半导体物理学第三章

§3.1状态密度
在k 空间，给出一组
(nx , ny , nz )
对应
(k x , k y , k z )
代表
k 空间一个点
代表电子 的一个能 量状态
k 空间点的数目＝电子在k 空间的状态数。
k空间状态数 k 空间状态密度＝ k空间体积 ＝单位k 空间状态数
§3.1
在空间三个坐标轴上每隔 1/L 就有一 个代表点 3
E E dE） 区间的电子浓 （
度dn，然后再由导带底至导带顶积分就得到了导带的电子浓度n。
状态密度
导带和价带是准连续的，定义单位能量间隔内 的量子态数为状态密度g(E)
（ 能带中能量为 E E dE） 无限小的能量间隔内有 dZ 个量子态，则状态密度 为
dZ(E) g(E) dE
2/3
价带顶空穴的状态 密度有效质量
3.1态密度
dZ V (2mn* )3/2 gc ( E ) 2 ( E EC )1/2 dE 2 3
（导带底）
(2m p* )3/2 dZ V gv ( E ) 2 ( Ev E )1/2 3 dE 2
（价带顶）
第3章 半导体中载流子的统计分布
②对边长L为得立方晶体，把它视为无限大晶体的 一部分，利用周期性边界条件，可得的三个分量：
nx (nx 0, 1, 2, ） L ny k y 2 (ny 0, 1, 2, ） L n k z 2 z (nz 0, 1, 2, ） L k x 2

Ec Eg Ev
图1－5－1 本征激发
热平衡状态



载流子：电子、空穴 在一定温度下，载流子的产生和载流子的复合 建立起一动态平衡，这时的载流子称为热平衡 载流子。 半导体的热平衡状态受温度影响，某一特定温 度对应某一特定的热平衡状态。 半导体的导电性受温度影响剧烈。
3.1 状态密度
目标：电子和空穴浓度
4 V 3/2 则 dZ dZ1 dZ 2＝ 3 (2mdp ) ( Ev E )1/ 2 dE dZ 4 V gv ( E ) 3 (2mdp )3/2 ( Ev E )1/2 ∴ dE
式中 mdp (m )
* 3/2 ph
(m )
* 3/2 pl
§3.1载流子的统计分布函数及能量状态密度
设半导体有s个相同的旋
转椭球，则在E～E+dE 间
的椭球层的体积为 sd k ，
所以E～E+dE 间的状态数：
dZ V ( sd k ) 4 V 3 s(8m1m2 m3 )1/2 ( E Ec )1/2 dE 令 s(8m1m2m3 )1/ 2 (E Ec )1/ 2 (2m )3/ 2
为得到g(E) ，可以分为以下几步：
♦ 先计算出k空间中量子态密度 (k空间单位体积的状态数） ；
♦ 然后计算出k空间能量为E的等能面在k空间围成的体
积，并和k空间量子态密度相乘得到量子态数Z(E)；
♦ 再按定义dZ/dE=g(E)求出g(E)。
§3.1状态密度
⑴ k 空间状态密度 第一章讨论了电子在周期场中的运动规律，而实际 晶体总有一定线度，电子在晶体内部与在边界上的 运动情况不同。因此，电子在晶体中运动应满足一 定的边界条件→波恩－卡门周期性边界条件：
2
( k y k0 y ) 2 b
2
( k z k0 z ) 2 1 2 c
4 4 1 3/ 2 3/ 2 椭球体积为： k abc 3 (8m1m2 m3 ) (E Ec ) 3 3
在E～E+dE间的椭球层的 k 空间体积上式微分得到：
2 d k 3 (8m1m2 m3 )1/2 ( E Ec )1/2 dE
费米能级


EF 称为费米能级或费米能量】
是分布函数的参考能级
由“系统中电子总数恒定”条件来确定 是参考能级，不是真正能级，电子不一定占据 比如：本征半导体费米能级在禁带，但禁带无电子 系统的化学势（chemical potential） 反映了半导体的导电类型，也反映了半导体的掺杂水平
第三条比前两条低△， 起主要作用的是重合的两条。 在极值附近近似为球形等能面 2 2 (k x2 k y k z2 ) E1.2 (k ) Ev 2m* p 重空穴带m*＝m* p ph 轻空穴带m*＝m* p pl
[111] [100]
mpl mp3
图 Si Ge价带结构

3.1 状态密度 3.2 费米能级和载流子的统计分布 3.3 本征半导体的载流子浓流 3.4 杂质半导体的载流子浓度 3.5 一般情况下的载流子分布 3.6 简并半导体 3.7补充材料：电子占据杂质能级的概率
产生和复合
T>0 本征激发 （intrinsic excitation） electron-hole pair 复合:反过程 杂质激发和复合 动态平衡 温度改变：达到新的平衡
2 2 2 8 ∴k空间的单位体积= L L L V
1 立方体八个顶角的8个点，每个点的 属于该立方体 8 1
∴立方体内的点数为 ∴k 空间状态密度=
8× ＝1 。 8
（个点） 3 1 L / 8 3 V / 8 3 (晶体体积/8 3 ) 8 3 L3
考虑电子的自旋（一个能态允许自旋相反的两个电子） k状态密度为2V / 8 3 →此时每个状态只能容纳一个电子（一
（M.Born-T.Von.Karman）
①设长为L的一维晶体，含有N个原胞，L =Na，是无 限长晶体的一部分，在各段晶体的对应处，电子的波 函数相同，即： ( x) ( x L) ( x 2L) ... 所以，周期性边界条件为： ( x) ( x L) 。
球层间的体积
§3.1载流子的统计分布函数及能量状态密度
由E (k ) 式解出：
* 2mn ( E Ec ) k2 2
微
* (2mn )1/ 2 (E Ec )1/ 2 k 分 * 2mn kdk dE 2 2 两式相乘代入dZ式中：得
* (2mn )3/2 ( E Ec ) 1/2 dZ 4V dE 3
§3.1状态密度
电子的零级近似波函数为德布洛意平面波，由周期性 边界条件得： k0 ( x) k0 ( x L) Aeikx Aeik ( x L ) Aeikx eikL
eikL 1 kL 2 n k 2 n / L, n 0, 1, 2......，k 只能为分立值。
开 方
§3.1载流子的统计分布函数及能量状态密度
∴导带底能量状态密度：
(2m ) ( E Ec ) dZ gc ( E ) 4 V dE 3
* 3/2 n 1/2
球形等能面
ⅱ设导带底位于 k k0 处，极值附近为椭球等能面。 等能面方程：
2 E (k ) Ec 2 ( k x k0 x ) 2 ( k y k0 y ) 2 ( k z k0 z ) 2 m1 m2 m3

