《高等数学B》本科期末考试试卷A卷

高等数学B2期末考试试卷A卷（2010—2011第二学期）一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15 分）1、设,则的定义域为。

2、设当与满足时，能使得与轴垂直.3、设则。

4、设幂级数的收敛半径为2，则幂级数的收敛区间为．5、已知是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为．二、选择题(共 5 小题，每题 3 分，共计15 分）1、下列不等式正确的是（)(A）（B)（C)（D）2、将坐标面上的双曲线绕轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为（)（A）（B）（C）（D)3、下列级数绝对收敛的是( ）（A） (B)（C）（D)4、极坐标系下的累次积分在直角坐标系下可化为（）（A）；（B) ；（C）；（D）。

5、方程的特解可设为（ )（A)，若；（B），若；(C)，若；（D）,若。

三、求与两平面和的交线平行且过点的直线方程. (本题 6 分）四、计算下列各题（共5小题,每题 5 分，共计25 分）1、。

2、设，而,，求。

3、设，其中具有一阶连续偏导数,求。

4、求微分方程的通解。

5、设求。

五、求解下列关于幂级数的问题.（共 2 小题，每题 6 分,共计12 分）1、用比值审敛法判定级数的敛散性。

2、将函数展开成的幂级数.六、将周长为的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时,才可使圆柱体的体积为最大？(本题7 分）七、求解下列关于积分的问题.（共 2 小题,每题7 分,共计14分)1、求二重积分,其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。

2、计算由四个平面，，，所围成的柱体被平面及截得的立体的体积.八、设为连续函数,，证明:.（本题 6 分)。

高等数学b1期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在 \( x = 0 \) 处的极限是：A. 0B. 1C. 无穷大D. 不存在答案：D2. 设 \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处可导，则下列说法正确的是：A. \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处连续B. \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处不可导C. \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处不连续D. \( f'(a) \) 不存在答案：A3. 计算定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{1}{4} \)D. \( \frac{1}{6} \)答案：A4. 函数 \( y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1 \) 的导数是：A. \( 3x^2 + 6x - 9 \)B. \( 3x^2 + 6x + 9 \)C. \( x^2 + 6x - 9 \)D. \( 3x^2 + 6x - 9 \)答案：A5. 曲线 \( y = x^2 \) 在 \( x = 2 \) 处的切线方程是：A. \( y = 4x - 4 \)B. \( y = 4x + 4 \)C. \( y = 4x - 8 \)D. \( y = 4x + 8 \)答案：C6. 级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \) 的和是：A. 1B. \( \frac{1}{2} \)C. 0D. 无穷大答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 的极值点是 \( \boxed{0} \)。

2. 函数 \( y = \ln(x) \) 的导数是 \( \boxed{\frac{1}{x}} \)。

共 7 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称高等数学B 期末考试学期 09-10-3得分适用专业 选修高数B 的各专业 考试形式 闭卷考试时间长度 150分钟一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 幂级数1(1)2n nn x n ∞=-⋅∑的收敛域为； 2. 球面22230x y z x ++-=在点(1,1,1)处的切平面方程为 ； 3. 已知两条直线12112x y z m-+-==与3x y z==相交，m =； 4. 交换积分次序11d (,)d x x f x y y -=⎰⎰； 5. 将22222d ()d x y f x y z z -++⎰⎰（其中()f t 为连续函数）写成球面坐标系下的三次积分；6设L 为由点(2,1,2)A 到原点(0,0,0)O 的直线段,则曲线积分2()d Lx y z s ++⎰之值为7. 已知3222(cos )d (1sin 3)d axy y xx by x x y y -+++为某个二元函数(,)f x y 的全微分，则____,____a b ==； 8. 设{,,},x y z r ===r r div(e )r =r ；9.设∑是锥面1)z z =≤≤下侧，则3d d 2d d (1)d d x y z y z x z x y ∑∧+∧+-∧=⎰⎰ .二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)共 7 页 第 2 页10．设 (,)z z x y =是由方程e e e zyxz x y =+所确定的隐函数，求,z z x y∂∂∂∂.11．计算二重积分d d Dy x y ⎰⎰，其中{}2222(,)2,2D x y xy x y y =+≥+≤.12．计算22222d ed d d yy x y x y x y x ----+⎰.共 7 页 第 3 页13. 计算三重积分e d d d yx y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω由曲面2221,0,2x y z y y -+===所围成.共 7 页 第 4 页三（14）．（本题满分7分）求由抛物面222x y z +=与平面1,2z z ==所围成的密度均匀（密度1μ=）的立体对z 轴的转动惯量.四（15）。

