全国硕士研究生入学统一考试真题试卷

全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题

一、选择题:1—8小题．每小题4分，共32分．

1

．若函数10(),0x f x ax b x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩

在0x =处连续，则 （A ）12ab = （B ）12

ab =- （C ）0ab = （D ）2ab = 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ）

（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)

3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则

（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <-

（C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <-

4． 若级数211

sin ln(1)n k n n ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-

5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则

（A ）T E αα-不可逆 （B ）T E αα+不可逆

（C ）2T E αα+不可逆 （D ）2T E αα-不可逆

6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，则

（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似

（C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似

7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B 与

C 相互独立的充分必要条件是（ ）

（A ）,A B 相互独立 （B ）,A B 互不相容

（C ）,AB C 相互独立 （D ）,AB C 互不相容

8．设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若

1

1n

i i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（ ） （A ）21

()n i i X μ=-∑服从2χ分布 （B ）()212n X X -服从2χ分布

（C ）21

()n i i X X =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9

．3(sin x dx π

π-=⎰ ．

10．差分方程122t t t y y +-=的通解为 ．

11．设生产某产品的平均成本()1Q C Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 .

12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =

13．设矩阵101112011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为 ．

14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．

三、解答题

15．（本题满分10分）

求极限0lim t x dt +→

16．（本题满分10分） 计算积分3242(1)D

y dxdy x y ++⎰⎰，其中D

是第一象限中以曲线y =x 轴为边界的无界区域．

17．（本题满分10分） 求21lim ln 1n

n k k k n n →∞=⎛

⎫

+ ⎪⎝⎭∑

18．（本题满分10分） 已知方程1

1

ln(1)k x x -=+在区间(0,1)内有实根，确定常数

k 的取值范围．

19．（本题满分10分）

设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+，()S x 为幂级数0

n n n a x ∞=∑的和函数 （1）证明0

n n n a x ∞=∑的收敛半径不小于1．

（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式．

20．（本题满分11分）

设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+

（1）证明：()2r A =；

（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．

21．（本题满分11分）

设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．

22．（本题满分11分）

设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2

P X P X ====，Y 的概

率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩

其他． （1）求概率P Y EY ≤（）； （2）求Z X Y =+的概率密度．

23．（本题满分11分）

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正

态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,

,)i i Z X i n μ=-=，利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ．