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2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．满足z ＋i z ＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( ) A. 12＋12i B. 12－12i C ．－12＋12i D ．－12－12i 2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2＜p 3B ．p 2＝p 3＜p 1C ．p 1＝p 3＜p 2D ．p 1＝p 2＝p 33．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34．⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( )A ．－20B ．－5C ．5D ．205．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ，命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(┑q )；④(┒p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④6．执行如图所示的程序框图．如果输入的t ∈[－2，2]，则输出的S 属于( )A ．[－6，－2]B ．[－5，－1]C ．[－4，5]D ．[－3，6]7． 一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1B ．2C ．3D ．48．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－19．已知函数f (x )＝sin(x －φ)，且∫2π30f(x)d x ＝0，则函数f(x)的图像的一条对称轴是( ) A ．x ＝5π6 B ．x ＝7π12 C ．x ＝π3 D ．x ＝π610．已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1e) B ．(－∞，e) C.⎝⎛⎭⎫－1e ，e D.⎝⎛⎭⎫－e ，1e 第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）(一)选做题(请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分)11． 在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．12．如图所示，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．13．若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －53＜x ＜13，则a ＝________． (二)必做题(14～16题)14． 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.15．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则b a＝________．16．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率．(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．18．（本小题满分12分）如图所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长． 19．（本小题满分12分）如图所示，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD ；(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1OB 1D 的余弦值．20．（本小题满分13分）已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n ，n ∈N *.(1)若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式． 21．（本小题满分13分）如图，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝32，且|F 2F 4|＝3－1. (1)求C 1，C 2的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点．当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．22．（本小题满分13分）已知常数a＞0，函数f(x)＝ln(1＋ax)－2x x＋2.(1)讨论f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且f(x1)＋f(x2)＞0，求a的取值范围．。
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟.满分150分.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.满足ii z z +=（i 为虚数单位）的复数z =( )A .11i 22+B .11i 22-C .11i 22-+D .11i 22--2.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽 样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ,2p ,3p ,则( ) A .123p p p =＜ B .231p p p =＜ C .132p p p =＜D .123p p p ==3.已知()f x ,()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且32()()1f x g x x x -=++,则 (1)(1)f g +=( )A .3-B .1-C .1D .3 4.51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是( )A .20-B .5-C .5D .205.已知命题p ：若x y ＞,则x y -＜-；命题q ：若x y ＞,则22x y ＞.在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中,真命题是( )A .①③B .①④C .②③D .②④6.执行如图1所示的程序框图,如果输入的[2,2]t ∈-,则输出的S 属于 ( )A .[6,2]--B .[5,1]--C .[4,5]-D .[3,6]-7.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A .1B .2C .3D .48.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A .2p q+ B .(1)(1)12p q ++-CD19.已知函数()sin()f x x ϕ=-,且2π30()d 0f x x =⎰,则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A .5π6x =B .7π12x =C .π3x =D .π6x = 10.已知函数21()e (0)2x f x x x =+-＜与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )A.(-∞ B.(-∞ C.( D.(二、填空题：本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分）11.在平面直角坐标系中,倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：2cos ,1sin ,x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于A ,B 两点,且||2AB =.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是 .12.如图3,已知AB ,BC 是O 的两条弦,AO BC ⊥,ABBC =则O 的半径等于 .13.若关于x 的不等式|2|3ax -＜的解集为51{|}33x x -＜＜,则a = . （二）必做题（14～16题）14.若变量x ,y 满足约束条件,4,,y x x y y k ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥且2z x y =+的最小值为6-,则k = .15.如图4,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b ＜,原点O 为AD 的中点,抛物线22(0)y px p =＞经过C ,F 两点,则ba= .16.在平面直角坐标系中,O 为原点,(1,0)A -,(0,3)B ,(3,0)C ,动点D 满足||1CD =,则||OA OB OD ++的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. （Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120 万元；若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100 万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望.-----在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------姓名________________ 准考证号_____________图1图2图3图418.（本小题满分12分）如图5,在平面四边形ABCD 中,1AD =,2CD =,AC = （Ⅰ）求cos CAD ∠的值；（Ⅱ）若cos BAD ∠=sin 6CBA ∠=, 求BC 的长.19.（本小题满分12分）如图6,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,AC BD O =,11111AC B D O =,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形. （Ⅰ）证明：1O O ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）若60CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足11a =,1||n n n a a p +-=,*n ∈N .（Ⅰ）若{}n a 是递增数列,且1a ,22a ,33a 成等差数列,求p 的值； （Ⅱ）若12p =,且21{}n a -是递增数列,2{}n a 是递减数列,求数列{}n a 的通项公式.21.（本小题满分13分）如图7,O 为坐标原点,椭圆1C ：()222210x y a b a b +=＞＞的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为1e ；双曲线2C ：22221x y a b -=的左、右焦点分别为3F ,4F ,离心率为2e .已知12e e =,且241F F =-. （Ⅰ）求1C ,2C 的方程；（Ⅱ）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点.当直线OM 与2C 交于P ,Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.21.（本小题满分13分）已知常数0a ＞,函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+. （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0+)∞，上的单调性；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ,2x ,且12()()0f x f x +＞,求a 的取值范围.图5图6图72014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）答案解析一、选择题 1.【答案】B【解析】由题意可知i i z z +=，所以i ()1z z =+，令z a bi =+，经化简可知1a ba b =-⎧⎨=+⎩，所以12a =，12b =-，即11i 22z =-，故选B.【提示】根据复数的基本运算即可得到结论. 【考点】复数的四则运算 2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，系统抽样和分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==.故选D.【提示】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论. 【考点】随机抽样的概率 3.【答案】C【解析】因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x =--，即()()()()f x f x g x g x =-⎧⎨-=-⎩，联立3232()()1()()1f xg x x x f x g x x x ⎧-=++⎪⎨---=-++⎪⎩，得出2()1f x x =+，3()g x x =-，所以(1)(1)211f g +=-=，故选C.【提示】因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x =--，联立方程得出()f x 和()g x 的解析式，再令1x =即可. 【考点】对数奇偶性 4.【答案】A【解析】根据()()555122rr rr r C x y --⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以23x y 的系数为23351(2)202C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故选A.【提示】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可. 【考点】二项式定理 5.【答案】C【解析】根据不等式的性质可知，若x y >，则x y -<-成立，即p 为真命题，当1x =，1y =-时，满足x y >，但22x y >不成立，即命题q 为假命题，则①p q ∧为假命题；②p q ∨为真命题；③()p q ∧⌝为真命题；④()p q ⌝∨为假命题，故选：C.【提示】根据不等式的性质分别判定命题p ，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论.【考点】非、或、且，真假命题 6.【答案】D【解析】当[2,0)t ∈-时，运行程序如下，221(1,9]t t =+∈，(26]3,S t -=∈-，当[0,2]t ∈时，[,1]33S t ∈--=-，则(2,6][3,1][3,6]S ∈---=-，故选D.【提示】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论. 【考点】循环结构流程图 7.【答案】B【解析】由图可知该几何体的为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则628r r r -+=-，故选B.【提示】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r .【考点】几何体的体积 8.【答案】D【解析】由题意可知：设平均增长率为x ，由2(1)(1)(1)p q x ++=+，1x +=所以1x =，故选D.【提示】根据增长率之间的关系，建立方程关系即可得到结论. 【考点】增长率 9.【答案】A 【解析】由2π30⎰()0f x dx =，可以得出2πcos cos()3ϕϕ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即π3ϕ=，所以()s i n 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因此一条对称轴为πππ32x k -=+（k ∈Z ）所以5π6x =，故选A. 【提示】由2π3⎰()0f x dx =，可以得到ϕ的值，可以知道对称轴x 从而求得x 的值.【考点】积分，对称轴，三角函数 10.【答案】B【解析】由题可得函数()f x 的图象上存在020001,e (0)2x P x x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭关于y 轴对称的点02001,e 2x Q x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭在函数2()l n ()g x x x a =++的图象上，从而0220001e ()ln()2x x x x a +-=-+-+，即001e ln()02x x a --+-=，问题等价于函数001()e ln()2xh x x a =--+-在(,0)x ∈-∞存在零点.