武汉大学数学与统计学院2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题（180学时）一、（87'⨯）试解下列各题：1、计算n →∞2、计算0ln(1)limcos 1x x xx →+--3、计算arctan d x x x ⎰4、 计算4x ⎰5、计算0d x xe x +∞-⎰6、设曲线方程为sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩，求此曲线在点4t π=处的切线方程。

7、已知2200d cos d y x te t t t =⎰⎰，求x y d d8、设11xy x-=+，求()n y二、（15分）已知函数32(1)x y x =-求：1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。

三、（10分）设()g x 是[1,2]上的连续函数，0()()d xf xg t t =⎰1、用定义证明()f x 在(1,2)内可导；2、证明()f x 在1x =处右连续； 四、（10分）1、设平面图形A 由抛物线2y x = ，直线8x =及x 轴所围成，求平面图形A 绕x 轴旋转一周所形成的立体体积；2、在抛物线2(08)y x x =≤≤上求一点，使得过此点所作切线与直线8x =及x 轴所围图形面积最大。

五、（9分）当0x ≥，对()f x 在[0,]b 上应用拉格朗日中值定理有： ()(0)()(0f b f f b bξξ'-=∈ 对于函数()arcsin f x x =，求极限0lim b bξ→武汉大学数学与统计学院2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题参考答案一、 试解下列各题：（87'⨯） 1、解：n →∞n =l i 2n == 2、解：00011ln(1)1lim lim lim 1cos 1sin (1)sin x x x x x x x x x x x →→→-+--+===---+ 3、解：原式222211111arctan d arctan arctan 222221x x x x x x x x c x =-=-+++⎰ 4222220002111dt 2dt 2(1)dt 2dt111t t t t t t -+==-++++⎰⎰⎰22200(1)|2ln(1)|2ln3t t =-++=5、解：000||1x x x x xe dx xe e dx e +∞+∞--+∞--+∞=-+=-=⎰⎰6、解：因为4t π=时，x =，0y =，442sin 2cos t t dy t dx t ππ==-==-故曲线在点处的切线方程为：y x =--， 7、解：两边微分得： 222cos y e dy x x dx = 222c o s y dyx x e dx-= 8、解：由12212(1)1,2(1)(1)1y x y x x--'=-+=+-=⋅-⋅++ 3()(12(1)(2)(1),,(1)2!(1)n n ny x y n x --+''=⋅-⋅-⋅+=-⋅⋅⋅+ 二、（15分）解：定义域为：(,1)(1,)-∞+∞ 23(3)(1)x x y x -'=- 令⇒='0y 驻点0,3x =46(1)xy x ''=- 令⇒=''0y 0x =极小值为：27(3)4f =，无极大值。

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2009学年第2学期 考试科目： 高等数学B Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业一、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. 试定义函数在点的值的 ，使得函数在该点连续。

2．函数在点处可微分的必要条件是函数在该点处连续或可偏导；充分条件是函数的偏导数在该点处连续。

3．设函数在闭区域上连续，且，则。

4. 判断敛散性：已知且，则是收敛的。

5. 已知某二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为，则该微分方程为。

二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 直线与平面的交点是（B ）。

（A ）（9，2，-3）。

（B ）（2，9，11）。

（C ）（2，11，13）。

（D ）（11，9，2）。

2. 若级数在处收敛，则此级数在处（A ）。

（A ）绝对收敛。

（B ）条件收敛。

（C ）发散。

（D ）收敛性不能确定。

3．二元函数 在点处 （C ）（A ）连续，偏导数存在。

（B ）连续，偏导数不存在。

（C ）不连续，偏导数存在。

（D ）不连续，偏导数不存在。

4. 设是连续的奇函数，是连续的偶函数， ，则以下结论正确的是（ A ）。

（A ） 。

（B ） 。

（C ） 。

（A ） 。

5. 微分方程的一个特解应具有形式（A,B,C 是待定常数）（ B ）。

（A ）。

（B ）。

（C ）。

（D ）。

三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） （1）设，其中和具有连续导数，求。

【解】（2）求由方程所确定的函数的全微分。

【解】方程两边求微分得 整理得（3）交换积分次序。

【解】（4）求差分方程在给定初始条件下的特解。

【解】特征方程为，所以对应的齐次方程的通解为。

又不是特征根，故可令特解为，代入原方程，得比较系数可得，，故非齐次方程的一个特解为，于是非齐次方程的通解为，由所给初始条件，可得，所以方程满足给定初始条件下的特解为。

