第二章 流体静力学1

p左（x，y
1 2
dy，z）
p（x，y，z）
p y
1 2
dy
p右（x，y
1 2
dy，z）
p（x，y，z）
p y
1 2
dy
x方向的表面力为
Fx
p
p x
1 2
dx dydz
p
p x
1 2
dx dydz
p x
dxdydz
同理，y, z 方向的表面力为
Fy
p
p y
1 2
dy dxdz
p
p y
1 2
pn pn
0 0
p
z
pn
0
px py pz pn
结论： 作用于平衡流体中任一点上的流体静压强的大小与过该点的作 用面在空间的方向没有关系, 在各个方向上均相等，只与空间位 置坐标有关, 是空间位置坐标的连续函数, 即 p=p (x, y, z)。
§2-2 流体平衡微分方程—欧拉平衡微分方程 目的：求压强分布 p (x, y, z)
平衡状态流层与流层之间无相对运动(du=0)作用在平衡流 体上的表面力只有法向压力研究平衡问题静压强分布规律
特性1：方向必然沿着作用面的内法线方向。（反证法） （静压强作用的垂向性） (举例)
特性2：一点处静压强的大小在各个方向相等。（各向同性） （静压强的各向等值性）(证明如下)
证明：取微元四面体，处于平衡状态
的路径无关, 只与质点的起点、终点位置有关，这样的力称为 有势力，这样的函数称为力函数或势函数。
引入：W =W (x, y, z)——质量力势函数
使 dW fxdx f ydy fzdz
即：
fx
W x
,
fy
W y
,
fz
W z
dW :单位质量 力所作元功
有势质量力
则： dp dW ——质量力为有势力的欧拉平衡微分方程
dp fxdx f ydy fzdz 质量力势函数通常可根据
dp dW
平衡流体所受的单位质量 分力用积分方法加以确定。
该式表明：在有势质量力作用下，流体中任何一点的流体 静压强可以由坐标唯一确定，这样流体才能保持平衡。即： 只有在有势力质量力作用下流体才能平衡。
对不可压缩流体：
p W C, 当：W W0 时， p p0 p p0 (W W0 )
1 2
dydz
pndAcosn,
x
1 6
f x dxdydz
0
1 dydz
高阶无穷小量
2
y：
py
1 2
dzdx
pn dA c osn,
y
1 6
f ydxdydz
0
Z:
pz
1 2
dxdy
pn dA c osn,
z
1 6
f z dxdydz
0
当微元四面体体积0, dx, dy, dz0
p p
x y
说明：
Ⅰ .无论是否可压、有无粘性均适用
Ⅱ . 反应质量力和表面力的平衡关系，
即质量力与压强变化间的关系，可求p（x，y，z）
例1 . 知重力场中平衡流体（均质不可压）求p=？
解：由于均质不可压， ∴ρ=C
重力场： f x fy 0
fz g
代入单位体积流体欧拉微分方程
p 0 p 0
x
y
p z
0
f
x
p x
0
f
y
p y
0
f z
p z
0
上式称为流体静力学平衡微分方程或Euler平衡微分方程, 数学家 L.Euler 于1775年首次给出。
f
x
p x
0
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f
y
p y
0
f z
p z
0
单位体积流体的 Euler平衡微分方程
fx
p x
0
fy
p y
0
fz
p z
0
单位质量流体的 Euler平衡微分方程
一、欧拉平衡微分方程 取微元六面体中心点压强为 p = p(x,y,z)。 1、受力分析：质量力（已知）、 表面力（6个）
质量力： F fdxdydz f fxi fy j fzk
表面力： P上、 P 下、P左、 P 右、P前、 P 后
压强 p = p(x,y,z)是坐标的连续函数，按照多元函数泰勒公式：
第二章 流体静力学
§2.1 流体静压强及其特性 §2.2 流体平衡微分方程—欧拉平衡微分方程 §2.3 流体静力学基本方程 §2.4 液体的相对平衡 §2.5 作用于平面上的液体总压力 §2.6 作用于曲面上的液体总压力 §2.7 浮力和潜体及浮体的稳定
一、流体静力学研究任务 研究流体处于平衡状态下的力学规律及其在工程中的应用。
dy dxdz
p y
dxdydz
Fz
p
p z
1 2
dz dxdy
p
p z
1 2
dz dxdy
p z
dxdydz
表面力为
F
i
p x
j
p y
k
p z
dxdydz
2、建立平衡条件：
x：
f
x
dxdydz
p x
dxdydz
0
y：
f
y
dxdydz
p y
dxdydz
0
Z:
f
z
dxdydz
p z
dxdydz
——不可压缩流体欧拉平衡微分方程的积分形式
试确定重力场中平衡流体的的质量力势函数并解释其物理意义。 解：重力场中平衡流体的单位质量力分量为
f x f y 0, f z g
dW W dx W dy W dz
x
y
z
dW fxdx f ydy fzdz
f z
g
p gz C
p0 h
z0 z
代入初始条件解得：
p p0 gh
二、欧拉平衡微分方程的积分
1、压强的全微分形式（综合式）
单位质量流体的
fx
p x
0
dx
Euler平衡微分方程
fy
p y
0
dy
fz
p z
0
dz
fxdx
f ydy
f z dz
p x
dx
p y
dy
p z
二、两种平衡状态：绝对平衡和相对平衡 绝对平衡：流体相对于地球无相对运动，即重力场中流体的平衡。 相对平衡：流体对运动容器无相对运动，而对于地球有相对运动。
三、研究思路 流体静压力取决于受压面上各点的静压强，首先研究流体静压 强分布规律、计算与测量，再讨论流体静压力的计算与应用。
§2-1 流体静压强特性
受力分析：质量力（已知）、表面力（4个）
质量力
f fxi fy j fzk
总质量力
F
fdm
1 dxdydz
6
fxi
fy j
fzk
表面力
Fx
px
1 2
dydz
Fy
py
1 2
dzdx
Fz
pz
1 dxdy 2
Fn pndA
假设ABC与x、y、z方向余弦已知
建立平衡条件：
x：
px
dz
综合式：
dp fxdx f ydy fzdz
再解上例
2、质量力势函数
dp fxdx f ydy fzdz
上边在式也保左必守边需力是 是场坐p（中标x, ，函作y数，用的z在）全质的微点全分上微，的分才质，能量p保由力证其所积坐作分标的结唯功果一与的确质唯定点一，所性因经。此过右