要计算半导体中的导带电子浓度，必须先要知道导带中单位能量间隔内有 多少个量子态（状态密度）。 (E ) g
dZ(E) 从而dE间隔内量子态dZ dE

又因为这些量子态上并不是全部被电子占据，因此还要知道能量为E的量子
态被电子占据的几率是多少（分布函数f(E)）。

将两者相乘后dZ*f(E)除以晶体体积V就得到

3.1 状态密度 3.2 费米能级和载流子的统计分布 3.3 本征半导体的载流子浓度 3.4 杂质半导体的载流子浓度 3.5 一般情况下的载流子分布 3.6 简并半导体 3.7补充材料：电子占据杂质能级的概率
费米子和玻色子 泡利不相容原理：（费米系统）不能有两个 同样的粒子处于同一个状态 费米子：服从泡利不相容原理的粒子称为费 米子。如电子、质子、中子等粒子。。 玻色子：不服从泡利不相容原理的粒子称为 玻色子。如介子、 光子。
写作：
2 ( k y k0 y ) 2 ( k x k0 x ) ( k z k0 z ) 1 2m1 ( E Ec ) 2m2 ( E Ec ) 2m3 ( E Ec ) 2 2 2 2
§3.1载流子的统计分布函数及能量状态密度
(k x k0 x ) 椭球标准方程： 2 a
mph
在k 空间，E～E+dE内的状态数： dZ1 dZ2 。 dZ 讨论方法与导带情况类似，利用式 E1.2 (k ) 可得
§3.1载流子的统计分布函数及能量状态密度
4 V 3/2 * dZ1 3 (2m ph ) ( Ev E )1/2 dE 4 V * 3/2 dZ 2 3 (2m pl ) ( Ev E )1/2 dE 3/2 * * 3/2 设 (2m ph ) (2m pl ) (2mdp ) 3/ 2
半导体物理
SEMICONDUCTOR PHYSICS
半导体物理学
一． 二．
半导体中的电子状态 半导体中杂质和缺陷能级
三．
四． 五． 六． 七．
半导体中载流子的统计分布
半导体的导电性 非平衡载流子 pn结 金属和半导体的接触
八．
九．
半导体表面与MIS结构
半导体异质结构
第3章 半导体中载流子的统计分布
对于 Si, Ge, m1 m2 mt , m3 ml
mdn s (m ml ) ……
2/ 3 2 t 1/ 3
导带底电子状态 密度有效质量
查看不同材料的导带底电子状态密度有效质量 ②价带顶附近能量状态密度 由第一章知Si,Ge,GaAs价带有三条极值在 k = 0处，
§3.1载流子的统计分布函数及能量状态密度
费米分布函数

当 T 0K 时

f (E)
1
E EF k0T
若 E EF，则 f ( E ) 1 1 e 若 E EF，则 f ( E ) 0 在热力学温度为0度时，费米能级 EF 可看成量子态是否 被电子占据的一个界限

当 T 0K 时

若 E EF，则 f ( E ) 1/ 2 若 E E，则 f ( E ) 1/ 2 F 若 E E，则 f ( E ) 1/ 2 F 费米能级是量子态基本上被 电子占据或基本上是空的一 个标志
个态一个电子）。
§3.1
⑵能量状态密度 现在讨论在 k 空间，单位能量间隔内的量子态数， 即能量状态密度：g ( E ) dZ / dE
①导带底附近能量状态密度 gc ( E) 。 ⅰ设导带底（k =0）附近，等能面为球面。 2 2 等能面方程： (k ) Ec k E * 2mn 在k空间，E～E+dE内的状态数： dZ = (E～E+dE 对应的k 空间体积）（k 空间状态密度） = k 2dk ) 2V / 8 3 (4
玻色子服从玻色—爱因斯坦统计， 费米子 系统服从费米—狄拉克统计的。
费米统计

根据量子统计理论，服从泡利不相容原理的电子遵 循费米统计律 对于能量为E的一个量子态被一个电子占据的概率 为 f (E)
f (E)

1Biblioteka Baidu
1 e
E EF k0T
f ( E )称为电子的费米分布函数
空穴的费米分布函数？1 f ( E )
dn
§3.1载流子的统计分布函数及能量状态密度
4 V 则 dZ 3 (2mdn )3/ 2 ( E Ec )1/ 2 dE dZ 4 V gc ( E ) 3 (2mdn )3/ 2 ( E Ec )1/ 2 dE
式中： dn s 2/ 3 (m1m2m3 )1/ 3 m

f (E ) N
i i

dF EF ( )T dN
处于热平衡状态的电子系统有统一的费米能级
Fermi分布函数
热平衡条件下半导体中电子按能量大小服从一定的统计分布 规律。能量为E的一个量子态被一个电子占据的几率为