2021年高中数学课时达标训练十一新人教A版选修

课时达标训练（八） [即时达标对点练]题组1 直线与椭圆的位置关系1．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定2．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是________．题组2 直线与椭圆的相交弦问题3．椭圆x 225＋y 24＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．若|AB |＝8，则|AF 1|＋|BF 1|的值为( )A ．10B ．12C ．16D ．184．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．5．已知中心在原点，一个焦点为F (0，50)的椭圆被直线l ：y ＝3x －2截得的弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程．题组3 与椭圆有关的最值问题6．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，||＝1，且＝0，则||的最小值是________．7．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为________．8．如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，(1)若点P 的坐标为(0，1)，求椭圆C 的标准方程； (2)若点P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围．[能力提升综合练]1．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数( )A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个2．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是( ) A ．[4－23，4＋2 3 ] B ．[4－3，4＋ 3 ] C ．[4－22，4＋2 2 ] D ．[4－2，4＋ 2 ]3．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C于点B ，若＝( )A. 2 B ．2 C. 3 D ．34．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．5．已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1，过点(0，2)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率； (2)O 为坐标原点，求△OAB 的面积．6．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝x ＋m 相交于不同的两点M ，N ，问是否存在实数m 使|AM |＝|AN |；若存在求出m 的值；若不存在说明理由．答 案即时达标对点练1. 解析：选A 因为直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故直线y ＝kx ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1相交．2. 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2m ＋y 23＝1，y ＝x ＋2，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.又∵直线与椭圆有两个公共点，∴Δ＝(4m )2－4m (m ＋3)＝16 m 2－4m 2－12m ＝12m 2－12m >0， 解得m >1或m <0. 又∵m >0且m ≠3，∴m >1且m ≠3. 答案：(1，3)∪(3，＋∞)3. 解析：选B ∵|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝4a ，∴|AF 1|＋|BF 1|＝4×5－8＝12.4. 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝54[]（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝ 54（4＋24）＝35. 答案：355. 解：设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．弦两端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 由y 2a 2＋x 2b 2＝1及y ＝3x －2得 (a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋b 2(4－a 2)＝0， x 1＋x 2＝12b 2a 2＋9b 2，由已知x 1＋x 22＝12， 即12b 2a 2＋9b 2＝1， 所以a 2＝3b 2.又c 2＝a 2－b 2＝50， 所以得a 2＝75，b 2＝25， 所以椭圆的方程为y 275＋x 225＝1.6. 解析：易知点A (3，0)是椭圆的右焦点．答案： 37. 解析：由x 24＋y 23＝1可得F (－1，0)．设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝⎛⎭⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，取得最大值6.答案：68. 解：∵直线AB 的斜率为1， ∴∠BAP ＝45°，(1)∵P (0，1)，即b ＝2，且B (3，1)． ∵B 在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，得a 2＝12， ∴椭圆C 的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)由点P 的坐标为(0，t )及点A 位于x 轴下方，得点A 的坐标为(0，t －3)， ∴t －3＝－b ，即b ＝3－t .显然点B 的坐标是(3，t )，将它代入椭圆方程得，9a 2＋t 2（3－t ）2＝1，解得a 2＝3（3－t ）23－2t. ∵a 2>b 2>0，∴3（3－t ）23－2t >(3－t )2>0.∴33－2t >1，即33－2t －1＝2t 3－2t>0， ∴所求t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，32. 能力提升综合练1. 解析：选B 因为直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点， 所以4m 2＋n2 >2，即m 2＋n 2<4， 所以n 2<4－m 2，则m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1.所以点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内部，故过点(m ，n )的直线与椭圆有2个交点．2. 解析：选A 方程可化为x 23＋y 28＝1，故椭圆焦点在y 轴上，又a ＝22，b ＝3，所以－3≤m ≤3，故4－23≤2m ＋4≤23＋4.3. 解析：选A 设点A (2，n )，B (x 0，y 0)． 由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝1，即c ＝1.∴右焦点F (1，0)．∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. ∴x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝⎛⎭⎫432＋⎝⎛⎭⎫13n 2＝1.解得n 2＝1， ∴||＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝ 2.4. 解析：直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c ＝3－1.答案：3－15. 解：(1)由已知得a ＝2，b ＝1， 所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)， 离心率为e ＝c a ＝32.(2)设l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0， 由l 与圆x 2＋y 2＝1相切得21＋k 2＝1， 解得k ＝±3.将y ＝±3x ＋2代入x 2＋4y 2－4＝0，得13x 2±163x ＋12＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝±16313，x 1x 2＝1213，|AB |＝2（x 1－x 2）2＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2⎝⎛⎭⎫163132－4×1213＝2413.又O 到AB 的距离d ＝1. ∴S △OAB ＝12×|AB |×1＝1213.6解：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2＝1，则右焦点F (a 2－1，0)． 由题设|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设P 为弦MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0. 由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ>0，即－2<m <2，所以x P ＝x M ＋x N 2＝－3m 4，从而y P ＝x P ＋m ＝m 4，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝m4＋1－3m4，又|AM |＝|AN |， 所以AP ⊥MN ，所以m 4＋1－3m 4＝－1，解得m ＝2，所以不存在实数m 使|AM |＝|AN |.。

课时达标检测（十一） 正切函数的性质与图象一、选择题1．与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( ) A ．x ＝π2B ．x ＝－π2C ．x ＝π4D ．x ＝π8答案：D 2．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C3．函数y ＝log 12tan x 的定义域是( ) A ．x ⎪⎪⎪ x ≤π4＋k π，k ∈Z B ．x ⎪⎪⎪ 2k π<x ≤2k π＋π4，k ∈Z C ．x ⎪⎪⎪ k π<x ≤k π＋π4，k ∈Z D ．x ⎪⎪⎪ 2k π－π2<x ≤k π＋π4，k ∈Z 答案：C 4．下列图形分别是①y ＝|tan x |，②y ＝tan x ，③y ＝tan(－x )，④y ＝tan |x |在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2内的大致图象，那么由a 到d 对应的函数关系式应是( )A ．①②③④B ．①③④②C ．③②④①D ．①②④③答案：D5．下列关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的说法正确的是( ) A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6上单调递增 B ．最小正周期是πC ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称 答案：B二、填空题6．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝1所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值是________． 答案： 37．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是单调减函数，则ω的取值范围是________． 答案：[－1,0)8．若直线x ＝k π2(|k |≤1)与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交，则k ＝________. 答案：14或－34三、解答题9．作出函数y ＝tan x ＋|tan x |的图象，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．解：y ＝tan x ＋|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2tan x ，tan x ≥0，0，tan x <0.其图象如图所示，由图象可知，其定义域是⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)；值域是[0，＋∞)；单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)；最小正周期T ＝π. 10．若x ∈[－π3，π4]，求函数y ＝1cos 2x＋2tan x ＋1的最值及相应的x 值． 解：y ＝1cos 2x＋2tan x ＋1 ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋2tan x ＋1 ＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1.∵x ∈[－π3，π4]，∴tan x ∈[－3，1]． 故当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y 取最小值1； 当tan x ＝1，即x ＝π4时，y 取最大值5.11．已知－π3≤x ≤π4，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最值及相应的x 值． 解：∵－π3≤x ≤π4，∴－3≤tan x ≤1， f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1，当tan x ＝－1即x ＝－π4时，f (x )有最小值1，π4时，f(x)有最大值5.当tan x＝1即x＝。