即(a ∈-∞【提示】由题意可得001e ln()02xx a ---+=有负根，采用数形结合的方法可判断出a 的取值范围. 【考点】对称性 二、填空题11.【答案】(cos sin )1p θθ-=【解析】设直线方程y x b =+，联立22(2)(1)1x y y x b ⎧-+-=⎨=+⎩得出2222(3)420x x b b b --++-=，由韦达定理212422b b x x +-=，123x x b +=-，又有||2AB ===所以最后得出1b =-，故直线方程1x y -=，所以极坐标方程为(cos sin )1p θθ-=【提示】由题意可得直线l 的方程为y x b =+，曲线方程化为直角坐标，表示一个圆，由于弦长正好等于直径，可得圆心(2,1)在直线l 上，由此求得b 的值，可得直线的方程. 【考点】直线与参数方程的位置关系，极坐标12.【答案】32【解析】设线段AO 与BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E，则BD DC =，由ABD △的勾股定理可得1AD =，由双隔线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=，则直线332AE r =⇒=，故填32.【提示】设垂足为D ，O 的半径等于R ，先计算AD ，再计算R 即可. 【考点】勾股定理，双割线定理 13.【答案】3-【解析】由题可得523231233aa a ⎧--=⎪⎪⇒=-⎨⎪-=⎪⎩，故填：3- 【提示】由题可得52321233aa ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得a 的值.【考点】绝对值不等式 14.【答案】2-【解析】作出不等式组4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的区域，可以得出三条直线的交点(),k k ，(4),k k -，(2)2,，且y x ≤，4x y +≤的可行域，所以2k ≤，则当(),k k 为最优解时，362k k =-⇒=-，当(4),k k -为最优解时，2(4)614k k k -+=-⇒=，因为2k ≤，所以2k =-，故填2-.【提示】做出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定k 的值即可. 【考点】线性规划 15.1【解析】由,2a C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,2a F b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则22122a pab a a b p b ⎧=⎪⇒=⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩1. 【提示】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C ，F 两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p 后，得到a ，b 的关系式，再寻求ba 的值.【考点】抛物线16.【答案】1]【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆，设为(3cos ,sin )θθ+([0,2π))θ∈，则||OA OB OD ++==，因为2c o s 3s i nθθ的取值范围为[[=，827(11+=+1=，所以||OA OB OD ++的取值范围为1]+.【提示】由题意设点D 的坐标为(3c o s θθ+，求得||8OA OB OD ++=+.根据2cos sin θθ的取值范围，可得||OA OB OD ++的最大值.【考点】平面向量的基本运算 三、解答题 17.【答案】（Ⅰ）1315（Ⅱ）140【解析】（Ⅰ）记{}E =甲组研发新产品成功，{}F =乙组研发新产品成功.由题设知2()3P E =，1()3P E =，3()5P F =，2()5P F =，故所求的概率为13()()()()()()15P P F P E P E P F P E P F =++=. （Ⅱ）设企业可获利润为X （万元），则X 的可能取值为0，100，120，220.因122(0)()3515P X P EF ===⨯=，133(100)()3515P X P EF ===⨯=，224(120)()3515P X P EF ===⨯=，236(220)()3515P X P EF ===⨯=，数学期望为30048013202100()0100120220140151515151515E X ++=⨯+⨯+⨯+⨯===. 【提示】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可， （Ⅱ）求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可.【考点】分布列和数学期望，概率 18.【答案】（Ⅱ）3【解析】（Ⅰ）在ADC △中，由余弦定理，得222cos 2AC AD CD CAD AC AD+-∠=故由题设知，cos CAD ∠==（Ⅱ）sin 14BAD ∠== 于是sin sin()BAC BAD CAD ∠=∠-∠sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD =∠∠-∠∠27721⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ . 在ABC △中，由正弦定理，sin sin BC ACBAC CBA=∠∠，故37sin 3sin AC BACBC CBA∠===∠. 【提示】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos CAD ∠的值.（Ⅱ）根据cos CAD ∠，cos BAD ∠的值分别，求得sin BAD ∠和sin CAD ∠，进而利用两角和公式求得sin BAC ∠的值，最后利用正弦定理求得BC . 【考点】解三角形，余弦定理，正弦定理19.【答案】（Ⅰ）如图，因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥. 同理1DD BD ⊥.因为11CC DD ∥，所以1CC BD ⊥. 而ACBD O =，因此1C C B D C A ⊥底面.由题设知，11O O C C ∥. 故1C O B D O A ⊥底面.（Ⅱ）如图2，过1O 作11O H OB ⊥于H ，连接1HC . 由（Ⅰ）知，1C O B D O A ⊥底面， 所以11111O O A B C D ⊥底面， 于是111O O AC ⊥.又因为四棱柱1111A B ABC C D D -的所有棱长都相等， 所以四边形1111A B C D 是菱形，因此1111AC B D ⊥，从而1111AC BDD B ⊥平面， 所以111AC OB ⊥，于是111OB O HC ⊥平面， 进而11OB C H ⊥.故11C HO ∠是二面角11C OB D --的平面角. 不妨设2AB =.因为60CBA ∠=︒，所以OB =1OC =，1OB =. 在11Rt OO B △中，易知11111OO O B O H OB ==而111O C =，于是1C H故1111cos O H C HO C H∠==. 即二面角11C OB D --【提示】（Ⅰ）由已知中，四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等，ACBD O =，11111AC B D O =，四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形.可得111O O CC BB ∥∥且1CC AC ⊥，1BB BD ⊥，进而1OO AC ⊥，1OO BD ⊥，再由线面垂直的判定定理得到1O O ABCD ⊥底面；（Ⅱ）由线面垂直，线线垂直推得111AC OB ⊥，11OB C H ⊥，所以11C HO ∠是二面角11C OB D --的平面角.再由三角函数求得二面角11C OB D --的余弦值.【考点】线线关系、线面关系，二面角20.【答案】（Ⅰ）13p =（Ⅱ）141(1)332nn n a --=+ 【解析】解（Ⅰ）因为{}n a 是递增数列，所以11||nn n n n a a a a p ++-=-=.而11a =，因此又1a ，22a ，33a 成等差数列， 所以21343a a a =+，因而230p p -=，解得13p =，0p =，当0p =时，1n n a a +=， 这与{}n a 是递增数列矛盾.故13p =.（Ⅱ）由于21{}n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->，于是212221()()0n n n n a a a a +--+->①，但2211122n n -<，所以212221||||n n n n a a a a +--<-②， 由①②知，2210n n a a -->，因此21221221(1)122n nn nn a a ---⎛⎫⎪⎝⎭--==③， 因为{}n a 是递减数列，同理可得，2120n n a a +-<，故22121221(1)22nn n n na a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭--=-=④，由③④即知，11(1)2n n n na a ++--=.于是 121321()()...()n n n a a a a a a a a ----=++++2111(1)1222nn --=+-++112121()1121n ---=++ 141(1)332nn --=+. 故数列{}n a 的通项公式为141(1)332nn n a --=+. 【提示】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令1n =，2代入求出2a 和3a ，再由等差中项的性质列出关于p 的方程求解，利用“{}n a 是递增数列”对求出的p 的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“1||nn n a a p +-=”、不等式的可加性，求出221n n a a --和1n n a a +-，再对数列{}n a 的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n 项和公式，求出数列{}n a 的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来. 【考点】等差、等比数列，数列的单调性，通项公式21.【答案】（Ⅰ）1C 的方程为2212x y +=2C的方程为2212xy -=（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）因为12e e =，22a b +=44434a b a -=，因此222a b =，从而2(,0)F b，4,0)F ， 24||1b F F -==， 所以1b =，22a =.故1C ，2C 的方程分别为2212x y +=，2212x y -=.（Ⅱ）因AB 不垂直于y 轴，且过点1(1,0)F -，故可设直线AB 的方程为1x my =-.由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)210m y my +--=，易知此方程的判别式大于0. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1y ，2y 是上述方程的两个实根，所以12222m y y m +=+，12212y y m =-+，因此121224()22x x m y y m -+=+-=+，于是AB 的中点为222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 故直线PQ 的斜率为2m-，PQ 的方程为2m y x =-，即20mx y +=.由22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得22(2)4m x -=， 所以220m ->，且2242x m =-，2222m y m=-，从而||PQ ==设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d =. 因为点A 、B 在直线20mx y +=的异侧， 所以1122(2)(2)0mx y mx y ++<，于是11221122|2||2||22|mx y mx y mx y mx y +++=+--，从而22d =，又因为21221||m y y +-=，所以2212m d +=.故四边形APBQ 的面积22212213||2221222mS PQ d mm+===-+--. 而2022m <-≤，故当0m =时，S 取得最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.【提示】（Ⅰ）由斜率公式写出1e ，2e 把双曲线的焦点用含有a ，b 的代数式表示，结合已知条件列关于a ，b 的方程组求解a ，b 的值，则圆锥曲线方程可求；（Ⅱ）设出AB 所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB 中点M 的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB 的长度，写出PQ 的方程，和双曲线联立后解出P ，Q 的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P ，Q 到AB 的距离，然后代入三角形面积公式得四边形APBQ 的面积，再由关于n 的函数的单调性求得最值.【考点】曲线标准方程，焦点、离心率，直线与曲线的位置关系，最值22.【答案】（Ⅰ）当1a ≥时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增当01a <<时，()f x 在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增 （Ⅱ）1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）2222(2)24(1)()1(2)(1)(2)a x x ax a f x ax x ax x +-+-'=-=++++， 当1a ≥时，此时()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.当01a <<时，由()0f x '<得1x =2x =-舍去）. 当1(0,)x x ∈时()0f x '<；当11(,)x x ∈+∞时，()0f x '>， 故()f x 在区间1(0,)x 上单调递增，在区间1(,)x +∞上单调递增. 综上所述：当1a ≥时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；当01a <<时，()f x 在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）式知.当1a ≥，()0f x '>，此时()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点，必有01a <<. 又()f x 的极值点只可能是1x =2x =-，且由()f x 的定义可知，1x a >-且2x ≠-，所以1a -.2≠-，解得12a ≠. 此时，由上式易知，1x ，2x 分别是()f x 的极小值点和极大值点，而1221222()()ln(1)ln(1)22x xf x f x ax ax x x +=+-++-++ 21212ln[1()]a x x a x x =+++-1212121244()2()4x x x x x x x x +++++24(1)ln(21)21a a a -=--- 22ln(21)221a a =-+--， 令21a x -=，由01a <<且12a ≠知：当102a <<时，10x -<<；当112a <<时，01x <<. 记22()ln 2g x x x=+-.（ⅰ）当10x -<<时，2()2ln()2g x x x =-+-，所以222222()0x g x x x x -'=-=<. 因此，()g x 在区间(10)-,上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<， 故当102a <<时，12()()0f x f x +<.（ⅱ）当10x <<时，2()2ln 2g x x x =+-，所以222()0g x x x '=-<，因此.()g x 在区间(0)1,上单调递减，从而()(1)0g x g >=. 故当112a <<时，12()()0f x f x +>，综上所述.满足条件的a的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.【提示】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决. 【考点】函数单调性，极值，导数的性质与应用。
