《 一次函数与一次方程的联系》教案 湘教版

第3课时 一次函数与一次方程的联系

1．掌握一次函数与一次方程的联系；(重点)

2．综合应用一次函数与一次方程的关系解决问题．(难点)

一、情境导入

1．下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？

(1)2x ＋1＝3；(2)2x ＋1＝0；(3)2x ＋1＝－1.

2．下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗？

(1)3x ＋2＞2；(2)3x ＋2＜0；(3)3x ＋2＜－1.

二、合作探究

探究点一：一次函数与一次方程

【类型一】 一次函数与一元一次方程

一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，

且k ≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx ＋b ＝0的解为( )

A ．x ＝－1

B ．x ＝2

C ．x ＝0

D ．x ＝3

解析：∵函数y ＝kx ＋b 的图象经过点

(2，3)(0，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，3＝2k ＋b ，解得⎩

⎪⎨⎪

⎧b ＝1，k ＝1，∴

一次函数解析式为y ＝x ＋1，由x ＋1＝0，

解得x ＝－1，故选：A.

方法总结：当某个一次函数的值为0时，

求相应的自变量的值：从图象上看，相当于已知直线y ＝ax ＋b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值．

【类型二】 一次函数与二元一次方程组

直角坐标系中有两条直线：y ＝3

5

x

＋95，y ＝－3

2x ＋6，它们的交点为P ，第一条直线交x 轴于点A ，第二条直线交x 轴于点B .

(1)求A 、B 两点坐标；

(2)用图象法解方程组⎩

⎪⎨⎪⎧5y －3x ＝9，

3x ＋2y ＝12；

(3)求△P AB 的面积．

解析：(1)分别令y ＝0，求出x 的值即可得到点A 、B 的坐标；(2)建立平面直角坐标系，然后作出两直线，交点坐标即为方程组的解；(3)求出AB 的长，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

解：(1)令y ＝0，则35x ＋9

5＝0，解得x ＝

－3，所以点A 的坐标为(－3，0)，令－3

2x

＋6＝0，解得x ＝4，所以点B 的坐标为(4，0)；

(2)如图所示，方程组的解是⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2，

y ＝3；

(3)AB ＝4－(－3)＝4＋3＝7，△P AB 的

面积为12×7×3＝212

.

方法总结：本题考查了二元一次方程(组)与一次函数的关系：两个方程的解的对应点分别在两条直线上，所以作出两个二元一次方程所对应的两条直线，求出交点，则交点的坐标同时满足两个方程，即为方程组的解．

探究点二：运用一次函数与方程解决实际问题

某销售公司推销一种产品，设

x (种)是推销产品的数量，y (元)是付给推销员的月报酬．公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同，看图解答下列问题：

(1)求每种付酬方案y 关于x 的函数表达式；

(2)当选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时，求x 的取值范围．

解析：(1)由图，已知两点，可根据待定系数法列方程，求出函数关系式；

(2)列出方程得出两直线的相交点的坐标，即可知选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时x 的取值范围．

解：(1)设方案一的解析式为y ＝kx ，把(40，1600)代入解析式，可得k ＝40，解析式为y ＝40x ；设方案二的解析式为y ＝ax ＋b ，把(40，1400)和(0，600)代入解析式，可

得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝600，40a ＋b ＝1400，解得：⎩

⎪⎨⎪

⎧a ＝20，b ＝600，解析式为y ＝20x ＋600.

(2)根据两直线相交可得方程40x ＝20x ＋600，解得x ＝30，当x ＞30时，选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬．

方法总结：解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．

三、板书设计

1．一次函数与一元一次方程的联系 2．应用一次函数与一次方程解决实际问题

对于实际问题中数量之间的相互关系，可以用函数的思想去进行描述，研究其内在联系和变化规律．同时让学生体会到一次函数图象上所有点的坐标都符合其对应的二元一次方程，一次函数图象与x 轴交点的横坐标就是其对应的一次方程的解.