《高等数学》期末考试A卷（附答案）【编号】ZSWD2023B0089一、填空题（每小题2分，共20分）1．设 是正整数， 为非零实数，若20001lim ()x x x x，则 _________________，______________________。

【答案】120012001,2．设)(x f 的定义域是]1,0[，且102a ，则()()f x a f x a 的定义域是____________________________ .【答案】1[,]a a3．2211sin()lim x x x x ______________________。

【答案】04．设1111010,(),x x x x e e x f x e e x，0 x 是)(x f 的___________间断点. 【答案】跳跃5．设24cos y x ，则dy ________________________. 【答案】3448sin cos x x x dx6．203sin limxx t dt x _________________________________.【答案】137． 函数2412()()x f x x的渐近线有______________________________.【答案】20,x y8．函数()x f x x e 的单调递增区间为____________________________.【答案】(,0)9．若 C x dx xx f sin )(ln '，则 )(x f .【答案】C e x )sin( 10.[()()]aaf x f x dx ______________________________________.【答案】0二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．若下列极限存在，则成立的是( ) .A. 0()()lim '()x f a x f a f a x B. 0000()()lim '() x f x f x x f x xC. 0(12)(1)lim '(1)t f t f f tD. 4(8)(4)lim '(4)4x f x f f x【答案】B2．当0 x 时，与x 等价的无穷小量是( )A. x x 1sinsin B. xx sin C. x x 22 D. )1ln(x【答案】D3． 当0x x 时，0'()f x ，当0x x 时，0'()f x ，则0x 必定是函数()f x 的（ ）A. 驻点B. 最大值点C.极小值点D. 以上都不对 【答案】D4．设'()f x 存在且连续，则()'df x （ ）A. ()f xB. '()f xC. '()f x cD. ()f x c 【答案】B 5．设4()2xx f t dt，则40 f dx （ ）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】A三、计算下列各题（每小题5分，共35分）1. 求极限)sin 11(cot lim 0xx x x解: )sin 11(cot lim 0x x x x xx x xx x tan sin sin lim 030sin lim x xx x （0 x 时x sin ～x ，x tan ～x ）2031cos lim x x x 616sin lim 0 x x x2. 设3sin 2,0()9arctan 2(1),0xx ae x f x x b x x ，确定,a b 的值，使函数在0 x 处可导。

高等数学b1期末试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx 的值。

A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A3. 以下哪个选项是洛必达法则的应用？A. 计算极限lim(x→0) (sin x)/xB. 计算定积分∫(0,π) sin x dxC. 计算导数 d/dx (x^3)D. 计算不定积分∫e^x dx答案：A4. 以下哪个选项是二阶导数？A. d^2y/dx^2B. dy/dxC. d^2y/dy^2D. d^2y/dxdy答案：A5. 以下哪个选项是泰勒公式的展开式？A. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)B. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2!C. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2D. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^3/3!答案：B6. 以下哪个选项是傅里叶级数的组成部分？A. 正弦函数B. 余弦函数C. 指数函数D. 所有选项答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 f(x) = x^3 - 6x 在 x = 2 处的导数是 _______。

答案：-62. 微分方程 y'' - 2y' + y = 0 的通解是 _______。

答案：y = C1 * e^x + C2 * e^(-x)3. 计算极限lim(x→0) (e^x - 1)/x 的值是 _______。

答案：14. 函数 y = sin x 的不定积分是 _______。

武汉大学数学与统计学院2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题（180学时）一、（87'⨯）试解下列各题：1、计算n →∞2、计算0ln(1)lim cos 1x x xx →+--3、计算arctan d x x x ⎰4、 计算4x ⎰5、计算d x xe x +∞-⎰6、设曲线方程为sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩，求此曲线在点4t π=处的切线方程。

7、已知2200d cos d y x te t t t =⎰⎰，求x y d d8、设11x y x-=+，求()n y二、（15分）已知函数32(1)x y x =-求： 1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。