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页. 时量120分钟. 满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（2014湖南）1. 满足ii z z+=（i 为虚数单位）的复数z = 【 B 】A. 11i 22+B. 11i 22- C. 11i 22-+ D. 11i 22--【解析】由题意i 11i i z =i i 122z z +=⇔=--,选B【考点定位】复数：复数四则运算.（2014湖南）2. 对一个容量为N 的总体抽取容量为m 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ,则【 D 】 A. 123=p p p < B. 231=p p p < C. 132=p p p < D. 123==p p p 【解析】简单随机抽样、系统抽样和分层抽样都是等概率抽样, 123==p p p ,选D. 【考点定位】统计：随机抽样.（2014湖南）3. 已知(),()f x g x 分别是定义R 在上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则(1)+(1)f g 【 C 】A. 3-B. 1-C. 1D. 3 【解析】由题意23()1,(),(1)(1)1f x x g x x f g =+=-+=,选C 【考点定位】函数：函数的奇偶性.（2014湖南）4. 51(2)2x y -的展开式23x y 的系数是【 A 】A. 20-B. 5-C. 5D. 20【解析】通项()515122kk kk T C x y -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则2k =时, ()232331102202T x y x y ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭,选A.【考点定位】二项式定理.（2014湖南）5. 已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >. 在命题①p q ∧； ②p q ∨； ③()p q ∧⌝； ④()p q ⌝∨中，真命题是 【 C 】A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④ 【解析】命题p 为真命题,当命题q 为假命题,所以②③为真命题,故选C. 【考点定位（2014湖南）6. 执行如图1则输出的S 属于 D 】A. [6,2]--B. [5,1]--C. [4,5]-D. [3,6]- 【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(]32,6S t =-∈-(]2211,9t t =+∈,当[]0,2t ∈时,[]33,1S t =-∈--,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-,故选D.【考点定位】算法：程序框图；二次函数.（2014湖南）7. 一块石材的几何体三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于【 B 】 A. 1 B. 2C. 3D. 4 【解析】由图可得该几何体为三棱柱, 所以最大球的半径为正视图直角三角 形内切圆的半径r ,则86r r -+-2r ⇒=, 故选B. 【考点定位】立体几何：三视图；内切圆；球.（2014湖南）8. 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为【 D 】 A.2p q+ B.(1)(1)12p q ++-C.D. 1【解析】设前两年的平均增长率为x ,则有2(1)(1)(1)1x p q x +=++⇒-【考点定位】函数应用题（2014湖南）9. 已知函数()sin()f x x ϕ=-，且230()0f x dx π=⎰，则函数()f x 的图像的一条对称轴是【 A 】A. 5π6x =B. 7π12x =C. 3x π=D. 6x π=【解析】法一：由23022()0cos cos =0cos cos 33f x dx πππϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=⇔--+⇔=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰, 所以223k πϕϕπ=-+或223k πϕϕπ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，即3k πϕπ=+. 则56x π=是其中一条对称轴.故选A.法二：由定积分的几何性质与三角函数图象可知,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()sin()f x x ϕ=-的一个对称中心，所以sin()03πϕ-=,所以3k πϕπ=+.故选A.【考点定位】三角函数：三角函数图像与性质，定积分的几何意义.（2014湖南）10. 已知函数21()(0)2x f x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是 【 B 】A. (,-∞B. (-∞C. (D. ( 【解析】由题可得函数()f x 的图像上存在点020001(,)(0)2x P x x e x +-<关于y 轴对称的点02001(,)2x Q x x e -+-在函数2()ln()g x x x a =++的图像上，正视图 侧视图 俯视图图2从而有()0220001ln()2x x e x x a +-=-+-+,即001ln()02x e x a --+-=. 问题等价于函数1()ln()2x h x e x a =--+-在(),0x ∈-∞存在零点, 法一：1'()0x h x e x a=+>-+,()h x 在(),0x ∈-∞单调递增， 当x →-∞时，()h x →-∞，要使()h x 在(),0-∞存在零点，则1(0)1ln 02h a =-->， 从而a <法二：问题等价于函数1()2xx e φ=-与()ln()x x a ϕ=-+的图象在(),0-∞有交点,在同一坐标系中作出这两个函数的图象，当()ln()x x a ϕ=-+的图象在左右平移的过程中，(0)(0)h ϕ>即可，即a【考点定位】函数：指、对数函数；方程.二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. （一）选做题：在11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按全两题记分.（2014湖南）11. 在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于,A B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是 . 【答案】(cos sin )1ρθθ-= 【考点定位】极坐标与参数方程.（2014湖南）12. 如图3，已知,AB AC 是O 的两条弦，,AO BC AB⊥， BC =O 的半径等于 . 【答案】32【考点定位】几何证明选讲：垂径定理，相交弦定理，射影定理.（2014湖南）13. 若关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a = . 【答案】3-【解析】由题可得5123,2333a a --=-=3a ⇒=-,故填3-.【考点定位】不等式选讲：绝对值不等式的解法.（二）必做题（14~16题）（2014湖南）14. 若变量,x y 满足约束条件4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为6-，则k = . 【答案】2-【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2,且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,所以2k ≤,则当(),k k 为最优解时,362k k =-⇒=-,O 图3当()4,k k -为最优解时,()24614k k k -+=-⇒=, 因为2k ≤,所以2k =-,故填2-. 【考点定位】线性规划（2014湖南）15. 如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b <O ，原点O 为AD 的中点，抛物线经过,C F 两点，则ba = .【答案】1【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩22201a b ab a b ⇒--=⇒=【考点定位】抛物线（2014湖南）16. 在平面直角坐标系中，O 为原点， (1,0),(3,0)A B C -，动点D 满足1CD=，则OA OB OD ++的最大值是 .【答案】1【解析】动点D 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，可设D 的坐标为(3cos ,sin )θθ+，则(2cos sin )OA OB OD θθ++=+.(2OA OB OD ++=)==sin ϕϕ==当()sin 1θϕ+=时，OA OB OD ++的取到最大值1【考点定位】平面向量，三角函数性质，参数方程，圆.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （2014湖南）17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35. 现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B . 设甲、乙两组的研发相互独立. （Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元. 求该企业可获利润的分布列和数学期望.【解析】记{E =甲组研发新产品成功}，{F =乙组研发新产品成功}.由题设知2132(),(),(),()3355P E P E P F P F ====且E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立.（Ⅰ）记{E =至少有一种新产品研发成功}，则H EF =,于是122()()()3515P H P E P F ==⋅=,故所求的概率为13()1()15P H P H =-=. （Ⅱ）设企业可获利润为X ，则X 的可能取值为0,100,120,220.因122133(0)(),(100)(),35153515224236(120)(),(220)().35153515P X P EF P X P EF P X P EF P X P EF ===⋅====⋅====⋅====⋅=数学期望为2412()0120100220151555E X =⨯+⨯+⨯+⨯300480132014015++==.（2014湖南）18.（本小题满分12分）如图5，平面四边形ABCD 中，12AD CD AC ===，，（Ⅰ）求cos CAD ∠的值；（Ⅱ）若cos BAD CBA ∠=∠=BC 【解析】（Ⅰ）如图5，在ADC ∆中，由余弦定理，得222cos 2AC AD CD CAD AC AD +-∠=⋅ 故由题设知，cos CAD ∠=（Ⅱ）如图5，设BAC α∠=，则BAD CAD α=∠-∠,因为cos CAD ∠=,cos BAD ∠=， 所以sin CAD ∠==sin BAD ∠= 于是()sin sin sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD BAD CAD α=∠-∠=∠∠-∠∠= 在ABC ∆中，由正弦定理，sin sin BC ACCBAα=∠故 sin 3.sin AC BC CBAα⋅===∠ 【考点定位】三角函数：解三角形.（2014湖南）19.（本小题满分12分）如图6，四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等，11111,,AC BD O AC B D O == 四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形. （Ⅰ）证明：1O O ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若60,CAB ∠=︒，求二面角11C OB D --的余弦值.【解析】（Ⅰ）如图（a ），因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥，同理1DC BD ⊥. 因为11//CC DD ，所以1CC BD ⊥，而AC BD O =，因此1CC ⊥平面ABCD , 由题设知11//O O C C ，故1O O ⊥平面ABCD . （Ⅱ）解法1：如图（a ），过1O 作11O H B C ⊥于H ，连接1C H . 由（Ⅰ）知，1O O ⊥平面ABCD ，所以1O O ⊥平面1111A B C D图5于是111O O AC ⊥,又四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等， 所以1111A B C D 是菱形，因此1111AC B D ⊥,从而11AC ⊥平面11B BDD 所以111AC OB ⊥,于是1OB ⊥平面11O HC ，进而11OB C H ⊥, 所以11O HC ∠为二面角11C OB D --的平面角,不妨设2AB =,因为060CBA ∠=，所以11,OB OC OB = 在11Rt OO B ∆中，易知11111O O O H B O B O =⋅=,又111O C =.于是1C H =故1111cos O H O HC C H ∠====即二面角11C OB D --. 解法2：因为四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等，所以ABCD 是菱形， 因此AC BD ⊥,又1O O ⊥平面ABCD ，从而1,,OB OC OO 两两垂直. 如图（b ）,以1,,OB OC OO 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设2AB =, 因为060CBA ∠=，所以 1.OB OC =于是相关各点的坐标为11(0,0,0),(0,1,2)O B C 易知，1(0,1,0)=n 是平面平面11B BDD 的一个法向量. 设2(,,)x y z =n 是平面11OB C 的一个法向量，则212100OB OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即2020z y z +=+=⎪⎩取z =2,x y ==，所以2=n .设二面角11C OB D --的大小为，易知是锐角，于是121212cos cos ,θ⋅=<>=⋅n n n n n n 二面角11C OB D --. 【考点定位】立体几何：线面垂直，二面角.（2014湖南）20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足111,,*.nn n a a a p n N +=-=∈（Ⅰ）若数列{}n a 是递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值；（Ⅱ）若12p =，且{}2+1n a 是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式. 【解析】（Ⅰ）因为数列{}n a 是递增数列，11.nn n n n a a a a p ++-=-=而11a =，因此2231,1,a p a p p =+=++又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+，因而得230p p -=.解得1,0.3p p ==图a 1A OC B D1C 1B 1D A1O H1当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，故13p =. （Ⅱ）{}2+1n a 是递增数列，因而2+1210n n a a -->，于是()()2+122210n n n n a a a a --+-> ①但2211122n n -<，所以 2+12221n n n n a a a a --<- ②由①，②知，2210n n a a -->，因此()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-== ⎪⎝⎭③因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-<，故()21221221122n nn n n a a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭④由③，④知，()111.2n n n na a ++--==于是121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-()()()11211111111412111222233212n n nnnn -+-----=+-++=+=+⋅+. 数列{}n a 的通项公式为()1141332nn n a --=+⋅. 【考点定位】数列：等差数列，等比数列，递推数列.（2014湖南）21.