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z 15．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x+y ＝________.答案 12 －1616．已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.答案32三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．已知△ABC 的内角A ，B ，C ，证明：C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++. 证明：略17．设a ＝(－1，1)，b ＝(x ，3)，c ＝(5，y )，d ＝(8，6)，且b ∥d ，(4a ＋d )⊥c .(1)求b 和c ；(2)求λ1和λ2，使c ＝λ1a ＋λ2b .解： (1)∵b ∥d ，∴6x －24＝0，∴x ＝4.∵4a ＋d ＝(4，10)，(4a ＋d )⊥c ，∴5×4＋10y ＝0，y ＝－2，∴b ＝(4，3)，c ＝(5，－2).(2)∵c ＝λ1a ＋λ2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝－λ1＋4λ2，－2＝λ1＋3λ2， 解得λ1＝－237，λ2＝37.18．已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间.解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2⎝⎛⎭⎫22sin 2ωx ＋22cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4， 由ω＞0，f (x )最小正周期为π，得2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z ， 即f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z .19．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值. 解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数， 在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14， f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34， 最小值为－12. 20．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行.(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积.解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝ 3.由于0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)方法一 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而由a ＝7，b ＝2，A ＝π3， 得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332. 方法二 由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ， 从而sin B ＝217. 又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277， 故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114. 所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332.21．在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac .(1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值.解 (1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得a 2＋c 2－b 2＝2ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22. 又0＜B ＜π，所以B ＝π4. (2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4， 所以C ＝3π4－A ，0＜A ＜3π4.所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎫3π4－A ＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4. 因为0＜A ＜3π4，所以π4＜A ＋π4＜π， 故当A ＋π4＝π2，即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.。

三角函数、解三角形测试题一、选择题( 本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分．)1．tan 8π的值为( ) 3A.33B ．－33C. 3 D ．－ 32．已知tan α＝2，则sin 2α－sin αcosα的值是（）A．25B ．－25C ．－2D ．24 33．在ABC 中，已知角 B 45 ,c 2 2,b ,则角A的值是（）3A．15° B ．75° C ．105°D．75°或15°4、在△ABC中，若b=12，A=30°,B=90°, 则a＝( )A．2 B ．2 3 C ．4 D ．65、在ABC 中，角A,B,C 所对的边长分别为a, b, c ；若 2 3C ，c a2 3，则AA、 B 、 C 、或6 3 6 56D 、3或236. 在ABC 中，角A, B,C 的对边分别为a,b,c ，且asin A b sin B csin C ，则ABC 的形状是( )A．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形7. 在ABC 中，a=15，b=10，A=60 ，则cos B= ( )A．2 2 2 2B．3 3C．63D．6318．甲船在岛A的正南B处，以4 km/h 的速度向正北方向航行，AB＝10 km，同时乙船自岛A出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )1507 A. min B.157h C ．21.5 min D ．2.15 h8.在△ABC中，若sin2A＋sin 2B－sin Asin B＝sin 2C，且满足ab＝4，则该三角形的面积为（）A．1 B ．2 C. 2 D. 310 在△ABC中，内角A、B、C 的对边分别是a、b、c，若 2 2 3a b bc ，sinC=2 3 sinB ，则A=( )（A）30°（B）60°（C）120°（D）150°4，011. 如果函数y＝3 cos 2x＋的图像关于点中心对称，那么| |的最小3值为（）（A）6 （B）4 （C）3 (D) 212. 在ABC 中，角A、B、C 的对边分别为 a 、b 、c，若b 2 ，B 45 ，C 75 ，则a的值是（）A. 6B. 2 2C. 2 3D. 2 6二、填空题：每小题 4 分，满分16 分．13 ．在ABC 中，A、B、C 所对应的边分别为a、b、c ，若sin A : sinB : sinC 1: 3 : 2，则a : b:c.214．在ABC中，A、B、C 所对应的边分别为a、b、c ，若a 1,b 3,c 1, 则B .9.在ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a、b 、c，若a 1,b 3 ，A C 2B,则sin C .2 10.在△ABC中，已知sin B〃sin C＝cos A2，则此三角形的形状为三、解答题( 本大题共 6 小题，共74 分．)17、设锐角三解形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c, ，a=2bsinA 。

