【新教材】新人教A版必修一 三角函数的周期性 学案

2019—2020学年新人教A版必修一三角函数的周期性学案

一、周期函数的定义

1．周期函数的定义：

一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值,都满足f(x＋T）＝f（x)，那么函数f（x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．2．最小正周期：

对于一个周期函数f（x）,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做f(x）的最小正周期．

3．正弦函数、余弦函数的周期:

正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π。

思考1：单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等,都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由．

［提示］由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加（或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同,故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin（2π＋x）＝sin x．故正弦函数、余弦函数也具有周期性．思考2：所有的周期函数都有最小正周期吗？

[提示］并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x）＝C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．

二、正、余弦函数的周期

函数y＝A sin（ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的周期:

一般地，函数y＝A sin（ωx＋φ）及y＝A cos（ωx＋φ)（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝错误!。

思考3:6π是函数y＝sin x(x∈R)的一个周期吗？

［提示]是．

1．思考辨析

(1)周期函数都一定有最小正周期．（）

(2)周期函数的周期只有唯一一个．( ）

（3）周期函数的周期可以有无数多个．（)

［答案］(1)×(2)×(3)√

2．函数y＝错误!sin错误!的周期是________．

2[T＝错误!＝2。］

3．函数f(x）＝－2cos（4x＋30°)的周期是________．

错误![T＝错误!＝错误!.］

求三角函数的周期

【例1】求下列函数的最小正周期．

（1）f(x)＝2sin错误!；

(2）f(x)＝2cos错误!；

（3)y＝｜sin x｜；

(4)f(x）＝－2cos错误!（a≠0）．

思路点拨：利用周期函数的定义或直接利用周期公式求解．[解]（1)T＝错误!＝6π，∴最小正周期为6π.

（2）T＝错误!＝错误!π,∴最小正周期为错误!。

（3)由y＝sin x的周期为2π，可猜想y＝|sin x|的周期应为π.验证：∵｜sin（x＋π）｜＝|－sin x|＝｜sin x｜，

∴由周期函数的定义知y＝｜sin x|的最小正周期是π.

(4）T＝2π

｜2a|

＝错误!，∴最小正周期为错误!.

利用公式求y＝A sin(ωx＋φ)或y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期时，要注意ω的正负，公式可记为

已知f(x）＝cos错误!的最小正周期为错误!，则ω＝______。

±10［由题意可知错误!＝错误!，ω＝±10.]

周期性的应用

[探究问题]

1．若函数f(x)满足f（x＋a)＝错误!(f(x)≠0，a＞0)，则f（x)是否是周期函数？若是，求其最小正周期．

提示：∵f(x＋2a）＝f［(x＋a)＋a］＝错误!＝错误!＝f（x)，

∴T＝2a,即f（x）是周期函数，且最小正周期为2a.

2．若f（x)满足f（x＋a)＝－f(x)(a＞0），则f(x）是周期函数吗?若是，求其最小正周期．

提示:∵f(x＋2a）＝f[（x＋a）＋a］＝－f（x＋a)

＝－[－f（x)］＝f(x），

∴f(x）的周期为2a。

【例2】定义在R上的函数f（x)既是偶函数又是周期函数，若f（x)的最小正周期是π，且当x∈错误!时,f（x）＝sin x，求f错误!的值．

思路点拨：错误!错误!错误!

错误!错误!

［解］∵f(x）的最小正周期是π，

∴f错误!＝f错误!＝f错误!。

∵f（x)是R上的偶函数，

∴f错误!＝f错误!＝sin错误!＝错误!,

∴f错误!＝错误!。

1．(变条件)将本例中的条件“偶函数”改为“奇函数”，其余不变,求f错误!的值．［解]∵f（x)的最小正周期为π，

∴f错误!＝f错误!＝f错误!，

∵f（x)是R上的奇函数,∴f错误!＝－f错误!＝－sin 错误!＝－错误!，∴f错误!＝－错误!。

2．(变结论）本例条件不变,求f错误!的值．

[解]∵f(x)的最小正周期为π，

∴f错误!＝f错误!＝f错误!，

∵f(x)是R上的偶函数，

∴f错误!＝f错误!＝sin 错误!＝错误!。

∴f错误!＝错误!.

函数的周期性与其它性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解。

教师独具

1．本节课重点是理解三角函数的周期性,难点是求正弦函数、余弦函数的周期．

本节课重点掌握求三角函数周期的方法

2．(1）定义法，即利用周期函数的定义求解．

(2)公式法，对形如y＝A sin（ωx＋φ）或y＝A cos(ωx＋φ)（A，ω,φ是常数，A≠0，ω≠0）的函数，T＝错误!。

（3)观察法，即通过观察函数图象求其周期．

三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征,选择适当的方法求解.