（本小题满分13分）如图7，O 为坐标原点，椭圆221221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线222221(0)x y C a b a b -=>>：的左右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ，已知12e e =，且241F F . （Ⅰ）求12C C ，的方程；（Ⅱ）1F 过作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为 AB 的中点，当直线OM 与2C 交于,P Q 两 点时，求四边形APBQ 面积的最小值. 【解析】（Ⅰ）因为12e e =2221b a +=4434a b -=，因此222,a b =从而24(,0),,0)F b F 241b F F -=，所以1b =，22a =故椭圆1C 方程为2212x y +=,双曲线2C 的方程为2212x y -=. （Ⅱ）因为直线AB 不垂直于y 轴且过点()11,0F -，故课设直线AB 的方程为1x my =-.F F由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得 ()222210my my +--=易知此方程的判别式大于0.设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,y y 是上述方程的两个实根，所以12122221,22m y y y y m m -+=⋅=++ 因此()12122422x x m y y m -+=+-=+，AB 的中点为222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，故 直线PQ 的斜率为2m -，PQ 的方程为2my x =-，即20mx y +=.由22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得()2224m x -=，所以222222420,,,22m m x y m m ->==--从而PQ =设点A 到直线PQ 的距离为d ，则B 点到直线PQ 的距离也为d ，所以2d =因为点,A B 在直线20mx y +=的异侧，所以)1122220mx y mx y +++<，于是112211222222mx y mx y mx y mx y +++=+--,从而2d又因为12y y -=，所以2d =四边形APBQ 面积122S PQ d =⋅=而2022m <-<，故当0m =时，S 取得最小值2. 四边形APBQ 面积的最小值为2.【考点定位】解析几何：椭圆，双曲线，直线与圆锥曲线位置关系.（2014湖南）22.（本小题满分13分）已知常数0a >，函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+. （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且12()()0f x f x +>，求a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x +-=++,（*）因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,当1a ≥时,()'0f x ≥,此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增,当01a <<时, ()12'0f x x x =⇒==-， 当1(0,)x x ∈时，()'0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，()'0f x <.故()f x 在区间1(0,)x 单调递减,在1(,)x +∞单调递增的. 综上所述当1a ≥时,()'0f x ≥,此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增,当01a <<时, ()f x在区间⎛ ⎝上单调递减,在⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增的. （Ⅱ）由（*）式知，当1a ≥时，()'0f x ≥函数()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点，必有01a <<，又()f x的极值点只可能是1x =2x =-，且由()f x 的定义可知，1x a >-且2x ≠-，所以1a --，2-≠-，解得12a ≠-，此时，（*）式知1x ,2x 分别是()f x 的极小值点和极大值点，而1212121222()()ln(1)ln(1)22x x f x f x ax ax x x +=+-++-++()()()121221212121244ln 1224x x x x a x x a x x x x x x ++⎡⎤=+++-⎣⎦+++()()()22412ln 21ln 2122121a a a a a -=--=-+--- 令21a x -=，由01a <<且12a ≠-知当102a <<时,10;x -<< 当112a <<时,0 1.x <<记22()ln 2g x x x=+-（ⅰ）当10x -<<时，()2()2ln 2g x x x=-+-，所以 222222'()x g x x x x-=-= 因此，()g x 在()1,0-上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<，故当102a <<时，12()()0f x f x +<（ⅱ）当01x <<时，2()2ln 2g x x x=+-，所以 222222'()x g x x x x-=-= 因此，()g x 在()0,1上单调递减，从而()(1)0g x g >=，故当112a <<时，12()()0f x f x +> 综上所述，满足条件的a 的取值范围是为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.【考点定位】函数与导数：应用导数研究函数单调性与极值，不等式.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南）卷数学（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．满足z i i z+=（i 为虚数单位）的复数z =（ ） （A ）1122i + （B ）1122i - （C ）1122i -+ （D ）1122i -- 2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,p p p ，则（ ）（A ）123p p p =< （B ）231p p p =< （C ）132p p p =< （D ）123p p p ==3．()(),f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x -=++，则()()11f g +=（ ） （A ）3- （B ）1- （C ）1 （D ）34．5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数是（ ） （A ）20- （B ）5-0 （C ）5 （D ）205．已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >。
在命题①p q ∧ ②p q ∨ ③()p q ∧⌝ ④()p q ⌝∨中，真命题是（ ）（A ）①③ （B ）①④（C ）②③ （D ）②④6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ）（A ）[]6,2-- （B ）[]5,1--（C ）[]4,5- （D ）[]3,6-7．一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）48．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）（A ）2p q + （B ）()()1112p q ++- （C（D1 9．已知函数()()sin f x x ϕ=-，且()2300f x dx π⎰=，则函数()f x 的图象的一条对称轴是（ ） （A ）56x π= （B ）712x π= （C ）3x π= （D ）6x π= 10．已知函数()()2102x f x x e x =+-<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）（A ）(-∞（B ）(-∞（C）(-（D）( 二．填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于,A B 两点，且||2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是_________________。
数学试题卷 第 1 页（共 3 页）2014年普通高等学校对口招收中等职业学校毕业生考试数学试题卷考生注意：所有答案都要写在答题卡上，写在试题卷上无效一、选择题（每小题3分，共30分。
每小题中只有一个选项是正确的，请将正确选项涂在答题卡上）1．已知集合{}1,1A =-，{}0,2B =，则集合{}|,M z x y x A y B ==+∈∈中的元素的个数是A ．5B ．4C ．3D ．22．函数2()log (1)f x x π=+的定义域是A ．(1,1)-B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．R 3．若14()()25x x<，则x 的取值范围是A ．(,)-∞+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(,0)-∞ 4．假设函数()b f x kx =+是增函数，则A ．0k >B ．0k <C ．0b <D ．0b > 5．若cos θ与tan θ同号，则θ属于 A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第一、四象限角D ．第一、二象限角6．垂直于同一个平面的两个平面一定 A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．前三种情况都有可能7．等差数列{}n a 中，若35a =，59a =，则6S 等于A ．38B ．36C ．48D ．46 8．抛物线2160y x +=的焦点坐标是A ．(2,0)-B ．(0,4)-C ．(0,2)-D ．(2,0)9．已知向量 (3,1)-a =， (1,2)--b =， (1,1)-c =，则a +b +c 模长等于A ．5B ．4C ．3D ．2数学试题卷 第 2 页（共 3 页）10．4的展开式中，常数项是 A ．5 B ．8 C ．6 D ．12二、填空题（每小题3分，共24分)11．不等式2(2)10x --<的解集是 .12．若11(1)322x f x x +=⋅+，则(0)f = . 13．已知3sin(21)2y x =--+，则函数y 的最大值等于 .14．cos 20cos70sin 20sin 70-= .15．直线360x -=的倾斜角是 度.16．三个平面最多把空间分成 部分.17．向量a 的模为3，向量b 的模为2，二者的夹角为60，则二者的内积等于 .18．若随机事件A 与随机事件B 为互斥事件，且()()0.5P A P B +=，则()P A B = .三、计算题（每小题8分，共24分）19．设2()2()36f x f x x +-=-.（1）求函数()f x 的表达式；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =和21n n S a =-(其中n N *∈). （1）求数列{}n a 的前四项；（2）求数列{}n a 的通项公式.数学试题卷 第 3 页（共 3 页） 21．三个运动员练习篮球投篮，每个运动员投进的概率都是12，求 （1）三人都同时是投进的概率;（2）至少有两个人投进的概率.四、证明题（每小题6分，共12分）22．已知sin 2cos 0θθ-=，证明: 2222sin 2sin cos 5cos 1sin cos θθθθθθ+-=- 23．已知正方体1111ABCD A BC D -棱长是a ，求证:三角形1ACB 为等边三角形.五、综合题（10分）24．已知直线l ：30x y a ++=，它过圆22240x y x y ++-=的圆心（1）求a 的值，并写出直线l 的方程;（2）求出直线l 与两坐标轴的交点A 、B 的坐标，并求A 、B 两点间的距离.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)一.选择题. 1.【答案】B 【解析】由题可得()111122z i i i z i zi z i i z i z i +-=⇒+=⇒-=-⇒==--,故选B. 【考点定位】复数2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即123p p p ==,故选D. 【考点定位】抽样调查3.【答案】C【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=且()()111f g ---=()()111f g ⇒+=,则()()()()()()1131211111f g f f g g -==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=,故选C.【考点定位】奇偶性4.【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭, 则2n =时, ()()2532351121022022nn n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选A.【考点定位】二项式定理5.【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <,所以命题q 为假命题,所以②③为真命题,故选C. 【考点定位】命题真假 逻辑连接词6.【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]0,2t ∈时,[]33,1S t =-∈--,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-,故选D.【考点定位】程序框图 二次函数7.【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则862r r r -+-==,故选B.【考点定位】三视图 内切圆 球8.【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=,故选D.【考点定位】实际应用题9.【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++,因为()232sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭, 所以23k πϕπ=+或423k ππ+,则56x π=是其中一条对称轴,故选A.【考点定位】三角函数图像 辅助角公式10.【答案】B【解析】由题可得存在()0,0x ∈-∞满足()()0220001ln 2xx e x x a +-=-+-+ ()001ln 2x e x a ⇒--+-0=,当0x 取决于负无穷小时,()001ln 2x e x a --+-趋近于-∞,因为函数()1ln 2x y e x a =--+-在定义域内是单调递增的,所以()01ln 002e a-+->ln a a ⇒<<故选B.【考点定位】指对数函数 方程二.填空题.11.【答案】sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 【解析】曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=,设直线l 的方程为y x b =+,因为弦长2AB =,所以圆心()2,1到直线l 的距离d =,所以圆心在直线l上,故1y x=-sin cos 1sin 42πρθρθρθ⎛⎫⇒=-⇒-=- ⎪⎝⎭,故填sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.【考点定位】极坐标 参数方程12.【答案】32【解析】设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ,则BD DC ==由三角形ABD 的勾股定理可得1AD =,由双割线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=,则直径332AE r =⇒=,故填32.【考点定位】勾股定理 双割线定理13.【答案】3-【解析】由题可得52331233a a ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a ⇒=-,故填3-. 【考点定位】绝对值不等式14.【答案】2-【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2,且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,所以2k ≤,则当(),k k 为最优解时,362k k =-⇒=-,当()4,k k -为最优解时,()24614k k k -+=-⇒=, 因为2k ≤,所以2k =-,故填2-.