课时达标训练（六）[即时达标对点练]题组1 椭圆的标准方程 1．已知方程x 2k －4＋y 210－k＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(4，10)B ．(7，10)C ．(4，7)D ．(4，＋∞)2．已知椭圆 x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1 D.x 26＋y 22＝13．椭圆9x 2＋16y 2＝144的焦点坐标为________．4．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为________．题组2 与椭圆有关的轨迹问题5．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为P ′，则PP ′的中点M 的轨迹方程是( )A ．4x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 214＝1C.x 24＋y 2＝1 D ．x 2＋y 24＝1 6．已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．题组3 椭圆的定义及焦点三角形问题7．椭圆的两焦点为F 1(－4，0)、F 2(4，0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4，0)和C (4，0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上．则sin A ＋sin C sin B＝________． 9．已知椭圆的焦点在x 轴上，且焦距为4，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若△PF 1F 2的面积为23，求点P 坐标．[能力提升综合练]1．设定点F 1(0，－3)，F 2(0，3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a >0)，则点P的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段2．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作x 轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P ，则△PF 1F 2的面积等于( )A.32B. 3C.72D ．4 3．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1 B.x 212＋y 29＝1或 x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或 x 245＋y 248＝1 4．设F 1，F 2是椭圆C ：x 28＋y 24＝1的焦点，在曲线C 上满足的点P 的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．45．F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3 的正三角形，则b 2的值是________．6．椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于________．7．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．8．已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)当∠F 1PF 2＝60°时，求△F 1PF 2的面积； (2)当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围．答 案 即时达标对点练1. 解析：选B 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k －4>0，10－k >0，k －4>10－k ，解得7<k <10.2. 解析：选D 由题意知，椭圆焦点在x 轴上，且c ＝2， ∴a 2＝2＋4＝6，因此椭圆方程为x 26＋y 22＝1，故选D.3. 解析：椭圆的标准方程为x 216＋y 29＝1， ∴a 2＝16，b 2＝9，c 2＝7，且焦点在x 轴上， ∴焦点坐标为(－7，0)，(7，0)． 答案：(－7，0)，(7，0)4. 解析：∵c ＝23，a 2＝4b 2，∴a 2－b 2＝3b 2＝c 2＝12，b 2＝4，a 2＝16.又∵焦点在y 轴上，∴标准方程为y 216＋x 24＝1.答案：y 216＋x 24＝15. 解析：选A 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 02，y ＝y 0.∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴x 20＋y 20＝1. ①将x 0＝2x ，y 0＝y 代入方程①，得4x 2＋y 2＝1.6. 解：以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4，0)，C (4，0)．由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.因此，点A 的轨迹是以B ，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，c ＝4.但点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．7. 解析：如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2面积最大，∴12×8b ＝12，∴b ＝3， 又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.答案：x 225＋y 29＝18. 解析：由椭圆方程x 225＋y 29＝1知，a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，即点A (－4，0)和C (4，0)是椭圆的焦点．又点B 在椭圆上，∴|BA |＋|BC |＝2a ＝10，且|AC |＝8.于是，在△ABC 中，由正弦定理，得sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝54.答案：549. 解：(1)由题意知，2c ＝4，c ＝2， |PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝8， 即2a ＝8，∴a ＝4. ∴b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. ∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设点P 坐标为(x 0，y 0)， 依题意知，12|F 1F 2||y 0|＝23，∴|y 0|＝3，y 0＝± 3.代入椭圆方程x 2016＋y 2012＝1，得x 0＝±23，∴点P 坐标为(23，3)或(23，－3)或(－23，3)或(－23，－3)．能力提升综合练1. 解析：选D ∵a ＋9a≥2a ·9a＝6， 当且仅当a ＝9a，即a ＝3时取等号，∴当a ＝3时，|PF 1|＋|PF 2|＝6＝|F 1F 2|， 点P 的轨迹是线段F 1F 2；当a >0，且a ≠3时，|PF 1|＋|PF 2|>6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是椭圆． 2. 解析：选A 如图所示，由定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，c ＝a 2－b 2＝3，又由PF 1⊥F 1F 2，可设点P 的坐标为(－3，y 0)，代入x 24＋y 2＝1，得|y 0|＝12，即|PF 1|＝12，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|＝32. 3. 解析：选B 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝ 3. ∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝2 3.∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.4. 解析：选B ∵，∴PF 1⊥PF 2.∴点P 为以线段F 1F 2为直径的圆与椭圆的交点，且此圆的半径为c ＝8－4＝2. ∵b ＝2，∴点P 为该椭圆y 轴的两个端点． 5. 解析：∵|OF 2|＝c ，∴由已知得3c24＝3，∴c 2＝4，c ＝2.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由△POF 2为正三角形， ∴|x 0|＝1，|y 0|＝3，代入椭圆方程得1a 2＋3b2＝1.∵a 2＝b 2＋4，∴b 2＋3(b 2＋4)＝b 2(b 2＋4)， 即b 4＝12，∴b 2＝2 3. 答案：2 36. 解析：如图，设椭圆的右焦点为F 2，则由|MF 1|＋|MF 2|＝10，知|MF 2|＝10－2＝8.又因为点O 为F 1F 2的中点，点N 为MF 1的中点， 所以|ON |＝12|MF 2|＝4.答案：47. 解：设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)． ∵F 1A ⊥F 2A ，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5. 即F 1(－5，0)，F 2(5，0)． 则2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32＝10＋90＝410. ∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15. 故所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.8. 解：(1)由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4且F 1(－3，0)，F 2(3，0)．①在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°.② 由①②得|PF 1|·|PF 2|＝43.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝33.(2)设点P (x ，y )，由已知∠F 1PF 2为钝角， 得即(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )<0.又y 2＝1－x 24，所以34x 2<2，解得－263<x <263.所以点P 横坐标的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263.。

