福建省厦门双十高三数学第一次月考理新人教A版

2024届厦门双十中学高三数学上学期期初考试卷2023.9（试卷满分150分，考试时间120分钟）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．全集U =R ，能表示集合{}2,1,0A =--和{}2|20B x x x =--≤关系的Venn 图是（）A ．B ．C ．D ．2．不等式2210ax x -+>（R a ∈）恒成立的一个充分不必要条件是（）A ．a ≥1B ．a ＞1C ．102a ＜＜D ．a ＞23．已知825,log 3ab ==，则34a b -=（）A ．25B ．5C ．259D ．534．设()()322f x x a x x =---+是定义在[]2,3b b +上的奇函数，则()f a b +=（）A ．-1B ．0C ．1D ．-25．已知函数()1,2,x x x a f x x a +≤⎧=⎨>⎩，若()f x 的值域为R ,则实数a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[0,1]C ．[0,)+∞D ．(,1]-∞6．在三棱锥P -ABC 中，点O 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为侧棱PA ，PB ，PC 的中点，若a AF =，b CE = ，c BD = ，则OP =（）A ．111333a b c++B ．111333a b c---C ．212333a b c---D ．222333a b c++7．已知函数()()22,f x x g x x =-+=，令()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩，则不等式()74h x >的解集是（）A ．1<2x x -⎧⎨⎩或17<<24x ⎫⎬⎭B ．{<1x x -或71<<4x ⎫⎬⎭C ．11<<22x x -⎧⎨⎩或7>4x ⎫⎬⎭D ．{1<<1x x -或7>4x ⎫⎬⎭8．已知半径为4的球O ，被两个平面截得圆12O O ､，记两圆的公共弦为AB ，且122O O =，若二面角12O AB O --的大小为2π3，则四面体12ABOO 的体积的最大值为（）A ．83B ．429C ．829D ．439二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．设m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论中正确的是（）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若m α⊥，n α⊥，则//m nC ．若//m α，m β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥10．已知实数a ，b ，则下面说法正确的是（）A ．若a b >，则33a ab b>B ．若a ，b 均大于0且ln ln b a a b =，则a b >C ．若0a >，0b >，2a b +=，则221111a b +++最大值为212+D ．若221a b +=，则ab 的取值范围为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．已知函数()(),f x g x 的定义域为()()()()()()(),21,21,4f x f x g x g x g x f x f x +=++=-+R 为奇函数，则（）A ．函数()f x 的图象关于()4,0对称B ．函数()f x 是周期函数C ．()()2100f x f x -++=D ．20231()0k f k ==∑12．如图，棱长为2的正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱AD ，BC 的中点，O 为线段MN 的中点，球O 的表面正好经过点M ，则下列结论中正确的是（）A ．AO ⊥平面BCDB ．球O 的体积为2π3C ．球O 被平面BCD 截得的截面面积为4π3D ．过点O 与直线AB ，CD 所成角均为π3的直线可作4条三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．圆台的底半径为1和2，母线长为3，则此圆台的体积为．14．正实数,x y 满足142x y +=，且不等式24y x m m +≥-恒成立，则实数m 的取值范围为.15．已知函数()221ax bxf x x +=+在其定义域内为偶函数，且()112f =，则()()()111122022202220212f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.16．在OAB 中，2,120OA AB OAB ∠=== ，若空间点P 满足13PAB OAB S S = ，则OP 的最小值为；直线OP 与平面OAB 所成角的正切的最大值是.四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分,BAC ABD ∠ 面积是ADC △面积的3倍.(1)求sin sin BC；(2)若21,2AD DC ==，求BD 和AC 的长.18．如图，圆台上底面圆1O 半径为1，下底面圆2O 半径为2,AB 为圆台下底面的一条直径，圆2O 上点C 满足1,AC BC PO =是圆台上底面的一条半径，点,P C 在平面1ABO 的同侧，且1//PO BC .(1)证明：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)若圆台的高为2，求直线1AO 与平面PBC 所成角的正弦值.19．设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn nb a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．(1)若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式；(2)若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求d ．20．教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．(1)求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数X 的分布列；(3)求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左焦点为F ，离心率为12，以坐标原点O 为圆心，OF 为半径作圆使之与直线20x y -+=相切.(1)求C 的方程；(2)设点()4,0,,P A B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，PB 交C 于另一点E ，求AEF △的内切圆半径的范围.22．已知函数()2ln 1,R f x x ax x a a =-++∈，()f x '为()f x 的导函数.(1)讨论()f x '的极值；(2)若存在[2,e]t ∈，使得不等式()0<f t 成立，求a 的取值范围.1．D【分析】化简集合B ，根据两集合的关系，即可得出答案.【详解】由已知，可得{}{}212||20B x x x x x =---≤=≤≤，所以{}1,0A B ⋂=-，根据选项的Venn 图可知选项D 符合.故选：D.2．D【分析】先求得不等式2210ax x -+>（R a ∈）恒成立的充要条件，再找其充分不必要条件.【详解】不等式2210ax x -+>（R a ∈）恒成立，显然0a =不成立，故应满足0Δ440a a >⎧⎨=-<⎩，解得1a >，所以不等式2210ax x -+>（R a ∈）恒成立的充要条件是1a >，A 、C 选项不能推出1a >，B 选项是它的充要条件，2a >可以推出1a >，但反之不成立，故2a >是1a >的充分不必要条件.故选：D 3．C【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．【详解】因为25a=，821log 3log 33b ==，即323b =，所以()()22323232452544392a aa bbb -====．故选：C.4．B【分析】由奇函数的性质可求出,a b 的值，即可求出()f a b +.【详解】因为()()322f x x a x x =---+是定义在[]2,3b b +上的奇函数，所以20230a b b -=⎧⎨++=⎩，解得：21a b =⎧⎨=-⎩，所以()3f x x x =-+，则1a b +=，则()()1110f a b f +==-+=.故选：B.5．B【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数a 的取值进行分类讨论即可.【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数1y x =+和()2x g x =的图象如下图所示：由图可知，当0x =或1x =时，两图象相交，若()f x 的值域是R ，以实数a 为分界点，可进行如下分类讨论：当0a <时，显然两图象之间不连续，即值域不为R ；同理当1a >,值域也不是R ；当01a ≤≤时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是R ；综上可知，实数a 的取值范围是01a ≤≤.故选：B 6．D【分析】根据空间向量的线性运算，结合重心的性质即可求解.【详解】取BC 中点为M ，1,21,212PF PA PC PA CE PE PC PB PC BD PD PB P a AF c A PBb ===-=-=-=-=-=-=三个式子相加可得()()122a b c PA PB PC PA PB PC a b c +=++⇒++=-++-+,又()()22113323OP AP AO PA AM PA AB AC PA PB PA PC PA=-==⨯+=-+- ------()()()111112333333PA PB PA PC PA PA PB PC PA PB PC a b c =-+----=++=+--=-+,故选：D7．C【分析】由()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩可知，()h x 的图像是()f x 与()g x 在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出()h x 的图像，结合图像，即可求得()74h x >的解集.【详解】由()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩可知，()h x 的图像是()f x 与()g x 在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出()h x 的图像，联立2=+2=y x y x -⎧⎨⎩，解得=2=2x y --⎧⎨⎩或=1=1x y ⎧⎨⎩，故12x =-，21x =，所以()2,2=+2,2<<1,>1x x h x x x x x ≤---⎧⎪⎨⎪⎩，又由()74h x >可知，其解集为()h x 的函数值比74大的那部图像的所在区间，结合图像易得，()74h x >的解集为{34<<x x x x 或}5>x x 联立2=+27=4y x y -⎧⎪⎨⎪⎩，解得1=27=4x y -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩或1=27=4x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，故312x =-，412x =，联立=7=4y x y ⎧⎪⎨⎪⎩，解得7=47=4x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，故574x =，所以()74h x >的解集为11<<22x x -⎧⎨⎩或7>4x ⎫⎬⎭.故选：C..8．C【分析】根据圆的性质及球的截面的性质，利用正弦定理、余弦定理，均值不等式及三棱锥的体积公式求解即可.【详解】设弦AB 的中点为M ，连接12,O M O M ，依题意，可得如下图形，由圆的性质可知12,⊥⊥O M AB O M AB ，则12O MO ∠即为二面角的平面角，故122π3O MO ∠=，四面体12ABOO 的体积为121211sin 362π3MO O V AB S AB O M O M =⋅=⋅⋅⋅ 12312AB O M O M =⋅⋅，其中2221212121243O O O M O M O M O M O M O M=++⋅=≥⋅1243O M O M ⇒⋅≤，当且仅当12233O M O M ==时取等号，由球的截面性质，11OO O M ⊥，22OO O M ⊥，所以12,,,O O O M 四点共圆，则有外接圆直径2423i 23s πn R OM ===，从而2216862221633AB MB OB OM ==-=-=，1222224823339V O M O M ∴=⋅≤⨯=.