《乘法公式——平方差公式》
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乘法公式—— 平方差公式
乘法分式——平方差公式一、内容及内容解析《平方差公式》是人教版新教材八年级上册第十五章第二节的内容，本节内容只需一课时完成，主要内容是平方差公式的推导及使用。
平方差公式是学生在已经学习了多项式乘法的基础上，再次应用乘法公式对多项式乘法实行简便运算的知识。
平方差公式不但是对乘法公式的进一步补充，它还为后面因式分解学习奠定了基础。
所以本节课的教学重点是：平方差公式的推导及应用二、目标和目标解析：目标：1、经历探索平方差公式的全过程2、能使用公式实行简单的运算3、在探索平方公式的过程中，培养学生观察、归纳、概括的水平。
目标解析：（1）学生通过对几道特殊的多项式乘法的观察、计算、猜想、验证，归纳出平方差公式。
（2）通过图形让学生找出平方差公式与面积之间的内在联系，进而感受到数与形的统一。
（3）通过剖析平方差公式的结构和分类练习，让学生熟练掌握平方差公式。
三、教学问题诊断分析学生刚学过多项式乘法已有一定基础，但本节课是特殊形式的多项式相乘，主要体现在结构特殊性上，而这种特殊形式又灵活多样，学生常常在字母表示的广泛含义上不易掌握，在乘法公式的灵活使用时常发生多种错误，常见的错误有：①学生难于跳出原有的定式思维；②符号错误；③混淆公式；④变式应用难以掌握。
所以，本节课的难点定为：理解平方差公式的结构特征，并能灵活使用平方差公式。
鉴于此，本节的教学难点是：揭示平方差公式的结构特征和公式的灵活使用。
四教学支持条件：利用多媒体展示教学的部分环节五、教学过程分析教学流程图：创设情境、导入新课自主探索、获取新知应用新知、形成技能变式训练、巩固提升总结归纳、上升理性即时反馈、查漏补缺教学情景：（一）创设情景，导入新课王力同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖10.2千克，售货员刚拿起计算器，王力就说出应付99.6元，结果与售货员计算出的结果吻合。
售货员很惊讶地说：“你怎么算得这么快？”王力同学说：“我仅仅用了在数学上刚学过的一个公式”。
平方差公式
平方差公式一、内容和内容解析【内容】八年级上册第15章第2节乘法公式---平方差公式【内容解析】整式乘法的平方差公式是把特殊形式的多项式相乘写成公式的形式，既为符合公式特征的整式乘法运算带来简便；又为后续学习用公式法分解因式奠定基础；同时平方差公式将在九年级“一元二次方程”中有广泛地应用。
“平方差公式”又是初中阶段的第一个公式，无论是公式的探究过程，还是结构特征的剖析都是学习其它公式的基础。
所以“平方差公式”是一个重要公式。
基于上述分析，确定本节的教学重点是；理解并掌握平方差公式及其结构特征；会运用此公式进行计算。
二、目标和目标解析【目标】1、了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题。
2、经历平方差公式产生的过程，体验知识的产生与发展，积累数学活动的经验，感受利用归纳、转化、数形结合等数学思想与方法解决数学问题的策略。
3、在探索平方差公式的过程中，培养学生观察、归纳、概括的能力，同时在解决问题过程中学会与他人合作交流。
在公式的学习及运用中积累解题的经验、体会成功的喜悦，增强学生学数学、用数学的兴趣，【目标解析】1、了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题。
让学生经历特例—归纳—猜想—验证—用数学符号表示，这一数学活动过程，进一步发展学生的符号感、推理能力、归纳能力，让学生能清楚地知道公式中a 、b 各代表什么，并在运用中与平方差公式的结构特征联系起来分析解答题目。
2、在探索平方差公式的过程中，培养学生观察、归纳、概括的能力，体会数形结合、转化等思想。
让学生能够认识到从具体到抽象，从特殊到一般，找寻规律，自我归纳，建立解决同类问题的模型，并能了解公式的几何意义及运用转化的思想解决数学问题。
3、通过探索新知，应用新知这一过程，创设自主探究与合作交流的学习气氛。
体验知识的产生与发展，积累数学活动的经验，在公式的学习及运用中积累解题的经验、体会成功的喜悦，增强学生学数学、用数学的兴趣，三、教学问题诊断分析学生的认知基础：第一、七年级学生已有用字母表示数的基础。
第03讲乘法公式(原卷版)
第03讲 乘法公式 课程标准 学习目标①平方差公式②完全平方公式 1. 能推导平方差公式，了解平方差公式的几何意义，掌握平方差公式的特点，熟练的对平方差公式进行应用。
2. 能推导完全平方公式，了解完全平方公式的几何意义，掌握完全平方公式的特点，熟练的对完全平方公式进行应用。
1. 平方差公式的内容：两个数的和乘以两个数的差等于这两个数 的差。
即()()=-+b a b a 。
注意：可以是两个相等的数，也可以是两个相同的式子。
用符号相同项的平方减去符号相反项的平方。
2. 式子特点分析：()()22b a b a b a -=-+：两个二项式相乘，若其中一项 ，另一项 ，则等于他们 项的平方减去 项的平方。
3. 平方差公式的几何背景：如图：将图①的蓝色部分移到图②的位置。
图①的面积为：()()b a b a -+；图②的面积为：22b a -；图①与图②的面积相等。
所以()()22b a b a b a -=-+题型考点：①平方差公式的计算。
②利用平方差公式求值。
③平方差公式的几何背景应用。
④利用平方差公式简便计算。