课时达标训练（四）[即时达标对点练]题组1 含逻辑联结词的命题的构成1．已知p：x∈A∩B，则綈p是( )A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉B D．x∈A∪B2．命题：“菱形对角线互相垂直平分”，使用的逻辑联结词的情况是( )A．没有使用逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“且”C．使用了逻辑联结词“或”D．使用了逻辑联结词“非”3．命题p：方向相同的两个向量共线，命题q：方向相反的两个向量共线．则命题：“p∨q”为___________________________________________________．4．命题“若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为零”的否定为：________，否命题为：________．题组2 含逻辑联结词的命题的真假判断5．若命题“p且q”为假，且为假，则( )A．p或q为假 B．q假C．q真 D．p假6．已知命题p：x2＋y2＝0，则x，y都为0；命题q：若a2>b2，则a>b.给出下列命题：①p且q；②p或q；③；④.其中为真命题的是( )A．①② B．①③ C．②③ D．②④7．由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“”形式的命题中，“p∨q”为真，“p∧q”为假，“”为真的是( )A．p：3为偶数，q：4是奇数B．p：3＋2＝6，q：5>3C．p：a∈{a，b}；q：{a}{a，b}D．p：Q R；q：N＝N8．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( )A．p∨q B．p∧qC．()∧() D．p∨()题组3 利用三种命题的真假求参数范围9．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z .若“p ∧q ”“ ”都是假命题，则x 的值组成的集合为________．10．设p ：不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅；q ：函数f (x )＝(a ＋1)x在定义域内是增函数．如果p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求a 的取值范围．[能力提升综合练]1．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．()∨()B ．p ∨()C ．()∧() D ．p ∨q2．已知命题p ：设x ∈R ，若|x |＝x ，则x >0，命题q ：设x ∈R ，若x 2＝3，则x ＝3，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．()∧q D ．()∨q3．下列各组命题中满足：“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，“”为真命题的是( )A ．p ：0＝∅；q ：0∈∅B ．在△ABC 中，若cos 2A ＝cos 2B ，则A ＝B ；q ：y ＝sin x 在第一象限内是增函数C ．p ：若a >b ，则1a <1b；q ：不等式|x |>x 的解集为(－∞，0)D ．p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的面积被直线x ＝1平分；q ：若a ·b <0，则a 与b 的夹角不一定是钝角4．若命题为真命题，则p ，q 的真假情况为( )A ．p 真，q 真B ．p 真，q 假C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假5．命题p ：不等式ax ＋3>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－3a ，命题q ：在等差数列{a n }中，若a 1<a 2，则数列{a n }是递增数列，则“p ∧q ”“p ∨()”“()∧q ”中是真命题的是________．6．已知条件p ：(x ＋1)2>4，条件q ：x >a ，且綈p 是的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．7．分别写出下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的新命题，并判断其真假．(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数；(2)p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同，q：方程x2＋x－1＝0的两实根绝对值相等；(3)p：π是有理数，q：π是无理数．8．命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅；命题q：函数y＝(2a2－a)x 为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．(1)p，q至少有一个是真命题；(2)p或q是真命题且p且q是假命题．答案即时达标对点练1. 解析：选B p等价于x∈A且x∈B，所以为x∉A或x∉B.2. 解析：选B 菱形的对角线互相垂直且互相平分，∴使用了逻辑联结词“且”．3. 答案：方向相同或相反的两个向量共线4. 解析：否定形式：若abc＝0，则a、b、c全不为零．否命题：若abc≠0，则a、b、c全不为零．答案：若abc＝0，则a、b、c全不为零若abc≠0，则a、b、c全不为零5. 解析：选B 为假，则p为真，而p∧q为假，得q为假．6. 解析：选D 易知，p真，q假，所以p且q假，p或q真，假，真，即真命题是②④，故选D.7. 解析：选B 由已知得p为假命题，q为真命题，只有B符合．8. 解析：选A 法一：取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c ＝1≠0，∴p是假命题．a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝x b，由b∥c知b＝y c，∴a＝xy c，∴a∥c，∴q是真命题．综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题．又∵为真命题，为假命题，∴()∧()，p∨()都是假命题．法二：由于a，b，c都是非零向量，∵a·b＝0，∴a⊥b.∵b·c＝0，∴b⊥c .如图，则可能a∥c ，∴a ·c ≠0，∴命题p 是假命题，∴是真命题．命题q 中，a∥b ，则a 与b 方向相同或相反；b∥c ，则b 与c 方向相同或相反．故a 与c 方向相同或相反，∴a∥c ，即q 是真命题，则是假命题．故p ∨q 是真命题，p ∧q ，()∧()，p ∨()都是假命题．9. 解析：因为“p ∧q ”为假，“”为假，所以q 为真，p为假．故⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x <6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <3，x ∈Z .因此，x 的值可以是－1，0，1，2. 答案：{－1，0，1，2}10. 解：对于p ，因为不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅， 所以Δ＝[－(a ＋1)]2－4＜0. 解这个不等式得，－3<a <1.对于q ：f (x )＝(a ＋1)x在定义域内是增函数， 则有a ＋1>1，所以a >0.又p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题， 所以p 、q 必是一真一假．当p 真q 假时有－3<a ≤0，当p 假q 真时有a ≥1. 综上所述，a 的取值范围是(－3，0]∪[1，＋∞)．能力提升综合练1. 解析：选 A “至少有一位学员没有降落在指定范围”是指“甲没降落在指定范围”或“乙没降落在指定范围”，应表示为()∨()．2. 解析：选D 由|x |＝x 应得x ≥0而不是x >0，故p 为假命题；由x 2＝3应得x ＝±3，而不只有x ＝3，故q 为假命题．因此为真命题，从而()∨q 也为真命题．3. 解析：选C 选项A 中，命题p 假，q 假，所以不满足题意；选项B 中，命题p 真，q 假，为假命题，也不满足题意；选项C 中，命题p 假，q 真，p ∨q 为真命题，p ∧q为假命题，为真命题，满足题意；选项D 中，p ，q 都是真命题，不符合题目要求．4. 解析：选C 若为真命题，则p ∨()是假命题，故p 和都是假命题，即p 假q 真．5. 解析：易知p 为假命题，q 为真命题，故只有()∧q 为真命题．答案：()∧q6. 解析：由是的充分不必要条件，可知⇒; 但，又一个命题与它的逆否命题等价，可知q ⇒p 但p q ，又p ：x >1或x <－3，可知{x |x >a }{x |x <－3或x >1}，所以a ≥1.答案：[1，＋∞)7. 解：(1)p 或q ：3是9的约数或是18的约数，真；p 且q ：3是9的约数且是18的约数，真；非p ：3不是9的约数，假．(2)p 或q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根符号相同或绝对值相等，假；p 且q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根符号相同且绝对值相等，假；非p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根符号不同，真． (3)p 或q ：π是有理数或是无理数，真；p 且q ：π是有理数且是无理数，假；非p ：π不是有理数，真．8. 解：因为关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅， 所以Δ＝(a －1)2－4a 2<0，即a <－1或a >13，所以p 为真时a <－1或a >13，为真时－1≤a ≤13.因为函数y ＝(2a 2－a )x为增函数， 所以2a 2－a >1， 即a <－12或a >1，所以q 为真时a <－12或a >1.为真时－12≤a ≤1.(1)若()∧()为真，则－12≤a ≤13，所以p ，q 至少有一个是真时a <－12或a >13.即此时a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.(2)因为p ∨q 是真命题且p ∧q 是假命题， 所以p ，q 一真一假，所以()∧q 为真时⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤13，a <－12或a >1，即－1≤a <－12；p ∧()为真时⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >13，－12≤a ≤1.即13<a ≤1.所以p ∨q 是真命题且p ∧q 是假命题时， －1≤a <－12或13<a ≤1.即此时a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，1.。

课时达标训练（十） [即时达标对点练]题组1 根据双曲线的标准方程研究几何性质1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A ．－14 B ．－4C ．4 D.142．双曲线x 225－y 24＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±25xB ．y ＝±52xC ．y ＝±425xD ．y ＝±254x3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )A. 3B. 2C.52 D.22题组2 由双曲线的几何性质求标准方程4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 5．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝46．已知双曲线两顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ，求双曲线的标准方程．题组3 求双曲线的离心率7．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( )A. 2B.15 C ．4 D.178．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作等边三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e ＝________．题组4 直线与双曲线的位置关系9．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1，0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．110．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是________．[能力提升综合练]1．如图，ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab (ab ≠0)所表示的曲线只可能是( )2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴长相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝2B ．x 2－y 2＝ 2C ．x 2－y 2＝1D ．x 2－y 2＝123．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x4．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132 B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝25．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．6．已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为________．7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a ，0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率．8．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求△F 1PF 2的面积．答 案即时达标对点练1. 解析：选A 由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1，a ＝1.又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2， ∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－14.2. 解析：选A 由x 225－y 24＝0，得y 2＝425x 2，即y ＝±25x .3. 解析：选B 由题意可知， 此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a ＝b ，c ＝a 2＋b 2＝2a ，于是e ＝ca＝ 2.4. 