【考点定位】线性规划15.1【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩1a b ⇒=,1. 【考点定位】抛物线16.【答案】【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则设为()[)()3c o s ,s i n 0,2θθθπ+∈,则(3OA OB OD ++==因为cos sin θθ的最大值为2,所以OA OB OD ++的最大值为=,故填【考点定位】参数方程 圆 三角函数17.某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35,现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲,乙两组的研发是相互独立的. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A 研发成功,预计企业可获得120万元,若新产品B 研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望. 17.【答案】(1)1315(2)详见解析 【解析】(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件,则事件B 为一种新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为23,35, 则()2312211353515P B ⎛⎫⎛⎫=-⨯-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据对立事件概率之间的公式可得()()13115P A P B =-=,所以至少一种产品研发成功的概率为1315. (2)由题可得设该企业可获得利润为ξ,则ξ的取值有0,1200+,1000+,120100+,即0,120,100,220ξ=,由独立试验的概率计算公式可得:()2320113515P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;()23412013515P ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭;()2311001355P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭;()232220355P ξ==⨯=;所以ξ的分布列如下:则数学期望0120100220151555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯322088130=++=. 【考点定位】分布列 期望 独立试验的概率18.如图5,在平面四边形ABCD 中,1,2,AD CD AC ===. (1)求cos CAD ∠的值;(2)若cos 14BAD ∠=-,sin 6CBA ∠=,求BC 的长.18.【答案】(1) cos CAD ∠=(2)67【解析】解:(1)由DAC ∆关于CAD ∠的余弦定理可得222cos 2AD AC DC CAD AD AC +-∠==7=,所以cos 7CAD ∠=. (2)因为BAD ∠为四边形内角,所以s i n 0BAD ∠>且sin 0CAD ∠>,则由正余弦的关系可得s i n BAD ∠=14=且sin 7CAD ∠==,再有正弦的和差角公式可得()sin sin sin cos sin cos BAC BAD CAD BAD CAD CAD BAD ∠=∠-∠=∠∠-∠∠⎛= ⎝⎭=714+7=再由ABC ∆的正弦定理可得 sin sin AC BC CBA BAC =∠∠BC ⇒=⎝⎭67=. 【考点定位】正余弦定理 正余弦之间的关系与和差角公式19.如图6,四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等,11111,AC BD O AC B D O ==,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形. (1)证明:1O O ⊥底面ABCD ;(2)若060CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.19.【答案】(1) 详见解析 (2) 【解析】(1)证明:四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等∴四边形ABCD 和四边形1111A B C D 均为菱形11111,ACBD O AC B D O ==∴1,O O 分别为11,BD B D 中点四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形∴1//OO 11//CC BB 且11,CC AC BB BD ⊥⊥ 11,OO BD OO AC ∴⊥⊥又AC BD O =且,AC BD ⊆底面ABCD1OO ∴⊥底面ABCD .(2)过1O 作1B O 的垂线交1B O 于点E ,连接11,EO EC .不妨设四棱柱1111ABCD A BC D -的边长为2a . 1OO ⊥底面ABCD 且底面ABCD //面1111A B C D 1OO ∴⊥面1111A B C D又11O C ⊆面1111A B C D111OC OO ∴⊥四边形1111A B C D 为菱形1111O C O B ∴⊥又111OC OO ⊥且1111OO O C O =,111,O O O B ⊆面1OB D11O C ∴⊥面1OB D又1B O ⊆面1OB D111B O OC ∴⊥又11BO O E ⊥且1111O C O E O =,111,O C O E ⊆面11O EC 1B O ∴⊥面11O EC∴11O EC ∠为二面角11C OB D --的平面角,则1111cos O EO EC EC ∠=060CBA ∠=且四边形ABCD 为菱形11O C a ∴=,11,BO=112,OO a B O ===, 则111111111221sin 37OO O E B OO B O B Oa a B O a=∠=== 再由11O EC ∆的勾股定理可得1EC===, 则1111cos O E O EC EC ∠===,所以二面角11C OB D --. 【考点定位】线面垂直 二面角20.已知数列{}n a 满足111,nn n a a a p +=-=,*n N ∈.(1)若{}n a 为递增数列,且123,2,3a a a 成等差数列,求P 的值; (2)若12p =,且{}21n a -是递增数列,{}2n a 是递减数列,求数列n a 的通项公式. 20.【答案】(1)13p = (2) 1141,33241,332n n n n a n --⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数【解析】解:(1)因为数列{}n a 为递增数列,所以10n n a a +-≥,则11nnn n n n a a p a a p ++-=⇒-=,分别令1,2n =可得22132,a a p a a p -=-=2231,1a p a p p ⇒=+=++,因为123,2,3a a a 成等差数列,所以21343a a a =+()()224113130p p p p p ⇒+=+++⇒-=13p ⇒=或0,当0p =时,数列n a 为常数数列不符合数列{}n a 是递增数列,所以13p =.(2)由题可得122122212121111,222n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=⇒-=-=,因为{}21n a -是递增数列且{}2n a 是递减数列,所以2121n n a a +->且222n n a a +<,则有22221221222121n n n n n n n n a a a a a a a a +-++-+-<-⎧⇒-<-⎨<⎩,因为 (2)由题可得122122212121111,222n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=⇒-=-=,因为{}21n a -是递增数列且{}2n a 是递减数列,所以21210n n a a+-->且2220n n a a +-<()2220n n a a +⇒-->,两不等式相加可得()21212220n n n n a a a a +-+--->2212221n n n n a a a a -++⇒->-,又因为2212112n n n a a ---=22212112n n n a a +++>-=,所以2210n n a a -->,即2212112n n n a a ---=,同理可得2322212n n n n a a a a +++->-且2322212n n n n a a a a +++-<-,所以212212n n n a a +-=-,则当2n m =()*m N ∈时,21324322123211111,,,,2222m m m a a a a a a a a ---=-=--=-=,这21m -个等式相加可得2113212422111111222222m m m a a --⎛⎫⎛⎫-=+++-+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212222111111111224224113321144m m m -----=-=+--22141332m m a -⇒=+. 当21n m =+时, 2132432122321111,,,,2222m m m a a a a a a a a +-=-=--=-=-,这2m 个等式相加可得2111321242111111222222m m m a a +-⎛⎫⎛⎫-=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21222111111112242243321144m m m---=-=--- 21241332m m a +=-,当0m =时,11a =符合,故212241332m m a --=- 综上1141,33241,332n n n n a n --⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数.【考点定位】叠加法 等差数列 等比数列21.如图7,O 为坐标原点,椭圆1:C ()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲线2:C 22221x y a b -=的左右焦点分别为34,F F ,离心率为2e ,已知122e e =,且241F F =. (1)求12,C C 的方程;(2)过1F 点的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.21.【答案】(1) 2212x y += 2212x y -= (2)4 【解析】解:(1)由题可得12e e ==,且12F F =,因为12e e =,且24F F =,所以22212b a+=且1a ⇒=且1,b a ==所以椭圆1C 方程为2212x y +=,双曲线2C 的方程为2212x y -=. (2)由(1)可得()21,0F -,因为直线AB 不垂直于y 轴,所以设直线AB 的方程为1x ny =-,联立直线与椭圆方程可得()222210n y ny +--=,则222A B n y y n +=+,则22mny n =+,因为(),M M M x y 在直线AB 上,所以2222122M n x n n -=-=++,因为AB 为焦点弦,所以根据焦点弦弦长公式可得21222M AB e x n =+=++)2212n n +=+,则直线PQ 的方程为2M M y n y x y x x =⇒=-,联立直线PQ 与双曲线可得22202n x x ⎛⎫---= ⎪⎝⎭2284x n ⇒=-,22224n y n =-则24022n n ->⇒-<<,所以,P Q 的坐标为,⎛ ⎝,则点,P Q 到直线AB 的距离为221224n n n d n +-=,222224n nn d n --=,因为点,Q P 在直线AB 的两端所以()2221222224n n nn dd n ++-+==+,则四边形APBQ 面积()1212S AB d d =+= =因为2440n ≥->,所以当242n n =⇒=±时, 四边形APBQ 面积取得最小值为4.【考点定位】弦长 双曲线 椭圆 最值22.已知常数0a >,函数()()2ln 12xf x ax x =+-+. (1)讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性;(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ,且()()120f x f x +>,求a 的取值范围. 【答案】(1)详见解析【解析】解:(1)对函数()f x 求导可得()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a ≤时,()'0f x x =⇒=则函数()f x 在区间⎛ ⎝⎭单调递减,在⎫⎪∞⎪⎝⎭单调递增的.(2) 解:(1)对函数()f x 求导可得()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a <时, ()'0f x x =⇒=,则函数()f x 在区间⎛ ⎝⎭单调递减,在⎫⎪+∞⎪⎝⎭单调递增的.(2)函数()f x的定义域为1,a⎛⎫-+∞⎪⎝⎭,由(1)可得当01a<<时,()'0f x x=⇒=,则1a>-⇒12a≠,则()f x的两个极值点,()()12ln1ln1f x f x⎡⎡+=++-+⎣⎣()ln141a a=--+⎡⎤⎣⎦,因为112a<<或12a<<,则12<,则设t=12t⎛⎫<<⎪⎝⎭,则()()()212ln144f x f x t t+=-+,设函数()()2ln144g x x x=-+12t⎛⎫<<⎪⎝⎭, 后续有待更新!!!【考点定位】导数含参二次不等式对数。
湖南省2014年普通高等学校对口招生考试财会类专业综合知识试题本试题卷共五大题，48小题，共8页。
时量150分钟，满分：390分。
一、单选题（本大题共20小题，每小题2分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．根据会计恒等式可知，下列哪类经济业务不会发生A.增产增加，负债不变，所有者权益增加B.资产有增有减，权益不变C.负债减少，所有者权益增加，资产不变D.资产不变，负债减少，所有者权益减少2．固定资产采用加速折旧法主要体现的会计信息质量要求是A.客观性B.谨慎性C.重要性D.可比性3．会计的基本职能是A.核算和管理B.监督和分析C.核算和监督D.核算和评析4．下列经济业务发生，会导致资产和权益项目同时增加的是A.收到投资者以固定资产进行的投资B.收到商业汇票抵偿前欠货款C.向投资者宣告分配利润D.盈余公积转增资本5．对于现金和银行存款之间相互划转的经济业务，通常A.不编制记账凭证B.编制收款凭证C.编制付款凭证D.编制转账凭证6．某企业于2013年7月1日销售产品一批，价款200万元，增值税34万元，收到一张期限为3个月的银行承兑汇票，年利率为8%，票据到期时企业应收回A.200万元B.234万元C.204.68万元D.238.68万元7．下列各项中，不属于对账的具体内容是A.账表核对B.账账核对C.账证核对D.账实核对8．登记账簿时，正确的做法是A.文字或数字的书写必须占满格B.记账时可以使用蓝墨水、圆珠笔或铅笔C.使用活页式账簿时，应先将其装订成册，以防止散失D.在不设借贷等栏的多栏式账页中，登记减少数时，可以使用红色墨水记账9．会计报表的编制依据是A.日记账、总账和各种明细分类账B.日记账和各种明细分类账C.各种明细分类账和总账D.日记账和总账10．对往来款项进行清查，通常采用的方法是A.与记账凭证核对的方法B.函证法C.实地盘存法D.与银行核对账目法11．对于无法查明原因的现金短缺，经批准后应计入A.营业外支出B.销售费用C.管理费用D.资本公积12．甲商场采用售价金额核算法对库存商品进行核算。