【即学即练1】1．下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）A ．B ．（﹣2x +3y ）（﹣3y ﹣2x ）C ．（﹣2x +y ）（﹣2x ﹣y ）D ．（x ﹣1）（﹣x +1）【即学即练2】2．计算：（1）（a +b ）（a ﹣2）； （2）；（3）（m +n ）（m ﹣n ）； （4）（0.1﹣x ）（0.1+x ）； （5）（x +y ）（﹣y +x ）．【即学即练3】3．若x ﹣y ＝2，x 2﹣y 2＝6，则x +y ＝ ．【即学即练4】4．已知m ﹣n ＝1，则m 2﹣n 2﹣2n 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．0D ．2【即学即练5】5．如图（1），在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（ ）A ．（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2B ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2C ．a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）D ．（a +b ）2＝（a ﹣b ）2+4ab 【即学即练6】6．20142﹣2013×2015的计算结果是 ．知识点02 完全平方公式1. 完全平方公式的内容：①完全平方和公式：两个数的和的平方，等于这两个数的 的和 这两个数乘积的两倍。
《乘法公式》PPT课件教学课件初中数学1
分析： (a+b)2
(a−b)2
4ab
(a+b)2 =a2+2ab+b2
a2+b2
(a−b)2
=a2−2ab+b2 ab=？
巩固练习
练习 已知(a+b)2=7，(a−b)2=3，求a2+b2的值.
解： ∵ ( a + b ) 2= a 2+ 2 a b + b 2，
(a−b)2=a2−2ab+b2，
(a±b)2 = a2±2ab+b2. (a±b)2=a2±2ab+b2． (a+b)(a−b)=a2−b2. 平方差公式：(a+b)(a−b) =a2−b2. 例 运用乘法公式计算： (a+b)(a−b) =a2−b2； = x4−8x2y2+16y4； x2+y2= (x−y)2+2xy 例 运用乘法公式计算： 两数和的完全平方公式： 乘法交换律： a×b=b×a. (1) (x+y+1)(x+y−1)
例题讲解
例 求代数式的值：
(2) 已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值.
分析： x−y , xy
x2＋y2
(x−y)2=x2−2xy+y2
x2+y2= (x−y)2+2xy
例题讲解
例 求代数式的值： (2) 已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值. 解： ∵ ( x − y ) 2= x 2− 2 x y + y 2，
= x2+6xy+9y2−x2+9y2
4.灵活运用公式：
= x2+6xy+9y2−(x2−9y2)
乘法公式之平方差公式
乘法公式之平方差公式平方差公式是数学中的乘法公式之一，它描述了两个数的平方之差可以分解为两个数相加乘以两个数之差的形式。
简单来说，平方差公式就是将两个数的平方相减得到一个差，再将差因式分解为两个因数之和乘以两个因数之差的形式。
平方差公式可以用于解决各种数学问题，特别是代数和几何中的问题。
在此文中，我们将探讨平方差公式的推导和应用，并提供一些例题供参考。
一、平方差公式的推导平方差公式可以从两个数的乘积的展开式推导得到。
假设有两个数a和b，它们的平方之差可以表示为：(a+b)*(a-b)=a^2-b^2在这个式子中，左边是两个数的乘积，右边是两个数的平方之差。
我们可以进行展开和简化来证明这个公式的正确性。
对(a+b)*(a-b)进行展开，得到：(a+b)*(a-b)=a*a-a*b+b*a-b*b= a^2 - ab + ba - b^2= a^2 - ab + ab - b^2=a^2-b^2从上述的推导过程可以看出，平方差公式成立。
这个公式的推导并不复杂，但是它在解决数学问题中的应用非常广泛。
二、平方差公式的应用平方差公式可以用于解决各种数学问题，包括代数和几何中的问题。
下面，我们将介绍两个具体的应用例题供参考。
例题1：已知两个数的和为8，平方之差为28，求这两个数。
解：设两个数为x和y，根据题目条件可以得到两个方程：x+y=8(1)x^2-y^2=28(2)从第一个方程中解出x，代入第二个方程可以得到：(8-y)^2-y^2=2864-16y+y^2-y^2=28-16y=-36y=2.25将y的值代入第一个方程可以解出x：x+2.25=8x=8-2.25x=5.75所以，这两个数分别为5.75和2.25例题2：已知正方形的面积为36平方米，求正方形边长的平方之差。
解：设正方形的边长为x，根据题目条件可以得到一个方程：x^2=36解方程可以得到正方形的边长：x=√36x=6根据平方差公式，正方形边长的平方之差为：(6+x)*(6-x)=6^2-x^2=36-36=0所以，正方形的边长的平方之差为0。
乘法公式
乘法公式: ⑶三数和平方公式:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
例1 计算⑴(x+2y+z)2;
⑵(m－n－3)2
解:⑴原式=x2+(2y)2+z2+2x·2y+2xz+2·2yz =x2+4y2+z2+4xy+2xz+4yz.