解析：选A 由题意知c ＝4，焦点在x 轴上，所以⎝⎛⎭⎫b a 2＋1＝e 2＝4，所以b a ＝3，又由a 2＋b 2＝4a 2＝c 2＝16，得a 2＝4，b 2＝12.所以双曲线方程为x 24－y 212＝1.5. 解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4，0)， ∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A.6. 解：设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a 2＝4λ， ∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ<0时，a 2＝－9λ， ∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1和y 29－x 24＝1.7. 解析：选D 由双曲线的定义知， (|PF 1|－|PF 2|)2＝4a 2，所以4a 2＝b 2－3ab ，即b 2a 2－3·ba＝4，解得ba ＝4(－1舍去)．因为双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b 2a2， 所以e ＝17，故选D.8. 解析：依题意知，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)， 不妨设M 在x 轴上方，则M (0，3c )，所以MF 1的中点为⎝⎛⎭⎫－c 2，32c ，代入双曲线方程可得c 24a 2－3c 24b 2＝1，又c 2＝a 2＋b 2，所以c 24a 2－3c 24（c 2－a 2）＝1， 整理得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4＋23(e 2＝4－23<1舍去)， 所以e ＝3＋1. 答案：3＋19. 解析：选B ∵双曲线方程为x 2－y 24＝1，故P (1，0)为双曲线右顶点，∴过P 点且与双曲线只有一个公共点的直线共3条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．10. 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝6，y ＝kx ＋2，得x 2－(kx ＋2)2＝6.则(1－k 2)x 2－4kx －10＝0有两个不同的正根．则⎩⎨⎧Δ＝40－24k 2>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，得－153<k <－1.答案：⎝⎛⎭⎫－153，－1能力提升综合练1. 解析：选C 直线方程可化为y ＝ax ＋b ，曲线方程可化为x 2a ＋y 2b ＝1，若a >0，b >0，则曲线表示椭圆，可排除A 、B 、D ，若a >0，b <0，C 符合．2. 解析：选A 设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ>0)，渐近线方程为y ＝±x ，焦点到渐近线的距离c2＝2，∴c ＝2.∵2λ＝c 2＝4，∴λ＝2. 3. 解析：选C 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为y＝±b a x .又离心率为e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52，所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .4. 解析：选C 双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设直线AB ：y ＝2x 与椭圆C 1的一个交点为C (第一象限的交点)，则|OC |＝a 3，∵tan ∠COx ＝2，∴sin ∠COx ＝25，cos ∠COx ＝15， 则C 的坐标为⎝⎛⎭⎫a35，2a 35， 代入椭圆方程得a 245a 2＋4a 245b 2＝1，∴a 2＝11b 2. ∵5＝a 2－b 2，∴b 2＝12.5. 解析：由题可得直线的斜率为3，要使直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，只要b a≥3，∴e 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2≥4.答案：[2，＋∞)6. 解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有：⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得，y 1－y 2x 1－x 2＝b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1.答案：x 24－y 25＝17. 解：由l 过两点(a ，0)，(0，b )， 设l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ，得ab a 2＋b2＝34c . 将b ＝c 2－a 2代入，平方后整理，得16⎝⎛⎭⎫a 2c 22－16×a 2c 2＋3＝0.令a 2c2＝x ， 则16x 2－16x ＋3＝0，解得x ＝34或x ＝14.因为e ＝ca，有e ＝1x .故e ＝233或e ＝2. 因为0<a <b ，故e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝1＋b 2a2>2，所以离心率e 为2. 8. 解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(a ，b ，m ，n >0，且a >b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3，所以b ＝6，n ＝2，所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4， 所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝45，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×10×4×35＝12.。

课时达标训练（十六） [即时达标对点练]题组1 函数与导函数图象间的关系1．已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )2．若函数y ＝f ′(x )在区间(x 1，x 2)内是单调递减函数，则函数y ＝f (x )在区间(x 1，x 2)内的图象可以是( )3．如图所示的是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则在[－2，5]上函数f (x )的递增区间为________．题组2 判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间 4．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0，3) C ．(1，4) D ．(2，＋∞) 5．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1，1]B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)6．证明函数f (x )＝sin x x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减．题组3 与参数有关的函数单调性问题7．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2 D ．a ≤138．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1，2)，则b ＝________，c ＝________．9．已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．[能力提升综合练]1．y ＝x ln x 在(0，5)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上减，在⎝⎛⎭⎫1e ，5上增 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上增，在⎝⎛⎭⎫1e ，5上减 2．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2) D ．f (e)<f (3)<f (2)3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )4．设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )5．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．6．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．7．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )，讨论f (x )的单调性．8．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围．答 案即时达标对点练1. 解析：选A 由函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象自左至右是先减后增，可知函数y ＝f (x )图象的切线的斜率自左至右是先减小后增大．2. 解析：选B 选项A 中，f ′(x )>0且为常数函数；选项C 中，f ′(x )>0且f ′(x )在(x 1，x 2)内单调递增；选项D 中，f ′(x )>0且f ′(x )在(x 1，x 2)内先增后减．故选B.3. 解析：因为在(－1，2)和(4，5]上f ′(x )>0，所以f (x )在[－2，5]上的单调递增区间为(－1，2)和(4，5]．答案：(－1，2)和(4，5]4. 解析：选D f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝e x (x －2)．由f ′(x )>0得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．5. 解析：选B 函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝（x －1）（x ＋1）x ，令y ′≤0，则可得0<x ≤1.6. 证明：∵f (x )＝sin xx，∴f ′(x )＝（sin x ）′x －sin x ·（x ）′x 2＝x cos x －sin xx 2.由于x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos x <0，sin x >0，x cos x －sin x <0. 故f ′(x )<0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减．7. 解析：选A f ′(x )＝3ax 2－1. ∵f (x )在R 上为减函数， ∴f ′(x )≤0在R 上恒成立． ∴a ≤0，经检验a ＝0符合题意．8. 解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解，即－1，2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1，2分别代入方程，解得b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－69. 解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋ax ，当a >0时，f ′(x )>0，函数f (x )只有单调递增区间为(0，＋∞)．当a <0时，由f ′(x )＝x ＋a x >0，得x >－a ；由f ′(x )＝x ＋ax<0，得0<x <－a ，所以当a <0时，函数f (x )的单调递增区间是(－a ，＋∞)，单调递减区间是(0，－a )．能力提升综合练 1. 解析：选C ∵y ′＝x ′·ln x ＋x ·(ln x )′＝ln x ＋1， ∴当0<x <1e时，ln x <－1，即y ′<0.∴y 在⎝⎛⎭⎫0，1e 上减．当1e <x <5时，ln x >－1，即y ′>0. ∴y 在⎝⎛⎭⎫1e ，5上增．2. 解析：选A 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＝12x ＋1x >0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以有f (2)<f (e)<f (3)．3. 解析：选D 对于选项A ，若曲线C 1为y ＝f (x )的图象，曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象，则函数y ＝f (x )在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f ′(x )<0；y ＝f (x )在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f ′(x )>0.因此，选项A 可能正确．同理，选项B 、C 也可能正确．