人教版九年级上册数学22.3实际问题与二次函数--利润问题1.在2018年俄罗斯世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x(x≥60)元，销售量为y套．(1) 求出y与x的函数关系式．(2) 当销售单价为多少元时，月销售额为14000元．(3) 当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少．2.俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．(1) 请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．(2) 将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？3.襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为{mx−76m,1≤x<20,x为整数n,20≤x≤30,x为整数且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克，每天的利润是W元（利润=销售收入−成本）．(1) m=，n=；(2) 求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？(3) 在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？4.某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2500元，销售单价定为3200元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3200元销售：若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低5元，但销售单价均不低于2800元．(1) 商家一次购买这种产品多少件时，销售单价怡好为2800元？(2) 设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(3) 该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）5.某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通信产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）为120万元，在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系．(1) 直接写出y关于x的函数关系式为．(2) 市场管理部门规定，该产品销售单价不得超过100元，该公司销售该种产品当年获利55万元，求当年的销售单价．6.传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y={34x,0≤x≤6 20x+80,6<x≤20．(1) 李明第几天生产的粽子数量为280只？(2) 如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价−成本）7.某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．(1) 写出销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式；(2) 写出销售该品牌童装获得的利润W元与销售单价x元之间的函数关系式；(3) 若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？8.襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为，y={mx−76m,1≤x<20,x为正整数n,20≤x≤30,x为正整数且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W元（利润=销售收入−成本）．(1) m=，n=．(2) 求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？(3) 在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？9.为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=−10x+ 1200．(1) 求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额−成本）；(2) 当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？10.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1) 写出每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；并求当x为多少时，w有最大值，最大值是多少？(2) 商场的营销部结合上述情况，提岀了甲、乙两种营销方案：方案甲：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案乙：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．11.某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=−2x+80(20≤x≤40)，设这种健身球每天的销售利润为w元．(1) 求w与x之间的函数关系式；(2) 该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3) 如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元？12.销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．(1) 请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．(2) 当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元．