⑵原式=m2+(－n)2+(－3)2+2m·(－n)+2m(－3)+2(－n)(－3) =m2+n2+9－2mn－6m+6n.
2
4
解:⑴原式=x3－33=x3－27.
⑵原式=(2x)3+( 1 )3=8x3+ 1
2
8
计算：
1.x 1x 1x2 x 1x2 x 1
例4 下列各式,能用立方和,立方差公式计算的是__②__④____. ①(a－1)(a2－a+1); ②(x2－y)(x4+x2y+y2); ③(a+b)(a2－2ab+b2); ④(a－2b)(a2+2ab+4b2).
乘法公式: ⑸两数和立方公式:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3; 两数差立方公式:(a－b)3=a3－3a2b+3ab2－b3
证明:(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b) =a3+a2b+2a2b+2ab2+ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a－b)3=([a－+(－b)2b()a]－3=ab3)+=3(a22－(－2ba)b++3ba2()－(a－b)2b+)(－b)3 =a3－a32ab2b－+23a2bb2+－2bab3 2+ab2－b3=a3－3a2b+3ab2－b3
乘法公式之平方差公式
乘法公式之平方差公式平方差公式是一种与乘法相关的数学公式，用于计算两个数的平方之差。
它的应用领域非常广泛，例如在代数、几何、物理等方面都有广泛的运用。
在这篇文章中，我们将详细介绍平方差公式，并给出一些实际问题的例子来说明它的应用。
平方差公式的数学表达式如下：(a+b)*(a-b)=a^2-b^2其中，a和b是任意实数。
平方差公式可以通过展开左边的乘法式，然后合并项得到右边的表达式。
这个公式起到了将两个数的平方之差转化为两个数的乘积的作用，方便了计算和运算。
平方差公式的证明可以通过配方法来完成。
我们将上述公式左边的乘法式进行展开：(a+b)*(a-b)=a*a-a*b+b*a-b*b由于乘法满足交换律，所以可以简化为：a*a-a*b+a*b-b*b再次合并相同项，得到：a*a-b*b这正是右边公式的表达式，证明了平方差公式的正确性。
接下来，让我们通过一些实际问题的例子来说明平方差公式的实际应用。
例子1：假设小明家的房子面积为40平方米，房子的长和宽相差5米，问房子的长和宽各是多少米？解：设房子的长为x米，宽为x-5米。
根据题意，可以列出方程：x*(x-5)=40应用平方差公式展开上式：x^2-5x-40=0我们可以使用因式分解、配方法或求根公式等方法解这个一元二次方程，求得房子的长和宽分别为10米和5米。
例子2：公司在去年和今年的年度销售额分别为100万和120万。
问今年的销售额比去年增长了多少百分比？解：设去年的销售额为a万，今年的销售额为b万。
根据题意，可以列出方程：(b-a)*(b+a)=20应用平方差公式展开上式：b^2-a^2=20我们可以求解这个二元一次方程，得到b=110万。
今年的销售额比去年增长了10%。
通过以上两个例子，我们可以看到平方差公式在实际问题中的应用。
它可以帮助我们将复杂的运算转化为简单的乘法运算，方便了计算和解题。
除了上述例子，平方差公式在代数中的运用也非常广泛。
例如，在因式分解中可以使用平方差公式将二次多项式进行因式分解。
平方差公式ppt
(－3y) ² － (2x) ² 9y² －4x²
例4：用平方差公式进行计算。 (1) 101×99 解：(1) 101×99=(100+1)(100-1) =1002-12 =9999
练习：用平方差公式进行计算。 (1) 102×98 (2) 99.8×100.2
小结：
1．什么是平方差公式？ (a+b)(a-b)=a2-b2 2．运用公式要注意什么？ (1)要符合公式特征才能运用平方差公式； (2)有些式子表面不能应用公式，但实质 能应用公式，要注意变形．
作业：
学法大视野课后提升“基础达标”
上面各式中，相乘的两个多项式之间有什么特点？ 它们相乘的结果有什么规律？
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
平方差公式 2 2 (a+b)(a-b)=a -b
两个数的和与这两个数的差 的积，等于这两个数的平方差。
做一做
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
看成平方 看成平方 写出“a2-b2” 计算结果 差公式中 差公式中 的形式 a的项 b的项
2 2
解：（1）(2 x 1)(2 x 1) (2 x) 1
