第二部分 控制理论第1章1.1控制系统的引入人类控制自然力量的设计促进人类历史的发展,我们已经广泛的能利用这种量进行在人类本身力量之外的物理进程｡在充满活力的20世纪中,控制系统工程的发展已经使得很多梦想成为了现实｡控制系统工程队我们取得的成就贡献巨大｡回首过去,控制系统工程主要的贡献在机器人,航天驾驶系统包括成功的实现航天器的软着陆,航空飞机自动驾驶与自动控制,船舶与潜水艇控制系统,水翼船､气垫船､高速铁路自动控制系统,现代铁路控制系统｡以上这些类型的控制控制系统和日常生活联系紧密,控制系统是一系列相关的原件在系统运行的基础上相互关联的构成的,此外控制系统存在无人状态下的运行,如飞机自控驾驶,汽车的巡航控制系统｡对于控制系统,特别是工业控制系统,我们通常面对的是一系列的器件,自动控制是一个复合型的学科｡控制工程师的工作需要具有力学,电子学,机械电子,流体力学,结构学,无料的各方面的知识｡计算机在控制策略的执行中具有广泛的应用,并且控制工程的需求带动了信息技术的与软件工程的发展｡通常控制系统的范畴包括开环控制系统与闭环控制系统,两种系统的区别在于是否在系统中加入了闭环反馈装置｡开环控制系统开环控制系统控制硬件形式很简单,图2.1描述了一个单容液位控制系统,图2.1单容液位控制系统我们的控制目标是保持容器的液位h 在水流出流量V 1变化的情况下保持在一定可接受的范围内,可以通过调节入口流量V 2实现｡这个系统不是精确的系统,本系统无法精确地检测输出流量V 2,输入流量V 1以及容器液位高度｡图2.2描述了这个系统存在的输入(期望的液位)与输出(实际液位)之间的简单关系,图2.2液位控制系统框图这种信号流之间的物理关系的描述称为框图｡箭头用来描述输入进入系统,以及输出流出系统｡这个控制系统没有反馈连接,这种反馈缺失用术语描述为开环｡图2.3描述场效应管控制的直流电机控制切断轮恒速运转｡一旦有木料接触到切断轮的表面,将对驱动转矩产生一个干扰转矩,在假定控制信号保持恒定的情况下,导致切割轮的转速下降｡干扰的加入位于电机与负载之间,如图2.4所示｡图2.3 晶闸管控制直流电机图2.4 带有干扰情况下晶闸管控制直流电机干扰转矩,以及其他的输入,对开环系统的控制的精确性产生严重的影响,这种系统由于不存在反馈,所以根本就不可自动的修正输出｡闭环控制系统闭环控制系统源自于输入端的来自于输出端的输出信号的精确复制｡偏差检测器源于输入与输出信号之间偏差｡闭环控制系统一直对输出信号起控制作用直到输出与输入的偏差信号为零｡在闭环控制系统中,输出与输入的任何偏差都能被自动的进行修正｡通过适当的设计,系统将能克服任何干扰以及原件情况的变化对系统所产生的影响｡图2.5单容液位自动控制系统图2.6 闭环控制系统框图图2.5阐述了图2.1所描述的单容液位控制系统的另一种形式｡这个系统可变化的情况下,保持液位h在与期望的精确地误差范围内｡如果以在输出流量V1液位不是设定值,将产生一个偏差电压｡这个电压经过放大加到控制输入流量V2的电机上,通过改变输入流量修正液位,该系统的系统框图如图2.6所示｡由于存在反馈,这种系统被称为闭环系统｡图2.4所示的晶闸管控制直流电机系统的另一种形式即:自动调速系统如图2.7所示｡反馈系统可以在干扰转矩存在的情况下使电机的转速保持相对不变｡该系统的反馈部分由将转速转换为电压信号的转速计充当｡为了输出期望转速与实际转速的偏差信号,差动放大器产生用于改变直流电机励磁电流的偏差信号来修正到期望的输出转速｡图2.7 晶闸管控制直流电动机的自动控制系统反馈控制用于控制位置､转速以及加速度即自动驾驶在民用以及军事工业中是很常见的｡反馈控制系统有他的优点,同样也具有一些列的缺点,应为反馈的存在,会使系统存在震荡,通过适当的设计,可以实现在系统稳定的前提下利用这些优点｡1.2拉普拉斯变换与传递函数拉普拉斯变换拉普拉斯变换对解决一般的描述系统的方程有帮助｡通常将变量的拉普拉斯变换形式写成其大写形式,如:y(t)的拉普拉斯变换形式为Y(s)｡在这些符号中,微分方程中的t代表时域而拉氏变换中的s代表复数域｡对此,有如下定义:式中,L{ }表示拉普拉斯变换,我们用如下形式表示拉普拉斯反变换:需要注意的是:虽然y(t)表示实数方程,但其拉普拉斯变换Y(S)表示的是关于复变函数s的复数方程｡整个过程的完成需要大量的复数运算,单我们不关心进行拉普拉斯反变换所进行的运算｡