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学试题（文史类）第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.1. 设命题01,:2>+∈∀x R x p ，则p ⌝为 A.01,200>+∈∃x R x B. 01,200≤+∈∃x R x C. 01,200<+∈∃x R x D.01,20≤+∈∀x R x2. 已知集合}31|{},2|{<<=>=x x B x x A ，则=B A A. }2|{>x x B. }1|{>x x C. }32|{<<x x D. }31|{<<x x3. 对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本是， 总体中每个个体被抽中的概率分别为321,,p p p ，则A. 321p p p <=B. 132p p p <=C. 231p p p <=D. 321p p p ==4. 下列函数中，既是偶函数又在区间)0,(-∞上单调递增的是A. 21)(x x f = B. 1)(2+=x x f C. 3)(x x f = D. x x f -=2)(5. 在区间]3,2[-上随机选取一个数X ，则1≤X 的概率为 A. 54 B. 53 C. 52 D. 51 6. 若圆1:221=+y x C 与圆086:222=+--+m y x y x C 外切，则=mA. 21B. 19C. 9D.11- 7. 执行如图1所示的程序框图，如果输入的]2,2[-∈t ，则输出的S 属于 A. ]2,6[-- B. ]1,5[-- C. ]5,4[- D. ]6,3[-绝密★启用前8. 一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于A. 1B. 2C. 3D. 49. 若1021<<<x x ，则 A. 12ln ln 12x x e e x x ->- B. 12ln ln 12x x e e x x -<-C. 2112x x e x e x >D. 2112x x e x e x < 10. 在平面直角坐标系中，O 为原点，)0,3(),3,0(),0,1(C B A -，动点D 满足1||=CD ，则||OD OB OA ++的 取值范围是A.]6,4[ B. ]119,119[+- C. ]72,32[ D. ]17,17[+-第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 复数23i i+（i 为虚数单位）的实部等于__________________.12. 在平面直角坐标系中，曲线t t y t x C (221222:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=为参数) 的普通方程为__________________. 13. 若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤14y y x x y ，则y x z +=2的最大值为___________.14. 平面上一机器人在行进中始终保持与点)0,1(F 的距离和到直线1-=x 的距离相等.若机器人接触不到过点)0,1(-P 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是_____________.15. 若ax ex f x ++=)1ln()(3是偶函数，则=a _____________.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分) 已知数列}{n a 的前n 项和.,2*2N n n n S n ∈+=. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n a n a b n ⋅-+=)1(2，求数列}{n b 的前n 2项和.某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(b a b a b a b a b a b a b a b a ),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(b a b a b a b a b a b a b a其中a a ,分别表示甲组研发成功和失败；b b ,分别表示乙组研发成功和失败.（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分. 试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差， 并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率.18. (本小题满分12分)如图3，已知二面角βα--MN 的大小为︒60. 菱形ABCD 在面β内，A 、B 两点在棱MN 上，︒=∠60BAD ， E 是AB 的中点，⊥DO 面α，垂足为O .（Ⅰ）证明：⊥AB 平面ODE ； （Ⅱ）求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.19. (本小题满分13分)如图4，在平面四边形ABCD 中，3,32,2,7,1,ππ=∠=∠===⊥BEC ADC EA EC DE AB DA . （Ⅰ）若CED ∠sin 的值；（Ⅱ）求BE 的长.20. (本小题满分13分)如图5，O 为坐标原点，双曲线)0,0(1:112122121>>=-b a b y a x C 和椭圆)0(1:222222222>>=+b a b y a x C 均过点)1,332(P ， 且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.（Ⅰ）求21,C C 的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于B A ,两点，与2C 只有一个公共点，且||||AB OB OA =+？证明你的结论.已知函数).0(1sin cos )(>+-=x x x x x f （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）记i x 为)(x f 的从小到大的第)(*N i i ∈个零点，证明：对一切*N n ∈，有.3211122221<+⋅⋅⋅++n x x x。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)一.选择题.1.【答案】B 【解析】由题可得()111122z i i i z i zi z i i z i z i +-=⇒+=⇒-=-⇒==--,故选B. 【考点定位】复数2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即123p p p ==,故选D.【考点定位】抽样调查3.【答案】C【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=且()()111f g ---=()()111f g ⇒+=,则()()()()()()1131211111f g f f g g -==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=,故选C. 【考点定位】奇偶性4.【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭, 则2n =时, ()()2532351121022022n n nC x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选A. 【考点定位】二项式定理5.【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <,所以命题q 为假命题,所以②③为真命题,故选C.【考点定位】命题真假 逻辑连接词6.【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]0,2t ∈时 ,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-,故选D.【考点定位】程序框图 二次函数7.【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则862r r r -+-⇒=,故选B.【考点定位】三视图 内切圆 球8.【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=,故选D.【考点定位】实际应用题9.【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++, 因为()2302sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭, 则56x π=是其中一条对称轴,故选A. 【考点定位】三角函数图像 辅助角公式10.【答案】B【解析】由题可得存在()0,0x ∈-∞满足()()0220001ln 2xx e x x a +-=-+-+ ()001ln 2x e x a ⇒--+-0=,当0x 取决于负无穷小时,()001ln 2x e x a --+-趋近于-∞,因为函数()1ln 2x y e x a =--+-在定义域内是单调递增的,所以ln a a <⇒<,故选B.【考点定位】指对数函数 方程二.填空题. 11.【答案】sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 【解析】曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=,设直线l 的方程为y x b =+,因为弦长2AB =,所以圆心()2,1到直线l 的距离0d =,所以圆心在直线l 上,故1y x=-sin cos 1sin 42πρθρθρθ⎛⎫⇒=-⇒-=- ⎪⎝⎭,故填sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.【考点定位】极坐标 参数方程12.【答案】32【解析】设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ,则BD DC ==由三角形ABD 的勾股定理可得1AD =,由双割线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=,则直径332AE r =⇒=,故填32. 【考点定位】勾股定理 双割线定理13.【答案】3- 【解析】由题可得52331233a a ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a ⇒=-,故填3-. 【考点定位】绝对值不等式14.【答案】2-【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2,且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,所以2k ≤,则当(),k k 为最优解时,362k k =-⇒=-,当()4,k k -为最优解时,()24614k k k -+=-⇒=,故填2-.【考点定位】线性规划15.1【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则2222a pa a b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩1a b ⇒=,故填1.【考点定位】抛物线16.【答案】【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则设为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈,则(3OA OB OD ++=cos θθ的最大值为2,++的最大值为=,故填所以OA OB OD【考点定位】参数方程圆三角函数。
【关键字】统一2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南）卷数学（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．满足（为虚数单位）的复数（）（A）（B）（C）（D）2．对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是，则（）（A）（B）（C）（D）3．分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（）（A）（B）（C）1 （D）34．的展开式中的系数是（）（A）（B）0 （C）5 （D）205．已知命题：若，则；命题：若，则。
在命题① ②③ ④中，真命题是（）（A）①③ （B）①④（C）②③ （D）②④6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（）（A）（B）（C）（D）7．一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 8．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）（A）（B）（C）（D）9．已知函数，且，则函数的图象的一条对称轴是（）（A）（B）（C）（D）10．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）二．填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线（为参数）交于两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是_________________。
12．如图3，已知是的两条弦，，，，则的半径等于__________。
13．若关于的不等式的解集为，则。
（二）必做题（14-16题）14．若变量满足约束条件，且的最小值为，则_____。
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题2:,10p x R x ∀∈+>，则p ⌝为（ ）200.,10A x R x ∃∈+> 200.,10B x R x ∃∈+≤ 200.,10C x R x ∃∈+< 2.,10D x R x ∀∈+≤2.已知集合{|2},{|13}A x x B x x =>=<<，则AB =（ ）.{|2}A x x > .{|1}B x x > .{|23}C x x << .{|13}D x x <<3.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ）123.A p p p =< 231.B p p p =< 132.C p p p =< 123.D p p p ==4.下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ）21.()A f x x=2.()1B f x x =+3.()C f x x = .()2xD f x -=5.在区间[2,3]-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为（ ）4.5A 3.5B 2.5C 1.5D6.若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -7.执行如图1所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ） A.[]6,2-- B.[]5,1-- C.[]4,5- D.[]3,6-8.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.49.若1201x x <<<，则（ ）A.2121ln ln x x e e x x ->-B.2121ln ln x x e e x x -<-C.1221x x x e x e >D.1221x x x e x e <10.在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，(0B ,()30C ，，动点D 满足1CD =, 则OA OB OD ++的取值范围是（ ）A.[]46，B.⎤⎦C.⎡⎣D.⎤⎦二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数23ii+（i 为虚数单位）的实部等于_________.12.在平面直角坐标系中，曲线2:1x C y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为___________.13.若变量y x ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤14y y x x y ，则y x z +=2的最大值为_________.【考点定位】线性规划14.平面上以机器人在行进中始终保持与点()01，F 的距离和到直线1-=x 的距离相等.若机器人接触不到过点()01，-P 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是___________.15.若()()ax ex f x++=1ln 3是偶函数，则=a ____________.()()33ln 13ln 1x x e x ax e ax ⇒+--=++3322x ax a ⇒-=⇒=-,故填32-.【考点定位】奇偶性 对数运算三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()n na n ab n12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.21222n n T n +⇒=+-故数列{}n b 的前2n 项和为21222n n T n +=+-【考点定位】数列前n 项和 等差数列 等比数列 分组求和法17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：()()()()()()()()()()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中a a，分别表示甲组研发成功和失败；b b ，分别表示乙组研发成功和失败. (1)若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率.(2)记{}E =恰有一组研发成功,在所有抽的的15个结果中,恰有一组研发成功的结果如下:()()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b ，，，，，，，，，，，，，共7个,所以根据古典概型的概率计算公式可得()715P E =. 【考点定位】概率 平均数 方差18.（本小题满分12分）如图3，已知二面角MN αβ--的大小为60，菱形ABCD 在面β内，,A B 两点在棱MN 上， 60BAD ∠=，E 是AB 的中点，DO⊥面α，垂足为O . (1)证明：AB⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值.19.（本小题满分13分）如图4，在平面四边形ABCD 中，32,2,7,1,π=∠===⊥ADC EA EC DE AB DA ,3π=∠BEC (1)求CED ∠sin 的值；(2)求BE 的长【答案】(1)(2)【解析】【考点定位】正余弦定理 正余弦和差角公式 直角三角形 正余弦之间的关系20. （本小题满分13分）如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求12,C C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论.于是222222OA OB OA OB OA OB OA OB++≠+-,即22OA OB OA OB+≠-,所以OA OB AB +≠,综上不存在符合题目条件的直线l .【考点定位】椭圆 双曲线 向量 向量内积21.（本小题满分13分）已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>. （1）求()f x 的单调区间； （2）记i x 为()f x 的从小到大的第(*)i i N ∈个零点，证明：对一切*n N ∈，有2221211123n x x x +++<.。