故选：C 9．BD【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A ：若//m α，//n α，则//m n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故选项A 错误；对B ：若m α⊥，n α⊥，则//m n ，故选项B 正确；对C ：若//m α，m β⊂，则//αβ或α与β相交，故选项C 正确；对D ：若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥，故选项D 正确.故选：BD.10．ACD【分析】对于A ，分0a b >≥、0a b >>、0a b >>三种情况，结合不等式的性质即可判断；对于B ，令0a b =>可判断；对于C ，由2a b +=可得2242ab ab+=-，从而2221142(1)11(1)4ab a b ab --+=++-+，令1(0)t ab t =-≤，再令()424t m m -=≥，结合基本不等式即可判断；对于D ，由221a b +=可得21ab ≤，求解即可判断.【详解】对于选项A ，若0a b >≥，则3443a a a b b b =>=，若0a b ≥>，则330a a b b ≥>，若0a b >>，则3443a a ab b b =->-=，∴若a b >，都有33a a b b >，故A 正确；对于选项B ，当0a b =>，ln ln b a a b =显然成立，故B 错误；对于选项C ，∵2a b +=，2242ab ab+=-，∴2221142(1)11(1)4ab a b ab --+=++-+，∵2a b +=，212a b ab +⎛⎫∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立.令1(0)t ab t =-≤，则2242(1)42(1)44ab t ab t ---=-++，令()424t m m -=≥，则42-=mt ，22424442132483228288t m t m m m m-+==≤=+-+-+-，当且仅当32m m=，即42m =时，等号成立.∴221111a b +++最大值为212+，故C 正确；对于选项D ，∵221a b +=，∴21ab ≤，1122ab -≤≤，则ab 的取值范围为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故D 正确．故选：ACD ．11．ABD【分析】根据函数的对称性可得()f x 的图象关于()4,0对称，结合函数变换可推出函数()f x 是周期为8的函数，结合对称性与周期性逐项判断即可得答案.【详解】因为()4f x +为奇函数，则()()44f x f x +=--+，所以()()8f x f x =--+，则函数()f x 的图象关于()4,0对称，故A 正确；因为()()()21f x f x g x +=+①，()()()21g x g x f x +=-②，则①+②得：()()()()()2112222f x g x g x f x +++==⨯+，即()()2g x f x =+③，②-①得：()()()()()2112222g x f x f x g x +-+=-=⨯+，即()()2f x g x =-+④，由③得()()24g x f x +=+代入④得()()4f x f x =-+，所以()()48f x f x +=-+，则()()8f x f x =+，则函数()f x 是周期为8的函数，故B 正确；由于()f x 的图象关于()4,0对称，()f x 是周期为8的函数，无法确定是否关于点()6,0对称，故C 不正确；将③代入①可得()()()212f x f x f x +=++，所以()()()2213f f f =+，()()()2324f f f =+，()()()2435f f f =+，()()()2546f f f =+，()()()2657f f f =+，()()()2768f f f =+，()()()()()287971f f f f f =+=+，()()()()()()292181082f f f f f f ==+=+，累加得：()()()()()()()()()()2123821238f f f f f f f f ++++=++++ ，故可得()()()()12380f f f f ++++= ，所以20232024202481111()()(2024)()(8253)253()(8)000k k k k f k f k f f k f f k f =====-=-⨯=-=-=∑∑∑∑，故D 正确.故选：ABD.12．ABD【分析】设,E F 分别为,AB CD 的中点，连接,,,,,,ME EN NF MF EF AN DN ，根据线面垂直的判定定理可判断A ；求出球的半径，计算球的体积，进而判断B ；求出球O 被平面BCD 截得的截面圆的半径，可求得截面面积，进而判断C ；通过平移与补形法，通过角平分线的转化寻找平面进而找出直线，从而可判断D.【详解】设,E F 分别为,AB CD 的中点，连接,,,,,,ME EN NF MF EF AN DN ，则11,,,22EM BD NF BD EM BD NF BD ==∥∥,故,EM NF EM NF =∥，则四边形MENF 为平行四边形，故,EF MN 交于一点，且互相平分，即O 点也为EF 的中点，又,AB AC DB DC ==，故,AN BC DN BC ⊥⊥,,,AN DN N AN DN =⊂ 平面AND ，故BC ⊥平面AND ，由于,O MN MN ∈⊂平面AND ，则AO ⊂平面AND ，故BC AO ⊥，结合O 点也为EF 的中点，同理可证DC AO ⊥,,,BC DC C BC DC =⊂ 平面BCD ，故AO ⊥平面BCD ，A 正确；由球O 的表面正好经过点M ，则球O 的半径为OM ,棱长为2的正四面体ABCD 中，3AN DN ==，M 为AD 的中点，则MN AD ⊥，故22312MN ND MD =-=-=,则22OM =，所以球O 的体积为33442π()π()π33322OM ⨯=⨯=，B 正确；由BC ⊥平面AND ，BC ⊂平面BCD ，故平面AND ⊥平面BCD ，平面AND ⋂平面BCD DN =，由于AO ⊥平面BCD ，延长AO 交平面BCD 于G 点，则OG ⊥平面BCD ，垂足G 落在DN 上，且G 为正BCD △的中心，故1333NG ND ==，所以2222236()()236OG ON NG =-=-=，故球O 被平面BCD 截得的截面圆的半径为22263()()263-=，则球O 被平面BCD 截得的截面圆的面积为23ππ()33⨯=，C 错误；由题意得，正四面体可以放入正方体内，如下图所示，将AB 平移至正方体的底面内，过1A FC ∠和1B FD ∠的角平分线作垂直于底面的平面，即平面O P Q ，在平面内一定存在过O 点的两条直线12,l l 使得该直线与直线AB ，CD 所成角均为π3，同理可知，过1B FC ∠和1A FD ∠的角平分线作垂直于底面的平面也存在两条直线满足题意，所以过点O 与直线AB ，CD 所成角均为π3的直线可作4条，D 正确.故选：ABD【点睛】思路点睛：本题考查立体几何的综合问题.要结合图形的特点，作出适合的辅助线，要善于观察图形特点，放入特殊图形中从而快速求解.13．1423π【分析】由圆台的底半径为1和2，母线长为3，求出圆台高为22，由此能求出此圆台体积．【详解】∵圆台的底半径为1和2，母线长为3，∴圆台高h=223(21)--=22，∴此圆台体积V=3π（r 2+R 2+Rr ）h=1423π．故答案为1423π．【点睛】本题考查圆台的体积的求法，解题关键点为在轴截面中求出圆台的高，属于基础题．14．[]1,2-【分析】将问题转化为2min ()4y x m m ≥+-，利用基本不等式求出4y x +的最小值，再解一元二次不等式即可.【详解】因为不等式24yx m m +≥-恒成立，所以2min ()34y x m m ≥+-，因为0,0x y >>，且142x y+=，所以11422()()121242488y y x y x y x x x y y x y x+=++=++≥⋅+=，当且仅当28x yy x=，即1,4x y ==时，等号是成立的，所以min ()24y x +=，所以22m m -≤，即(1)(2)0m m +-≤，解得12m -≤≤.故答案为：[]1,2-15．40432【分析】首先根据()f x 为偶函数和()112f =得到()221xf x x =+，再根据()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解即可.【详解】因为()221ax bxf x x +=+的定义域为R ，且为偶函数，所以()()f x f x -=，即222211ax bx ax bxx x -+=++，即0b =.所以()221ax f x x =+.又因为()1122a f ==，即1a =，所以()221x f x x =+.因为()2222222111111111x x x f x f x x x x x ⎛⎫+=+=+= ⎪+++⎝⎭+，所以()()()111122022202220212f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()111140432022202121202120222021222f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦故答案为：4043216．23324【分析】根据空间点P 满足的条件可知点P 在以直线AB 为旋转轴，底面圆半径为33的圆柱上，即可求得OP 的最小值；建立空间直角坐标系利用空间向量求得直线OP 与平面OAB 所成角的正弦值的表达式，再利用换元及基本不等式即可求得结果.【详解】过点O 作OD AB ⊥与点D ，过点P 作PC AB ⊥与点C ，如下图所示又2OA AB ==，则3OD =，又13PAB OAB S S = ，则1333PC OD ==，即点P 为空间中到直线AB 的距离为33，所以点P 在以直线AB 为旋转轴，底面圆半径为33的圆柱上，如图所示易知当点P 与点,O D 三点共线时，OP 最小，且最小值为323333-=；以OAB 所在平面为xO z '，建立B xyz -空间直角坐标，如下图所示：则平面OAB 的法向量为()0,1,0n =，不妨设CP 与x 轴正方向夹角为α，则()3,0,3O，33cos ,sin ,33P h αα⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即33cos 3,sin ,333OP h αα⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，22223310cos 3sin (3)2cos (3)333OP h h ααα⎛⎫⎛⎫=-++-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当3h =，且cos 1α=时，OP 最小，即当点P 与点O D ､三点共线时，OP 最小，且最小值为233；记直线OP 与平面OAB 所成角为θ，则23sin 3sin 102cos (3)3OP nOP nh αθα⋅==⋅-+-，因为2(3)0h -≥，所以23sin 31cos sin 106cos 102cos 3ααθαα-≤=--，令53cos ,28t t α=-≤≤，则5cos 3t α-=，则2(5)11169sin 10232t t t t θ--≤=--，而16161610101022t t t t t t ⎛⎫--=-+≤-⋅= ⎪⎝⎭，所以1sin 3θ≤，当且仅当4t =，等号成立，此时12tan 422θ==，故答案为：233；24【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据已知条件确定空间中点P 的轨迹，再利用空间向量解决线面角取值范围的问题.17．(1)13(2)322BD =，306AC =【分析】（1）利用三角形面积之间的关系，结合正弦定理可得结果；（2）利用三角形角平分线定理可求得BD ；设AC x =，则3AB x =，由πADB ADC ∠+∠=，知cos cos ADB ADC ∠=-∠，由余弦定理得到cos ADB ∠和cos ADC ∠，建立方程求解即可得AC .【详解】（1）11sin ,sin 22ABD ACD S AB AD BAD S AC AD CAD ∠∠=⋅⋅=⋅⋅ ，3,,3ABD ACD S S BAD CAD AB AC ∠∠==∴= ，由正弦定理可知sin 1.sin 3B AC C AB ==（2）23,2BD AB DC DC AC ===，322BD ∴=.