相反,在对于系统框图的动态描述中,我们将简单的用到一些关于某些不同方程拉普拉斯变换的结论｡拉普拉斯变换是线性运算所以非常适合于描述线性运动系统｡拉普拉斯变换的微分性质如下:式中,y(i)(0)表示i阶微分的初始条件,拉普拉斯变换的积分性质表示如下:拉普拉斯变换还有另外一条使用的性质,这条性质被称作终值定理:规定了二者的极限值｡利用拉普拉斯变换求解方程当线性系统的的物理关系使用微积分方程描述之后,系统的动态特性的分析可以通过解方程以及与初始条件结合而得出｡下例所示的为拉普拉斯变换在求解线性微分方程的应用｡这种按步骤从原始方程消除时间以及时间的微分的最终结果是得出一个关于s的代数方程｡这个方程然后再用来变换为关于时间的方程｡最后一步包含了利用拉普拉斯反变换直接解决问题｡例:考虑如下线性微分方程:设初始条件为:对式(2.7)两边同时进行拉普拉斯变换可得如下方程:带入初始条件并求解Y可得如下方程:如果对式(2.9)进行部分分式展开,可得如下方程:式(2.10)的拉普拉斯反变换为:该结果包含两个部分:1表示稳态性能,-4e-3t+5-2t表示瞬态性能,检验稳态性能,根据式(2.7)所示的终值定理:传递函数的概念为了便于分析与设计,控制系统通常用一组微分方程来描述｡框图是用来直观地描述方程的内部关系的一种图｡每一个原件都是用其自身的传递函数来描述的,传递函数定义为模块的输出与输入的比｡在用传递函数描述模块时,假设模块已处于稳态以及零初始条件｡图2.8线性系统框图考虑图 2.8所示的框图,对于该系统而言,唯一的假设就是系统的输入与输出之间服从线性关系｡并且该系统为定常系统,可用如下形式表示:在零初始条件下,式(2.13)对应的拉普拉斯变换可写为:比C(S)/R(S)称为模块的传递函数,并且完全的描述了系统的特性｡令模块的传递函数表示为G(S),可得:设系统处于零初始状态,则输出的拉普拉斯变换为:基本线性反馈系统如图2.9所示G(s)和H(s)分别表示系统前向通道与反馈通道的传递函数,他们分别构成了串联装置与反馈环｡整个系统的传递函数C(s)/R(s)为:图2.9一般单闭环反馈系统框图第2章2.1控制系统的性能指标工业系统与装置的设计都需要满足一定的性能要求,或者使系统具有一些特定的性能｡这些性能指标必须绝对严格,这对于何时能对手头的工作实现足够好的设计非常有用,出于在更多的复杂､不同､昂贵的系统设计中取得结果几乎不变的较好的质量｡自动控制系统不容马虎｡数量反馈的系统的控制行为包括稳态和暂态响应,这两类相应通常用于描述反馈控制系统的性能指标｡反馈系统的稳态性能通常描述为系统的稳定性和精确性｡稳定性在买描述系统的性能指标之中时极其重要的一部分｡系统必须是稳定的,即使系统受控制信号,闭环内任何部位的其他输入,供电系统变化以及反馈参数变化等情况的影响的时候｡稳态精度是反馈控制系统的另外一个重要的性能｡设计者通常会尽力设计使系统对期望的输入具有最小的偏差｡理论上,对于控制系统,理想的情况是在位置,速度,加速度以及无差的高阶导数变化的情况下维持系统稳定的输出｡这种性能是不实际并且不可实现的｡所幸,对于实际的系统而言,其对精确度的要求没有这么严格｡系统的稳态性能的判断可以根据终值定理完成,该定理的拉普拉斯变换形式已由式(2.6)给出｡我们接下来考虑单位反馈系统,如图2.10所示,稳态误差E(s)对于输入R(s)的关系如下式:图2.10 单位反馈系统稳态误差表达式如下:输入R(s)可以是多种标准信号中的一种,闭环系统的稳态误差可以被认为是开环系统的传递函数的形式｡控制工程常见的输入是位置,速度和加速度｡阶跃,斜坡和抛物线输入分别是这些物理量的简单的数学表达式｡在确定系统的稳态误差时,设系统具有如下标准形式:式中:S N=位于复平面原点处的重极点K=表达式的增益在动态相应情况下,规定出有意义的变量特性是比较困难的,因为模型在动态过程中的相对权重取决于输入,在动态过程中很难判断｡通常使用的性能指标的设置为:将系统置于阶跃相应下｡通过说明三个延迟时间,超调量,调整时间,系统的相应被限制在了图 2.11所示的阴影边界之中｡可以说明包含了这些阶跃响应限制条件系统在任何输入的情况下的动态响应都是可接受的｡动态性能指标的定义如下图所示:图2.11 单位阶跃响应性能指标1.