1 h( x ) = 0 − 1〈 x〈3 其他
计算
f ( x ) ∗ h( x )
y
并作图
y
y
-3
-2
-1
1
2
3
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
X-3
-3
-2
x X+1
-1 0
1
2
3
x
第一步
翻 转
第二步 平 移
17
第三步 乘 积
习 题 一 解 答
y y
求面积） 第四步 积 分（求面积）
y
?
X-3
f(x)*h(x)
3 2 1
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
19
傅里叶光学
习 题 一 解 答
x x − a / 2 1 x 1．7 求证： rect + rect ． 求证： ∗ comb = 1 b a − b a a
分析
0<x<a
y
x a2 − x2 1 1 f ( x ) Λh ( x ) = a − × x × = 2 2 a 2a
a/2
1
-a -3
-2
-1
1
2
3
a
x
25
习 题 一 解 答
• 同理
a2 − x2 2a h ( x ) Λf ( x ) = (a − x) 2 2a
可见， 可见，求相关不满足交换律
点的矩形函数， （1）第一项是宽度为 、中心在 点的矩形函数， ）第一项是宽度为b、中心在0点的矩形函数 第二项是宽度为（ － ）、中心在a/2处的矩形函数 ）、中心在 处的矩形函数， 第二项是宽度为（a－b）、中心在 处的矩形函数， 由图可见，两者相加得到一个宽度为a的矩形函数 的矩形函数。 由图可见，两者相加得到一个宽度为 的矩形函数。 （2）Comb函数由间隔为 的一系列δ函数组成 ） 函数由间隔为a的一系列 函数组成 函数由间隔为 的一系列 1 a x b/2 a－b/2 -2a -a 1 0 a x 2a
傅里叶光学
习 题 一 解 答
1．1 给定函数 f (x) = rect (x+2) + rect (x-2) ． 画出以下函数图形： 画出以下函数图形： f(x) （1） f (x) ）
1 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
（2）f (x) sgn (x) ）
f(x) 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x 0 1 2 3 4 5 6
−a ≤ x ≤0 −≤x≤a
26
习 题 一 解 答 1.10 求函数的傅立叶变换
1 1) H ( x) = 0 x>0 x<0
∞ 0
∫
∞
0
e
− ax
1 dx = a
(a > 0)
解：F [ H ( x)] = ∫
1 exp(− j 2πux)dx = j 2πu
∞
2) sgn( x)
解：F [sgn( x)] = ∫ sgn( x) ⋅ exp(− j 2πux)dx
∞
x− y =ξ
y = x −ξ
dy = dξ
左边= 所以 左边 = =
∫ ∫
−∞
+∞ ∞
f ( x − ξ ) ⋅ h(ξ )(−dξ )
h (ξ ) ⋅ f ( x − ξ ) d ξ
−∞
h( x) ∗ f ( x) =右边 右边
得证
15
习 题 一 解 答 证明 3) f ( x / b) ∗ h( x / b) = b g ( x / b)
a −b x− ∞ 2 − na = ∑ rect ( a −∞
21
习 题 一 解 答
1.8 求下列卷积，并画出图形 求下列卷积，
• 1)
f ( x) = rect ( x) ∗ rect ( x) = Λ(x)
h( x) = rect ( x) ∗ [rect ( x) ∗ δ ( x − 2)] = rect ( x) ∗ rect ( x) ∗ δ ( x − 2)
（3）两者卷积的结果是 ，如图所示 ）两者卷积的结果是1， 1 -2a 0 a 2a x
20
-a
习 题 一 解 答
注意卷积性质
f ( x) ∗ comb( x) = ∫ f (ξ )comb( x − ξ )dξ = ∑ f ( x − n)
−∞ −∞ ∞ ∞
a−b a−b x− x− ∞ 1 x 2 ) ∗ comb( ) = rect ( 2 ) ∗ δ ( x − na ) rect ( ∑ a a a a −∞
1
傅里叶光学
习 题 一 解 答
f (x) = rect (x+2) + rect (x-2)
x x （3） f (x / 2) = rect + 2 + rect − 2 ） 2 2
x+4 x−4 = rect + rect 2 2
5
傅里叶光学
习 题 一 解 答
= 4 A 2 cos 2 (2 π f 0 x )
f (x) = Aexp（j2πf0 x） （ ） （3） | f (x) + f *(x) | 2 ）
= 2 A 2 [cos( 4 π f 0 x ) + 1 ]
f(x) 4A2
Y
x -1/2f0 0 1/2f0
习 题 一 解 答
f ( x − x0 ) ∗ h( x) = ∫ f (ξ ) ⋅ h[ x − (ξ + x0 )]dξ
−∞ ∞
= ∫ f (ξ ) ⋅ h[(x − x0 ) − ξ ]dξ
∞ −∞
Q f ( x ) ∗ h( x ) = g ( x ) ∴ ∫ f (ξ ) ⋅ h( x − ξ )dξ = g ( x)
= A2
f(x) A2
x
4
傅里叶光学
习 题 一 解 答
f (x) = Aexp（j2πf0 x） （ ） （2） f (x) + f *(x) ）
＝ A [exp
( j 2 π f 0 x ) + exp (−
f(x)
Y
j 2 π f 0 x )]
= 2 A cos(2 πf 0 x )
2A x -1/f0 0 1/f0
g(x) 1
……
……
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
• 4)
1 H ( x) ∗ H ( x)其中H ( x) = 0
x>0 x<0
x H ( x) ∗ H ( x) = 0
x≥0 其它
23
习 题 一 解 答
x/a 0≤x≤a
1.9 已知函数 求下列互相关函数 （1）f (x) h (x) （2）h (x) f (x)
0<x-3<3 x+1<0或x-3>3
1 2 1 g ( x) = 3 − × ( x − 3) × ( x − 3) = − x 2 + 2 x 2 3 3
g(x)=0
18
习 题 一 解 答
综上： 综上：
1 −1 < x < 2 ( x + 1) 2 3 3 2< x<3 f ( x ) ∗ h( x ) = 1 2 − x + 2 x 3< x <6 3 0 x > 6或x < −1
习 题 一 解 答 1.4 画出函数的图形
• 1） f1 ( x) = 1 comb x • rect x
a a
2 1
5a
f(x)
……
-3a -2a -a
∞
……
a 2a 3a x
f ( x) • comb( x) = ∑ f (n)δ ( x − n)
6
习 题 一 解 答
1.3 画出下列函数的图形 • 1）f ( x) = rect ( x / 4) − rect ( x / 2)
f(x) 1 x -3 -2 -1
0
1
2
3
7
习 题 一 解 答
1.3 画出下列函数的图形 • 2） g ( x ) = 2Λ ( x / 2) − Λ ( x)
g(x) 2 1
-2
-1
1
2
x
8
习 题 一 解 答
1.3 画出下列函数的图形 • 3）h( x) = 2Λ ( x / 2) − 2Λ ( x )
h(x) 2 1
-2
-1
1
2
x
9
习 题 一 解 答
1.3 画出下列函数的图形 • 4）
p ( x) = Λ ( x) step( x)
h(x) 2 1
-2
-1
1
2
x
10
-3 -2 -1 0
?
2 3 x -3 -2
x X+1
1
X-3
-1
0
1
2
x X+1
3
x
-3
-2
-1
0
X-3
1
2
3
x X+1
x
0<x+1<3 x-3<0且x+1>3
-1<x<2 2<x<3 3<x<6 x<-1或x>6