三、（10分）设()g x 是[1,2]上的连续函数，0()()d x f x g t t =⎰1、用定义证明()f x 在(1,2)内可导；2、证明()f x 在1x =处右连续；四、（10分）1、设平面图形A 由抛物线2y x = ，直线8x =及x 轴所围成，求平面图形A 绕x轴旋转一周所形成的立体体积； 2、在抛物线2(08)y x x =≤≤上求一点，使得过此点所作切线与直线8x =及x 轴所围图形面积最大。

五、（9分）当0x ≥，对()f x 在[0,]b 上应用拉格朗日中值定理有： ()(0)()(0,)f b f f bb ξξ'-=∈对于函数()arcsin f x x =，求极限0lim b bξ→武汉大学数学与统计学院 B 卷2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题一、（86'⨯）试解下列各题：1、计算30arctan lim ln(12)x x x x →-+2、计算120ln(1)d (2)x x x +-⎰ 3、计算积分：21arctanxd x x +∞⎰ 4、已知两曲线()y f x =与1x yxy e++=所确定，在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim ()n nf n→∞5、设，2221cos cos t x t udu y t t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，试求：d d y x，22d |d t y x 的值。

高等数学b期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的最小值是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 函数y=x^3-3x+1的导数是：A. 3x^2-3B. x^2-3x+1C. 3x^2-3xD. x^2-3答案：A4. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C5. 定积分∫(0到1)x^2dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：B6. 函数y=e^x的不定积分是：A. e^xB. e^x + CC. ln(x) + CD. x^2 + C答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点是______。

答案：x=1, x=22. 函数f(x)=ln(x)的导数是______。

答案：1/x3. 曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线方程是______。

答案：y=2x-14. 定积分∫(0到2)x^2dx的值是______。

答案：4/3三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,2]上的最大值和最小值。

答案：函数f(x)=x^3-3x^2+2的导数为f'(x)=3x^2-6x。

令f'(x)=0，解得x=0或x=2。

计算f(0)=2，f(2)=-2，f(1)=0。

因此，在区间[0,2]上，函数的最大值为2，最小值为-2。

2. 求极限lim(x→∞)(1/x^2)。

答案：lim(x→∞)(1/x^2)=0。

3. 求函数y=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。

答案：函数y=x^3-6x^2+11x-6的导数为y'=3x^2-12x+11。

令y'>0，解得x>3或x<11/3；令y'<0，解得11/3<x<3。

08-09-3高数B期末试卷（A）参考答案及评分标准09.6.8一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分1. 曲面在点处的法线方程是；2.设，则梯度；3.已知，则在方向的投影；4.设闭曲线，取逆时针方向，则曲线积分的值是；5.设函数具有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关的充分必要条件是；6.二重积分的值是；7. 设为球面：，则曲面积分的值是；8.设是折线，则曲线积分的值是；9.取（注：答案不唯一），可使得级数收敛，且级数发散.二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分10．（本小题满分7分）设，其中具有连续的二阶偏导数，具有连续导数，计算.解，（3分）（4分）11．（本小题满分7分）计算，其中.解（1+1+3+2分）12．（本小题满分8分）计算二次积分.解，（3+2+3分）13. （本小题满分8分）求密度均匀分布的立体的质心坐标.解（1分）（1+1+2+2+1分）三（14）．（本题满分7分）试求过点且与轴相交，又与直线垂直的直线方程.解设为所求直线的方程，（1分）由于直线与轴相交，所以三个向量，及共面，从而，即（1），（2分）又由于与互相垂直，得，即（2）（2分）联立（1），（2）解得，，所求直线的方程为（2分）四（15）。

（本题满分7分）计算，其中是柱面被锥面和平面所截下的部分.解（2分）（2+2+1分）五（16）.（本题满分7分）计算，其中为曲线，方向沿增大的方向.解记，由公式得（2+1+3+1分）六（17）（本题满分7分）计算，其中为被所截部分，取上侧.解补一个面，取下侧，由和所围成的区域记为，由公式得（3+2+1+1分）七（18）（本题满分6分）证明不等式，，.证设，在区域的边界上恒为，而在内部恒为正，故的最大值只能在区域内部达到，（2分）令，，在区域内求驻点，得（1）及（2），（2分）这表明在区域内的最大值点应满足方程（1）（2），然而在（1）（2）所确定的点上，所以，，.（2分）。