对于选项D ，若曲线C 1为y ＝f ′(x )的图象，则y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C 2不相符；若曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象，则y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C 1不相符．因此，选项D 不可能正确．4. 解析：选C 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2，又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，所以f （x ）g （x ）在R 上为减函数．又因为a <x <b ，所以f （a ）g （a ）>f （x ）g （x ）>f （b ）g （b ），又因为f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．5. 解析：若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b 有两个不相等的实数根，所以b ＞0.答案：(0，＋∞)6. 解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞；由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，12.由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0.解得：1≤k <32.答案：⎣⎡⎭⎫1，32 7. 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0. 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 8. 解：h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1，4]上单调递减，所以x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立，令G (x )＝1x 2－2x，则a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1. 因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716.当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x＝（7x －4）（x －4）16x.因为x ∈[1，4]，所以h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x≤0，即h (x )在[1，4]上为减函数．故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，＋∞.。

2020-2021学年高二数学人教A 版选修1-1同步课时作业（11）椭圆及其标准方程1.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆E 于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则椭圆E 的方程为( ) A.2214536x y += B.2213627x y += C.2212718x y +=D.221189x y += 2.设12,F F 分别是椭圆222:1(01)y E x b b+=<<的左、右焦点,过点1F 的直线l 与椭圆相交于,A B两点,且22,,AF AB BF 成等差数列,则AB =( ) A.23B.1C.43 D.533.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,过2F 作一条直线(不与x 轴垂直)与椭圆交于,A B 两点,如果1ABF △是以1F AB ∠为直角的等腰直角三角形,则直线AB 的斜率为( ) A.1±B.2±C.2D.3±4.已知椭圆22:1,,43x y C M N +=是坐标平面内的两点,且M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的左、右焦点的对称点分别为,A B ,线段MN 的中点在C 上,则AN BN +=( ) A.4B.8C.12D.165.在平面直角坐标系xOy 中,已知ABC △的顶点(4,0)A -和(4,0)C ,顶点B 在椭圆221259x y +=上,则sin sin sin A C B+=( )A.54B.52C.5D.无法确定6.已知椭圆C 上任意一点(,)P x y 2222(1)(1)4x y x y -+++,则椭圆C 的标准方程为( )A.22134x y +=B.22143x y += C.2211615x y += D.2214x y +=7.设12,F F 为椭圆2219x y +=的两个焦点,点P 在椭圆上,若线段1PF 的中点在y 轴上,则21PF PF 的值为( ) A.113B.115C.117D.1198.已知P 是椭圆22110036x y +=上一点,点12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,直线1PF 交椭圆于另一点A ,则2PAF △的周长为( ) A.10B.16C.20D.409.“57m <<”是“方程22175x y m m +=--表示椭圆”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件10.椭圆221(0)25x y λλ+=>的焦距为6,则λ的值为( )A.19或31B.4C.16或34D.11或6111.若椭圆2214924x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点12,F F 的连线互相垂直,则12PF F △的面积为___________.12.已知12(,0),(,0)F c F c -为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点,P 在椭圆上,且12PF F △的面积2,则12cos F PF ∠=___________. 13.已知椭圆2255x ky -=的一个焦点是(0,2),则k =__________.14.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(,0)F c ,且2a c =.若方程20ax bx c +-=的两个实数根分别为12,x x ,则2212x x +的值为__________.15.已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的焦点分别是12(0,1),(0,1)F F -,且2234a b =.(1)求椭圆的标准方程;(2)设点P 在这个椭圆上,且121PF PF -=,求12F PF ∠的余弦值.答案以及解析1.答案：D解析：设1122(,),(,)A x y B x y (其中12x x ≠),直线AB 的斜率101132k --==-,因为,A B 两点在椭圆E 上,所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,两式相减,得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=,即1212221212()()10()()y y y y a b x x x x +-+=+-,即221112022a b -+⨯⨯=,即222a b =.因为22229,c a b c ==+,解得2218,9a b ==,所以椭圆E 的方程为221189x y +=,故选D.2.答案：C解析：椭圆222:1(01)y E x b b+=<<中,1a =,∵121222,2AF AF a BF BF +==+=,相加得11224AF BF AF BF +++=,∴221144AF BF AF BF AB +=--=-.∵22,,AF AB BF 成等差数列,∴222AB AF BF =+,于是24AB AB =-,∴43AB =. 3.答案：C解析：如图,设1AF m =,则22AF a m =-,22(2)22BF AB AF m a m m a =-=--=-,于是1222(22)42BF a BF a m a a m =-=--=-.又190F AB ∠=︒,所以12BF m =,所以422a m m -=,所以22a m +=,因此222AF a m m =-=,1212tan 22AF AF F AF m ∠===,故直线AB 的斜率为2-,由对称性,可知当直线AB 的斜率为2时,也满足题意.故所求直线AB 的斜率为2±,故选C.4.答案：B解析：设MN 的中点为D ,椭圆C 的左、右焦点分别为12,F F ,如图,连接12,DF DF ,∵1F 是MA 的中点,D 是MN 的中点,∴1F D 是MAN △的中位线,∴112DF AN =,同理212DF BN =,∴122()AN BN DF DF +=+.∵点D 在椭圆上,∴根据椭圆的标准方程及椭圆的定义,知124DF DF +=,∴8AN BN +=.5.答案：A解析：由题意,知8AC =,10AB BC +=,所以sin sin 105sin 84BC AB A C B AC ++===.6.答案：B解析：由题设可知椭圆C 的焦点在x 轴上,且24,1a c ==,故22,3a b ==,所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.7.答案：C解析：∵线段1PF 的中点在y 轴上,∴2PF x ⊥轴,22121117,26333b PF PF a PF a ===-=-=,∴21117PF PF =. 8.答案：D解析：设2PAF △的周长为l ,则221212()()21021040l PA PF AF PF PF AF AF =++=+++=⨯+⨯=. 9.答案：C解析：若方程22175x y m m +=--表示椭圆,则705075m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩,解得57m <<且6m ≠,所以“57m <<”是“方程22175x y m m +=--表示椭圆”的必要不充分条件,故选C.10.答案：C解析：依题意,得3c =.当椭圆的焦点位于x 轴上时,有2253λ-=,解得16λ=;当椭圆的焦点位于y 轴上时,有2253λ-=,解得34λ=,综上,λ的值为16或34.故选C. 11.答案：24解析：设1PF x =,则214PF x =-.又210c =,根据勾股定理,得22(14)100x x +-=,解得8x =或6x =,所以186242S =⨯⨯=.12.答案：13解析：∵12(,0),(,0)F c F c -为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点,P 在椭圆上,∴根据椭圆的定义及余弦定理,得1222212121222cos 4PF PF a PF PF PF PF F PF c⎧+=⎪⎨+-∠=⎪⎩,整理得2121221cos b PF PF F PF =+∠.∵12PF F △2,∴22121212sin 21cos 2b F PF F PF ⋅⋅∠=+∠,∴12121cos F PF F PF +∠=∠.∵221212sin cos 1F PF F PF ∠+∠=,∴121cos 3F PF ∠=.13.答案：-1解析：易知0k ≠,椭圆方程可化为2215y x k+=-,∴225,1a b k =-=.又2c =,∴514k --=,∴1k =-. 14.答案：74解析：∵2222,a c a b c ==+,∴b =.∵方程20ax bx c +-=的两个实数根分别为12,x x ,∴1212,b cx x x x a a+=-=-,∴222222121212227()2()2()()24b c b c c x x x x x x a a a a c +=+-=--⨯-=+=+=.15.答案：(1)依题意,知1c =.又222c a b =-,且2234a b =, 所以22314a a -=,即2114a =,所以224,3ab ==,故椭圆的标准方程为22143y x +=.(2)由于点P 在椭圆上,所以122224PF PF a +==⨯=. 又121PF PF -=, 所以1253,22PF PF ==.又1222F F c ==,所以由余弦定理得2221253()()2322cos 535222F PF +-∠==⨯⨯. 故12F PF ∠的余弦值为35.解析：莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

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课时达标训练
.下列说法正确的是( )
.对所有的正实数,有<
.存在实数,使
.不存在实数,使<且
.存在实数,使得≤且>
【解析】选时,此时>,所以选项错;
由,得或,因此当或时,故选项正确;
由,得或,所以选项错;
由≤,得≤≤,由>,得<或>,所以选项错.
.下列命题不是“∃∈,>”的表述方法的是( )
.有一个∈,使>
.有些∈,使>
.任选一个∈,使>
.至少有一个∈,使>
【解析】选.“任选一个∈,使>”是全称命题,不能用符号“∃”表示. .下列命题中,是真命题且是全称命题的是( )
.对任意的∈,都有<
.菱形的两条对角线相等
.∃∈
.对数函数在定义域上是单调函数
【解析】选是特称命题都是全称命题,但为假命题,只有既为全称命题又是真命题.
.下列全称命题为真命题的是( )
.所有的素数是奇数
.∀∈≥
.对每一个无理数也是无理数
.所有的能被整除的整数,其末位数字都是
【解析】选是素数,但不是奇数,所以是假命题;
≥⇔≥,显然∀∈≥,故为真命题均是假命题.
.命题“∃∈()”是真命题,则的取值范围是.
【解析】设(),则()在()内有零点,
所以()()<,解得<<.