(3) 足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元．13.诸暨某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．(1) 设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元；（用x的代数式表示）(2) 每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．(3) 要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．14.某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元千克）之间的函数关系如图所示．(1) 求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2) 当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？(3) 某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．15.小米利用暑期参加社会实践，在妈妈的帮助下，利用社区提供的免费摊点卖玩具，已知小米所有玩具的进价均为2元/件，在销售过程中发现：每天玩具销售量y（件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB段为反比例函数图象的一部分，BC段为一次函数图象的一部分，设小米销售这种玩具的日利润为w元．(1) 根据图象，求出y与x之间的函数解析式；(2) 求出每天销售这种玩具的利润w（元）与x（元/件）之间的函数解析式，并求每天利润的最大值；(3) 若小米某天将价格定为超过4元（x>4），那么要使得小米在该天的销售利润不低于54元，求该天玩具销售价格的取值范围．16.由于雾霾天气对人们健康的影响，市场上的空气净化器成了热销产品．某公司经销一种空气净化器，每台净化器的成本价为200元．经过一段时间的销售发现，每月的销售量y（台）与销售单价x（元）的关系为y=−2x+1000．(1) 该公司每月的利润为w元，写出利润w与销售单价x的函数关系式．(2) 若要使每月的利润为40000元，销售单价应定为多少元？(3) 公司要求销售单价不低于250元，也不高于400元，求该公司每月的最高利润和最低利润分别为多少？17.某水产品养殖企业为指导该企业某种产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品的养殖情况进行了调查，调查发现这种水产品每千克的售价y1（元）与x+36，其每千克成本y2（元）与销销售月份x（月）满足关系式y1=−38售月份x（月）满足的函数关系如图所示：(1) 试确定b，c的值；(2) 求出这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式；(3) 几月份出售这种水产品可使每千克利润最大？每千克的最大利润是多少？Array18.甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理:如果我公司每辆汽车月租费3000元,那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元,那么将少租出1辆汽车.另外,公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.乙公司经理:我公司每辆汽车月租费3500元,无论是否租出汽车,公司均需一次性支付月维护费共计1850元.说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费−月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润−月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：(1) 当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是元；当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等．(2) 求两公司月利润差的最大值．(3) 甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元（a>0）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a 的取值范围．利润问题答案 1. 【答案】(1) y =240−x−605×20，∴y =−4x +480．(2) 根据题意可得，x (−4x +480)=14000， 解得：x 1=70，x 2=50（不合题意舍去），∴ 当销售单价为 70 元时，月销售额为 14000 元．(3) 设一个月内获得的利润为 w 元，根据题意，得w =(x −40)(−4x +480)=−4x 2+640x −19200=−4(x −80)2+6400,当 x =80 时，w 的最大值为 6400， ∴ 当销售单价为 80 元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是 6400 元．2. 【答案】(1) y =−10x +740(44≤x ≤52)．(2) w =(x −40)(−10x +740)=−10x 2+1140x −29600=−10(x −57)2+2890,当 x <57 时，w 随 x 的增大而增大，而 44≤x ≤52， ∴ 当 x =52 时，w 有最大值，最大值为 2640．答：将足球纪念册销售单价定位 52 元时，商店每天销售纪念册得的利润 w 元最大，最大利润 2640 元．3. 【答案】(1) −12；25(2) 由（1）第 x 天的销售量为 20+4(x −1)=4x +16，当 1≤x <20 时，W =(4x +16)(−12x +38−18)=−2x 2+72x +320=−2(x −18)2+968，∴ 当 x =18 时，W 最大=968，当 20≤x ≤30 时，W =(4x +16)(25−18)=28x +112， ∵28>0，∴W 随 x 的增大而增大，∴ 当 x =30 时，W 最大=952， ∵968>952，∴ 当 x =18 时，W 最大=968．