《咼等数学B2》本科期末考试试卷(A 卷)一、选择题(共5题，每小题3分，共15分) 1、 对于二元函数z f(x,y)在点P(x o ,y 。

)处偏导数存在是在该点处可微的()条 件。

A 、充分非必要B 、必要非充分 C 充要D 非充分非必要 0 1 x 2、 设I 1dx o f (x, y)dy ，交换积分次序后得I () 1 x 0 1 1 x A • 0 dy 1 f (x, y)dx B . °dy 0 f(x, y)dx 0 1 1 0 C . 1dy 0 f (x, y)dx D • 0 dy y 1f (x, y)dx 3、 设 D : x 2 y 2 9,,贝S 2dxdy () D A. 36 B.18 C.9 D. 3 4、 曲线积分jj(x 2y)dx (2x y)dy ，其中L 为三顶点分别为(0,0)、(3,0)、(3,2) 的三角形正向边界，该曲线积分二() A.0B.4 C.6D.8 _5、级数(1)n 1的敛散性为() n 1 n _A •绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法判断三二、填空题(共5题，每小题3分，共15分)西南科技大学 20132 0 14 2 学期 师教二二二二二一二名姓-------------号学称名级班一二二二二二二院学1、lim (x,y) (1.0)2、设z x y，求dz _____________ 。

3、求曲线x t,y t2,z t3在点(1,1,1)处的切线方程________________ 。

4、求函数u xy3z在点(1, 1,2)处的梯度________________。

5、设，为有向曲线弧L在点(x,y)处的切向量的方向角，则平面曲线L上的两类曲线积分的关系L Pdx Qdy J Jds。

三、解答题( 求曲面x21、2、设z f (x21-2小题每题8分，3-8小题每题9分，共70分)寸z2 14上平行于平面x 2y 3z 20的切平面方程。

大一高数b期末考试试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数为：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 曲线y=x^3-3x^2+2x+1在点(1,-1)处的切线斜率为：A. 0B. 1C. 2D. -13. 以下哪个函数是奇函数：A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^2+1D. y=x^3-14. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 不存在5. 以下哪个积分是发散的：A. ∫(0,1) 1/x dxB. ∫(0,1) x^2 dxC. ∫(0,1) e^x dxD. ∫(0,1) ln(x) dx6. 以下哪个级数是收敛的：A. 1+1/2+1/4+1/8+...B. 1-1/2+1/3-1/4+...C. 1+2+3+4+...D. 1/2+1/4+1/8+1/16+...7. 以下哪个矩阵是可逆的：A. [1 0; 0 0]B. [1 1; 1 1]C. [1 0; 0 1]D. [0 1; 1 0]8. 以下哪个行列式等于0：A. |1 2; 3 4|B. |2 0; 0 2|C. |1 1; 1 1|D. |1 -1; -1 1|9. 以下哪个方程组有唯一解：A. x+y=1x-y=1B. x+y=12x+2y=2C. x+2y=32x+4y=6D. x+y=1x+2y=310. 以下哪个二重积分的计算结果是2π：A. ∬(0,2π) (x^2+y^2) dxdyB. ∬(0,2π) (x^2+y^2) dxdyC. ∬(0,π) (x^2+y^2) dxdyD. ∬(0,π) (x^2+y^2) dxdy二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x的导数为_________。

2. 曲线y=x^2-4x+3在点(2,-1)处的切线方程为y-(-1)=_________(x-2)。

2019年高等数学B期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f'(x)。

A. 3x^2 - 3B. x^3 - 3C. 3x^2 + 3D. x^3 + 3答案：A2. 设矩阵A = \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，求矩阵A的行列式。

A. -2B. 2C. -4D. 4答案：B3. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B4. 设函数y = sin(x) + cos(x)，求y'。

A. cos(x) - sin(x)B. sin(x) + cos(x)C. -sin(x) + cos(x)D. -sin(x) - cos(x)答案：A5. 已知数列{a_n}满足a_1 = 1，a_(n+1) = 2a_n + 1，求a_3。

