12四川(文)1.(2012四川,文1)设集合A={a,b},B={b,c,d},则A∪B=( ).A.{b}B.{b,c,d}C.{a,c,d}D.{a,b,c,d}D A∪B={a,b}∪{b,c,d}={a,b,c,d},故选D.2.(2012四川,文2)(1+x)7的展开式中x2的系数是( ).A.21B.28C.35D.42A因为含x2项是二项式展开式中的第三项T3=27C x2=21x2,所以x2的系数是21,故选A.3.(2012四川,文3)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为( ).A.101B.808C.1212D.2012B四个社区抽取的总人数为12+21+25+43=101,由分层抽样可知,9612=101N,解得N=808.故选B.4.(2012四川,文4)函数y=a x-a(a>0,且a≠1)的图象可能是( ).C当a>1时,y=a x是增函数,-a<-1,则函数y=a x-a的图象与y轴的交点在x轴下方,故选项A不正确;y=a x-a的图象与x轴的交点是(1,0),故选项B不正确;当0<a<1时,y=a x是减函数,y=a x-a的图象与x轴的交点是(1,0),故选项C正确;若0<a<1,则-1<-a<0,y=a x-a的图象与y轴的交点在x轴上方,故选项D不正确.5.(2012四川,文5)如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连结EC,ED,则si n∠CED=( ).A31010B1010C510D515B因为四边形ABCD是正方形,且AE=AD=1,所以∠AED=π4.又因为在Rt△EBC中,EB=2,BC=1,所以sin∠BEC55cos∠BEC255于是sin∠CED=sinπBEC4∠⎛⎫-⎪⎝⎭=sinπ4cos∠BEC-cosπ4si n∠BEC222552 2551010故选B.6.(2012四川,文6)下列命题正确的是( ).A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行C若两条直线和同一平面所成的角相等,则这两条直线可平行、可异面、可相交.选项A 错;如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧,则经过这三个点的平面与这个平面相交,选项B 不正确;如图,平面α∩β=b ,a ∥α,a ∥β,过直线a 作平面ε∩α=c ,过直线a 作平面γ∩β=d ,∵a ∥α,∴a ∥c ,∵a ∥β,∴a ∥d ,∴d ∥c ,∵c ⊂α,d ⊄α,∴d ∥α,又∵d ⊂β,∴d ∥b ,∴a ∥b ,选项C 正确;若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面可平行、可相交,选项D 不正确. 7.(2012四川,文7)设a ,b 都是非零向量.下列四个条件中,使a |a |=b |b |成立的充分条件是( ).A .|a |=|b |且a ∥bB .a =-bC .a ∥bD .a =2bD 若a |a |=b |b |,则向量a |a |与b |b |是方向相同的单位向量,所以a 与b 应共线同向,故选D .8.(2012四川,文8)若变量x ,y 满足约束条件x y 3,x 2y 12,2x y 12,x 0,y 0,-≥-⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩则z =3x +4y 的最大值是( ). A .12B .26C .28D .33C 作出可行域如图五边形OABCD 边界及其内部,作直线l 0:3x +4y =0,平移直线l 0经可行域内点B 时,z 取最大值.由x 2y 12,2x y 12,+=⎧⎨+=⎩得B (4,4),于是z max =3×4+4×4=28,故选C .9.(2012四川,文9)已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点M (2,y 0).若点M 到该抛物线焦3,则|OM |=( A .2B .3C .4 D .5B 由抛物线定义知,p 2+2=3,所以p =2,抛物线方程为y 2=4x .因为点M (2,y 0)在此抛物线上,所以20y =8,于是|OM 204y +3故选B .10.(2012四川,文10)如图,半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内,过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ,过圆O 的直径CD 作与平面α成45°角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B ,该交线上的一点∠BOP =60°,则A ,P 两点间的球面距离为( ). A .R 24B .R 4πC .R 33D .R 3πA 过点A 作AH ⊥平面BCD .∵平面BCD 与底面所成角为45°,AO ⊥平面α,在交线上,点B 与平面α的距离最大,为4.∴点H 在OB 上,且∠AOB =45°.过点H 作HM ⊥OP ,垂足为M ,连接AM ,在等腰直角三角形AOH中,AH =OH 2.在Rt △HOM 中,∠HOP =60°,∴HM =OH 24R .在Rt △AHM 中,AM 4R ,∴sin ∠AOM =44∴cos ∠AOM 4∴∠AOP =4∴A ,P 两点间的球面距离为R 411.(2012四川,文11)方程ay =b 2x 2+c 中的a ,b ,c ∈{-2,0,1,2,3},且a ,b ,c 互不相同.在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( ). A .28条 B .32条 C .36条 D .48条B 因为a ,b 不能为0,先安排a ,b ,有24A 种,c 有13C 种,所以表示的抛物线共有2143A C =36(条).