西南科技大学2013-2014-2学期《高等数学B2》本科期末考试试卷（A卷）
2、设y
z x
=，求dz=__________。
3、求曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切线方程________。
4、求函数3u xy z =在点(1,1,2)-处的梯度__________。
5、设,αβ为有向曲线弧L 在点(,)x y 处的切向量的方向角，则平面曲线L 上的两类曲线积分的关系(________________)L L Pdx Qdy ds +=⎰⎰。 三、解答题（1-2小题每题8分，3-8小题每题9分，共70分） 1、 求曲面22214x y z ++=上平行于平面2320x y z ++=的切平面方程。 2、 设2
2
(,),z f x y xy =
-，其中
f 具有连续的二阶偏导数，求2z
x y
∂∂∂。 3、 求函数4242z x xy y =-+的极值。
4、 计算|1|D
I x y dxdy =+-⎰⎰，其中[0,1][0,1]D =⨯。
5、
把二次积分4
2200
)dx x y dy +⎰化为极坐标形式，并计算积分值。
1、解：令222(,,)14F x y z x y z =++-， 在点000(,,)P x y z 处的法向量为000(,,)n x y z =r
000
123
x y z k ===令
，代入方程22214x y z ++=中可得1k =±---————--4分，
在点（1，2，3）处的切平面为2314x y z ++=-————----2分， 在点（-1，-2，-3）处的切平面为23140x y z +++=----————-2分。
2、解：122(3)z
xf yf x
∂''
=+∂分。
3、解：3440,440x y z x y z x y =-==-+=求得驻点为（0，0），（1，1），（-1，-1）。（3分）
212,4,4xx xy yy A z x B z C z ====-==，在点（0，0）处2160AC B -=-<没有极值，（3分） 在点（1，1）和（-1，-1）处2320,0AC B A -=>>，所以有极小值(1,1) 1.z ±±=-（3分）
4、解： 5
、解3334
4cos 22
3
4
2
200
)64cos 12dx x y dy d r dr d π
π
θ
θθθπ+===⎰⎰⎰
⎰分
分
分
。
6、解：131
lim 3
31n n n n n ρ+→∞==+，所以收敛半径为3，收敛区间为323x -<-<，即15
x -<<（3分）
当5x =时1131
3n n n n n n ∞
∞
===∑∑g
发散（2
分），当1x =-时11(3)(1)3n n
n n n n n ∞
∞
==--=∑∑
g
收敛，（2分）
因此原级数的收敛域为[1,5)-。（2分） 7、解：42332,4,24Q P
P xy y Q x xy x y x y
∂∂=-=-==-∂∂，所以该曲线积分和积分路径无关。（4分）
11
4
2
3
30
(23)(4)314)=3L
xy y
dx x xy dy dx y dy -++-=+-⎰⎰⎰（（5
分）
8、解：由高斯公式得22322
()2=()xy dydz x y z dzdx xydxdy x y dxdy ∑
Ω
+-++⎰⎰⎰⎰⎰
Ò（4分）
由柱面坐标224
22300
28()3
r
x y dxdydz d r dz π
π
θΩ
+==
⎰⎰⎰⎰⎰（5分）