A. 5B. 7C. 9D. 11答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值。

答案：02. 求极限lim(x→0) (sin(x) - x) / x^3。

答案：1/63. 设函数y = e^x - x^2，求y''。

答案：e^x - 2x4. 求不定积分∫(1/(1+x^2)) dx。

答案：arctan(x)三、解答题（每题15分，共40分）1. 求函数f(x) = ln(x) + x^2在区间[1, e]上的定积分。

答案：[e^2 - 2e + 2] - [0 - 2 + 1] = e^2 - 2e + 12. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f(x)的极值点。

答案：f'(x) = 3x^2 - 12x + 11 = 3(x - 1)(x - 11/3)，极值点为x = 1和x = 11/3。

浙江理工大学2008—2009学年第二学期《高等数学B〉期末试卷(A卷)一、选择题小题，每小分24分)1、下列方程线性微分方((A) dy 2、3、4、5、6、考生姓名: 学号:班级:中,程2 2x yy ( B)xyy 2y2=0 (C) 1y ysi nx =cosxxF列级数中，属于条件收敛的是(B)oo (-1『sin Zn -1(C) (D)-1nn 3n 1微分方程2y「y'-y=0的通解是(x _2x (A) y 二Ge pe□a若数项级数’•二a n收敛，(A)设D:(A)(B) y = C i e_x 2x+ c2e (C) X 丄_x/2y = c1e c2e (D) y = Ge" c2e x/2S n是此级数的部分和, 则必有((本题共 6题4分，满是一阶有一n QO、a n n =i1 <x2若lim n—$】a n 1a n"r2dr(A) 2 ( B)二、填空题(本题共1、2、(B) lim S n= 0 (C) s n有极限(D) S n是单调的(B)I l v x2y2dxdyD2 二 4 20 " J dr(C)dr ( D)2 二0 1 rdrQO则幕级数’二a n x2n的收敛半径R =n =01/2 (C) 4 (D) 1/ 45小题，每小题4分，满分20分)8z设z = sin xy cos2xy 「点y2 2 x微分方程y二y e ,满足初始条件). y(0) - -2的特解为1 x交换累次积分的顺序.dx . f (x, y)dy =0 x23 2 2 1要使级数瓦5 一1收敛，实数P必须满足条件g n p三 计算题（本题共5小题，每小题7分，满分35分）Qin Y2、 求dxdy ，其中D 是由y =x 和y = x 2所围成•Dx3、 求方程y" • 3y ： 2y = e*的通解.x n4、 求级数v的收敛域及和函数.n 』n5、 将函数ln （1 -x-2x 2）展开成x 的幕函数，并指出其收敛域 . 四、应用题（本题共 2小题，每小题8分，满分16分） 1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x 台和y 台，成本函数为2 2 ——c （x, y ）二 x 2y -xy（万元）若市场调查分析，共需两种机床 8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少?x 2y 2z 2= 3a 2与抛物面x 2 y 2 = 2az （a - 0）所围公共部分立体的体积cO五、证明题（本题满分 5分）设a b n 是收敛的正项级数,n =1Q Q5、幕级数n 丄2n(x-2)n4n的收敛域为1、设函数z 二z （x,y ）由方程x y - z = e z所确定，求'及 ex"z:x ：y2、利用二重积oOQO工（a n -a n收敛， 试证工a n b,绝对收敛.n #n T2008—2009学年第二学期《高等数学 B 》期末试卷（A 卷）答案CDDCAB1 y1. xcos xy -2xcosxy sin xy2. dy f x, y dx .3.0 y5o xp 4 . _ y = -2e 5 . (-4,4)_____ 3_■- ------------------------- -----------------------------1.F(x, y, z) = x y — z — e z,则：F x =1,F y =1,F z = T — e z ............... 1 分.:z F x 1:zF y _ 1:x F z _ 1 eF z 1 e zJz _1 :x :y (1 e z )2z:z e ....................................... y.5分.2. 解:(1 e z)3'..7 分.sin x1 xsin x .--------------------------------------- 3 分x 12dx (sin x_xs in x)dxx1 1=-cosx — [ xsin xdx=1—sini ----------------------- 7 分0七3. r 2 3r 2 二0山 _ _2, r 2 _ -1 ..................................................... 1 分 对应齐次方程通解：Y ^G e ^x C 2e^. ...................................... ..3分y = bxe:b=1 ........................................................................... 5 分所求通解：y =C r e2x C 2e^ xe^. ..................................................... .7分. 4.R = lim 計 n T^ an +A Ax =1, v ( -1)2—收敛;x =「1,八 一发散•收敛域(-1 , 1] .............................. 3分nFnn T nF x = 2x _y …=0F 「= -x • 4y • ■ = 0 解得 '=-7,x = 5, y = 3(6 分)F , x y -8 =0这唯一的一组解即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为:c(5, 3) =522 32-5 3 =28 (万)(8 分)---------- 4 分..1分 S(x)八(-1)nn T x .：：：x 一 . n —}"n:—oOn」' .0(-1)(-1)n」x n」}dx 「0n 吕n =1x1dx = l n(1 x) )1 x.7分.5.由In(1 —x —2x 2) =1 n(1 x)(1 —2x) =1 n(1 x) ln(1 —2x),nn 4 xQO且 ln(1 x)二' (-1)n 吕nx (-1,1] -------------------------□a (_o x )n2nn 」 n ln(1 -2x)二' (-1) x ,— n n m nn n所以 ln( 1-x-2x 2) = = (-1严亠—x n--------- 4分1 1 x [, ) --------- 6 分 2 2 z 八 n -1 n 、丁(-1) -2 nx ,四、1.解：即求成本函数c(x, y )在条件-y =8下的最小值构造辅助函数F x, y =x 22y 2-xy " '■ (x y _8) ( 2 分)解方程组2、利用二重积分的几何意义计算球面x2y2z2=3a2与抛物面x2y^2az(a - 0)所围公共部分立体的体积-2 2 2 ^2xyz 3a 22 c ： z =axy 2az所求立体在 xoy 面上的投影区域为： D : x 2y 2 < 2a 2 -------------------------- 2分由二重积分的几何意义所求立体的体积为2—)rdr 2a=2二 a'( 3 - —) ------------------------------------------------------ 8分6::m五、证明： 因为7 (a n-a n .i )收敛，所以部分和s m(a n -a n .J =印-a m .1有界，从而数列｛a n ｝有界 n £n =1即存在常数 M 0,使 |a |：：M(n =1,2,3,)，故 |a n b nMb n ( n=1,2,3,)Q QQ Q由于7 b n 是收敛的正项级数，由比较审敛法知，7 a n b n 绝对收敛•n 土n =1解:=.(.、3a 2 —x 2 —y 2D2 2x y .. )d- 2a-------------------------------- 5------------------------------------------- 7用极坐标计算得。