答案<<
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课时达标训练(十一) 等比数列的性质[即时达标对点练]题组1 等比数列的性质1．等比数列{a n }满足a n >0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n(n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：选A 由等比数列的性质，得a 3·a 2n －3＝a 2n ＝22n，所以a n ＝2n.法一：log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝log 2[(a 1a 2n －1)·(a 2a 2n －2)·…·(a n －1a n ＋1)·a n ]＝log 22n (2n －1)＝n (2n －1)．法二：取n ＝1，log 2a 1＝log 22＝1，而(1＋1)2＝4，(1－1)2＝0，排除B ，D ；取n ＝2，log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＝log 22＋log 24＋log 28＝6，而22＝4，排除C ，选A.2．已知各项均为正数的等比数列{}a n 中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2解析：选A 由等比数列的性质知a 1a 2a 3＝(a 1a 3)a 2＝a 32＝5，a 7a 8a 9＝(a 7a 9)·a 8＝a 38＝10， 所以a 2a 8＝5013，所以a 4a 5a 6＝(a 4a 6)a 5＝a 35＝(a 2a 8)3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫50163＝ 5 2. 3．等比数列{}a n 的各项均为正数，公比为q ，若q 2＝4，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( ) A.12 B ．±12 C ．2 D ．±2 解析：选A 由q 2＝4得q ＝±2， 因为数列{}a n 各项均为正数，所以q ＝2， 又因为a 4＝a 3q ，a 5＝a 4q ， ∴a 4＋a 5＝a 3q ＋a 4q ＝(a 3＋a 4)q ， ∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝12. 4．已知{}a n 为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 解析：选D 设数列{}a n 的公比为q ， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，a 10＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 10＝－8，所以a 1＋a 10＝－7.5．等比数列{}a n 中，若a 2，a 9是方程3x 2－11x ＋6＝0的两根，则log 2(a 1a 2…a 10)＝________．解析：由根与系数的关系，得a 2a 9＝2， 又a 2a 9＝a 1a 10＝a 3a 8＝a 4a 7＝a 5a 6， 所以log 2(a 1a 2…a 10)＝log 225＝5. 答案：56．等比数列的前三项和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项． 解：设该等比数列的公比为q ，首项为a 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168，a 1q －a 1q 4＝42， 化简为⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ＋q 2）＝168， ①a 1q （1－q 3）＝42. ② 因为1－q 3＝(1－q )(1＋q ＋q 2)， 则①②两式相除得q (1－q )＝14⇒q ＝12.所以a 1＝4212－⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝96.若G 是a 5，a 7的等比中项，则G 2＝a 5a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962·⎝ ⎛⎭⎪⎫1210＝9，则G ＝±3. 所以a 5，a 7的等比中项是±3. 题组2 等比数列性质的综合应用7．设{}a n 是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝( )A ．210B ．220C ．216D ．215解析：选B ∵a 1a 2a 3＝a 32，a 4a 5a 6＝a 35，a 7a 8a 9＝a 38，…，a 28a 29a 30＝a 329，∴a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9…a 28a 29a 30＝(a 2a 5a 8…a 29)3＝230.∴a 2a 5a 8…a 29＝210.则a 3a 6a 9…a 30＝(a 2q )(a 5q )(a 8q )…(a 29q )＝(a 2a 5a 8…a 29)q 10＝210×210＝220.8．若1，a 1，a 2，4成等差数列；1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值等于( ) A ．－12 B.12 C ．±12 D.14解析：选A ∵1，a 1，a 2，4成等差数列， ∴3(a 2－a 1)＝4－1， ∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，设其公比为q ， 则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2＞0，∴b 2＝2， ∴a 1－a 2b 2＝－（a 2－a 1）b 2＝－12. 9．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%，则第n 年初M 的价值a n ＝________.解析：当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，故a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥7时，a 6，a 7，…，a n 是首项为a 6＝70，公比为34的等比数列，故a n ＝70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6.综上可得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6，n ≥7.答案：⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6，n ≥710．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数．解：由已知，可设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝6，∴a ＝2，这三个数可表示为2－d ，2，2＋d ，①若2－d 为等比中项，则有(2－d )2＝2(2＋d )， 解之得d ＝6，或d ＝0(舍去)．此时三个数为－4，2，8. ②若2＋d 是等比中项，则有(2＋d )2＝2(2－d )， 解之得d ＝－6，或d ＝0(舍去)． 此时三个数为8，2，－4.③若2为等比中项， 则22＝(2＋d )·(2－d )， ∴d ＝0(舍去)．综上可求得此三数为－4，2，8.[能力提升综合练]1．已知等比数列{}a n 中，a 3a 11＝4a 7，数列{}b n 是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C. 8 D ．16 解析：选C 等比数列{}a n 中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4.等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.故选C.2．已知各项不为0的等差数列{}a n 满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{}b n 是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8 解析：选D 由已知，a 4－2a 27＋3a 8＝0， 即4a 7－2a 27＝0，又各项不为0，a 7＝2， 所以b 7＝2，则b 2b 8b 11＝b 37＝8.3．在等比数列{}a n 中，a 7a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝________． 解析：因为a 7a 11＝a 4a 14＝6，又a 4＋a 14＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2，a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2，所以a 20a 10＝q 10＝a 14a 4， 所以a 20a 10＝32或a 20a 10＝23. 答案：32或234．在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则x ＋y ＋z 的值为________．解析：∵x 2＝24，∴x ＝1.∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5，6.同理，第二行后两格中数字分别为2.5，3.∴y ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫123，z ＝6·⎝ ⎛⎭⎪⎫124.∴x ＋y ＋z ＝1＋5·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋6·⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝3216＝2.答案：25．设数列{}a n 是等差数列，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12an ，已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1·b 2·b 3＝18，求数列{}a n 的通项公式．解：设数列{}a n 的公差为d ，则b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12d为非零常数，∴数列{}b n 是等比数列，设公比为q .∵b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1·b 2·b 3＝18， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2q ＋b 2＋b 2q ＝218，b 32＝18.解得b 2＝12，q ＝14或q ＝4.当q ＝4时，b 1＝18，b n ＝b 1·q n －1＝18×4n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125－2n .又b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，∴a n ＝5－2n .当q ＝14时，b 1＝2，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －3.又b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12an ，∴a n ＝2n －3. 综上可知a n ＝5－2n 或a n ＝2n －3.6．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36，求此数列的通项公式．解：∵a 1a 5＝a 2a 4＝a 23，a 2a 6＝a 3a 5，a 3a 7＝a 4a 6＝a 25，∴由⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36得⎩⎪⎨⎪⎧a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100，a 23－2a 3a 5＋a 25＝36， 即⎩⎪⎨⎪⎧（a 3＋a 5）2＝100，（a 3－a 5）2＝36.∵数列{a n }的各项均为正数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝10，a 3－a 5＝±6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 5＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝2，a 5＝8.∴公比q ＝a 5a 3＝12或2. ∴a n ＝a 3·q n －3＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＝26－n或a n ＝2×2n －3＝2n －2.即a n ＝26－n或a n ＝2n －2.。