4x2 1
（2）( x 2 y)(x 2 y) x 2 (2 y)2 x 2 4 y 2
（3）(m n)(m n) (m) 2 n2 m2 n 2
例2 计算：
(− 4a−1)(4a−1)
= − (4a+1) (4a−1) = [ (4a)2 −1 ] = [ 16a2 −1 ] = −16a2+1 2 = 1−16a
⑴ (a+1)(a-1)= a2-1 ⑵ (3+x)(3-x)= 9-x2
平方差公式说课稿
《14.2.1 乘法公式(1)—平方差公式》说课稿各位评委老师，你们好！今天我说课的题目是新人教版教材八年级上册第 14 章第 2 节《乘法公式》第一课时，主要内容是平方差公式的推导及其应用。
一、教材分析1、教材的地位与作用平方差公式是在学生学习了整式乘法的基础上继续学习的。
这节课非但是对前面所学整式乘法知识的进一步使用，也是后面学习因式分解、分式等内容的基础，起到了承上起下的作用，它是用推理的形式实行恒等变形的第一次训练，也是因式分解中公式法的重要基础，在代数中具有广泛的应用，于是它是本章的一个重点内容。
2、教学目标根据学生的理解水平，结合本节教学内容特点，确定本节课的教学目标：(1)．理解平方差公式，能使用公式实行计算。
(2)．在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想。
3、教学重点和难点根据新课程标准，在吃透教材基础上，确定了以下的教学重点和难点：教学重点是平方差公式教学难点是平方差公式的变式使用二、学情分析学生之前已经有了学习多项式乘法的基础，所以很容易通过具有特殊形式的多项式相乘，直接推导得出平方差公式。
正因为学生刚学过多项式的乘法，学生在解题时因为思维定势，往往还是用多项式乘法的方法来作这节课的题目，所以在教学中要让学生体验应用平方差公式计算多项式乘法的简便性。
利用图形验证该公式时，能够充分发挥小组合作的优势，形成为了良好的合作精神和合作气氛，注重课堂教学的有效性。
在使用公式解决具体问题时，能够兼顾不同水平的学生，充分调动学生的积极性，在练习题的设计上要针对学生的差异采取分层设计的方法。
三、教法和学法我们都知道数学是一门培养人的实践水平的重要学科。
所以，在教学过程中，非但要使学生“知其然”，还要使学生“知其所以然”。
我本着以“教师为主导-学生为主体-训练为主线”的原则，体现获取理论知识、解决实际问题方法的思维过程。
考虑到八年级学生的现状，我主要采取“指导观察-引导思量-启示联想-组织验证”的教法，让学生真正的参预活动，而且在活动中得到理解和体验，产生践行的愿望。
11.2 乘法公式(第1课时 平方差公式)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
图①，阴影部分的面积是 a2－ b2
；比较图①，图②阴影部分的面积，可以
得到乘法公式 ( a ＋ b )( a － b )＝ a2－ b2
课堂小结
5 −3 − 2 3 − 2
6 − 2 + 2 + 2 − 2 +
=（-2x-3 ）（-2x+3）
=x²-（2y）²+（2x）²-y²
=（-2x）²-3²
= x²-4y ²+4x²-y²
=4x²-9
=5x²-5 y²
分层练习-基础
1. 下列各式能用平方差公式计算的是( B
= 42 − 92 .
课本例题
例2
计算：
（1） − + 1 − − 1 ;
解（1）（ − + 1 − − 1
= − 2 − 12
= 2 − 1.
2 2 − 3 −2 − 3
2 2 − 3 −2 − 3
= −3 + 2 −3 − 2
=
( − 3)
2
− ( 2)
1. 计算：
（1） 2 + 5 2 − 5 ;
解： 1 2 + 5 2 − 5
= 2 ²- 5²
=4²-25
1 2 1
+
2
3
3
3
1 2 1
+
2
3
1
2
1 4
1
−
4
9
1 2 1
−
;
2
3
1 2 1
−
2
3
1
3
= （ 2 ）²−（ ）²
=
2 1 − 2 1 + 2
；比较图①，图②阴影部分的面积，可以
得到乘法公式 ( a ＋ b )( a － b )＝ a2－ b2
课堂小结
5 −3 − 2 3 − 2
6 − 2 + 2 + 2 − 2 +
=（-2x-3 ）（-2x+3）
=x²-（2y）²+（2x）²-y²
=（-2x）²-3²
= x²-4y ²+4x²-y²
=4x²-9
=5x²-5 y²
分层练习-基础
1. 下列各式能用平方差公式计算的是( B
= 42 − 92 .
课本例题
例2
计算：
（1） − + 1 − − 1 ;
解（1）（ − + 1 − − 1
= − 2 − 12
= 2 − 1.