设AC x =，则3AB x =，在ABD △与ACD 中，由余弦定理可知，22221192cos 232x AD BD AB ADB AD BD ∠-+-==⋅，222232cos 22x AD CD AC ADC AD CD ∠-+-==⋅，π,cos cos ,ADB ADC ADB ADC ∠∠∠∠+=∴=- 22113922322x x --∴=-，解得306x =，即306AC =.18．(1)证明见解析(2)23015【分析】（1）取AC 中点M ，四边形12PO O M 为平行四边形，从而得到12//PM O O ，根据12O O ⊥平面ABC 可得PM ⊥平面ABC ，从而得到需求证的面面垂直.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出1AO及平面PBC 的法向量后可求线面角的正弦值.【详解】（1）取AC 中点M ，由题意，121,22PO BC AB ===，又1//PO BC ，故1111//,22PO BC PO BC =.又2211//,22O M BC O M BC =，故1212//,PO O M PO O M =，所以四边形12PO O M 为平行四边形，则12//PM O O .由12O O ⊥平面ABC ，故PM ⊥平面ABC ，又PM ⊂面PAC ，故平面PAC ⊥平面ABC .（2）以2O 为坐标原点，2221,,O B O C O O的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：()()()()1222,0,0,2,0,0,0,2,0,,,2,0,0,222A BC P O ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故()12,0,2.AO =设平面PBC 的法向量(),,n x y z =而()222,2,0,,,222BC CP ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，故220222022n BC x y n CP x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1z =，得()2,2,1.n = 设所求角的大小为θ，则11122230sin cos ,1565AO n AO n AO nθ⋅+====⋅⋅ .所以直线1AO 与平面PBC 所成角的正弦值为23015.19．(1)3n a n =(2)5150d =【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；（2）由{}n b 为等差数列得出1a d =或12a d =，再由等差数列的性质可得50501ab -=，分类讨论即可得解.【详解】（1）21333a a a =+ ，132d a d ∴=+，解得1a d =，32133()6d d S a a =+==∴，又31232612923T b b b d d d d=++=++=，339621S T d d∴+=+=，即22730d d -+=，解得3d =或12d =（舍去），1(1)3n a a n d n ∴=+-⋅=.（2）{}n b 为等差数列，2132b b b ∴=+，即21312212a a a =+，2323111616()d a a a a a ∴-==，即2211320a a d d -+=，解得1a d =或12a d =，1d > ，0n a ∴>，又999999S T -=，由等差数列性质知，5050999999a b -=，即50501a b -=，505025501a a ∴-=，即2505025500a a --=，解得5051a =或5050a =-（舍去）当12a d =时，501495151a a d d =+==，解得1d =，与1d >矛盾，无解；当1a d =时，501495051a a d d =+==，解得5150d =.综上，5150d =.20．(1)36125(2)分布列见解析(3)最有可能是1人，理由见解析【分析】（1）由独立重复事件的概率公式求解即可；（2）先写出X 的可能取值，再求出每个值的概率即可求解；（3）设ξ表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数可能的取值为0、1、2，分别求出相应的概率，比较()0P ξ=、()1P ξ=、()2P ξ=的大小关系，由此可得出结论.【详解】（1）5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为25，则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为2232336C 55125P ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）X 表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，X 的可能取值有0，1，2．2225C 1(0)C 10P X ===；112325C C 6(1)C 10P X ===；2325C 3(2)C 10P X ===．所以分布列为：X12P 0.10.60.3（3）设ξ表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，ξ可能的取值有0，1，2，则有：11222222333224222222555555C C C C C C C 37(0)C C C C C C 100P ξ⋅==⋅+⋅+⋅=，11111122112323233241222222555555C C C C C C C C C C 54(1)C C C C C C 100P ξ⋅==⋅+⋅+⋅=，2112223233222222255555C C C C C C 9(2)0C C C C C 100P ξ⋅==⋅+⋅+⋅=，因为(1)(0)(2)P P P ξξξ=>=>=，故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人．21．(1)22143x y +=(2)30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）由题意得22221212c OF c a a b c ⎧===⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解方程组可求出,a b ，从而可得椭圆的方程；（2）设AE 的方程为()0x my t m =+≠，代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，再由点,,P B E 三点共线且斜率一定存在，可求得1t =，得直线AE 过定点()1,0Q ，且Q 为椭圆右焦点，所求内切圆半径为r ，则12124AQ y y r ⋅-=，化简换元后可求出其范围.【详解】（1）依题意22221212c OF c a a b c ⎧===⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2,3a b ==，所以C 的方程为22143x y +=.（2）因为AE 不与x 轴重合，所以设AE 的方程为()0x my t m =+≠，设点()()()11122,0,,A x y y E x y ≠，则()11,B x y -联立22143x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2223463120m y mty t +++-=，则()222121222631248340,,3434mt t m t y y y y m m --∆=-+>+==++因为点,,P B E 三点共线且斜率一定存在，所以2112114y y y x x x +-=--，所以()1221124x y x y y y +=+，将1122,x my t x my t =+=+代入化简可得121224y y m y y t +=-，故2264312m mtt t -=--，解得1t =，满足()248330m ∆=+>所以直线AE 过定点()1,0Q ，且Q 为椭圆右焦点设所求内切圆半径为r ，因为1442AEF S a r r =⨯⋅= ，所以()22121212214312444434FQA FQEAEF AQ y y y y y y S S Sm r m ⋅-+-++=====+ 令21(1)u m u =+>，则221m u =-，所以2331313u r u u u==++，因为1u >，对勾函数13y u u=+在()1,+∞上单调递增，所以134u u +>，则304r <<.所以内切圆半径r 的范围为30,4⎛⎫⎪⎝⎭..【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.22．(1)答案见解析(2)2e 1,e 1⎛⎫++∞⎪-⎝⎭【分析】（1）求得()2(1ln )f x x a x '=-+，设2(1ln ())x a g x x -+=，求得2()x ag x x-='，分0a ≤和0a >，两种情况讨论，结合函数的单调性和极值的定义，即可求解；（2）根据题意转化为存在[2,e]t ∈，使得1ln 0at a t t +-+<，构造函数1()ln a h t t a t t+=-+，求得2(1)(1)()t t a h t t +--'=，分12a +≤、21e a <+<和1e a +≥，结合函数()h t 的单调性和极值、最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数2()ln 1,R f x x ax x a a =-++∈，可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且()2(1ln )f x x a x '=-+，设2(1()()(0,)ln ),x a g x f x x x =-+∈'=+∞，则2()2ax ag x xx-'=-=，①当0a ≤时，可得()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以()f x '没有极值；②当0a >时，若0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0g x '<，()f x '在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，若,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()0g x '>，()f x '在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x '在2a x =处取得极小值，且极小值为ln 22a a f a ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，在(0,)+∞上没有极大值，综上，当0a ≤时，()f x '没有极值；当0a >时，()f x '的极小值为ln 2aa -，无极大值.（2）由题意知，存在[2,e]t ∈，使得2()ln 10f t t at t a =-++<，即存在[2,e]t ∈，使得1ln 0at a t t+-+<，构造函数1()ln a h t t a t t+=-+，则221(1)(1)()1a a t t a h t t t t ++--'=--=，当12a +≤，即1a ≤时，()0h t '≥在[2,e]上恒成立，()h t 单调递增，所以()20h <，可得52ln 21a >-，与1a ≤矛盾，不满足题意；21当21e a <+<，即1e 1a <<-时，若[2,1]t a ∈+，则()0h t '≤，()h t 单调递减，若[1,e]t a ∈+，则()0h t '≥，()h t 单调递增，此时min ()(1)h t h a =+，由min ()(1)0h t h a =+<，可得(1)ln(1)10a a a +-++<，所以2ln(1)a a a +<+，因为21e a <+<，所以不等式2ln(1)a a a +<+不成立；当1e a +≥，即e 1a ≥-时，()0h t '≤在[2,e]t ∈上恒成立，()h t 单调递减，所以(e)0h <，可得2e 1e 1a +>-，满足题意.综上，实数a 的取值范围为2e 1,e 1⎛⎫++∞ ⎪-⎝⎭.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。

福建高三上学期第一次月考数学试卷（带答案）高考数学的温习的位置是很重要的，以下是2021年福建高三上学期第一次月考数学试卷，请大家仔细练习。

