考研数学二真题答案解析

1..【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐

函

数

求

导

.

【详解】 方法一： x x y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，于是

]

sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(x x

x x e y x x +⋅

++⋅='+，

从而

π

=x dy

=

.)(dx dx y ππ-='

方法二： 两边取对数，

)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得

x x x x y y

sin 1cos )sin 1ln(1++

+='， 于是

]

sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(x x

x x x y x +⋅

++⋅+='，故

π

=x dy

=

.)(dx dx y ππ-='

【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式.

2..【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.

【详解】 因为a=

,1)

1(lim )(lim

2

3=+=+∞→+∞

→x x x x x f x x

[]23)1(lim

)(lim 2

32

3

=

-+=-=+∞

→+∞

→x

x

x ax x f b x x ，

于是所求斜渐近线方程为

.

23

+=x y 【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这里应注意两点：1）

当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当∞→x 时，极限x x f a x )

(lim

∞

→=不存在，则应进

一步讨论+∞→x 或-∞→x 的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x>0，所以只

考虑+∞→x 的情形.

3..【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令t x sin =，则

=.

4

)arctan(cos cos 1cos 2020

2π

ππ

=

-=+-⎰t t

t d

【评注】 本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等.

4...

【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：

⎰+⎰⎰=-]

)([)()(C dx e x Q e y dx

x P dx x P ，

再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为

x y x y ln 2

=+

'，

于是通解为

⎰⎰+⋅=

+⎰⋅⎰=-

]ln [1

]ln [222

2

C xdx x x C dx e

x e

y dx

x dx

x

=2

1

91ln 31x C x x x +-， 由

91)1(-

=y 得C=0，故所求解为.

91

ln 31x x x y -=

【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也可如下求解：原方程可化为

x x xy y x ln 222=+'，即

x x y x ln ][22='，两边积分得

C

x x x xdx x y x +-==⎰332291

ln 31ln ，

再代入初始条件即可得所求解为

.91

ln 31x x x y -=

5…【分析】 题设相当于已知1

)

()(lim

0=→x x x αβ，由此确定k 即可.

【详解】 由题设，200cos arcsin 1lim )()(lim

kx x

x x x x x x -+=→→αβ

=

)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim

20

x x x kx x x x x ++-+→

=k 21143cos 1arcsin lim 20==-+→k x x x x x ，得

.43

=k 【评注】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算.

6…【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可. 【详解】 由题设，有

=

⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 于是有

.

2219

413211

11=⨯=⋅=A B

【评注】 本题相当于矩阵B 的列向量组可由矩阵A 的列向量组线性表示，关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。一般地，若

n n a a a αααβ12121111+++=Λ，

n n a a a αααβ22221212+++=Λ， n mn m m m a a a αααβ+++=Λ2211，

则有

[][].,,,2122212121112121

⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=mn n n

m m n m a a a a a a a a a ΛM M M M ΛΛΛΛ

αααβββ 7….【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】 当1

1lim )(3=+=∞→n n

n x

x f ；

当

1

=x 时，

1

11lim )(=+=∞

→n n x f ；

当

1

>x 时，

.

)11(

lim )(3

133

x x

x x f n

n

n =+=∞

→

即

.1,

11,1,,1,)(33>≤≤--<⎪⎩

⎪

⎨⎧-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C).

【评注】 本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点. 8….

【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一：任一原函数可表示为⎰+=x

C

dt t f x F 0

)()(，且

).()(x f x F ='

当F(x)为偶函数时，有

)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即 )()(x f x f =--，也即

)()(x f x f -=-，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则⎰x

dt t f 0)(为偶函数，从而⎰+=x

C

dt t f x F 0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.