2 2 − 3 −2 − 3
2 2 − 3 −2 − 3
= −3 + 2 −3 − 2
=
( − 3)
2
− ( 2)
1. 计算：
（1） 2 + 5 2 − 5 ;
解： 1 2 + 5 2 − 5
= 2 ²- 5²
=4²-25
1 2 1
+
2
3
3
3
1 2 1
+
2
3
1
2
1 4
1
−
4
9
1 2 1
−
;
2
3
1 2 1
−
2
3
1
3
= （ 2 ）²−（ ）²
=
2 1 − 2 1 + 2
乘法公式：平方差与完全平方.doc
用乘法公式减少错误的 一个窍门：提高口算能 力，简化变形步骤。
一、 细说乘法公式 1、平方差公式应用的条件:两个多项式相乘，一个多项式可以看作两数的和，另一个多项式正好是这两数的差,或两多项式中，一项相同，另一项互为相反数结果写成：(相同项)2.(相反项)22、完全平方公式：结果可看作对这两数分别平方，再加上它们乘积的2倍。
即写成：(a-b) 2=a 2+b 2-2ab 试写出：(a ・b ・c) 2=3、完全平方公式相关变形及推广：(t) a 2 +b 2 =(白 + bV 一 2ab =(白 一 Z?)2 + lab ； (2)(a + /?)2 - (a -b)2= 4ah ;。
(一o + /?)2 =[—(Q -/?) - = (a _ I,)'；"[—(Q + D )} =(Q + /?)2；⑤(a.b+c.d) 2 =二、 下列能运用什么乘法公式：3、 (b-a) (-a-b)〈比较两项的关系： 〉. • •乘法公式4、(-a-b) (a+b)〈比较两项的关系：〉. • ♦5、(-a+b) (-a-b)〈比较两项的关系：〉. • •6、(a+b)(-a+b)〈比较两项的关系：〉(1)(2)(2 X — 3 y)((3)(—a+ — ) ( —a ——) 5(―a —5 )()=25—a 2平方差公式等号右边为：(相 同项)2-(相反项)2那含Y 的是相同项还是相反 项呢？含X 的呢？(4) (x-1) (x 2+l)() = X 4-1(5) (a+b+c)(a-b~c)= [ a + ()][a -()](7) 99x101x10001(8) 20092 -2008x20107、 (_a -b) (a-b)〈比较两项的关系： 〉. ♦ ♦ ^―8、 (-a+b) (a-b)〈比较两项的关系： 〉平方差公式组题【典型例题】 9、热身训练(-x+-y) (-y--x)=23” 3” 2相由项 相如项用乘法公式运算:10. 计算：(1) x 2- (%-2y)(x + 2力 + (%2-力()，+ %2)12.解方程:5x + 6(3x + 2)(- 2 + 3x) - 541-X —Y 1) -X + — =2 13.己知两个连续奇数的平方差为2000,则这两个连续奇数分别是多少?IO 。
《平方差公式》PPT优质课件
= 9x2–16–6x2–5x+6 = 3x2–5x–10.
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
人教版八年级数学上册《14.2乘法公式平方差公式》说课稿
4.保持简洁，避免冗余信息。
（二）教学反思
在教学过程中，我预见到以下问题或挑战：
1.学生对平方差公式的推导和运用可能存在困难。
2.部分学生可能对公式的记忆不够牢固。
3.课堂互动可能不够充分。
为应对这些问题，我将：
1.及时解答学生的疑问，给予个别指导。
2.设计更多有趣的巩固练习，加强学生对公式的记忆。
3.作业目的：通过课后作业，让学生进一步巩固所学知识，提高解决问题的能力，为下一节课的学习打下基础。
五、板书设计与教学反思
（一）板书设计
我的板书设计将采用结构化布局，主要内容分为三个部分：引入部分、主体部分和总结部分。
1.引入部分：简要记录生活实例和提出的问题，激发学生兴趣。
2.主体部分：详细展示平方差公式的推导过程、数学表达式、例题及解题步骤，采用不同颜色粉笔突出重点。
（1）激发学生学习数学的兴趣，增强自信心；
（2）培养学生合作交流、积极参与的精神；
（3）使学生认识到数学在生活中的广泛应用，提高数学素养。
（三）教学重难点
根据对学生的了解和教学内容的分析，本节课的教学重点是：
（1）平方差公式的推导和应用；
（2）能够运用平方差公式进行因式分解；
（3）解决实际问题时的灵活运用。
1.教具：平方差公式卡片、示例题卡片，用于直观展示公式和例题，方便学生观察和理解。
2.多媒体资源：PPT、教学视频、数学软件等，通过图像、动画、声音等形式，丰富教学内容，提高学生的学习兴趣。
3.技术工具：互动电子白板、答题器等，实现实时互动、反馈，提高课堂参与度。
（三）互动方式
为了促进学生的参与和合作，我计划设计以下师生互动和生生互动环节：
3.总结部分：归纳平方差公式的特点、适用场景和注意事项。
（二）教学反思
在教学过程中，我预见到以下问题或挑战：
1.学生对平方差公式的推导和运用可能存在困难。
2.部分学生可能对公式的记忆不够牢固。
3.课堂互动可能不够充分。
为应对这些问题，我将：
1.及时解答学生的疑问，给予个别指导。
2.设计更多有趣的巩固练习，加强学生对公式的记忆。
3.作业目的：通过课后作业，让学生进一步巩固所学知识，提高解决问题的能力，为下一节课的学习打下基础。
五、板书设计与教学反思
（一）板书设计
我的板书设计将采用结构化布局，主要内容分为三个部分：引入部分、主体部分和总结部分。
1.引入部分：简要记录生活实例和提出的问题，激发学生兴趣。
2.主体部分：详细展示平方差公式的推导过程、数学表达式、例题及解题步骤，采用不同颜色粉笔突出重点。
（1）激发学生学习数学的兴趣，增强自信心；
（2）培养学生合作交流、积极参与的精神；
（3）使学生认识到数学在生活中的广泛应用，提高数学素养。