第一卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的.1.双数(i为虚数单位)的虚部是A. B. C. D.2.集合，，那么A. B. C. D.3.函数，那么是，使的A.充沛而不用要条件B.必要而不充沛条件C.充沛必要条件D.既不充沛也不用要条件4.为第二象限角，，那么A. B. C. D.5.假定，满足约束条件，那么的最小值是A.-3B.0C.D.36.假定，那么A. B. C. D.7.，且的是A. B.C. D.8.将函数的图象上一切点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位，那么所得函数图象对应的解析式为A. B.C. D.9.函数，且函数的图象如下图，那么点的坐标是A. B.C. D.10. 假定直线与曲线区分相交，且交点之间的距离大于1，那么的取值范围是A.(0，1)B.(0，2)C.(1，2)D.(2，+)11.设，，且满足那么A.1B.2C.3D.412. 在整数集中，被除所得余数为的一切整数组成一个类，记为，即，.给出如下四个结论：④整数属于同一类的充要条件是.其中，正确结论的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4第二卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，将答案填在答题纸上。

13.角的终边上一点的坐标为P，那么角的最小正值为14.假定正数x，y满足2x+3y=1，那么+的最小值为15.设，定义为的导数，即，N，假定的内角满足，那么的值是16.定义在R的奇函数满足，且时，，下面四种说法：②函数在[-6，-2]上是增函数;③函数关于直线对称;④假定，那么关于的方程在[-8，8]上一切根之和为-8，其中正确的序号是三、解答题：本大题共6小题，共74分.解容许写出文字说明、证明进程或演算步骤.17.(本小题总分值12分)记函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B.(1)求和;(2)假定，务实数的取值范围.18.(本小题总分值12分)函数.(Ⅰ)求在上的单调递增区间;(Ⅱ)设函数，求的值域.19. (本小题总分值12分)某轮船公司的一艘轮船每小时破费的燃料费与轮船飞行速度的平方成正比，比例系数为.轮船的最大速度为海里/小时.当船速为海里/小时，它的燃料费是每小时元，其他飞行运作费用(不论速度如何)总计是每小时元.假定运转进程中轮船以速度匀速飞行.(1)求的值;(2)求该轮船飞行海里的总费用(燃料费+飞行运作费用)的最小值.20. (本小题总分值12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边区分为a，b，c..(1) 求的值;(2) 假定cosB=，,求的面积.21. (本小题总分值12分)设函数的图象经过原点，在其图象上一点P(x，y)处的切线的斜率记为.(Ⅰ)假定方程=0有两个实根区分为-2和4,求的表达式; (Ⅱ)假定在区间[-1,3]上是单调递减函数,求的最小值. 22. (本小题总分值14分)函数f(x)= (m,nR)在x=1处取到极值2 .(1)求f(x)的解析式;(2)设函数g(x)=lnx+ .假定对恣意的x1[-1,1]，总存在x2[1,e]，使得g(x2)f(x1)+ ,务实数a的取值范围。

厦门双十中学2021-2022学年（下）第一次月考高一数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量(2,5)a =，(1,2)b =，则||a b -=（ ） A.22B.3C.10D.232.已知a ，b 是空间中的任意两个非零向量，则下列各式中一定成立的是（ ）A.222()a b a b ⋅=⋅B.222()a b a b +=+C.222()a a λλ=D.||a ba b ⋅= 3.在ABC △中，3a =，26b =，2B A ∠=∠，则sin A 的值为（ ）A.34B.33C.32D.14.若向量(,2)a x =，(2,3)b =，(2,4)c =-，且a //c ，则a 在b 上的投影向量为（ ） A.812,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B.812,1313⎛⎫-⎪⎝⎭ C.812,1313⎛⎫⎪⎝⎭ D.812,1313⎛⎫-⎪⎝⎭ 5.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，222b c a bc +=+，则ABC △外接圆的面积是（ ） A.3πB.43π C.2π D.4π6.已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象如图所示，则（ ）A.()()f x f x π+=B.对于任意1x ，25,66x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且12x x <，都有()()12f x f x < C.x ∀∈R ，都有5533f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.175,1212x ππ⎡⎤∃∈--⎢⎥⎣⎦，使得()2f x =- 7.从长度分别为1，2，3，4，5的5根细木棒中选择三根围成一个三角形，则最大内角（ ） A.可能是锐角B.一定是直角C.可能大于D.一定小于8.在面上有ABC △及内一点O 满足关系式：0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=△△△，即称为经典的“奔驰定理”，若ABC △的三边为a ，b ，c ，现有0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，则O 为ABC △的（ ） A.外心B.内心C.重心D.垂心二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省厦门双十中学高三数学12月月考题 理 新人教A 版【会员独享】数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．设向量"//""2"),3,1(),1,1(b a x x b x a 是则=+=-=的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知点P 是曲线C:321yx x 上的一点，过点P 与此曲线相切的直线l 平行于直线23yx ，则切线l 的方程是（ ）A ．12+=x yB ．y=121+-x C ．2y x D ．21y x 或2y x3．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OC OB OA x OM 3121++= 则x 的值为（ ） A ．0B ．31C ．21D ．61 4．函数xx x f 1lg )(-=的零点所在的区间是（ ） （A ）（0，1）（B ）（1，10） （C ）（10，100） （D ）（100，+∞）5．已知变量)5(log ,003202,2++=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-y x z x y x y x y x 则满足的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．86．如果数列103*,8,,)}({a a a a a N n m R a a n m n m n n 那么且满足对任意=⋅=∈∈+等于（ ） A ．256 B ．510 C ．512 D ． 1024 7．在下列三个命题中（1） 命题“若p ，则q ”与命题“若,q ⌝则p ⌝”互为逆否命题; （2），满足,则该函数是 周期为4的周期函数;（3）命题:[0,1],1x p x e ∀∈≥， 命题2:,10,q x R x x ∃∈++< 则p q ∨为真; （4）“a+b =2”是“直线x+y=0与圆2)()(22=-+-b y a x 相切”的必要不充分条件. 其中错误的．．．个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．设斜率为1的直线l 与椭圆124:22=+y x C 相交于不同的两点A 、B ，则使||AB 为整数的直线l 共有（ ） A ．4条 B ．5条 C ．6条 D ．7条9．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．1010．对于函数2()2f x x x =+在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值max1M =-叫做2()2f x x x =+的下确界，则对于正数,a b ，222()a b a b ++的下确界（ ） A ．4 B ．2 C ．14 D ．12第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题,每小题4分,共24分.将答案填在题中横线上.11. 已知1),0,0(1212222=+>>=+ny m x mn n m n m 取得最小值时，椭圆则当的离心率是 .12. 平面内有两定点A ，B ，且|AB|=4，动点P 满足4||=+PB PA ，则点P 的轨迹是 .13. 已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=3,|BC |=4，|CA |=5,则AB CA CA BC BC AB •+•+•的值等于 .14．如图，在空间直角坐标系中的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，棱长为1，已知B 1E 1=D 1F 1=.4311B A 则BE 1与DF 1所成的角的余弦值为 .15. 已知F 是双曲线221412y x-=的左焦点，定点A （1，4），P 是双曲线右支上的动点，则||||PF PA +的最小值为_________.16. 三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ． 三、解答题:本大题共6小题,共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知集合}0,|2||{><-=a a x x A ，集合}1|322|{<+-=x x x B . （Ⅰ）若1a，求B A ⋂；（Ⅱ）若A ⊂≠B ，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）如图，已知四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA 1=2。

福建省厦门双十中学2009届高三年级第一次月考数学理科试题一、选择题：（每小题5分，共60分） 2008.10 1．点P （tan2008º,cos2008º）位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．全称命题“12,+∈∀x Z x 是整数”的逆命题是 （ ） A ．若12+x 是整数，则Z x ∈ B ．若12+x 是奇数，则Z x ∈ C ．若12+x 是偶数，则Z x ∈D ．若12+x 能被3整除，则Z x ∈3．已知命题p:n=0；命题q ：向量n m +与向量共线，则p 是q 的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．集合{}{}P Q ==3454567，，，，，，，定义P※Q＝{}(,)|a b a P b Q ∈∈，,则P※Q 的子集个数为 （ ） A ．7 B ．12 C ．144 D ．40965．已知函数)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30<<x 时，)(x f 的图象如图所示，则不等式0cos )(<x x f 的解集是 （ ） A ．)3,2()1,0()2,3(ππ--B ．)3,2()1,0()1,2(ππ--C ．)3,1()1,0()1,3( --D ．)3,1()1,0()2,3( π--6．过点)2,3(-的直线l 经过圆：0222=-+y y x 的圆心，则直线l 的倾斜角大小为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．设O 、A 、M 、B 为平面上四点，→→→-+=OA OB OM )1(λλ，且)2,1(∈λ，则（ ）A ．点M 在线段AB 上B ．点B 在线段AM 上C ．点A 在线段BM 上D ．O 、A 、B 、M 四点共线8．二次函数),1()0()(),2()2()(f f a f x f x f x f <≤-=+且满足则实数a 的取值范围是（ ）A ．0a ≥B ．0a ≤C ．04a ≤≤D ．0a ≤或4a ≥9．在数列}{n a 中，对任意,*N n ∈，都有k a a a a nn n n =--+++112（k 为常数），则称}{n a 为“等差比数列”，下面对“等差比数列”的判断： ①k 不可能为0，②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为)1,0,0(≠≠+⋅=b a c b a a nn 的数列一定是等差比数列，其中正确的判断是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④10．