复旦⼤学⾼等数学B期末考试试卷2010-01（A）复旦⼤学数学科学学院2009～2010学年第⼀学期期末考试试卷A 卷 ?B 卷课程名称：__⾼等数学B _________ 课程代码： MATH120003.01 __ 开课院系：__数学科学学院 _____________ 考试形式：闭卷姓名：学号：专业：(以下为试卷正⽂)（装订线内不要答题）注意：答题应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤。

⼀、求极限（共18分）1. ??-+++∞→x x x x x lim （5分）2. 设()x f 可导，且()00=f ，()00≠'f ，求()()?→202lim x xx dtt f dtt f x。

（5分）3. ⽤⼀个积分来表⽰极限??+++∞→n n n 12111lim，并求此极限的值。

（8分）⼆、计算积分（15分）1.dx x x ?2ln 。

（5分）2.+dx x x112。

（5分）3.()-212/321arcsin dx x x。

（5分）（装订线内不要答题）三、设-=θθθθcos sin sin cos r r A ，其中0≠r ，求1-A 。

（7分）四、求直线?=+-+=-+-063201z y x z y x 在平⾯0=++z y x 上的投影。

（8分）五、设函数()x f ⼆阶可导，求复合函数()()()x f ln cos 的⼆阶导数。

（8分）六、试证明0>x 时，()x x x x <+<-1ln 22。

（8分）（装订线内不要答题）七、设()[]b a C x f ,∈'，()()0==b f a f ，且()?=badx x f 12，求()()?'badx x f x f x 。

（8分）⼋、求内接在⼀个半径为3的球内的最⼤圆柱体的半径和⾼。

（8分）九、考察函数()341x x y +=的单调性、凸性、极值、拐点，并画出其图像。

（10分）（装订线内不要答题）⼗、设()x x x f +-??+=1111ln ，1) 当+∞→x 时，⽤x 的幂函数表⽰它的等价⽆穷⼩量 2) 判断反常积分()dx x f ?∞+1的收敛性。