（三）教学重难点
根据对学生的了解和教学内容的分析，本节课的教学重点是：
（1）平方差公式的推导和应用；
（2）能够运用平方差公式进行因式分解；
（3）解决实际问题时的灵活运用。
1.教具：平方差公式卡片、示例题卡片，用于直观展示公式和例题，方便学生观察和理解。
2.多媒体资源：PPT、教学视频、数学软件等，通过图像、动画、声音等形式，丰富教学内容，提高学生的学习兴趣。
3.技术工具：互动电子白板、答题器等，实现实时互动、反馈，提高课堂参与度。
（三）互动方式
为了促进学生的参与和合作，我计划设计以下师生互动和生生互动环节：
3.总结部分：归纳平方差公式的特点、适用场景和注意事项。
平方差公式
平方差公式（说课稿）
教学设计说明
我说课的内容是：《乘法公式——平方差公式》。
本章的学习目的主要是熟练掌握整式的运算，并且这些知识是以后学习分式、根式运算以及函数等知识的基础，同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可或缺的数学工具。
而本节是整式乘法中乘法公式的首要内容，学生只有熟练掌握了包括平方差公式在内的乘法公式及它的推导过程，才能实现本节乃至本章作为数学工具的重要作用。
因此，在教学安排上，我选择从学生熟悉的求多边形面积入手，遵循从感性认识上升为理性思维的认知规律，得出抽象的概念，并在多项式乘法的基础上，
再次推导公式，使原本枯燥的数学概念具有一定的实际意义和说理性；之后安排了一系列的例题和练习题，把新知运用到实战中去，解决简单的实际问题，这样既调动了学生学习的主动性，又锻炼了思维，整个过程由浅入深，在对所得结论不断观察、讨论、分析中，加深对概念的理解，增强学生应用知识解决问题的能力，从而达到较好的授课效果。
数学是一门抽象的学科，但数学是来源于实际生活的。
因此，数学教育的目的是将数学运用到实际生活中去，让学生深切感受到数学是有价值的科学，来源于生活，是其他科学的基础。
本节公式中字母的含义对学生来讲很抽象，是本节的难点，也是学生运用公式解决实际问题的最大障碍，通过巩固练习，让学生逐步体会，为今后学习其他乘法公式做好准备。
乘法公式的逆用就是因式分解的重要方法，因此，在本节补充练习中，已经开始渗透这部分知识，为后面学习因式分解做好铺垫。
本节课设计了一系列学生活动，老师作为辅导者引领学生进入本节的知识结构中，展现了学生自主学习的特点，在思考、讨论、口答、小结等环节中掌握新知。
6.3用乘法公式分解因式(1)——平方差公式
4 x2 + 9 y 2 不能用平方差公式分解因式． 不能用平方差公式分解因式．
a − b = (a + b) (a − b)
2 2
两个数的平方差，等于这两个数的和与 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两 这两个数的和 个数的差的 个数的差的积．
怎样的多项式才能用平方差公式分解因式： 怎样的多项式才能用平方差公式分解因式：
怎样的多项式才能用平方差公式分解因式： 怎样的多项式才能用平方差公式分解因式：
m 2 − 16 = m 2 − 4 2 = ( m + 4 ) ( m − 4 )
a − b = (a + b) (a − b)
2 2
4 x 2 − 9 y 2= (2 x)2 − (3 y)2= (2 x + 3 y ) (2 x − 3 y )
1、请问 3-99能被 请问99 能被100整除？温馨提示：（ ）能 整除？ ：（1） 请问 能被 整除 温馨提示：（
否提取公因式？（ ）提取公因式后，还能继续分解因式吗？ 否提取公因式？（2）提取公因式后，还能继续分解因式吗？ ？（
(1)能提取公因式。 能提取公因式。 能提取公因式 993-99 =99(992-1) （2）还能继续分解 ） 993-99=99(99+1)(99-1) =99x100x98
9991 = 10000 − 9 2 2 = 100 − 3 = (100 + 3)(100 − 3)
= 103 × 97
是整数,证明 的倍数. 若n是整数 证明 是整数 证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数 的倍数
=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)] =(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1) =4n.2 =8n
a − b = (a + b) (a − b)
2 2
两个数的平方差，等于这两个数的和与 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两 这两个数的和 个数的差的 个数的差的积．
怎样的多项式才能用平方差公式分解因式： 怎样的多项式才能用平方差公式分解因式：
怎样的多项式才能用平方差公式分解因式： 怎样的多项式才能用平方差公式分解因式：
m 2 − 16 = m 2 − 4 2 = ( m + 4 ) ( m − 4 )
a − b = (a + b) (a − b)
2 2
4 x 2 − 9 y 2= (2 x)2 − (3 y)2= (2 x + 3 y ) (2 x − 3 y )
1、请问 3-99能被 请问99 能被100整除？温馨提示：（ ）能 整除？ ：（1） 请问 能被 整除 温馨提示：（
否提取公因式？（ ）提取公因式后，还能继续分解因式吗？ 否提取公因式？（2）提取公因式后，还能继续分解因式吗？ ？（
(1)能提取公因式。 能提取公因式。 能提取公因式 993-99 =99(992-1) （2）还能继续分解 ） 993-99=99(99+1)(99-1) =99x100x98