点O 为ABC ∆内一点，且存在正数0,,321321=++OC OB OA λλλλλλ使，设AOC AOB ∆∆,的面积分别为,21、S S 则=21:S S （ ）A ．21:λλB ．32:λλC ．23:λλD ．12:λλ二、填空题（每题4分，共16分） 11．)3tan(,31)6tan(21)6tan(παπβπβα+-=-=++则已知， 12．已知x,y 满足约束条件y x Z y x y x -=⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥205211则函数的最大值为 . 13．公差不为零的等差数列}{n a 的三项1641,,a a a 成等比数列，则642531a a a a a a ++++的值是__________.14．关于x 的方程|243|0x x a -+-=有三个不相等的实数根,则实数a=__________ 15．对于任意实数{}1212max x x x x ，，，表示12x x ，中较大的那个数,则当x R ∈时,函数 f （x ）=max {}21232x x x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，，的最大值与最小值的差是____________.三、解答题16．（本题12分） 已知函数)(cos 3cos sin 2sin )(22R x x x x x x f ∈+-= （1）说明函数y=f （x ）图像可由y=cos2x 的图像经过怎样的变换得到； （2）当],2419[ππ∈x 时，求函数f （x ）的最大值和最小值 17．（本题12分）已知O 为坐标原点，)2sin 3,1(),1,cos 2(2a x OB x OA +==→→是常数）a R a R x ,,(∈∈， 若→→⋅=OB OA y（1）求y 关于x 的函数解析式)(x f ，并指出)(x f 的单调减区间． （2）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，)(x f 的最大值为2，求a 的值18．（本题12分）△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，且cos =),(AC AB 41. （1）求A CB 2cos 2sin2++的值； （2）若6,4=+=c b a ，且c b <，求b 、c 的值. 19．（本题12分）在公差不为零的等差数列}{n a 和等比数列}{n b 中，已知11=a ，且11b a =，3622,b a b a ==。

厦门外国语学校2011届高三年理科数学十月份月考试卷 2010.10.8(满分： 150分 考试时间：120分钟)一、选择题（每小题5分，共50分） 1、已知sin α，则44sin cos αα-的值为 （ ★ ）A ．15-B ．35-C ．15D ．352、设0,0a b >>，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则11a b+的最小值是（ ★ ）A ．1B ．2C ．4 D．3、 在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边长分别是a 、b 、c .满足b A c C a =+cos cos 2.则B A sin sin + 的最大值是（ ★ ）A 、B 、1 CD 、124、已知数列{}n a 为等差数列，且π=++1371a a a ，则)tan(122a a +的值为（ ★ ）． A ．3B ．3-C ．33D ．33-5、将函数x x x f cos sin 3)(-=的图象向左平移m 个单位（m>0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ★ ）A ．32πB ．3π C ．8π D ．π656、设二次函数f (x )=x 2－x +a ，(a >0), 若f (m )<0, 则f (m －1)的值为（ ★ ）A / 正数B / 负数C / 非负数D / 正数、负数和零都有可能7、对任意12122112121sin 1sin ,(0,),,,2x x x x x x y y x x π++∈>==，则（ ★ ） A 、12y y = B 、12y y > C 、12y y < D 、12,y y 的大小关系不能确定8、有下列命题：①0x =是函数3y x =的极值点；②三次函数32()f x ax bx cx d =+++有极值点的充要条件是230b ac ->； ③奇函数32()(1)48(2)f x mx m x m x n =+-+-+在区间(4,4)-上是单调减函数； ④若函数()(1)(2)(2009)(2010)g x x x x x =----，则(2010)2009!g '=．其中真命题的个数有（ ★ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9、已知函数1()lg ()2xf x x =-有两个零点21,x x ，则有（ ★ ）A ．021<x xB ．121=x xC ．121>x xD ． 1021<<x x10、已知b a <<0，若函数xx x f 12)(+=在],[b a 上单调递增，则对于任意1x ,],[2b a x ∈，且21x x ≠，使)()()()(2121b f x x x g x g a f ≤--≤恒成立的函数)(x g 可以是（ ★ ）．A ．211)(x x g -= B ．2ln )(2-+=x x x g C ．xx x g 12)(--=D ．)12()(xx e x g x+= 二、填空题：（每小题4分，共20分）11、在数列{}n a 中，12121,2,(*,3)n n n a a a a a n N n --===-∈≥，则2010a = ▲ ． 12、曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为,,,321P P P ，则=42P P ▲ ．13、对于一切实数x ，不等式012≥++x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是_____▲______.14、已知函数),(,)(23R b a bx ax x x f ∈++-=的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域（图中 阴影部分）的面积为121，则a 的值为 ▲ 。

厦门外国语学校2014届高三（上）第一次月考数学科(理)试卷（试卷满分： 150分； 考试时间： 120分钟）一.选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.曲线()ln 2y x =+在点()1,0P -处的切线方程是 ( ) A ．1y x =+B ．1y x =-+C ．21y x =+D ．21y x =-+2. 已知定义在复数集C 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧∉-∈+=Rx x i Rx x x f )1(1)(，则()1f i +等于( )A ．2-B ．0 C.2 D ．2i + 3.下列命题中正确的是 ( )A. 命题“若1,12==x x 则”的否命题为：“若1,12≠=x x 则”B. 命题“x R ∀∈，2x x -0≤”的否定是“2,0x R x x ∃∈-≥”C. 命题“若y x y x sin sin ,==则”的逆否命题为真命题；D. 命题“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件 4. 函数2()(3)x f x x e =-的单调递增区间是 ( )A. (,0)-∞B. (0,)+∞C. (,3)-∞-和(1,)+∞D. (3,1)- 5.已知集合{}|sin A y y x ==,{|()(3)0}B x x m x m =--+≤()m R ∈.设全集为R , 若R A B ⊆ð,则实数m 的取值范围是. ( )A ．1,4m m ≤-≥或B ．1,4m m <->或C ．12m ≤≤D ．12m << 6、设0,0a b >>，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则11a b+的最小值是 ( )A ．1B ．2C ．4 D．7．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤<=2,120,log )(2x xx x x f ，则)(x f 的值域是 ( )A ．[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛,121,0 B ． [)+∞,0 C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 D ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,08.若2a >，则函数321()13f x x ax =-+在(0,2)内零点的个数为 ( )A.3B.2C.1D.09．函数)(x f y =的图象如右图所示，则导函数)('x f y =的 图象的大致形状是 ( )A B C D10. 设11cos ,sin ,a xdx b xdx ==⎰⎰下列关系式成立的是 ( )A ．a b >B ．1a b +< C ．a b < D ．1a b +=11.函数()f x 的定义域为A ,若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =,则称()f x 为单函数.例如:函数)(12)(R x x x f ∈+=是单函数.给出下列命题:①函数)()(2R x x x f ∈=是单函数;②指数函数)(2)(R x x f x∈=是单函数;③若()f x 为单函数,12,x x A ∈且12x x ≠,则12()()f x f x ≠;④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数,其中正确命题的个数是 ( ) A ．3B ．2C ．1D ．012. 设()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[,]x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“关联函数”，区间[,]a b 称为“关联区间”．若2()34f x x x =-+与()2g x x m =+在[0,3]上是“关联 函数”，则m 的取值范围为( )A. 9(,2]4-- B.[1,0]- C.(,2]-∞- D.9(,)4-+∞二.填空题: 请把答案填在题中横线上（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）。

福建省厦门市双十中学2020届高三下第一次月考数 学（理科）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{|lg 0}A x x =>{||1|2}B x x =-<，则A B ⋃=（ ）A.{|1x x <-或1}x ≥B.{|13}x x <<C.{|3}x x >D.{|1}x x >-2.已知复数(1)z a a i =+-（i 为虚数单位，a R ∈），则“(0,2)a ∈”是“在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.如图是一位发烧病人的体温记录折线图，下列说法不正确的是（ ）A.病人在5月13日12时的体温是38℃B.从体温上看，这个病人的病情在逐渐好转C.病人体温在5月14日0时到6时下降最快D.病人体温在5月15日18时开始逐渐稳定4.已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(2,1)Q -的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A.1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭B.1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C.(1,2)D.(1,2)-5.如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A.443π+ B.483π+ C.843π+ D.883π+ 6.设612log a =，1214log b =，1515log c =，则（ ）A.a b c <<B.c b a <<C.b a c <<D.c a b <<7.