又因为当b =±2时,b 2都为4,所以重复的抛物线有1122C C =4(条).所以这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有36-4=32(条).故选B .12.(2012四川,文12)设函数f (x )=(x -3)3+x -1,{a n }是公差不为0的等差数列,f (a 1)+f (a 2)+…+f (a 7)=14,则a 1+a 2+…+a 7=( ). A .0 B .7 C .14 D .21D 由f (a 1)+f (a 2)+…+f (a 7)=14知,(a 1-3)3+(a 2-3)3+…+(a 7-3)3+(a 1+a 2+…+a 7)-7=14.因为{a n }是公差不为0的等差数列,所以(a 1-3)3+(a 2-3)3+…+(a 7-3)3+7(a 4-3)=0.因为(a 1-3)3+(a 7-3)3=[(a 1-3)+(a 7-3)][(a 1-3)2+(a 7-3)2-(a 1-3)(a 7-3)]=2(a 4-3)2217713(a 3)-(a 3)(a 3)24⎧⎫⎪⎪⎡⎤--+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭=2(a 4-3)22177133a a (a 3)224⎡⎤⎛⎫--+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦, 令222177133a a (a 3)224⎡⎤⎛⎫--+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=M 1>0, 同理(a 2-3)3+(a 6-3)3=2(a 4-3)22266133a a (a 3)224⎡⎤⎛⎫--+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=(a 4-3)·M 2, (a 3-3)3+(a 5-3)3=2(a 4-3)22355333a a (a 3)224⎡⎤⎛⎫--+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=(a 4-3)·M 3, (a 4-3)3=(a 4-3)(a 4-3)2,其中M 2>0,M 3>0,所以(a 1-3)3+(a 2-3)3+…+(a 7-3)3+7(a 4-3)=(a 4-3)M 1+(a 4-3)M 2+(a 4-3)M 3+(a 4-3)(a 4-3)2+7(a 4-3) =(a 4-3)[M 1+M 2+M 3+(a 4-3)2+7]=0,因为M 1+M 2+M 3+(a 4-3)2+7>0恒成立,所以a 4-3=0,a 4=3,而a 1+a 2+…+a 7=7a 4=21.故选D . 13.(2012四川,文13)函数f (x.(用区间表示)1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ ∵1-2x >0,∴x <12,∴f (x )的定义域为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.14.(2012四川,文14)如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是棱CD ,CC 1的中点,则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是 .90° 如图所示,以点D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系D -xyz ,设正方体的棱长为2,则1M A =(2,-1,2),D N =(0,2,1),于是1M A ·D N=0,故异面直线A 1M 与DN 所成的角为90°.15.(2012四川,文15)椭圆22x a+2y 5=1(a 为定值,且a 5的左焦点为F ,直线x =m 与椭圆相交于点A ,B ,△FAB 的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是 .23如图所示,设椭圆右焦点为F 1,AB 与x 轴交于点H ,则|AF |=2a -|AF 1|,△ABF 的周长为2|AF |+2|AH |=2(2a -|AF 1|+|AH |),∵△AF 1H 为直角三角形,∴|AF 1|>|AH |,仅当|AF 1|=|AH |,即F 1与H 重合时,△AFB 的周长最大,即最大周长为2(|AF |+|AF 1|)=4a =12,∴a =3,而b 5∴c =2,离心率e =c a=23.16.(2012四川,文16)设a ,b 为正实数.现有下列命题: ①若a 2-b 2=1,则a -b <1; ②若1b-1a=1,则a -b <1;③若a b 1,则|a -b |<1;④若|a 3-b 3|=1,则|a -b |<1.其中的真命题有 .(写出所有真命题的编号) ①④ ①a 2=b 2+1,∵b 2>0,∴a 2>1,故a >1,而a -b =1a b+,∵a >1,b >0,∴a +b >1,∴1a b+<1,∴①正确;②1b-1a=1,∵当b =23,a =2时,满足1b-1a=32-12=1,而此时a -b >1,∴②不正确;③∵a ,b 为正实数,且a b 1.不妨设a >b ,则a -b a b a b a b a b 1>1,∴a -b a b 1,∴③不正确;④∵a ,b 是正实数,不妨设a >b ,∴a 3-b 3=(a -b )(a 2+b 2+ab ),∴a -b =3322a ba ab b-++=221a ab b++,∵a 3=1+b 3>1,∴a 2>1,∴a 2+ab +b 2>1,则0<221a ab b++<1,∴a -b =221a ab b++<1,即|a -b |<1.