9991 = 10000 − 9 2 2 = 100 − 3 = (100 + 3)(100 − 3)
= 103 × 97
是整数,证明 的倍数. 若n是整数 证明 是整数 证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数 的倍数
=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)] =(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1) =4n.2 =8n
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并满足不同水平学生的需要。
教学重点
理解并使用平方差公式化简计算并解决数学问题
教学难点
理解公式中字母的广泛含义，并灵活使用公式，把公式中的结构特征与实际问题联系起来
教学方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
启发式和讨论式相结合
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
一
情
景
引
入
提问：
要在学校一块边长为30米的正方形草坪中开设一块边长为5米的正方形水泥地面平台，问草坪面积是多少平方米？
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
六
拓
展
延
伸
3．补充练习
(+)(--)=
已知 是互不相等的正数，试比较 与 的大小。
解：
且
所以
所以
所以 〉
在这个练习中，主要锻炼学生逆用平方差公式的水平，也为后面因式分解做好铺垫。
该练习的目的是在于让学生了解平方差公式的应用，以及乘法公式和其他知识的综合使用。
七
课
堂
总
结
四
公
式
推
导
提问：
1．在我们之前学习两个二项式相乘，合并同类项前应该得到几项？在合并同类项之后，有可能得到几项？
平方差公式中，两个二项式相乘，积仍是二项式。
2．你能根据下图中的面积明平方差公式吗？
学生讨论并回答问题，把两个数的和与这两个数的差的乘积，按照多项式乘法的法则展开，印证刚才得到的结论
答：
在上一环节，学生已经能够掌握平方差公式的基本形式了。在此基础之上，让学生从感性理解上升为理性思维，利用逻辑推导得出结论，进一步加深理解和理解
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
五
例
题
练
习
例1：
一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加39cm2，这个正方形的边长为多少？
例2：计算（书152页例1，2）
练习：
1．口答
2．计算
计算后，比较这三道题与口答题之间，在公式使用对象方面的区别。
解：设这个正方形边长为xcm.
(x+3)2-x2=39
(x+3+x)(x+3-x)=39
学生根据间接和直接求面积的方法，列式并得到如下结论：
〈方法一〉：
〈方法二〉：（30+5）（30-5）=875
根据以上等式，得
在教师的引导下，学生除了寻找出方法一的间接求不规则图形的面积；同时还能在现有知识水平的基础之上，实行简单的图形平移，转而通过度割图形的方法，直接求得不规则图形的面积。
在教师的引导下，学生得到如下形式，为后面引出平方差公式做好准备。
⑴掌握平方差公式的内容
⑵理解平方差公式中字母的含义
⑶正向和逆向使用平方差公式，解决数学问题。
总结，有助于学生对问题的深刻理解，同时养成严谨的学习习惯。
八
课
后
作
业
基础作业：书156页习题15.2第1题
选作作业：
1、证明两个连续偶数的平方差能够被4整除；
2、证明两个连续奇数的平方差能够被8整除；
巩固本节课所学知识。
根据题目中的已知条件，用刚刚讨论出的两种解法，分别计算播种面积。
根据两种解法，引导学生观察算式的特征，得出等式。
学生分组讨论
〈方法一〉
直接用边长的平方求面积再相减。
〈方法二〉
移动小正方形，以找到最合适的位置，分割大正方形。
如图，把小正方形放在大正方形的一角，这样有利于分割剩余面积，也就是直接求法。
把阴影部分移至长方形的右侧，得到下图
《乘法公式——平方差公式》
课题：15.2乘法公式
15.2.1平方差公式
目
标
知识技能
理解平方差公式并了解公式的意义，会用平方差公式简化计算解决简单的实际问题。
数学思考
提升学生将实际问题转化成数学问题的水平，进一步了解转化化归与数形结合的数学思想。
情感态度
发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣，创设研究式与合作交流的学习气氛。
思考并回答
以学生身边的实际问题为例，激发学生对数学学习的兴趣，并自然引出本节课的主要内容。
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
二
合
作
研
究
提问：
除了直接用两个正方形面积求差，还有没有其他方法，假如正方形边长较大时，如何求出剩余面积。
在充分鼓励学生思考出〈方法一〉的同时，引导学生从观察图形和理解题意的角度，继续寻找方法。
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
三
推
出
概
念
提问：
如果把题目中的正方形边长改为75和15，或者165和30，……，a和b，是否都能得到相类似的结论。
给出平方差公式的概念
并请学生观察公式的形式，并总结公式的特点。
学生记录公式的名称和内容
平方差公式能够解释为：两数和与这两数差的乘积等于它们的平方差。
先通过感性理解平方差公式，再上升为理论，把枯燥的公式形象化，有助于学生加深理解新知。
2x+3=13
x=5
答：这个正方形的边长是5cm.