(3) 当 1≤x <20 时，令 −2x 2+72x +320=870， 解得 x 1=25，x 2=11，∵ 抛物线 W =−2x 2+72x +320 的开口向下， ∴11≤x ≤25 时，W ≥870， ∴11≤x <20， ∵x 为正整数，∴ 有 9 天利润不低于 870 元，当 20≤x ≤30 时，令 28x +112≥870，解得 x ≥27114，∴27114≤x ≤30， ∵x 为正整数，∴ 有 3 天利润不低于 870 元，∴ 综上所述，当天利润不低于 870 元的天数共有 12 天．4. 【答案】(1) 设商家一次性购买这种产品 x 件时，销售单价恰好为 2800 元，根据题意得：3200−5(x −10)=2800,解得x =90.答：商家一次性购买这种产品 90 件时，销售单价怡好为 2800 元．(2) 由题意得：当 0≤x ≤10 时，y =(3200−2500)x =700x ，当 10<x ≤90 时，y =[3200−5(x −10)−2500]⋅x =−5x 2+750x ，当 x >90 时，y =(2800−2500)⋅x =300x ．(3) 因为要满足一次性购买数量越多，所获利润最大，所以 y 随 x 的增大而增大，函数 y =700x ，y =300x 均是 y 随 x 的增大而增大，而 y =−5x 2+750x =−5(x −75)2+28125 在 10<x ≤75 时，y 随 x 的增大而增大．由上述分析可知 x 的取值范围为 10<x ≤75，即一次购买 75 件时，恰好是最低价，最低价为 3200−5×(75−10)=2875 (元)．答：公司应将最低销售单价调整为 2875 元．5. 【答案】(1) y =−120x +8(2) W =yx −40y −120=(−120x +8)(x −40)−120=−120x 2+10x −440.令 W =55，−120x 2+10x −440=55， x 2−200x +9900=0，(x −90)(x −110)=0，x 1=90，x 2=110，∵x ≤100，∴x =90，∴ 当年的销售价为 90 元．6. 【答案】(1) 设李明第 x 天生产的粽子数量为 280 只，由题意可知：20x +80=280,解得x =10.答：第 10 天生产的粽子数量为 420 只．(2) 由图象得，当 0≤x <10 时，p =2；当 10≤x ≤20 时，设 P =kx +b ，把点 (10,2)，(20,3) 代入得，{10k +b =2,20k +b =3, 解得 {k =0.1,b =1,∴p =0.1x +1，① 0≤x ≤6 时，w =(4−2)×34x =68x ，当 x =6 时，w 最大=408（元）；② 6<x ≤10 时，w =(4−2)×(20x +80)=40x +160，∵x 是整数，∴ 当 x =10 时，w 最大=560（元）；③ 10<x ≤20 时，w =(4−0.1x −1)×(20x +80)=−2x 2+52x +240， ∵a =−3<0，∴ 当 x =−b 2a =13 时，w 最大=578（元）．综上，当 x =13 时，w 有最大值，最大值为 578．7. 【答案】(1) 根据题意得，y =200+(80−x )×20=−20x +1800，∴ 销售量 y 件与销售单价 x 元之间的函数关系式为 y =−20x +1800(60≤x ≤80)．(2) W =(x −60)y=(x −60)(−20x +1800)=−20x 2+3000x −108000,∴ 销售该品牌童装获得的利润 W 元与销售单价 x 元之间的函数关系式 W =−20x 2+3000x −108000．(3) 根据题意得，−20x +1800≥240，解得 x ≤78，∴76≤x ≤78，W =−20x 2+3000x −108000， 对称轴为 x =−30002×(−20)=75， ∵a =−20<0，∴ 抛物线开口向下，∴ 当 76≤x ≤78 时，W 随 x 的增大而减小，∴x =76 时，W 有最大值，最大值 =(76−60)(−20×76+1800)=4480（元）．∴ 商场销售该品牌童装获得的最大利润是 4480 元．8. 【答案】(1) −12；25(2) 由（1）得第x天的销售量为20+4(x−1)=4x+16，当1≤x<20时，W=(4x+16)(−12x+38−18)=−2x2+72x+320=−2(x−18)2+968，∴当x=18时，W最大=968元，当20≤x≤30时，W=(4x+16)(25−18)=28x+112，∵28>0，∴W随x的增大而增大，∴当x=30时，W最大=952元．∵968>952，∴当x=18时，W最大=968元．(3) 当1≤x<20时，令−2x2+72x+320=870，解得x1=25，x2=11，∵抛物线W=−2x2+72x+320的开口向下，∴11≤x≤25时，W≥870，∴11≤x<20．∵x为正整数，∴有9天利润不低于870元．当20≤x≤30时，令28x+112≥870，解得x≥27114．∴27114≤x≤30，∵x为正整数，∴有3天利润不低于870元．∴综上所述，当天利润不低于870元的天数共有12天．9. 【答案】(1) S=y(x−40)=(x−40)(−10x+1200)=−10x2+1600x−48000；(2) S=−10x2+1600x−48000=−10(x−80)2+16000，则当销售单价定为80元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是16000元．10. 【答案】(1) 由题意得：w=(x−20)[250−10(x−25)]=−10(x−5)(x−20)，∵−10<0，故w有最大值，当x=35时，w最大值为2250．(2) 甲方案：x≤30，把x=30代入函数表达式得：w=2000，乙方案：250−10(x−25)≥10，且x−20≥25，解得：45≤x≤49，当x=45时，w有最大值为1250，∵2000>1250，故：甲方案最大利润最高．11. 【答案】(1) 根据题意可得：w=(x−20)⋅y=(x−20)(−2x+80)=−2x2+120x−1600.w与x之间的函数关系为：w=−2x2+120x−1600．(2) 根据题意可得：w=−2x2+120x−1600=−2(x−30)2+200.∵−2<0，∴当x=30时，w有最大值，w最大值为200．