……○…………装…………○…………订学校:___________姓名：___________班级：___________……○…………装…………○…………订2014年高考理数真题试卷（湖南卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.（ 12 x ﹣2y ）5的展开式中x 2y 3的系数是（ ）A.﹣20B.﹣5C.5D.202.执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S 属于（ ）A.[﹣6，﹣2]B.[﹣5，﹣1]C.[﹣4，5]D.[﹣3，6]3.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）答案第2页，总13页……○…………线…………○题※※……○…………线…………○A.1B.2C.3D.44.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ） A.p+q2B.(p+1)(q+1)2C.pqD.√(p +1)(q +1)﹣15.已知函数f （x ）=sin （x ﹣φ），且 ∫02π3f （x ）dx=0，则函数f （x ）的图象的一条对称轴是（ ） A.x= 5π6 B.x= 7π12 C.x= π3 D.x= π6第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）6.在平面直角坐标系中，倾斜角为 π4 的直线l 与曲线C ： {x =2+cosαy =1+sinα，（α为参数）交于A ，B 两点，且|AB|=2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是 ．○…………外………○…………订…………○……线…………○…班级：___________考号：___________○…………内………○…………订…………○……线…………○…7.如图所示，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO⊥BC，AB= √3 ，BC=2 √2 ，则⊙O 的半径等于 ．8.若变量x ，y 满足约束条件 {y ≤xx +y ≤4y ≥k，且z=2x+y 的最小值为﹣6，则k=9.如图所示，正方形ABCD 与正方形DEFG 的边长分别为a ，b （a ＜b ），原点O 为AD 的中点，抛物线y 2=2px （p ＞0）经过C ，F 两点，则 ba = ．10.在平面直角坐标系中，O 为原点，A （﹣1，0），B （0， √3 ），C （3，0），动点D 满足| CD → |=1，则| OA → + OB → + OD →|的最大值是 ．三、解答题（题型注释）11.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 23 和 35 ．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立． （1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望． 12.如图，在平面四边形ABCD 中，AD=1，CD=2，AC= √7 ．答案第4页，总13页………○…………装…………○…………………○…………线……※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线答※※题※※………○…………装…………○…………………○…………线……（1）求cos∠CAD 的值；（2）若cos∠BAD=﹣ √714 ，sin∠CBA=√216，求BC 的长．13.如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A 1C 1∩B 1D 1=O 1 ， 四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．（1）证明：O 1O ⊥底面ABCD ；（2）若∠CBA=60°，求二面角C 1﹣OB 1﹣D 的余弦值． 14.已知数列{a n }满足a 1=1，|a n+1﹣a n |=p n ， n∈N * ．（1）若{a n }是递增数列，且a 1 ， 2a 2 ， 3a 3成等差数列，求p 的值；（2）若p= 12 ，且{a 2n ﹣1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式． 15.如图，O 为坐标原点，椭圆C 1： x 2a 2 + y 2b2 =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1 ， F 2 ，离心率为e 1；双曲线C 2： x 2a 2 ﹣ y 2b2 =1的左、右焦点分别为F 3 ， F 4 ， 离心率为e 2 ， 已知e 1e 2= √32 ，且|F 2F 4|= √3 ﹣1．（1）求C 1、C 2的方程； （2）过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．……外…………○…………装…………○…………线……学校:___________姓名：___________……内…………○…………装…………○…………线……参数答案1.A【解析】1.解：由二项式定理可知：T r+1= ，要求解（ 12 x ﹣2y ）5的展开式中x 2y 3的系数， 所以r=3， 所求系数为：=﹣20．故选：A ． 2.D【解析】2.解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t ﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t 2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t ﹣3∈（﹣2，6]，综上：S=t ﹣3∈[﹣3，6]， 故选：D【考点精析】掌握程序框图是解答本题的根本，需要知道程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形;一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明． 3.B【解析】3.解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ，则 8﹣r+6﹣r= √82+62， ∴r=2． 故选：B ．【考点精析】解答此题的关键在于理解由三视图求面积、体积的相关知识，掌握求体积的关键是求出底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面的面积，以及对球内接多面体的理解，了解球的内接正方体的对角线等于球直径;长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长． 4.D【解析】4.解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为x ， 2答案第6页，总13页…装…………○…………订…………○…………线…不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…装…………○…………订…………○…………线…解得x= √(p +1)(q +1) ﹣1，故选：D ． 5.A【解析】5.解：∵函数f （x ）=sin （x ﹣φ），∫2π3f （x ）dx=﹣cos （x ﹣φ） |02π3=﹣cos （ 2π3 ﹣φ）﹣[﹣cos （﹣φ）]= 32 cosφ﹣√32sinφ= √3 cos （φ+ π6 ）=0， ∴φ+ π6 =kπ+ π2 ，k∈z，即 φ=kπ+ π3 ，k∈z，故可取φ= π3 ，f （x ）=sin （x ﹣ π3 ）．令x ﹣ π3 =kπ+ π2 ，求得 x=kπ+ 5π6 ，k∈Z， 则函数f （x ）的图象的一条对称轴为 x= 5π6 ，故选：A ．【考点精析】根据题目的已知条件，利用定积分的概念和函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限；图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．6.ρ（cosθ﹣sinθ）=1【解析】6.解：设倾斜角为 π4 的直线l 的方程为y=x+b ， 曲线C ： {x =2+cosαy =1+sinα（α为参数），即 （x ﹣2）2+（y ﹣1）2=1，表示以（2，1）为圆心、半径等于1的圆．由于弦长|AB|=2，正好等于直径，故圆心（2，1）在直线l 上，故有1=2+b ，解得b=﹣1， 故直线l 的方程为 y=x ﹣1，即x ﹣y ﹣1=0．再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0，即ρ（cosθ﹣sinθ）=1所以答案是：ρ（cosθ﹣sinθ）=1． 7.1.5○…………外…………………装…………○…………订…………○………__________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………………装…………○…………订…………○………【解析】7.解：设垂足为D ，⊙O 的半径等于R ，则 ∵AB，BC 是⊙O 的两条弦，AO⊥BC，AB= √3 ，BC=2 √2，∴AD=1，∴R 2=2+（R ﹣1）2 ， ∴R=1.5．所以答案是：1.5 8.-2【解析】8.解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分） 由z=2x+y ，得y=﹣2x+z ， 平移直线y=﹣2x+z ，由图象可知当直线y=﹣2x+z 经过点A 时，直线y=﹣2x+z 的截距最小，此时z 最小．目标函数为2x+y=﹣6， 由 {2x +y =−6y =x ，解得 {x =−2y =−2，即A （﹣2，﹣2），∵点A 也在直线y=k 上， ∴k=﹣2，所以答案是：﹣2．9.√2+1【解析】9.解：由题意可得 C(a2,−a) ， F(a2+b,b) ，将C ，F 两点的坐标分别代入抛物线方程y 2=2px 中，得∵a＞0，b ＞0，p ＞0，两式相比消去p 得a b2=1a+2b ，化简整理得a 2+2ab ﹣b 2=0，此式可看作是关于a 的一元二次方程，由求根公式得，答案第8页，总13页取 a =(√2−1)b ， 从而 ba =√2−1=√2+1 ，所以答案是： √2+1 ． 10.√7+1【解析】10.解：由题意可得，点D 在以C （3，0）为圆心的单位圆上，设点D 的坐标为（3+cosθ，sinθ），则| OA →+ OB →+ OD →|≤| OA →+ OB →+ OC →|+| CD →|= √7 +1． ∴| OA →+ OB →+ OD →|的最大值是 √7 +1， 所以答案是： √7．11.（1）解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件，则事件B 为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为 23 和 35 ． 则P （B ）= (1−23)×(1−35)=13×25=215 ，再根据对立事件的概率之间的公式可得P （A ）=1﹣P （B ）= 1315 ， 故至少有一种新产品研发成功的概率为 1315 ．（2）解：由题可得设企业可获得利润为X ，则X 的取值有0，120，100，220， 由独立试验的概率计算公式可得，P(X =0)=(1−23)×(1−35)=215，P(X =120)=23×(1−35)=415 ，P(X =100)=(1−23)×35=15， P(X =220)=23×35=25，则数学期望E （X ）= 0×215+120×415+100×15+220×25=140．【解析】11.（1）利用对立事件的概率公式，计算即可，（2）求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可． 【考点精析】通过灵活运用离散型随机变量及其分布列，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x1,x2,.....,xi ,......,xn ，X 取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列即可以解答此题． 12.（1）解： cos∠CAD= AC 2+AD 2−CD 22⋅AD⋅AC = 2×1×√7 = 2√77 ．（2）解：∵cos∠BAD=﹣ √714 ， ∴sin∠BAD= √1−7196 = 3√2114， ∵cos∠CAD=2√77， ∴sin∠CAD= √1−47 =√217∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=3√2114 × 2√77+ √714×√217= √32 ，∴由正弦定理知 BCsib∠BAC = ACsib∠ABC ， ∴BC= AC sib∠ABC •sin∠BAC= √7√216× √32 =3【解析】12.（1）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD 的值．（2）根据cos∠CAD，cos∠BAD 的值分别，求得sin∠BAD 和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC 的值，最后利用正弦定理求得BC ． 13.（1）证明：∵四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等， ∴四边形ABCD 为菱形， 又∵AC∩BD=O， 故O 为BD 的中点，同理O 1也是B 1D 1的中点，又∵四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形， ∴O 1O∥CC 1∥BB 1且CC 1⊥AC，BB 1⊥BD， ∴OO 1⊥AC，OO 1⊥BD，又∵AC∩BD=O，AC ，BD ⊂平面ABCD ， ∴O 1O⊥底面ABCD ；答案第10页，总13页…………○…………线…答※※题※※…………○…………线…∴AC⊥BD，又∵O 1O⊥底面ABCD ， ∴OB，OC ，OO 1两两垂直，如图，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系O ﹣xyz ．设AB=2，∵∠CBA=60°，∴OA=OC=1，OB=OD= √3 ，则O （0，0，0），B 1（ √3,0,2 ），C 1（0，1，2）易知， n 1→=（0，1，0）是平面BDD 1B 1的一个法向量，设 n 2→=（x ，y ，z ）是平面OB 1C 1的一个法向量，则 {n 2→⋅OB 1→=0n 2→⋅OC 1→=0，即 {√3x +2z =0y +2z =0取z=﹣ √3 ，则x=2，y=2 √3 ，所以 n 2→=（2，2 √3 ，﹣ √3 ）设二面角C 1﹣OB 1﹣D 的大小为θ，易知θ是锐角，于是：cosθ=|cos＜ n 1→ ， n 2→ ＞|=| n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||= √3√19 = 2√5719 ，故二面角C 1﹣OB 1﹣D 的余弦值为2√5719．【解析】13.（1）由已知中，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A 1C 1∩B 1D 1=O 1 ， 四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．