三角函数及解三角形1.如图所示,已知α的终边所在直线上的一点P 的坐标为(3,4)-,β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q的纵坐标为10.（Ⅰ）求tan(2)αβ-的值；（Ⅱ）若2παπ<<,20πβ<<,求αβ+.2.已知函数())12f x x π=-，x R ∈；（1）求()3f π的值； （2）3cos 5θ=，3(,2)2πθπ∈，求()6f πθ-。

3.已知函数2π()sinsin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．4.已知函数2f x x x ()sin sin π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（1）求函数)(x f y =的单调递增区间；（2）若43f ()πα-=，求)42(πα+f 的值.5.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，x R ∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图像与x 轴的交点中，相邻的两个交点之间的距离为2π，且图像上一个最低点为M 2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭。

（1）求()f x 的解析式；（2）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域。

6.已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1.(1)求实数a 、b 的值；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，求函数f (x )的最大值及此时x 的值．7.已知函数f (x )＝4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －23cos 2x －1(x ∈R )．(1)求f (x )的最小正周期、最大值及最小值； (2)求f (x )的图象的对称轴方程．8.在锐角△ABC 中，cos A ＝55，sin B ＝31010.(1)求角C ； (2)设AB ＝2，求△ABC 的面积．9.在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =． （Ⅰ）求sin A 的值； （Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长10.已知向量a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，b ＝(cos x －sin x,2cos x )，设f (x )＝a·b . (1)求函数f (x )的最小正周期．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，求函数f (x )的最大值及最小值．三角函数及解三角形参考答案1.解：⑴由三角函数的定义知43tan α=-∴242()24341()73tan 2α⨯--==. ………2分又由三角函数线知10sin β=, ∵β为第一象限角,∴17tan β=, ………4分 ∴2411617724117377tan(2)αβ⨯-+-==. ……6分⑵∵35cos α=-,2παπ<<,∴45sin α=. …………………7分又10sin β=,20πβ<<,∴10cos β==. …………………8分∴435105102sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+=⨯-⨯=. …………………10分由2παπ<<,20πβ<<,得322ππαβ<+<,∴34παβ+=. ……………12分2.解：（1）())133124f ππππ=-==；（2）∵3cos 5θ=，3(,2)2πθπ∈ ∴4sin 5θ=-；即：1()))cos sin sin )66124445f ππππππθθθθθ-=--=-=+=-；3.解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-=112cos 222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 4.(1)解：2f x x x ()sin sin π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭x x cos sin =+ ……… 1分x x sin cos ⎫=+⎪⎪⎝⎭4x sin π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ……… 3分由22242k x k ,πππππ-+≤+≤+ …………… 4分解得32244k x k k ,ππππ-+≤≤+∈Z . ………… 5分 ∴)(x f y =的单调递增区间是32244k k k [,],ππππ-++∈Z . ……… 6分 （2）解：由（1）可知)4sin(2 )(π+=x x f ，∴43f ()sin παα-==，得13sin α=. ………… 8分∴)42(πα+f =22sin πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ …………… 9分2cos α= …………… 10分()212sin α=- …………… 11分9=. …………… 12分 6．解：(1)∵函数f (x )＝a sin x ＋b cos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋32b ＝032a ＋12b ＝1解得：a ＝3，b ＝－1.(2)由(1)知：f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，∴当x －π6＝π3，即x ＝π2时，f (x )取得最大值 3.7．解：(1)∵f (x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －23cos 2x －1＝2sin 2x －23cos 2x ＋1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1 ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，最大值为4＋1＝5，最小值为－4＋1＝－3.(2)由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )，∴f (x )的图象的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12 (k ∈Z )．8．解：(1)∵cos A ＝55，sin B ＝31010，A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin A ＝255，cos B ＝1010，∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22.由C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴C ＝π4.(2)正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ⇒AC ＝AB ·sin B sin C ＝610，∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝65.9.解：（Ⅰ）由5cos 13B =-，得12sin 13B =，由4cos 5C =，得3sin 5C =．所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=．（Ⅱ）由332ABC S =△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=，由（Ⅰ）知33sin 65A =，故65AB AC ⨯=，又sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==，故2206513AB =，132AB =． 所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯==． 10．解：(1)f (x )＝a·b ＝(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )＋2sin x cos x＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x ＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵－π4≤x ≤π4，∴－π4≤2x ＋π4≤3π4，－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤2，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )有最大值2，当2x ＋π4＝－π4，即x ＝－π4时，f (x )有最小值－1.。