课时作业(十一) 直线的倾斜角与斜率[练基础]1．直线l 经过原点和点(－2，2)，则l 的斜率是( )A ．0B ．－1C ．1D ．不存在2．下列直线中，倾斜角为锐角的是( )A ．x －y ＋1＝0B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝1D ．x ＝23．已知点A (1，3 )，B (－1，33 )，则直线AB 的倾斜角为( )A ．2π3B ．π6C ．π3D ．5π64．直线l 的倾斜角等于直线3 x －y ＝0倾斜角的2倍，则直线l 的斜率是( ) A ．233 B ．3 C ．23 D ．－3 5．(多选)下列说法中，正确的是( )A ．直线的倾斜角为α，且tan α>0，则α为锐角B ．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC ．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0D ．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α6．已知点A (m ，2)，B (3，0)，若直线AB 的斜率为1，则m ＝________．7．已知点A (1，1)，B (3，5)，若点C (－2，t )在直线AB 上，则实数t 的值为________．8．已知两点P (1－m ，1＋m )和Q (3，5m ).(1)m 为何值时，直线PQ 的斜率不存在；(2)m 为何值时，直线PQ 的斜率等于－3.[提能力]9．(多选)若经过A (1－a ，1＋a )和B (3，a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的值可能为( )A ．－2B ．0C ．1D ．210．若直线l 的方程为x －y sin θ＋2＝0，则直线l 的倾角α的范围是( )A ．[0，π]B ．[π4 ，π2] C ．[π4 ，3π4 ] D ．[π4 ，π2 )∪(π2 ，3π4) 11．已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (1，0)的直线l 与线段AB 有公共点，则l 的倾斜角α的取值范围是________；直线l 的斜率k 的取值范围是________．12．若A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，求证：1a ＋1b ＝12. [培优生]13．已知正△ABC 的顶点A (1，1)，B (1，3)，顶点C 在第一象限，若点P (x ，y )是△ABC内部及其边界上一点，则y x ＋1的最大值为( ) A ．12 B ．32C ．23D ．33－32。

[即时达标对点练]题组1 充分、必要条件的判断1．“数列{a n }为等比数列”是“a n ＝3n (n ∈N *)”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和2x －2ay ＝1平行”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．“sin A ＝12”是“A ＝π6”的__________条件． 题组2 充要条件的证明5．函数y ＝(2－a )x (a <2且a ≠1)是增函数的充要条件是 ( )A ．1< a <2 B.32< a <2 C ．a <1 D ．a <06．求证：一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充要条件是b ＝0.题组3 利用充分、必要条件求参数的范围7．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．a >0C ．a <－1D ．a <18．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝________．9．已知M ＝{x |(x －a )2<1}，N ＝{x | x 2－5 x －24<0}，若N 是M 的必要条件，求a 的取值范围．[能力提升综合练]1．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件2．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1 ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．平面α∥平面β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α4．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立的一个充分不必要条件是－2< x <－1，则a 的取值范围是________．6．下列命题：①“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充要条件；②b 2－4ac <0是一元二次不等式a x 2＋b x ＋c <0解集为R 的充要条件；③“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充分不必要条件；④“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0 ”的必要不充分条件．其中真命题的序号为________．7．已知方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．8．已知条件p ：|x －1|>a 和条件q ：2x 2－3x ＋1>0，求使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a .答 案即时达标对点练1. 解析：选B 当a n ＝3n 时，{a n }一定为等比数列，但当{a n }为等比数列时，不一定有a n ＝3n ，故应为必要不充分条件．2. 解析：选A 由a ＋b ＝0可知a ，b 是相反向量，它们一定平行；但当a ∥b 时，不一定有a ＋b ＝0，故应为充分不必要条件．3. 解析：选C 当a ＝0时，两直线方程分别为x ＝1和2x ＝1，显然两直线平行；反之，若两直线平行，必有1×(－2a )＝(－2a )×2，解得a ＝0，故应为充要条件．4. 解析：由sin A ＝12不一定能推得A ＝π6，例如A ＝5π6等；但由A ＝π6一定可推得sin A ＝12，所以“sin A ＝12”是“A ＝π6”的必要不充分条件． 答案：必要不充分5. 解析：选C 由指数函数性质得，当y ＝(2－a )x (a <2且a ≠1)是增函数时，2－a >1，解得a <1.故选C.6. 证明：①充分性：如果b ＝0，那么f (x )＝kx ，因为f (－x )＝k (－x )＝－kx ，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．②必要性：因为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )对任意x 均成立，即k (－x )＋b ＝－kx ＋b ，所以b ＝0.综上，一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充要条件是b ＝0.7. 解析：选C ∵一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一正根和一负根．由于{a|a<－1}{a|a<0}，故选C .8. 解析：x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8互相垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23.答案：－239. 解：由(x －a )2<1，得a －1<x <a ＋1，由x 2－5 x －24<0，得－3<x <8.∵N 是M 的必要条件，∴M ⊆N .故a 的取值范围为[－2，7]．能力提升综合练1. 解析：选A 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．2. 解析：选B 因为0< x <π2，所以0<sin x <1.由x ·sin x <1知x sin 2x <sin x <1，因此必要性成立．由x sin 2x <1得x sin x < ，而>1，因此充分性不成立．3. 解析：选D 当满足A 、B 、C 三个选项中的任意一个选项的条件时，都有可能推出平面α与β相交，而得不出α∥β，它们均不能成为α∥β的充分条件．只有D 符合．4. 解析：选C { a n }为等比数列，a n ＝a 1·q n －1，由a 1<a 2<a 3，得a 1<a 1 q <a 1 q 2，即a 1>0，q >1或a 1<0，0< q <1，则数列{ a n }为递增数列．反之也成立．5. 解析：根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1){ x |( a ＋x )(1＋x )<0}，故有a >2.答案：(2，＋∞)6. 解析：①x >2且y >3时，x ＋y >5成立，反之不一定，如x ＝0，y ＝6.所以“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充分不必要条件；②不等式解集为R 的充要条件是a <0且b 2－4ac <0，故②为假命题；③当a ＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则a 1＝21，∴a ＝2.因此，“a ＝2”是“两直线平行”的充要条件；④lg x ＋lg y ＝lg(xy )＝0，∴xy ＝1且x >0，y >0.所以“lg x ＋lg y ＝0”成立，xy ＝1必然成立，反之不然．因此“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件．综上可知，真命题是④.答案：④7. 解：令f (x )＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2，则方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的实数根 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2k －1）2－4k 2≥0，－2k －12>1，f （1）>0⇔k <－2.因此k <－2是使方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的实数根的充要条件．8. 解：依题意a >0.由条件p ：|x －1|>a ，得x －1<－a 或x －1>a ，∴x <1－a 或x >1＋a .由条件q ：2x 2－3x ＋1>0，得x <12或x >1. 要使p 是q 的充分不必要条件，即“若p ，则q ”为真命题，逆命题为假命题，应有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤12，1＋a >1或⎩⎪⎨⎪⎧1－a <12，1＋a ≥1，解得a ≥12.令a ＝1，则p ：x <0或x >2， 此时必有x <12或x >1. 即p ⇒q ，反之不成立．∴最小正整数a ＝1.。

课时达标训练（十七）[即时达标对点练]题组1 求函数的极值1．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( )A ．2B ．－1和2C ．－1D ．－3 2．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值 D ．极小值－27，无极大值3．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4，5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．其中正确的结论为________． 题组2 已知函数的极值求参数4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1，3 C ．－1，3 D ．－1，－35．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0，1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( ) A ．b <1 B ．b >1 C ．0<b <1 D ．b <126．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．题组3 含参数的函数的极值问题7．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y轴．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．8．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．[能力提升综合练]1．函数f (x )＝－x 3＋x 2＋x －2的零点个数及分布情况为( ) A ．一个零点，在⎝⎛⎭⎫－∞，－13内 B ．二个零点，分别在⎝⎛⎭⎫－∞，－13，(0，＋∞)内 C ．三个零点，分别在⎝⎛⎭⎫－∞，－13，⎝⎛⎭⎫－13，1，(1，＋∞)内 D ．三个零点，分别在⎝⎛⎭⎫－∞，－13，(0，1)，(1，＋∞)内 2.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )·f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)3．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0，1)内有极小值没有极大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．(－∞，3) C ．(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，32 4．设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0) B ．－x 0是f (－x )的极小值点 C ．－x 0是－f (x )的极小值点 D ．－x 0是－f (－x )的极小值点5．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________．6.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的极大值为5，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.7．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．答 案即时达标对点练1. 解析：选C f ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x ＋1)(x －2)，则在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上，f ′(x )<0，在区间(－1，2)上，f ′(x )>0，故当x ＝－1时，f (x )取极小值．2. 解析：选C 由y ′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1或x ＝3.