可得O 1O∥CC 1∥BB 1且CC 1⊥AC，BB 1⊥BD，进而OO 1⊥AC，OO 1⊥BD，再由线面垂直的判定定理得到O 1O⊥底面ABCD ；（2）设四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的所有棱长均为2a ，设AB 为2，若∠CBA=60°，OA=OC=1，OB=OD= √3 ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OO 1为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面BDD 1B 1和平面OB 1C 1的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值．【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两第11页，总13页条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想． 14.（1）解：∵数列{a n }是递增数列，∴a n+1﹣a n ＞0， 则|a n+1﹣a n |=p n 化为：a n+1﹣a n =p n ，分别令n=1，2可得，a 2﹣a 1=p ， a 3−a 2=p 2 ， 即a 2=1+p ， a 3=p 2+p +1 ，∵a 1，2a 2，3a 3成等差数列，∴4a 2=a 1+3a 3， 即4（1+p ）=1+3（p 2+p+1）， 化简得3p 2﹣p=0，解得 p =13 或0，当p=0时，数列a n 为常数数列，不符合数列{a n }是递增数列， ∴ p =13 ；（2）解：由题意可得，|a n+1﹣a n |= 12n ， 则|a 2n ﹣a 2n ﹣1|=122n−1 ，|a 2n+2﹣a 2n+1|= 122n+1 ，∵数列{a 2n ﹣1}是递增数列，且{a 2n }是递减数列， ∴a 2n+1﹣a 2n ﹣1＞0，且a 2n+2﹣a 2n ＜0， 则﹣（a 2n+2﹣a 2n ）＞0，两不等式相加得a 2n+1﹣a 2n ﹣1﹣（a 2n+2﹣a 2n ）＞0，即a 2n+1﹣a 2n+2＞a 2n ﹣1﹣a 2n ， 又∵|a 2n ﹣a 2n ﹣1|=122n−1 ＞|a 2n+2﹣a 2n+1|=122n+1，∴a 2n ﹣a 2n ﹣1＞0，即 a 2n −a 2n−1=122n−1 ，同理可得：a 2n+3﹣a 2n+2＞a 2n+1﹣a 2n ，即|a 2n+3﹣a 2n+2|＜|a 2n+1﹣a 2n |， 则a 2n+1﹣a 2n = −12当数列{a n }的项数为偶数时，令n=2m （m∈N *），a 2−a 1=12 ， a 3−a 2=−122 ， a 4−a 3=123 ，…， a 2m −a 2m−1=122m−1 ，这2m ﹣1个等式相加可得， a 2m −a 1=(121+123+⋯+122m−1)−(122+124+⋯+122m−2)= 12(1−14m )1−14−14(1−14m−1)1−14= 13+13⋅22m−1 ，则 a 2m =43+13⋅22m−1 ；当数列{a n }的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N *）a 2−a 1=12 ， a 3−a 2=−122 ， a 4−a 3=123 ，…， a 2m+1−a 2m =122m，答案第12页，总13页………○…………订……※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※………○…………订……这2m 个等式相加可得， a 2m+1−a 1=(121+123+⋯+122m−1)−(122+124+⋯+122m)= 12(1−14m )1−14 ﹣ 14(1−14m )1−14= 13−13⋅22m，则 a 2m+1=43−13⋅22m，且当m=0时a 1=1符合，故 a n =43−13⋅2n−1，综上得， {43−13⋅2n−1,n 为奇数43+13⋅2n−1,n 为偶数【解析】14.（1）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n=1，2代入求出a 2和a 3 ， 再由等差中项的性质列出关于p 的方程求解，利用“{a n }是递增数列”对求出的p 的值取舍；（2）根据数列的单调性和式子“|a n+1﹣a n |=p n ”、不等式的可加性，求出 a 2n −a 2n−1=12n−1和a 2n+1﹣a 2n = −122n，再对数列{a n }的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n 项和公式，求出数列{a n }的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．【考点精析】利用数列的前n 项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{a n }的前n 项和s n 与通项a n 的关系；如果数列a n 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式． 15.（1）解：由题意可知， e 1=√1−b 2a 2,e 2=√1+b2a 2 ，且 |F 1F 2|=2√a 2−b 2 ．∵e 1e 2= √32 ，且|F 2F 4|= √3 ﹣1．∴ √1−b a 2⋅√1+b a2=√32，且√a 2+b 2−√a 2−b 2=√3−1 ． 解得： a =√2,b =1 ．∴椭圆C 1的方程为 x 22+y 2=1 ，双曲线C 2的方程为 x 22−y 2=1 ；（2）解：由（1）可得F 1（﹣1，0）． ∵直线AB 不垂直于y 轴， ∴设AB 的方程为x=ny ﹣1， 联立 {x =ny −1x 22+y 2=1，得（n 2+2）y 2﹣2ny ﹣1=0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0），第13页，总13页则 y 1+y 2=2n n 2+2,y 0=n n 2+2 ， y 1y 2=−1n 2+2 ． 则 |AB|=√1+n 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2= √1+n 2√(2n n 2+2)2+4n 2+2 = 2√2(n 2+1)n 2+2 ．∵M 在直线AB 上， ∴ x 0=n 2n 2+2−1=−2n 2+2 ．直线PQ 的方程为 y =y 0x 0x =−n2x ，联立 {y =−n2xx 22−y 2=1 ，得 x 2−2×(−n2x)2−2=0 ． 解得 x 2=42−n 2，代入 y =−n 2x 得 y 2=n 22−n 2． 由2﹣n 2＞0，得﹣ √2 ＜n ＜ √2． ∴P，Q 的坐标分别为 (−√42−n ,√n 22−n ),(√42−n ,−√n 22−n ) ，则P ，Q 到AB 的距离分别为： d 1=|n⋅√n 22−n 2+√42−n 2−1|2 ， d 2=|−n⋅√n 22−n 2−√42−n 2−1|2 ．∵P，Q 在直线A ，B 的两端，∴ d 1+d 2=|2n⋅√n 22−n 2+2√42−n 2|2 ．则四边形APBQ 的面积S= 12 |AB| (d 1+d 2)=2√2⋅√32−n 2−1 ．∴当n 2=0，即n=0时，四边形APBQ 面积取得最小值2．【解析】15.（1）由斜率公式写出e 1 ， e 2 ， 把双曲线的焦点用含有a ，b 的代数式表示，结合已知条件列关于a ，b 的方程组求解a ，b 的值，则圆锥曲线方程可求；（2）设出AB 所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB 中点M 的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB 的长度，写出PQ 的方程，和双曲线联立后解出P ，Q 的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P ，Q 到AB 的距离，然后代入代入三角形面积公式得四边形APBQ 的面积，再由关于n 的函数的单调性求得最值．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)一.选择题.1.【答案】B 【解析】由题可得()111122z i i i z i zi z i i z i z i +-=⇒+=⇒-=-⇒==--,故选B. 【考点定位】复数2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即123p p p ==,故选D.【考点定位】抽样调查3.【答案】C【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=且()()111f g ---=()()111f g ⇒+=,则()()()()()()1131211111f g f f g g -==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=,故选C. 【考点定位】奇偶性4.【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭, 则2n =时, ()()2532351121022022n n nC x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选A. 【考点定位】二项式定理5.【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <,所以命题q 为假命题,所以②③为真命题,故选C.【考点定位】命题真假 逻辑连接词6.【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]0,2t ∈时 ,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-,故选D.【考点定位】程序框图 二次函数7.【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则862r r r -+-⇒=,故选B.【考点定位】三视图 内切圆 球8.【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=,故选D.【考点定位】实际应用题9.【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++, 因为()2302sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭, 则56x π=是其中一条对称轴,故选A. 【考点定位】三角函数图像 辅助角公式10.【答案】B【解析】由题可得存在()0,0x ∈-∞满足()()0220001ln 2xx e x x a +-=-+-+ ()001ln 2x e x a ⇒--+-0=,当0x 取决于负无穷小时,()001ln 2x e x a --+-趋近于-∞,因为函数()1ln 2x y e x a =--+-在定义域内是单调递增的,所以ln a a <⇒<,故选B.【考点定位】指对数函数 方程二.填空题. 11.【答案】sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 【解析】曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=,设直线l 的方程为y x b =+,因为弦长2AB =,所以圆心()2,1到直线l 的距离0d =,所以圆心在直线l 上,故1y x=-sin cos 1sin 42πρθρθρθ⎛⎫⇒=-⇒-=- ⎪⎝⎭,故填sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.【考点定位】极坐标 参数方程12.【答案】32【解析】设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ,则BD DC ==由三角形ABD 的勾股定理可得1AD =,由双割线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=,则直径332AE r =⇒=,故填32. 【考点定位】勾股定理 双割线定理13.【答案】3- 【解析】由题可得52331233a a ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a ⇒=-,故填3-. 【考点定位】绝对值不等式14.【答案】2-【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2,且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,所以2k ≤,则当(),k k 为最优解时,362k k =-⇒=-,当()4,k k -为最优解时,()24614k k k -+=-⇒=,故填2-.【考点定位】线性规划15.1【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则2222a pa a b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩1a b ⇒=,故填1.【考点定位】抛物线16.【答案】【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则设为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈,则(3OA OB OD ++=cos θθ的最大值为2,++的最大值为=,故填所以OA OB OD【考点定位】参数方程圆三角函数。
数学试题卷 第 1 页（共 3 页）2014年普通高等学校对口招收中等职业学校毕业生考试数学试题卷考生注意：所有答案都要写在答题卡上，写在试题卷上无效一、选择题（每小题3分，共30分。
每小题中只有一个选项是正确的，请将正确选项涂在答题卡上）1．已知集合{}1,1A =-，{}0,2B =，则集合{}|,M z x y x A y B ==+ÎÎ中的元素的个数是A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 2．函数2()log (1)f x x p =+的定义域是A ．(1,1)-B ．(0,)+¥ C ．(1,)+¥D ．R3．若14()()25xx<，则x 的取值范围是A ．(,)-¥+¥B ．(0,)+¥C ．(1,)+¥D ．(,0)-¥4．假设函数()b f x kx =+是增函数，则 A ．0k > B ．0k <C ．0b <D ．0b >5．若cos q 与tan q 同号，则q 属于A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一、四象限角D ．第一、二象限角 6．垂直于同一个平面的两个平面一定A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．前三种情况都有可能 7．等差数列{}n a 中，若35a =，59a =，则6S 等于A ．38 B ．36 C ．48 D ．46 8．抛物线2160y x +=的焦点坐标是A ．(2,0)-B ．(0,4)-C ．(0,2)-D ．(2,0)9．已知向量 (3,1)-a =， (1,2)--b =， (1,1)-c =，则a +b +c 模长等于A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 数学试题卷 第 2 页（共 3 页）10．41()x x-的展开式中，常数项是A ．5B ．8C ．6D ．12二、填空题（每小题3分，共24分)11．不等式2(2)10x --<的解集是 . 12．若11(1)322xf x x+=×+，则(0)f = .13．已知3sin(21)2y x =--+，则函数y 的最大值等于 . 14．cos 20cos70sin 20sin 70-= . 15．直线3360x y +-=的倾斜角是 度. 16．三个平面最多把空间分成 部分.17．向量a 的模为3，向量b 的模为2，二者的夹角为60，则二者的内积等于 .18．若随机事件A 与随机事件B 为互斥事件，且()()0.5P A P B +=，则()P A B = .三、计算题（每小题8分，共24分）19．设2()2()36f x f x x +-=-. （1）求函数()f x 的表达式；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =和21n n S a =-(其中n N *Î). （1）求数列{}n a 的前四项； （2）求数列{}n a 的通项公式.数学试题卷 第 3 页（共 3 页）21．三个运动员练习篮球投篮，每个运动员投进的概率都是12，求（1）三人都同时是投进的概率; （2）至少有两个人投进的概率. 四、证明题（每小题6分，共12分）22．已知sin 2cos 0q q -=，证明:2222sin 2sin cos 5cos 1sin cos q q q qq q+-=-23．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长是a ，求证:三角形1ACB 为等边三角形. 五、综合题（10分）24．已知直线l ：30x y a ++=，它过圆22240x y x y ++-=的圆心 （1）求a 的值，并写出直线l 的方程;（2）求出直线l 与两坐标轴的交点A 、B 的坐标，并求A 、B 两点间的距离.。
