高等数学习题集[附答案及解析]

第一章函数与极限
§1函数
必作习题
P16－18 4(5)(6)(8)，6，8，9，11，16，17
必交习题
一、一列火车以初速度 ，等加速度 出站，当速度达到 后，火车按等速运动前进；从出站经过 时间后，又以等减速度 进站，直至停止。
(1)写出火车速度 与时间 的函数关系式；
(2)作出函数 的图形。
二、证明函数 在 内是有界的。
三、设 是 的二次函数，且 ， ，求 。
四、设 ， ，求 。
§3数列的极限
必作习题
P42 3(3)(4)，4，5，6
必交习题
一、写出下列数列的前五项
(1) ；
(2) ；
(3) 。
二、已知 ，用定义证明：
§4函数的极限
必作习题
P50 1 (2) (4)，2(2)，3，4，7，9
必交习题
一、用极限的定义证明： 。
二、求下列数列的极限：
(1) =
(2) =
(3) =
三、求下列函数的极限：
(1) =
(2) =
(3) =
(4) =
四、设 ，求 。
§7极限存在准则，两个重要极限§8无穷小的比较
必百度文库习题
P711，2，4；P741，2，3，4
必交习题
一、求下列极限：
(1) =
(2) =
(3) =
(4) =
(5) =
二、用极限存在准则求证下列极限：
§9函数的连续性与间断点
必作习题
P801，2，3
必交习题
一、当 时下列函数 无定义，试定义 的值，使 在 连续：
(1) ；
(2) 。
二、指出下列函数的间断点并判定其类型：
(1) ；
(2) ；
(3) 。
三、确定 ，使函数 有无穷间断点 ；有可去间断点 。
四、设函数 在 上有定义，且对任何 有
，
证明：若 连续，则 上连续。
二、用极限的定义证明： 。
三、研究下列函数在 处的左、右极限，并指出是否有极限：
(1) ；
(2)
四、用极限的定义证明：
§5无穷大与无穷小§6极限运算法则
必作习题
P54-55 3，4，5；P631，2，3
必交习题
一、举例说明(当 时)：(1)两个无穷小的商不一定是无穷小；(2)无界量不一定为无穷大量。
§10连续函数的运算与初等函数的连续性
§11闭区间上连续函数的性质
必作习题
P85-86 1，2，3；P911，2，3
必交习题
一、欲使
在 处连续，求 。
二、求下列极限：
(1) =
(2) =
(3) =
(4) =
三、证明方程 1至少有一根介于1和2之间。
四、设函数 在区间 上连续， ，证明在区间 上至少存在一点 使得 。
三、判断下列函数的奇偶性：
(1) ；
(2) ；
(3) 。
四、证明：若 为奇函数，且在 有定义，则 。
§2初等函数
必作习题
P31－33 1，8，9，10，16，17
必交习题
一、设 的定义域是 ，求下列函数的定义域：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) 。
二、(1)设 ，求 ；
(2)设 ，求 ；
(3)设 ，求 ， 。
(1)设 ～ ；证明：
(2)设 ， 。证明此数列收敛，并求出它的极限。
三、确定 的值，使下列函数与 ，当 时是同阶无穷小：
(1) ；
(2) ；
(3) 。
四、已知 ，求 .。
三、用极限定义证明：
(1)若 ，则对任一自然数 ，也有 ；
(2)若 ，则 ，并举例说明反之未必成立；
(3)若 ，则 。
四、设数列 有界，又 ，证明 。