解：
学生小结：平方差公式
中的字母，能够代表一个数字、
一个单项式或者一个多项式。
利用平方差公式列方程，解决实际问题，让学生们学习有价值的数学，生活的数学。
通过基本练习，让学生逐步看清平方差公式的特征，看到问题的本质。
在这三道计算题中，让学生体会，平方差公式中字母的含义，即能够是数字、单项式或者多项式。这也是本节的难点。
教学重点
理解并使用平方差公式化简计算并解决数学问题
教学难点
理解公式中字母的广泛含义，并灵活使用公式，把公式中的结构特征与实际问题联系起来
教学方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
启发式和讨论式相结合
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
一
情
景
引
入
提问：
要在学校一块边长为30米的正方形草坪中开设一块边长为5米的正方形水泥地面平台，问草坪面积是多少平方米？
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
六
拓
展
延
伸
3．补充练习
(+)(--)=
已知 是互不相等的正数，试比较 与 的大小。
解：
且
所以
所以
所以 〉
在这个练习中，主要锻炼学生逆用平方差公式的水平，也为后面因式分解做好铺垫。
该练习的目的是在于让学生了解平方差公式的应用，以及乘法公式和其他知识的综合使用。
七
课
堂
总
结
四
公
式
推
导
提问：
1．在我们之前学习两个二项式相乘，合并同类项前应该得到几项？在合并同类项之后，有可能得到几项？
平方差公式中，两个二项式相乘，积仍是二项式。
2．你能根据下图中的面积明平方差公式吗？
学生讨论并回答问题，把两个数的和与这两个数的差的乘积，按照多项式乘法的法则展开，印证刚才得到的结论
答：
在上一环节，学生已经能够掌握平方差公式的基本形式了。在此基础之上，让学生从感性理解上升为理性思维，利用逻辑推导得出结论，进一步加深理解和理解
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
五
例
题
练
习
例1：
一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加39cm2，这个正方形的边长为多少？
例2：计算（书152页例1，2）
练习：
1．口答
2．计算
计算后，比较这三道题与口答题之间，在公式使用对象方面的区别。
解：设这个正方形边长为xcm.
(x+3)2-x2=39
(x+3+x)(x+3-x)=39
学生根据间接和直接求面积的方法，列式并得到如下结论：
〈方法一〉：
〈方法二〉：（30+5）（30-5）=875
根据以上等式，得
在教师的引导下，学生除了寻找出方法一的间接求不规则图形的面积；同时还能在现有知识水平的基础之上，实行简单的图形平移，转而通过度割图形的方法，直接求得不规则图形的面积。
在教师的引导下，学生得到如下形式，为后面引出平方差公式做好准备。
⑴掌握平方差公式的内容
⑵理解平方差公式中字母的含义
⑶正向和逆向使用平方差公式，解决数学问题。
总结，有助于学生对问题的深刻理解，同时养成严谨的学习习惯。
八
课
后
作
业
基础作业：书156页习题15.2第1题
选作作业：
1、证明两个连续偶数的平方差能够被4整除；
2、证明两个连续奇数的平方差能够被8整除；
巩固本节课所学知识。
根据题目中的已知条件，用刚刚讨论出的两种解法，分别计算播种面积。
根据两种解法，引导学生观察算式的特征，得出等式。
学生分组讨论
〈方法一〉
直接用边长的平方求面积再相减。
〈方法二〉
移动小正方形，以找到最合适的位置，分割大正方形。
如图，把小正方形放在大正方形的一角，这样有利于分割剩余面积，也就是直接求法。
把阴影部分移至长方形的右侧，得到下图
《乘法公式——平方差公式》
课题：15.2乘法公式
15.2.1平方差公式
目
标
知识技能
理解平方差公式并了解公式的意义，会用平方差公式简化计算解决简单的实际问题。
数学思考
提升学生将实际问题转化成数学问题的水平，进一步了解转化化归与数形结合的数学思想。
情感态度
发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣，创设研究式与合作交流的学习气氛。
思考并回答
以学生身边的实际问题为例，激发学生对数学学习的兴趣，并自然引出本节课的主要内容。
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
二
合
作
研
究
提问：
除了直接用两个正方形面积求差，还有没有其他方法，假如正方形边长较大时，如何求出剩余面积。
在充分鼓励学生思考出〈方法一〉的同时，引导学生从观察图形和理解题意的角度，继续寻找方法。
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
三
推
出
概
念
提问：
如果把题目中的正方形边长改为75和15，或者165和30，……，a和b，是否都能得到相类似的结论。
给出平方差公式的概念
并请学生观察公式的形式，并总结公式的特点。
学生记录公式的名称和内容
平方差公式能够解释为：两数和与这两数差的乘积等于它们的平方差。
先通过感性理解平方差公式，再上升为理论，把枯燥的公式形象化，有助于学生加深理解新知。
2x+3=13
x=5
答：这个正方形的边长是5cm.
解：
学生小结：平方差公式
中的字母，能够代表一个数字、
一个单项式或者一个多项式。
利用平方差公式列方程，解决实际问题，让学生们学习有价值的数学，生活的数学。
通过基本练习，让学生逐步看清平方差公式的特征，看到问题的本质。
在这三道计算题中，让学生体会，平方差公式中字母的含义，即能够是数字、单项式或者多项式。这也是本节的难点。