初中数学一题多解精彩题集
1．（2009年中山市）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，
（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；
（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并
求出最大面积； （3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值． 解：（1）在正方形ABCD 中，490AB BC CD B C ===∠=∠=，°， AM MN ⊥， 90AMN ∴∠=°，
90CMN AMB ∴∠+∠=°．
在Rt ABM △中，90MAB AMB ∠+∠=°， CMN MAB ∴∠=∠，
Rt Rt ABM MCN ∴△∽△． ·
·········································· 2分 （2）Rt Rt ABM MCN △∽△，
44AB BM x
MC CN x CN
∴
=∴=
-，， 244
x x CN -+∴=， ···························································································· 4分
2221411
4428(2)102422ABCN
x x y S x x x ??-+∴==+=-++=--+ ???
梯形， 当2x =时，y 取最大值，最大值为10． ································································· 6分
（3）方法一：
90B AMN ∠=∠=°，
∴要使ABM AMN △∽△，必须有AM AB
MN BM
=
， ··················································· 7分 由（1）知AM AB
MN MC
=
， BM MC ∴=，
∴当点M 运动到BC 的中点时，ABM AMN △∽△，此时2x =．····························· 9分
方法二：作ME 垂直AN 于E ，可证MB=ME,MC=ME ，则MB=MC 。 方法三：延长NM 与直线AB 交于点E,利用全等三角形，可证MB=MC 。 方法四：设MB=x ，列方程。
2．（2009年烟台市）如图，AB ，BC 分别是O ⊙的直径和弦，点D 为BC 上一点，弦DE 交O ⊙于点E ，
交AB 于点F ，交BC 于点G ，过点C 的切线交ED 的延长线于H ，且HC HG =，连接BH ，交O ⊙于点M ，连接MD ME ，．
N
D
A C
B M
第1题图
求证：（1）DE AB ⊥；
（2）HMD MHE MEH ∠=∠+∠． （1）证明：方法一：连接OC ，
HC HG HCG HGC =∴∠=∠，． ·
························ 1分 HC 切O ⊙于C 点，190HCG ∴∠+∠=°， ·
·········· 2分 12OB OC =∴∠=∠，， ·
····································· 3分 3HGC ∠=∠，2390∴∠+∠=°．······················· 4分 90BFG ∴∠=°，即DE AB ⊥． ·
··························· 5分 方法二：连接OC 、AC 。证BGF 相似于BAC （2）方法一：连接BE ．由（1）知DE AB ⊥． AB 是O ⊙的直径，
∴BD BE =． ······························································································· 6分
BED BME ∴∠=∠． ·
···················································································· 7分 四边形BMDE 内接于O ⊙，HMD BED ∴∠=∠． ··········································· 8分 HMD BME ∴∠=∠．
BME ∠是HEM △的外角，BME MHE MEH ∴∠=∠+∠． ·
····························· 9分 HMD MHE MEH ∴∠=∠+∠． ·
··································································· 10分 方法二：连接AM 证∠HMD=∠EMB=∠MHE+∠MEH 就行了。
方法三：连接AD 、AM 。证∠HMD=∠DAB=∠MHE+角E
方法四：连接AM 、BD.证∠HMD=∠BDM+∠MBD=∠E+∠MHE 3．已知a ，b 满足ab=1，那么=+++1
1
1122b a 。 解法
方法一：特值法，将a=1，b=1代入所求式子得
=+++1
1
112
2b a 1。 方法二：将a=b 1
代入所求式子得11
11111111112
222222=+++=+++=+++b b b b b
b a 。 方法三：将1=ab 代入所求式子得=+++111122b a =+++ab b ab ab a ab 2
21=+++a
b a
b a b 方法四：通分得
=+++111122b a =+++++++)1)(1(1
)1)(1(12
22222b a a b a b =+++++222
22212b a b a b a 1112
2
222=+++++b a b a
方法五：=+++11
1122b a =+++11222
22b b
b a b 11112
22=+++b b b 类似题目：
（第2题图）
（第24题图）
①已知a ，b 满足ab=1，那么
=+++11b b a a 。 ②已知a ，b 满足ab=1，那么=+++1
1
11b a 。