导数及其应用
【2019年高考考纲解读】
高考对本内容的考查主要有：
(1)导数的几何意义是考查热点，要求是B级，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；
(2)导数的运算是导数应用的基础，要求是B级，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式及复合函数的导数运算，一般不单独设置试题，是解决导数应用的第一步；
(3)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B级，对应用导数研究函数的单调性与极值要达到相等的高度.
(4)导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液，使应用题涉及到的函数模型更加宽广，要求是B级；
【重点、难点剖析】
1．导数的几何意义
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．
(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．基本初等函数的导数公式和运算法则
(1)基本初等函数的导数公式
原函数导函数
f(x)＝c f′(x)＝0
f(x)＝x n(n∈R)f′(x)＝nx n－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝a x(a＞0且a≠1)f′(x)＝a x ln a
f(x)＝e x f′(x)＝e x
f(x)＝log a x
(a＞0且a≠1)f′(x)＝
1
x ln a
f (x )＝ln x
f ′(x )＝1
x
(2)导数的四则运算
①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )； ②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤u x v x ′＝u ′x v x －u x v ′x [v x ]2
(v (x )≠0)．
3．函数的单调性与导数
如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数
y ＝x ＋sin x .
【感悟提升】
(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点． (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．
【变式探究】(2018·全国Ⅱ)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为________． 答案 2x －y ＝0
解析 ∵y ＝2ln(x ＋1)，∴y ′＝2
x ＋1
.令x ＝0，得y ′＝2，由切线的几何意义得切线斜率为2，又切线过点(0,0)，
∴切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0.
【2016高考新课标2理数】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线
的切线，则b = ．
【答案】1ln2-
【解析】对函数ln 2y x =+求导得1
y x
'=
，对求导得1
1
y x '=
+，设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与曲线
相切于点
222(,)P x y ，则，由点111(,)P x y 在切线上得
，由点222(,)P x y 在切线上得
，
这两条直线表示同一条直线，所以，解得
.
【感悟提升】函数图像上某点处的切线斜率就是函数在该点处的导数值．求曲线上的点到直线的距离的最值的基本方法是“平行切线法”，即作出与直线平行的曲线的切线，则这条切线到已知直线的距离即为曲线上的点到直线的距离的最值，结合图形可以判断是最大值还是最小值．
【举一反三】(2015·陕西，15)设曲线y ＝e x
在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x
(x ＞0)上点P
处的切线垂直，则P 的坐标为________． 解析 ∵(e x
)′|x ＝0＝e 0
＝1，设P (x 0，y 0)，有
⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′x ＝x 0
＝－1x 20＝－1， 又∵x 0＞0，∴x 0＝1，故x P (1，1)． 答案 (1，1)
【变式探究】 (1)曲线y ＝x e
x －1
在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A ．2e
B ．e
C ．2
D ．1
(2)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2
＋b x (a ，b 为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在
点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________． 【命题意图】 (1)本题主要考查函数求导法则及导数的几何意义． (2)本题主要考查导数的几何意义，意在考查考生的运算求解能力． 【答案】(1)C (2)－3
【感悟提升】
1．求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点． 2．利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解． 题型二、利用导数研究函数的单调性 【例2】已知函数f (x )＝2e x
－kx －2. (1)讨论函数f (x )在(0，＋∞)内的单调性；
(2)若存在正数m ，对于任意的x ∈(0，m )，不等式|f (x )|>2x 恒成立，求正实数k 的取值范围．
解 (1)由题意得f ′(x )＝2e x －k ，x ∈(0，＋∞)， 因为x >0，所以2e x
>2.
当k ≤2时，f ′(x )>0，此时f (x )在(0，＋∞)内单调递增． 当k >2时，由f ′(x )>0得x >ln k
2，此时f (x )单调递增；
由f ′(x )<0得02，此时f (x )单调递减．
综上，当k ≤2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增； 当k >2时，f (x )在⎝
⎛
⎭⎪⎫
0，ln k 2内单调递减，
在⎝ ⎛⎭
⎪⎫ln k
2，＋∞内单调递增． 校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：
元/套)满足关系式y ＝
m
x －2
＋4(x －6)2
，其中2每日可售出套题21千套．