答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．(3) 当w=150时，可得方程−2(x−30)2+200=150．解得x1=25，x2=35，∵35>28，∴x2=35不符合题意，应舍去．答：该商店销售这种健身球每天想要获得150元的销售利润，销售单价定为25元．12. 【答案】(1) y=−10x+740(44≤x≤52)．(2) 根据题意得(x−40)(−10x+740)=2400，解得x1=50，x2=64（舍去），答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元．(3) w=(x−40)(−10x+740) =−10x2+1140x−29600=−10(x−57)2+2890.当x<57时，w随x的增大而增大，而44≤x≤52，∴当x=52时，w有最大值，最大值为−10(52−57)2+2890=2640，答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 元最大，最大利润是2640元．13. 【答案】(1) 设每件童装降价x元时，每天可销售20+2x件，每件盈利40−x元，故答案为：(20+2x )；(40−x )；(2) 根据题意，得：(20+2x )(40−x )=1200，解得：x 1=20，x 2=10（舍去）答：每件童装降价 20 元，平均每天赢利 1200 元；(3) 不能，∵(20+2x )(40−x )=2000 此方程无解，故不可能做到平均每天盈利 2000 元．14. 【答案】(1) 设 y 与 x 的函数关系式为 y =kx +b ，将 (10,200)，(15,150) 代入，得：{10k +b =20015k +b =150,解得：{k =−10b =300,∴ y 与 x 的函数关系式为 y =−10x +300(8≤x ≤30)；(2) 设每天销售获得的利润为 W ，则W =(x −8)y=(x −8)(−10x +300)=−10(x −19)2+1210,∵ 8≤x ≤30，∴ 当 x =19 时，w 取得最大值，最大值为 1210；(3) 由（2）知，当获得最大利润时，定价为 19 元/千克，则每天的销售量为 y =−10×19+300=110 千克，∵ 保质期为 40 天，∴ 总销售量为 40×110=4400，又 ∵ 4400<4800，∴ 不能销售完这批蜜柚．15. 【答案】(1) 因为 AB 段为反比例函数图象的一部分，A (2,40)，所以当 2≤x ≤4 时，y =80x ，因为 BC 段为一次函数图象的一部分，且 B (4,20)，C (14,0)，所以设 BC 段的解析式为 y =kx +b ，有 {4k +b =20,14k +b =0, 解得 {k =−2,b =28,所以当 4<x ≤14 时，y =−2x +28，所以 y 与 x 之间的函数解析式为y ={80x , 2≤x ≤4−2x +28, 4<x ≤14．(2) 当 2≤x ≤4 时，w=(x −2)y =(x −2)⋅80x =80−160x , 因为随着 x 的增大，−160x 增大，w =80+−160x 也增大，所以当 x =4 时，w 取得最大值，为 40；当 4<x ≤14 时，w =(x −2)y=(x −2)(−2x +28)=−2x 2+32x −56=−2(x −8)2+72,因为 −2<0，4<8<14，所以当 x =8 时，w 取得最大值，为 72．综上所述，每天利润的最大值为 72 元．(3) 由题意可知 w =−2x 2+32x −56=−2(x −8)2+72，令 w =54，即 w =−2x 2+32x −56=54，解得 x 1=5，x 2=11，由函数解析式及函数图象可知，要使 w ≥54，5≤x ≤11，所以当 5≤x ≤11 时，小米的销售利润不低于 54 元．16. 【答案】(1) 由题意得w =(x −200)y=(x −200)(−2x +1000)=−2x 2+1400x −200000.(2) 令 w =−2x 2+1400x −200000=40000，解得：x =300 或 x =400，故要使每月的利润为 40000 元，销售单价应定为 300 或 400 元．(3) y =−2x 2+1400x −200000=−2(x −350)，当 x =250 时，y =−2×2502+1400×250−200000=2500．故最高利润为 45000 元，最低利润为 25000 元．17. 【答案】(1) 将 (3,25) 和 (4,24) 分别代入 y 2=18x 2+bx +c ，得 {98+3b +c =25,2+4b +c =24,解得 {b =−158,c =592.(2) 由题意得y=y1−y2，∴y=(−38x+36)−(18x2−158x+592)=−18x2+32x+132．(3) 将y=−18x2+32x+132化为顶点式，得y=−18(x−6)2+11，∵a=−18<0，∴抛物线开口向下，∴当x=6时，二次函数取得最大值，此时y=11，∴6月份出售这种水产品可使每千克利润最大，每千克的最大利润是11元．18. 【答案】(1) 48000；37(2) 设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，则y甲=[(50−x)×50+3000]x−200x，y乙=3500x−1850，当甲公司的利润大于乙公司时，0<x<37，y=y甲−y乙=[(50−x)×50+3000]x−200x−(3500x−1850)=−50x2+1800x−1850，当x=−1800−50×2=18时，利润差最大，且为18050元；当乙公司的利润大于甲公司时，37<x≤50，y=y乙−y甲=3500x−1850−[(50−x)×50+3000]x+200x=50x2−1800x−1850，∵对称轴为直线x=−−180050×2=18，当x=50时，利润差最大，且为33150元；综上：两公司月利润差的最大值为33150元．(3) ∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，则利润差为y=−50x2+1800x+1850−ax=−50x2+(1800−a)x+1850，对称轴为直线x=1800−a100，∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，所以16.5≤1800−a100≤17.5，解得：50≤a≤150．。