如图Rt ABC V 中，2ABC π∠=，2AC AB =，BAC ∠平分线交ABC V 的外接圆于点D ，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r，则向量AD =u u u r （ ）A.a b +r rB.12a b +r rC.12a b +r rD.23a b +r r8.图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥.在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A.12 B.13 C.41π- D.42π-9.函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是（ ）A.函数()f x 的最小正周期是2πB.函数()f x 的图象关于点4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称C.函数()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增 D.函数()f x 的图象向右平移512π后关于原点成中心对称10.2019年4月25日-27日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ） A.198 B.268 C.306 D.37811.已知点12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的左、右焦点，以2F 为圆心且过点1F 的圆N 与双曲线M 在第一象限的交点为P ，圆N 与x 轴的另一个交点为Q ，若1||a PF b PQ =，则双曲线的离心率为（ ）B.2C.54D.5312.设*n N ∈，函数1()xf x xe =，21()()f x f x '=，32()()f x f x '=，，1()()n n f x f x '+=，曲线()n y f x =的最低点为n P ，12n n n P P P ++V 的面积为n S ，则（ ）A.{}n S 是常数列B.{}n S 不是单调数列C.{}n S 是递增数列D.{}n S 是递减数列 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.非零向量,a b r r 满足：||||a b a -=r r r ，()0a a b ⋅-=r r r ，则a b -r r 与b r夹角的大小为_____.14.设锐角ABC V 三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若cos cos )2sin a B b A c C +=,1b =，则c 的取值范围为_____.15.回收1吨废纸可以生产出0.8吨再生纸，可能节约用水约100吨，节约用煤约1.2吨，回收1吨废铅蓄电池可再生铅约0.6吨，可节约用煤约0.8吨，节约用水约120吨，回收每吨废铅蓄电池的费用约0.9万元，回收吨废纸的费用约为0.2万元。

福建省厦门双十中学2022-2023学年高一上学期第一次月考
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
二、多选题
A ．U M N =∅I ðC ．U U
U
M N M
=
痧10．下列说法正确的是（
）
A ．A
B ⋂≠∅是A B ⊆的既不充分也不必要条件B ．“
11
a b
>”是“a b <”的既不充分也不必要条件C ．若a ，b ∈R ，则“2a +D ．“0a b >>”是“n a b >11．以下结论正确的是（）
A ．函数21
x y x
+=的最小值是C ．若x R ∈，则2
23x x ++为0
12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，鲁伊兹·布劳威尔（LEJBrouwer ()f x ，存在一个点0x ，使(f x
()()
()22f f x x x f x x x --+=+，则()2+1
f x x x -=三、填空题
四、双空题
五、解答题
参考答案：
. 7．C。

2019届福建省厦门市双十中学高三上学期第一次月考理科数学试题一、单选题1．若集合{}|23M x x =-<<，{}1|21x N x +=≥，则MN =（ ）A ．(3,)+∞B ．(1,3)-C ．[1,3)-D ．(2,1]--2．抛物线2(21)x a y =-的准线方程是1y =，则实数a =（ ） A ．52B ．32C ．12D ．32-3．已知命题p ：x R ∀∈，2130x +>，命题q ：“02x <<”是“2log 1x <”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p ⌝B ．p q ∧C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨4．如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径， 2BF FO =，则FD FE ⋅=（ ）A ．34-B ．89-C ．14-D ．49-5．已知函数()ln 2x f x x =+，若2(4)2f x -<,则实数x 的取值范围是（ ）. A ．(2,2)-B．C．(2)-D．(2)-(2⋃6．设集合{}2|20170A x x ax =++>，{}2|20180B x x ax =++>，{}2|20170C x x x b =-+>，{}2|20180D x x x b =-+>，其中a ，b R ∈，下列说法正确的是（ ）A ．对a ∀∈R ，A 是B 的子集；对b R ∀∈，C 不是D 的子集 B ．对a ∀∈R ，A 是B 的子集；b R ∃∈，C 是D 的子集 C ．a R ∃∈，A 不是B 的子集；对b R ∀∈，C 不是D 的子集 D ．a R ∃∈，A 不是B 的子集；b R ∃∈，C 是D 的子集7．如图是一个几何体的三视图，若该几何体的表面积为48π，则a 的值为（ ）正视图 侧视图 俯视图A ．1B ．2C ．3D ．48．若213log (35)y x ax =-+在[)1,-+∞上单调递减，则a 的取值范围是（ ）. A ．(,6)-∞- B ．(6,0)- C ．(8,6]--D ．[]8,6--9．对于任意实数a ，b ，2()a b kab +≥均成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[4,)+∞B ．[]0,4C ．(,4]-∞D ．(,0][4,)-∞⋃+∞10．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}11．已知函数2ln ,1()5,14x x f x x x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，存在1x ，2x ，，n x ，满足()()()1212n nf x f x f x m x x x ====，则当n 最大时，实数m 的取值范围为（ ）A ．31,23e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,24e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x 都有2()4()f x x f x -=-，当(,0]x ∈-∞时，()41f x x '<-，若()()142f m f m m +≤-++，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)-+∞D ．[2,)-+∞二、填空题13．如图甲所示，在直角ABC ∆中，,AC AB AD BC ⊥⊥，D 是垂足，则有2AB BD BC =⋅，该结论称为射影定理.如图乙所示，在三棱锥A BCD-中，AD ⊥平面ABC ，AO ⊥平面BCD ，O 为垂足，且O 在BCD ∆内，类比直角三角形中的射影定理，则有__________．14．若实数a ，b ，c ，d 满足︱b+a 2-3l n a ︱+（c-d+2）2=0,则（a-c ）2+（b-d ）2的最小值为 .15．若x ，y ，z 满足111235x y z⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；①523z x y >>；②325y x z >>；③532z y x >>；④532z y x ==．上述关系中可能成立的序号是________（把符合要求的序号都填上）．16．在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是-则该四面体的外接球的表面积是__________．三、解答题17．ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足tan 21tan A cB b+=．（1）求A 的大小；（2）若ABC 为锐角三角形，求函数22sin 2cos cos y B B C =-的值域．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，点E 、F 分别为AB 和PD 的中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ； （2）求点A 到平面PEC 的距离.19．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>和直线l ： 1x y a b -=，椭圆的离心率e =，坐标原点到直线l 的距离为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知定点()1,0E-，若直线m 过点()0,2P 且与椭圆相交于,C D 两点，试判断是否存在直线m ，使以CD 为直径的圆过点E ？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由.20．如图所示，四棱锥P ABCD -的侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，且//,AB CD AB AD ⊥,12CD PD AD AB ===,E 是PB 中点.（1）求证：CE ⊥平面PAB ；（2）若4CE AB ==，求直线CE 与平面PDC 所成角的大小. 21．已知函数()()1xf x e a x =--有两个零点.（1）求实数a 的取值范围；（2）设1x 、2x 是()f x 的两个零点，证明：1212x x x x <+⋅. 22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线:60l x y --=.（1）在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小，并求出此最小值；（2）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，求点M 到,A B 两点的距离之积.参考答案1．C 【解析】由题意得{}{}{}1|21|10|1x N x x x x x +=≥=+≥=≥-，{}|13M N x x ⋂=-≤<，故选C.点睛：研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是不等式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 2．D 【解析】 【分析】根据准线方程可求得1214a-=，则a 可得． 【详解】 解：抛物线2(21)x a y =-的准线方程为1y =，∴1214a-=， 解得32a =-， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置，属于基础题． 3．C 【分析】分别判断出p ，q 的真假，从而判断出复合命题的真假． 【详解】 解：命题:p x R ∀∈，2130x +>，∴命题p 为真，由2log 1x <，解得：02x <<，02x ∴<<是2log 1x <的充分必要条件，∴命题q 为假，所以p ⌝为假，p q ∧为假，()p q ∧⌝为真命题，()p q ⌝∨为假命题.故选：C ． 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了对数，指数函数的性质，属于基础题． 4．B 【解析】本题考查向量加法和减法的平行四边形分法则或三角形法则,向量的数量积. 因为圆半径为1BC 是直径，2,BF FO =所以1;3OF =根据向量加法和减法法则知：,FD OD OF FE OE OF =-=-；又DE 是直径，所以,1;OD OE OD OE =-==则 ()()()()FD FE OD OF OE OF OE OF OE OF ⋅=-⋅-=--⋅- ()()OE OF OE OF =-+⋅-故选 B5．D 【解析】21()2ln 20,(1)20412x f x f x x x=+>=∴<-<∴<'<，即实数x 的取值范围是()2- (2⋃，选D.6．