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第3.2节 方 差
一、随机变量方差的概念及性质 二、重要概率分布的方差 三、例题讲解 四、矩的概念 五、小结
一、随机变量方差的概念及性质
1. 方差的定义 (定义3.3)
设X是 一 个 随 机 变 量,若E{[X E( X )]2 }存 在, 则 称E{[X E( X ) ]2 } 为 X 的 方 差, 记 为 D( X ) 或
证明
D( X ) E{[X E( X )]2} E{X 2 2XE( X ) [E( X )]2} E( X 2 ) 2E( X )E( X ) [E( X )]2
E( X 2 ) [E( X )]2
E( X 2 ) E2( X ).
4. 方差的性质
(1) 设 C 是常数, 则有 D(C ) 0. 证明 D(C ) E(C 2 ) [E(C )]2 C 2 C 2 0. (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有
P{ X k} n pk (1 p)nk ,(k 0,1,2, ,n),
k
则有
0 p 1.
EX
n
k
k0
n k
p
k
(1
p)nk
n
kn! pk (1 p)nk
k0 k!(n k)!
n
np(n 1)!
pk1(1 p)(n1)(k1)
k1 (k 1)![(n 1) (k 1)]!
结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
bx2
1
d
x
a
b
2
a ba
2
(b a)2 . 12
5. 指数分布
设随机变量 X 服从指数分布,其概率密度为
f
(x)
ex
,
x 0,
其中 0.
0,
x 0.
则有
E( X )
xf
(x)d x
3. 随机变量方差的计算
(1) 利用定义计算
离散型随机变量的方差
D( X ) [ xk E( X )]2 pk ,
k 1
其中 P{ X xk } pk , k 1,2, 是 X 的分布律.
连续型随机变量的方差
D(
X
)
[
x
E(
X
源自文库
)]2
p(
x)
d
x,
其中 p( x) 为X的概率密度.
(2) 利用公式计算 D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2.
二、重要概率分布的方差
1. 两点分布
已知随机变量 X 的分布律为
X1
0
p
p 1 p
则有 E( X ) 1 p 0 q p, D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
12 p 02 (1 p) p2 pq
2. 二项分布
设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为
0 x ex
dx
1/ .
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
0 x2 ex d x 1 / 2
k0 k!
k1 (k 1)!
e e .
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
E( X 2 ) E[X ( X 1) X ] E[X ( X 1)] E( X )
k(k 1) k e
k0
k!
2e
k 2
2ee 2 .
k2 (k 2)!
所以 D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 2 2 .
泊松分布的期望和方差都等于参数 .
4. 均匀分布
设 X ~ U (a,b),其概率密度为
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a x b, 其它.
则有 E( X )
xf ( x)d x
b1
xd x
aba
1 (a b). 2
n
np
(n 1)!
pk1(1 p)(n1)(k1)
k1 (k 1)![(n 1) (k 1)]!
np[ p (1 p)]n1
np.
D( X ) E( X 2 ) [E( x)]2
E( X 2 ) E[X ( X 1) X ]
E[X ( X 1)] E( X )
n
2(X ),即 D( X ) 2( X ) E{[X E( X )]2 }.
称 D( X ) 为 标 准 差 或 均 方 差, 记 为σ( X ).
2. 方差的意义
方差是一个常用来体现随机变量X取 值分散程度的量.如果D(X)值大, 表示X 取 值分散程度大, E(X)的代表性差;而如果 D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中,以 E(X)作为随机变量的代表性好.
(n2 n) p2 np.
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
(n2 n) p2 np (np)2
np(1 p).
3. 泊松分布
设 X ~ P(), 且分布律为
P{ X k} k e , k 0,1,2, , 0.
k! 则有
E( X ) k k e e k1
D(CX ) C 2D( X ). 证明 D(CX ) E{[CX E(CX )]2}
C 2E{[X E( X )]2} C 2D( X ).
(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则 D( X Y ) D( X ) D(Y ).
证明 D( X Y ) E{[(X Y ) E( X Y )]2} E{[X E( X )] [Y E(Y )]}2 E[ X E( X )]2 E[Y E(Y )]2 2E{[X E( X )][Y E(Y )]}
D( X ) D(Y ).
推广 若 X1, X2 , , Xn 相互独立,则有
D(a1X1 a2 X2 an Xn ) a12D( X1) a22D( X2 ) an2D( Xn ). (4) D(X) 0的充要条件是X以概率1取常数 C,即P{X C} 1.
(5) 若C E( X ), 则D( X ) E( X C )2
k(k 1)Cnk pk (1 p)nk np
k0
n k(k 1)n!pk (1 p)nk np
k0 k!(n k)!
n
n(n 1) p2
(n 2)!
pk2 (1 p)(n2)(k2)
k2 (n k)!(k 2)!
np
n(n 1) p2[ p (1 p)]n2 np