同理,设a <b ,也能得到|a -b |<1的结论,故④正确.17.(2012四川,文17)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ,系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p 的值;(2)求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率. 解:(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ,那么1-P (C )=1-110·p =4950.解得p =15.(2)设“系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D ,那么 P (D )=23110C ×21110⎛⎫- ⎪⎝⎭+31110⎛⎫- ⎪⎝⎭=9721 =243250.故系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为243250.18.(2012四川,文18)已知函数f (x )=cos 2x 2-sin x 2cos x 2-12.(1)求函数f (x )的最小正周期和值域;(2)若f (α10求sin 2α的值.解:(1)由已知,f (x )=cos 2x 2-sin x 2cos x 2-12=1(1+cos x )-12sin x -122x 4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.所以f (x )的最小正周期为2π,值域为22⎡⎢⎣⎦.(2)由(1)知,f (α2α4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭10所以cos α4π⎛⎫+⎪⎝⎭=35.所以sin 2α=-cos 2α2π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-cos 2α4π⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=1-2cos 2α4π⎛⎫+⎪⎝⎭=1-1825=725.19.(2012四川,文19)如图,在三棱锥P -ABC 中,∠APB =90°,∠PAB =60°,AB =BC =CA ,点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上.(1)求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小; (2)求二面角B -AP -C 的大小.解法一:(1)如图,连结OC .由已知,∠OCP 为直线PC 与平面ABC 所成的角.设AB 的中点为D ,连结PD ,CD . 因为AB =BC =C A ,所以CD ⊥AB . 因为∠APB =90°,∠PAB =60°, 所以△PAD 为等边三角形.不妨设PA =2,则OD =1,OP AB =4.所以CD =OC在Rt △OCP 中,tan ∠OCP =O P O C13故直线PC 与平面ABC 所成的角的大小为13(2)过D 作DE ⊥AP 于E ,连结CE .由已知可得,CD ⊥平面PAB . 根据三垂线定理知,CE ⊥PA .所以∠CEDB -AP -C 的平面角. 由(1)知,DE 在Rt △CDE 中,tan ∠CED =C D D E2.故二面角B -AP -C 的大小为arctan 2. 解法二:(1)设AB 的中点为D ,连结CD .因为O 在AB 上,且O 为P 在平面ABC 上的射影, 所以PO ⊥平面ABC .所以PO ⊥AB ,且PO ⊥CD . 由AB =BC =CA ,知CD ⊥AB . 设E 为AC 中点,则EO ∥CD ,从而OE ⊥PO ,OE ⊥AB .如图,以O 为坐标原点,OB ,OE ,OP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系O -xyz .不妨设PA =2,由已知可得,AB =4,OA =OD =1,OP CD =所以O (0,0,0),A (-1,0,0),C (1,0),P (0,0所以C P =(-1,-而O P =(0,0为平面ABC 的一个法向量. 设α为直线PC 与平面ABC,则sin α=C P |C P||O P|4故直线PC 与平面ABC 所成的角的大小为4(2)由(1)有,AP=(1,0,AC =(2,0).设平面APC 的一个法向量为n =(x 1,y 1,z 1),则n ,n A P A C ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇔n 0,n 0A P A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇔111111(x ,y ,z )(1,0,(x ,y ,z )(2,0)0.⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 从而1111x z 0,2x y 0.⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 取x 1则y 1=1,z 1=1, 所以n 1,1).设二面角B -AP -C 的平面角为β,易知β为锐角. 而面ABP 的一个法向量为m =(0,1,0),则cos β=n m |n||m |⋅5故二面角B -AP -C 的大小为520.(2012四川,文20)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,常数λ>0,且λa 1a n =S 1+S n 对一切正整数n 都成立. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设a 1>0,λ=100.