B 【分析】运用集合的子集的概念，令m A ∈，推得m B ∈，可得对任意a ，A 是B 的子集；再由22017b =，21009b =，求得集合C ，D ，即可判断B 正确，A ，C ，D 错误．【详解】解：对于集合{}2|20170A x x ax =++>，{}2|20180B x x ax =++>， 可得当m A ∈，即220170m am ++>，可得2201710m am +++>， 即有m B ∈，可得对任意a ，A 是B 的子集；当22017b =时，{}22|201720170C x x x R =-+>=，{}22|201820170D x x x R =-+>=，可得C 是D 的子集；当21009b =时，{}22|201710090C x x x R =-+>=，{}22|201810090{|1009D x x x x x =-+>=≠且}x R ∈，可得C 不是D 的子集．综上可得，对任意a ，A 是B 的子集，存在b ，使得C 是D 的子集． 故选：B ． 【点睛】本题考查集合的关系的判断，注意运用二次不等式的解法，以及任意和存在性问题的解法，考查判断和推理能力，属于中档题． 7．B 【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据转化求解即可． 【详解】解：由三视图可知几何体是一个圆柱的上下底分别挖去一个半球后的几何体，圆柱的母线长为4a ，两个底面的半径为a ，几何体的表面积为：2244S a a a ππ=⨯+ 212a π=，可得21248a ππ=，解得2a =， 故选：B ．【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的性质是解题的关键，属于中档题． 8．C 【解析】 由题意得21,3506ax ax 且≤--+> 在[)1,-+∞上恒成立，所以3508a a ++>⇒>- 即86a -<≤-，选C.点睛：判断函数单调性的常用方法：(1)定义法和导数法，注意证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性. 9．B 【分析】化简可得22(2)a b k ab +-恒成立，从而可得222k -+． 【详解】解：2()a b kab +， 222a b kab ab ∴+-，即22(2)a b k ab +-恒成立， 故222k --，解得04k 故[]0,4k ∈， 故选：B ． 【点睛】本题考查了不等关系的应用及基本不等式的应用，属于基础题． 10．D 【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项. 【详解】设关于()f x 的方程()()20mfx nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2b x a =-对称．而选项D 中41616422++≠.故选D .【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f t g x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征. 11．D 【分析】由题意可得()f x 和直线y mx =最多4个交点，将1x =代入可得m 的值，考虑直线与y lnx =相切的m 的值，即可得到所求范围． 【详解】解：l x ，2x ，⋯，n x ，为方程1212()()()n nf x f x f x m x x x ==⋯==的n 个解， 即()f x mx =的n 个解，()y f x =和y mx =的图象如下所示，可得()f x 和直线最多4个交点，将1x =代入254x mx -，可得14m ，以下求y lnx =与y mx =相切时的m 值，设切点横坐标为a ，则y lnx =在(,)a lna 处的切线的斜率为1a ，方程为1()y lna x a a-=-， 由题意可得10lna -=，1m a =，解得a e =，1m e=， 结合图象可得m 的范围是11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：D ． 【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查直线的斜率和导数的几何意义，考查运算能力，属于中档题．12．A【分析】利用构造法设2()()2=-g x f x x ，推出()g x 为奇函数，判断()g x 的单调性，然后推出不等式得到结果． 【详解】 解：2()4()f x x f x -=-2()4()f x x f x ∴=--， 22()2()20f x x f x x ∴-+--=，设2()()2=-g x f x x ，则()()0g x g x +-=，∴函数()g x 为奇函数．(,0)x ∈-∞时，()41f x x '<-，()()41g x f x x ∴'='-<-，故函数()g x 在(,0)-∞上是减函数，故函数()g x 在(0,)+∞上也是减函数， 若(1)()42f m f m m +-++， 则22(1)2(1)()2f m m f m m +-+--， 即(1)()g m g m +-，1m m ∴+-，解得12m -，即1,2m ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭故选：A ． 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性、导数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．13．2C C CD S S S ∆AB ∆B O ∆B =⋅【解析】结论：2C C CD S S S ∆AB ∆B O ∆B =⋅.证明如下在△BCD 内，延长DO 交BC 于E ，连接AE ， ∵AD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥AD ， 同理可得：BC ⊥AO∵AD 、AO 是平面AOD 内的相交直线， ∴BC ⊥平面AOD ∵AE 、DE ⊂平面AOD ∴AE ⊥BC 且DE ⊥BC∵△AED 中，EA ⊥AD ，AO ⊥DE ∴根据题中的已知结论,得AE 2=EO ⋅ED两边都乘以21(),2BC 得2111()222BC AE BC EO BC ED ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵AE 、EO 、ED 分别是△ABC 、△BCO 、△BCD 的边BC 的高线 ∴0111,,222ABCBC BCDSBC AE S BC EO S BC ED =⋅=⋅=⋅ ∴有2C ().ABCSS S BCD ∆B O =⋅故答案为2C C CD S S S ∆AB ∆B O ∆B =⋅.14．8 【解析】∵实数a 、b 、c 、d 满足：（b+a 2-3l n a ）2+（c-d+2）2=0，∴b+a 2-3l n a=0，c-d+2=0，设b=y ，a=x ，则y=3l n x-x 2，设c=x ，d=y ，则y=x+2，∴（a-c ）2+（b-d ）2就是曲线y=3l n x-x 2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值.对曲线y=3l n x-x 2求导：y'（x ）=32x x -，与y=x+2平行的切线斜率k=1=32x x-，解得x=1或x=-（舍）把x=1代入y=3l n x-x 2，得y=－1，即切点为（1，-1）切点到直线y=x+2的距离：∴（a-c ）2+（b-d ）2的最小值就是8． 考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．15．①②④ 【分析】令111235x y zm ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=⎭，则12log x m =，13log y m =，15log z m =，从而12112212log1log 2m x m ⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，13113313log1log 3m y m ⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，15115515log1log 5m z m ⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，再分1m =，1m ，01m <<三种情况讨论可得； 【详解】解：因为111235x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令111235x y zm ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=⎭， 则12log x m =，13log y m =，15log z m =，从而12112212log1log 2m x m ⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，13113313log1log 3m y m ⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，15115515log1log 5m z m ⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭当1m =时，0x y z ===，532z y x ∴==，故④正确；由于6123111339⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，6132111228⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，113211132⎛⎫⎛⎫∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 101521112232⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，101251115525⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，112511125⎛⎫⎛⎫∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；综上可得11132511101325⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1m 时，111325111log log log 0325m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111325111111log log log 325m m m ∴>>⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭325y x z ∴>>，故②正确；当01m <<时，111325111log log log 0325m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111325111111log log log 325m m m ∴<<⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭325y x z ∴<<，故①正确；即正确的有①②④； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查指数与对数的互化，对数的运算及对数函数的性质的应用，属于中档题. 16．6π． 【解析】取AC 中点D ，连接,,SD BD AB BC BD AC ==∴⊥，2,,SA SC SD AC AC ==∴⊥⊥平面,SDB SDB ∴∠为二面角S AC B --，在ABC∆中，,2AB BC AB BC AC ⊥===，取等边SAC ∆的中心E ，作EO ⊥平面SAC ，过D 作DO ⊥平面,ABC O 为外接球球心，3ED ∴=，二面角S AC B --的余弦值是,cos ,332EDO OD -∴∠==，,2BO OA OS OC O ∴====∴点为四面体的64=64πππ⨯，故答案为6π. 17．（1）3A π=；（2）1,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）由正弦定理同角三角函数的基本关系、和角公式可得结果； （2）由倍角公式和辅助角公式把函数化为3sin(2)26y B π=-+的形式，由ABC ∆为锐角三角形，求得62B ππ<<，结合正弦函数的性质求出函数的值域．