当x <－1或x >3时，y ′>0；当－1<x <3时，y ′<0.∴当x ＝－1时，函数有极大值5；3∉(－2，2)，故无极小值． 3. 解析：由图象知，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0， 所以f (x )在(－∞，－2)上为减函数，同理，f (x )在(2，4)上为减函数，在(－2，2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数， 所以可排除①和②，可选择③.由于函数在x ＝2的左侧递增，右侧递减， 所以x ＝2时，函数有极大值；而在x ＝－12的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x ＝－12的左右两侧均为增函数，所以x ＝－12不是函数的极值点．排除④和⑤.答案：③4. 解析：选A f ′(x )＝3ax 2＋b ， 由题意知f ′(1)＝0，f (1)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1，b ＝－3. 5. 解析：选C f ′(x )＝2x －2b ＝2(x －b )，令f ′(x )＝0，解得x ＝b ，由于函数f (x )在区间(0，1)内有极小值，则有0<b <1.当0<x <b 时，f ′(x )<0；当b <x <1时，f ′(x )>0，符合题意．所以实数b 的取值范围是0<b <1.6. 解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， ∵函数f (x )既有极大值又有极小值， ∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)>0.即a 2－a －2>0，解之得a >2或a <－1. 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)7. 解：(1)因为f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝（3x ＋1）（x －1）2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－13不在定义域内，舍去)．当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值，且f (1)＝3.8. 解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax.(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a ，又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．能力提升综合练1. 解析：选A 利用导数法易得函数在⎝⎛⎭⎫－∞，－13内递减，在⎝⎛⎭⎫－13，1内递增，在(1，＋∞)内递减，而f ⎝⎛⎭⎫－13＝－5927<0，f (1)＝－1<0，故函数图象与x 轴仅有一个交点，且交点横坐标在⎝⎛⎭⎫－∞，－13内． 2. 解析：选D 由图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．3. 解析：选D f ′(x )＝3x 2－2a ， ∵f (x )在(0，1)内有极小值没有极大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（0）<0，f ′（1）>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2a <0，3－2a >0.即0<a <32.4. 解析：选D 取函数f (x )＝x 3－x ，则x ＝－33为f (x )的极大值点，但f (3)>f ⎝⎛⎭⎫－33，排除A.取函数f (x )＝－(x －1)2，则x ＝1是f (x )的极大值点，但－1不是f (－x )的极小值点，排除B ；－f (x )＝(x －1)2，－1不是－f (x )的极小值点，排除C.故选D.5. 解析：设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2；若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.答案：－2或2 6. 解析：由题图得依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝5，f ′（1）＝0，f ′（2）＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝5，3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0. 解得a ＝2，b ＝－9，c ＝12. 答案：2 －9 127. 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8，从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．8．求函数f (x )＝x 3－3x 2－a (a ∈R )的极值，并讨论a 为何值时函数f (x )恰有一个零点． 解：f ′(x )＝3x 2－6x ，函数f (x )的定义域为R ， 由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因此，函数在x ＝0处有极大值，极大值为f (0)＝－a ； 在x ＝2处有极小值，极小值为f (2)＝－4－a .函数y ＝f (x )恰有一个零点即y ＝f (x )的图象与x 轴只有一个交点(如图)，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （2）>0或⎩⎪⎨⎪⎧f （0）<0，f （2）<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－a >0，－4－a >0或⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，－4－a <0，解得a <－4或a >0，所以当a >0或a <－4时，函数f (x )恰有一个零点．。

课时作业(十一)1．在二项式(x 2－1x)5的展开式中，含x 4的项的系数是( )A ．－10B ．10C ．－5D ．5答案 B解析 展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r·(－1x)r ＝(－1)r ·C r 5·x 10－3r，令10－3r ＝4，∴r ＝2，则x 4的系数是(－1)2·C 25＝10.故选B. 2．(2x 3－12x 2)10的展开式中的常数项是( )A ．210 B.1052 C.14 D ．－105答案 B3．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( ) A ．840 B ．－840 C ．210 D ．－210答案 A解析 T 4＋1＝C 410x 6(－2y )4＝C 410×4x 6y 4＝840x 6y 4. 4．二项式(52＋77)24展开式中的整数项是( ) A ．第15项 B ．第14项 C ．第13项 D ．第12项答案 A解析 (52＋77)24展开式的通项为C r24(52)24－r ·(77)r .要使其为整数，应使24－r 5与r 7都是整数，观察易知r ＝14时24－r 5＝2，r7＝2皆为整数，因此所求为第r ＋1项，即第15项．5．把(3i －x )10(i 是虚数单位)按二项式定理展开，展开式的第8项的系数是( ) A ．135 B ．－135 C ．－3603i D ．3603i答案 D解析 ∵T 7＋1＝C 710(3i)3(－x )7＝－C 71033i 3x 7＝C 71033i x 7，所以展开式的第8项的系数为33·C 710i ，即3603i.6．在(x ＋1)(2x ＋1)·…·(nx ＋1)(n ∈N *)的展开式中一次项系数为( ) A ．C 2n B ．C 2n ＋1 C ．C n －1n D.12C 3n ＋1 答案 B解析 1＋2＋3＋…＋n ＝n ·n ＋12＝C 2n ＋1.7．(2011·陕西理)(4x－2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．20答案 C解析 T r ＋1＝C r 6(22x )6－r(－2－x )r ＝(－1)r C r 6(2x )12－3r，r ＝4时，12－3r ＝0，故第5项是常数项，T 5＝(－1)4C 46＝15.8．(2013·安徽)若(x ＋a3x)8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________.答案 12解析 由二项式(x ＋a3x)8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8a rx 8－43r ，令8－43r ＝4，可得r ＝3.故C 38a 3＝7，∴a ＝12.9．(x －y )10的展开式中，x 7y 3的系数与x 3y 7的系数之和等于________． 答案 －240解析 (x －y )10展开式的通项为T r ＋1＝C r 10x10－r (－y )r ＝(－1)r C r 10x 10－r y r， ∴x 7y 3的系数为－C 310，x 3y 7的系数为－C 710. ∴所求的系数和为－(C 710＋C 310)＝－2C 310＝－240.10．化简：(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4x －3的值为________． 答案 x 4解析 原式为(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1 ＝[(x －1)＋1]4＝x 4.11．(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中，x 2的系数等于________． 答案 －20解析 方法一 所给的代数式是五个二项式的代数和．因此所求的x 2的系数就应该是这五个二项式的展开式中x 2的系数的代数和，即－C 02－C 13－C 24－C 35＝－20.方法二 也可以利用等比数列求和公式，将原式化为x －1[1－1－x5]1＋x －1＝x －1＋x －16x.可以看出，所求的x 2的系数就是(x －1)6中x 3的系数，即为－C 36＝－20.12．在(x －a )10的展开式中，x 7的系数是15，则实数a ＝________. 答案 －1213．(32＋12)50的二项展开式中，整数项共有________项．答案 4解析 T k ＋1＝C k50(32)50－k ·(12)k ＝C k 50·2100－5k 6.由0≤k ≤50，且k ∈N 可知，当k ＝2,8,14,20时， 100－5k6取整数，即展开式中有4项是整数项． 14．求(x ＋1x－1)5展开式中的常数项．解析 方法一 (x ＋1x －1)5＝(x ＋1x －1)(x ＋1x －1)(x ＋1x －1)(x ＋1x －1)(x ＋1x－1)．按多项式乘法的规律，常数可从五个因式中都选取－1相乘为(－1)5；若从五个因式中选定一因式取x ，一因式取1x，另三个因式中取(－1)，为C 15C 14(－1)3；若从五个因式某两因式中取x ，另两因式中取1x，余下一个因式中取－1，所得式为C 25C 23(－1)，所以常数项为(－1)5＋C 15C 14(－1)3＋C 25C 23(－1)＝－51.方法二 由于本题只有5次方，也可以直接展开，即[(x ＋1x )－1]5＝(x ＋1x )5－5(x ＋1x )4＋10(x ＋1x )3－10(x ＋1x )2＋5(x ＋1x)－1.由x ＋1x 的对称性知，只有在x ＋1x的偶数次幂中的展开式中才会出现常数项且是各自的中间项，∴常数项为－5C 24－10C 12－1＝－51.方法三 ∵(x ＋1x －1)5＝[(x ＋1x)－1]5，∴通项为T r ＋1＝C r 5(x ＋1x)5－r ·(－1)r(0≤r ≤5)．当r ＝5时，T 6＝C 55(－1)5＝－1； 当0≤r <5时，(x ＋1x)5－r的通项为T ′k ＋1＝C k 5－r x5－r －k ·(1x)k＝C k 5－r x5－r －2k(0≤k ≤5－r )．∵0≤r <5，且r ∈Z ，∴r 只能取1或3相应的k 值分别为2或1. ∴常数项为C 15C 24(－1)＋C 35C 12(－1)3＋(－1)＝－51. ►重点班选做题15．(2010·全国卷Ⅰ)(1－x )4(1－x )3的展开式中x 2的系数是( ) A ．－6 B ．－3 C ．0 D ．3答案 A解析 由于(1－x )4的通项为T r ＋1＝C r 4(－x )r ＝(－1)r C r 4x r ，(1－x )3的通项为T k ＋1＝(－1)k C k3，所以乘积中的x 2项的系数为(1－x )4中的x 2项的系数和x 的系数分别乘(1－x )3中的常数项和x 的系数再求和得到，即6×1＋(－4)×3＝6－12＝－6.16．(2011·新课标全国理)(x ＋a x)(2x －1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40答案 D解析 对于(x ＋a x)(2x －1x)5，可令x ＝1得1＋a ＝2，故a ＝1.(2x －1x)5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (－1x )r ＝C r 525－r ×(－1)r ×x 5－2r ，要得到展开式的常数项，则x ＋1x 的x 与(2x －1x)5展开式的1x 相乘，x ＋1x 的1x 与(2x －1x)5展开式的x 相乘，故令5－2r ＝－1，得r ＝3.令5－2r＝1，得r ＝2，从而可得常数项为C 35×22×(－1)3＋C 25×23×(－1)2＝40.17．若(cos φ＋x )5的展开式中x 3的系数为2，则sin(2φ＋π2)＝________.答案 －35解析 由二项式定理，得x 3的系数为C 35cos 2φ＝2，得cos 2φ＝15，故sin(2φ＋π2)＝cos2φ＝2cos 2φ－1＝－35.18．(2011·浙江理)设二项式(x －a x)6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________．答案 2 解析。