延迟时间:定义响应从0到稳态值的50%所需要的时间称为延时时间,如图2.11所示｡2.超调量:阶跃响应的峰值定义为M pt,达到峰值的时间称为T p,则,超调量百分数定义如下:式中:Css稳态值或终值c(t)3.调整时间:定义为输出均匀的达到位于稳态输出值的两侧或一侧的均匀的范围之内所经历的时间,特别的,此处的范围可指定为:±5%､±2%或者±1%,分别对应的调整时间｡同样,约束条件可以从系统的频率响应得出｡大的带宽意味着系统可以跟随迅速变化的输入(信号包含了其傅里叶变换形式中的高频部分),频率响应中大的谐振峰值意味着动态响应中的欠阻的正弦曲线｡因此,闭环系统频率响应的带宽B和谐振峰值的高度Mp能够大概对应地指示系统的性能指标中的延迟时间和超调量｡这些参数的性能指标限制区域内闭环系统频率响应的量级如图2.12所示｡闭环系统的带宽并不能方便的反应性能指标,响应频率ωr通常仅仅应用于频率响应的领域｡一个可选择的用于限制频域动态响应的方法是规定最小的增益裕量与相角裕量,这种方法仅仅适用于开环系统｡图2.12 闭环频率响应指标以下是三组备选的关于动态响应性能指标的常用设置:1.闭环阶跃响应:延迟时间(或上升时间),超调量,调整时间｡2.闭环频率响应:谐振峰值,带宽或谢振频率｡3.开环频率响应:增益裕量,相角裕量｡2.2 二阶系统由频域观点可知,系统需要考虑闭环系统传递函数分母中s的最高次,时域中,需要考虑描述系统动态特性的被控参数的最高阶导数｡描述系统时,系统的阶数事非常重要的参数｡二阶系统对于控制工程而言非常重要｡这种形式的系统描述了许多控制程序的动态特性,如伺服系统,空间驾驶控制,化工过程,生物工程,飞机控制系统,轮船控制等｡值得关注的是很多控制系统的设计都是基于二级系统进行分析的｡虽然常见的控制系统都是高阶的,但是这些系统可以近似成二阶系统,在合理的精确度范围之内对系统进行近似以实现准备的设计目标｡更加精确的解决方案可以通过二阶系统的性能上延伸来实现｡我们以直流电机通过变速箱拖动负载的系统为例来研究｡这种系统很常见,用一个共同的拉普拉斯变换的数学描述形式描述了机械与电子理论的结合｡该系统的原理图如图 2.13所示｡在该装置中,系统的设定值通过电位器的形式产生｡电位器的角位置θd 通过电位器的传递函数Kp(单位:伏/弧度)产生一个成比例的双极性电压｡这个电压与另外一个电位器测量的负载达到的位置进行比较｡电位计与相加点的系统框图如图2.14所示｡由于电动机需要的电压比从求和点直接获得的电压大,所以偏差电压一般情况下都通过一个放大器接到电动机上｡放大器可看做一个在大多数情来看待,传递函数如图2.14所示｡放大器输出电压驱动电动况下可调节的增益Ka机｡应当知道的是电动机之所以旋转是由于两个磁场相互作用的结果,两个磁场一个是静止的而另外一个是旋转的,电机的调速通过控制这两个磁场其中一个的强度来实现｡静止磁场的产生可以通过给励磁线圈通电流来实现,对于小型电机,可以通过使用永久磁铁来产生静止磁场｡旋转磁场可以通过为电枢线圈通电流产生｡根据基尔霍夫定律以及牛顿第二定律,可得电动机的传递函数如下:为电机转矩系数,单位式中:R为励磁绕组的电阻;L为励磁绕组的电感;Km是:N2/A;J为电机轴的转动惯量;c为总阻尼,包括电机轴的｡图2.13 电机位置负载图2.14 位置控制系统框图引入图2.14右侧,则闭环传递函数可写为:将电位器的KP从该式可以看出关于系统的输入与输出之间关系的微分方程是二阶的;因此位置控制系统是二阶的｡二阶系统的标准形式如下:表示无阻尼自然振荡角频率｡系统可以通过这些量描述｡式中:ζ表示阻尼比,ωn随后的系统分析将使用一些广义上的符号,系统框图如图2.25所示,通过回顾电机控制,位置控制系统将不断地以物理为基础得出结论｡图2.15 广义闭环传递函数阶跃响应我们假设系统处于零初始状态,并且输入为单位阶跃｡那么R(s)=1/s,输出的拉普拉斯变换可以写成:若系统为欠阻尼,即ζ<1,那么,阻尼自然振荡角频率定义为:接着输出结果为:进行反变换后:式中:同理,可以得出过阻尼(ζ>1)情况下的结果:理解阻尼时的结果(ζ=1):图2.16所示为在ω=1rad/s情况下,不同阻尼比ζ时的输出,识别ζ<1时n的情况很重要,如下图:图2.16 二阶系统阶跃响应1.在ωd时,系统震荡2.系统由于指数-ζωn而衰减震荡,超调量取决于ζ的值3. .4.5.。