【详解】 解：（1）由tan 21tan A c B b+=得，sin cos sin()2sin 1cos sin cos sin sin A B A B C A B A B B ++==，2cos sin sin sin sin A B C B C ∴=，sin sin 0≠B C ，1cos 2A ∴=， ()0,A π∈，3A π∴=； （2）因为A B C π++=，3A π=，所以23B C π+=， 则222sin 2cos cos 1cos 22cos cos 3y B B C B B B π⎛⎫=-=--- ⎪⎝⎭221cos 22cos cos cos sin sin 33B B B B ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭11cos 22cos cos 2B B B B ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭21cos2cos cos B B B B =-+cos211cos222B B B +=-+31cos2222B B =- 3sin 226B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 又ABC ∆为锐角三角形，022032B B πππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩，所以62B ππ<<，∴72266B πππ<+<所以1sin 2,162B π⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31sin 2,2262B π⎛⎫⎛⎫∴-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即1,22y ⎛⎫∈⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查三角函数的值域，三角函数的恒等变换，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 18．（1）见解析；（2）10d =. 【试题分析】(1) 取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，通过证明四边形AEQF 为平行四边形,得到//AF EQ ,由此证得//AF 平面PEC .(2)利用等体积法,通过A PEC P AEC V V --=建立方程,由此求得点到面的距离. 【详解】（1）取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ， 由题意，//FQ DC 且12FQ CD =，//AE CD 且12AE CD =， 故//AE FQ 且AE FQ =，所以，四边形AEQF 为平行四边形， 所以，//AF EQ ，又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， 所以，//AF 平面PEC .（2）设点A 到平面PEC 的距离为d . 由题意知在EBC ∆中，EC ==在PDE ∆中PE ==在PDC ∆中PC ==故EQ PC ⊥，EQ AF ==12PEC S ∆=⨯=，1122AEC S ∆=⨯=所以由A PEC P AEC V V --=1232d =⋅，解得d =.19．（I ）2213x y +=；（II ）0x =或726y x =+. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆中的ce a=，以及222a b c =+ ，和点到直线的距离公式计算求得222.,a b c ；（Ⅱ）分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线为2y kx =+ 与椭圆方程联立，利用根与系数的关系计算0EC ED ⋅= ，从而求得斜率k 和直线方程.试题解析：（Ⅰ）由直线:1x yl a b -==2222433a b a b =+——①又由e =2223c a =，即2223c a =，又∵222a b c =+，∴2213b a =——②将②代入①得，即42443a a =，∴23a =，22b =，21c =， ∴所求椭圆方程是2213x y +=；（Ⅱ）①当直线m 的斜率不存在时，直线m 方程为0x =， 则直线m 与椭圆的交点为()0,1±，又∵()1,0E -， ∴，即以CD 为直径的圆过点E ；②当直线m 的斜率存在时，设直线m 方程为2y kx =+，()11,C x y ，()22,D x y ，由222{13y kx x y =++=，得()22131290kxkx +++=，由()222144491336360k kk∆=-⨯+=->，得1k >或1k <-，∴1221213k x x k -+=+，122913x x k =+， ∴()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++ ∵以CD 为直径的圆过点E ，∴EC ED ⊥，即0EC ED ⋅=， 由()111,EC x y =+，()221,ED x y =+， 得()()1212110x x y y +++=，∴()()()2121212150k x x k x x +++++=，∴()()222911221501313k kk k k +-++⋅+=++，解得716k =>，即7:26m y x =+； 综上所述，当以CD 为直径的圆过定点E 时，直线m 的方程为0x =或726y x =+. 20．（1）证明见解析；（2）π6． 【解析】试题分析：（1）取AP 的中点F ，连结,DF EF ，易得DF AP ⊥，AB DF ⊥，从而得DF ⊥平面PAB ，只需证得//CE DF 即可；（2）设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，则//OG AB ，可证得PO ⊥平面ABCD ，故,,OA OG OP 两两垂直，可以点O 为原点，分别以,,OA OG OP 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，求出平面PDC 的法向量n ，利用sin cos ,n EC α=即可得解. 试题解析：（1）证明：取AP 的中点F ，连结,DF EF ，如图所示． 因为PD AD =，所以DF AP ⊥．因为侧面PAD ABCD ⊥底面,=PAD ABCD AD ⋂且AB AD ⊥, 所以AB ⊥平面PAD ，又DF ⊂平面PAD ，所以AB DF ⊥． 又因为AP AB A ⋂=，所以DF ⊥平面PAB ． 因为点E 是PB 中点，所以//EF AB ，且2ABEF =． 又因为//AB CD ，且2ABCD =，所以//EF CD ，且EF CD =， 所以四边形EFDC 为平行四边形，所以//CE DF ，所以CE ⊥平面PAB ．（2）设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，则//OG AB ， 因为AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以AB AD ⊥，所以OG AD ⊥．因为EC =，由（Ⅰ）知，DF =又因为4AB =，所以2AD =，所以22,AP AF ==== 所以APD ∆为正三角形，所以PO AD ⊥，因为AB ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，所以AB PO ⊥． 又因为AD AB A ⋂=，所以PO ⊥平面ABCD ．故,,OA OG OP 两两垂直，可以点O 为原点，分别以,,OA OG OP 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示．(P ，()()1,2,0,1,0,0C D --，1,2,22E ⎛ ⎝⎭，所以(1,0,PD =-，(1,2,PC =-，3,0,2EC ⎛=- ⎝⎭， 设平面PDC 的法向量(),,n x y z =，则0,0,n PD n PC ⎧⨯=⎨⨯=⎩所以0,20,x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩取1z =，则()3,0,1n =-，设EC 与平面PDC 所成的角为α，则1sin cos ,2n EC α===， 因为π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π6α=，所以EC 与平面PDC所成角的大小为π6． 21．（1）2()e +∞；（2）证明见解析 【分析】（1）求导得到()f x '，利用导数得到()f x 的最小值，从而要使()f x 有两个零点，则()f x 最小值小于0，得到a 的范围，再利用零点存在定理证明所求的a 的范围符合题意；（2）利用分析法，要证1212x x x x <+⋅，将问题转化为证明()()112ln f x f a x <-，设函数()()()2ln g x f a x f x =--，利用导数研究()g x 的单调性，从而进行证明.【详解】函数()()1xf x e a x =--，所以()xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，()f x 至多只有一个零点，不符合题意，当0a >时，由()0f x '=得ln x a =，所以(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以ln x a =时()f x 取得极小值，也是最小值，()f x 要有两个零点，则()ln 0f a <，即()2ln 0a a -<，解得2a e >， 所以ln 2a >，当1ln x a =<时，得()10f e =>，当2ln ln x a a =>时，()()22ln 2ln 2ln 1f a a a a a a a a =-+=-+，设()2ln 1a a a ϕ=-+，则()2210a a a aϕ-'=-=> 所以()a ϕ单调递增，则()()22140a eeϕϕ>=+->，所以()()2ln 2ln 10f a a a a =-+>，所以()f x 在区间()1,ln a 上有且只有一个零点，在()ln ,2ln a a 上有且只有一个零点， 所以满足()f x 有两个零点的a 的取值范围为2()e +∞. （2）1x 、2x 是()f x 的两个零点，则()()120f x f x ==， 要证1212x x x x <+⋅，即证()()12111x x --<， 根据()()120f x f x ==， 可知()111xe a x =-，()221x ea x =-，即证()()12122111x x e x x a+--=<， 即证122x x e a +<，即证122ln x x a +<， 即证212ln x a x <-， 设1ln x a <，2ln x a >，由（1）知()f x 在()ln ,a +∞上单调递增， 故只需证明()()212ln f x f a x <-，而()()21f x f x =，所以只需证()()112ln f x f a x <- 令()()()2ln g x f a x f x =--，且ln x a <所以()222ln x x a g x e ax a a e =-+-，ln x a <，()22222x x xx xa a e ae g x e a e e+-'=--+=- ()20x xe a e-=-<所以()g x 在(),ln a -∞上单调递减，所以()()()()ln 2ln ln ln 0g x g a f a a f a >=--=， 所以()()2ln f a x f x ->在(),ln a -∞上恒成立， 所以()()112ln f a x f x ->， 故原命题得证. 【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数的范围，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，构造函数证明不等式问题，属于中档题.22．(1) min d =(2) 121MA MB t t ⋅==. 【解析】试题分析：（1）椭圆上的点坐标可以设为参数形式),sin Pαα，表示出点线距求最值即可；（2）考查直线参数方程的定义，12MA MB t t ⋅=联立直线参数方程和椭圆方程，得到关于参数的二次，根据韦达定理得结果． （1）设点),sin Pαα，则点P 到直线l 的距离为d ==， ∴当sin 13πα⎛⎫-=⎪⎝⎭时，31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时min d =（2）曲线C 化为普通方程为：2213x y +=，即2233x y +=，直线1l的参数方程为21,2.2x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2233x y +=化简得：2220t -=，得121t t =-，∴121MA MB t t ⋅==.点睛：第一问考查的是点到面的距离，参数方程的一个很重要的应用就是求函数最值，设出P 点坐标的参数方程形式，最终转化为三角函数的求最值问题；第二问考查是直线参数方程中t的几何意义．答案第19页，总19页。