当n 为何值时,数列n 1a lg ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和最大? 解:(1)取n =1,得λ21a =2S 1=2a 1,a 1(λa 1-2)=0.若a 1=0,则S n =0.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=0-0=0, 所以a n =0(n ≥1). 若a 1≠0,则a 1=2λ.当n ≥2时,2a n =2λ+S n ,2a n -1=2λ+S n -1,两式相减得2a n -2a n -1=a n ,所以a n =2a n -1(n ≥2),从而数列{a n }是等比数列, 所以a n =a 1·2n -1=2λ·2n -1=n2λ.综上,当a 1=0时,a n =0; 当a 1≠0时,a n =n2λ.(2)当a 1>0且λ=100时,令b n =lg n1a , 由(1)有,b n =lg n1002=2-n lg 2.所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为-lg 2). b 1>b 2>…>b 6=lg 61002=lg 10064>lg 1=0,当n ≥7时,b n ≤b 7=lg 71002=lg 100128<lg 1=0,故数列n 1a lg ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前6项的和最大.21.(2012四川,文21)如图,动点M 与两定点A (-1,0),B (1,0)构成△MAB ,且直线MA ,MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程;(2)设直线y =x +m (m >0)与y 轴相交于点P ,与轨迹C 相交于点Q ,R ,且|PQ |<|PR |,求|PR ||PQ |的取值范围.解:(1)设M 的坐标为(x ,y ),当x =-1时,直线MA 的斜率不存在;当x =1时,直线MB 的斜率不存在. 于是x ≠1且x ≠-1.此时,MA 的斜率为y x 1+,MB 的斜率为y x 1-.由题意,有y x 1+·y x 1-=4,化简可得4x 2-y 2-4=0.故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2-y 2-4=0(x ≠1且x ≠-1). (2)由22y x m ,4x y 40=+⎧⎨--=⎩消去y ,可得3x 2-2mx -m 2-4=0.(*)对于方程(*),其判别式Δ=(-2m )2-4×3(-m 2-4)=16m 2+48>0, 而当1或-1为方程(*)的根时,m 的值为-1或1. 结合题设(m >0)可知,m >0,且m ≠1. 设Q ,R 的坐标分别为(x Q ,y Q ),(x R ,y R ), 则x Q ,x R 为方程(*)的两根. 因为|PQ |<|PR |, 所以|x Q |<|x R |,x Q3x R3所以|PR ||PQ |=R Qx x=11,2,所以1<13,且153≠, 所以1<|PR ||PQ |=R Qx x <3,且|PR ||PQ |=R Qx 5x 3≠.综上所述,|PR ||PQ |的取值范围是551,,333⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋃.22.(2012四川,文22)已知a 为正实数,n 为自然数,抛物线y =-x 2+na2与x 轴正半轴相交于点A .设f (n )为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距. (1)用a 和n 表示f (n ); (2)求对所有n 都有f (n)-1n f (n )1n 1≥++成立的a 的最小值;(3)当0<a <1时,比较1f (1)-f (2)+1f (2)-f (4)+…+1f (n)-f (2n )与6·f (1)-f (n 1)f (0)-f (1)+的大小,并说明理由.解:(1)由已知得,交点A的坐标为0⎫⎪⎪⎭.对y =-x 2+12a n 求导得y '=-2x ,则抛物线在点A 处的切线方程为yx -⎝, 即y+a n . 则f (n )=a n .(2)由(1)知f (n )=a n , 则f (n)-1n f (n )1n 1≥++成立的充要条件是a n ≥2n +1.即知a n ≥2n +1对所有n 成立. 特别地,取n =1得到a ≥3.当a =3,n ≥1时,a n =3n =(1+2)n =1+1n C ·2+…≥2n +1. 当n =0时,a n =2n +1. 故a =3时,f (n)-1n f (n )1n 1≥++对所有自然数n 均成立.所以满足条件的a 的最小值为3. (3)由(1)知f (k )=a k . 下面证明:1f (1)-f (2)+1f (2)-f (4)+…+1f (n)-f (2n )>6·f (1)-f (n 1)f (0)-f (1)+.首先证明:当0<x <1时,21x x->6x .设函数g (x )=6x (x 2-x )+1,0<x <1. 则g '(x )=18x 2x 3⎛⎫- ⎪⎝⎭.当0<x <23时,g '(x )<0;当23<x <1时,g '(x )>0.故g (x )在区间(0,1)上的最小值g (x )min =g 23⎛⎫ ⎪⎝⎭=19>0.所以,当0<x <1时,g (x )>0,即得21x x->6x .由0<a <1知0<a k <1(k ∈N *), 因此k2k1a a->6a k ,从而1f (1)-f (2)+1f (2)-f (4)+…+1f (n)-f (2n )=21a a-+241a a-+…+n2n1a a->6(a +a 2+…+a n )=6·n 1a a1a+--=6·f (1)-f (n 1)f (0)-f (1)+.。
