本科毕业论文
（ 2010 届）
题目矩阵特征值及特征多项式问题探讨
学院数学与信息工程学院
专业数学与应用数学
摘要
矩阵的特征值和逆特征值问题一直是基础数学的一个研究方向.在高等代数的学习当中, 对学生来说熟练掌握矩阵特征值的一些重要结论是非常必要的. 本文记录了高等代数学习中学生提出的一些有趣问题, 概括了有关矩阵特征值的重要结论, 并对矩阵特征值问题进行探讨, 得到和总结了一些重要结果. 这些结果可以纠正学生关于矩阵特征值问题的一些错误认识, 从而提高高等代数和相关课程教与学的质量.
关键词
特征多项式; 特征根; 特征值; 正交矩阵
Abstract
The problem of matrix eigenvalue and matrix inverse eigenvalue is a prospect to study in pure mathematics. In the study of higher algebra, it is necessary for students to master some important conclusions of matrix eigenvalue skillfully. The paper shows some interesting problems proposed by students in the study of higher algebra. Furthermore, t he problem of matrix eigenvalue is studied and some important conclusions of matrix eigenvalue are summarized in this paper. Those results can rectify the misleading understanding of matrix eigenvalue and improve the teaching and studying quality of the higher algebra and some related courses.
Keywords
characteristic polynomial; characteristic root; eigenvalue; Orthogonal Matrices
目录
1.引言 (5)
1.1 有关于矩阵特征值的重要结果 (5)
1.2 关于矩阵特征多项式的几个重要命题 (6)
1.3 矩阵特征值的理论及应用 (7)
2.一种改进的求矩阵特征值的方法 (8)
3.同时求出特征值和特征向量的一种方法 (13)
4.针对特殊矩阵的特征多项式的求法 (14)
4.1 秩为1的矩阵的特征多项式 (14)
4.2 正交矩阵的特征多项式 (16)
4.3 求三对角矩阵特征多项式的一种简便方法 (19)
参考文献 .............................................. 错误！未定义书签。谢辞 .................................................. 错误！未定义书签。
矩阵特征值及特征多项式问题探讨
Issues on Eigenvalue and The Characteristic Polynomial of
Matrix
数学与信息工程学院数学与应用数学专业
李文学
指导老师: 范丽红
1.引言
高等代数是数学系大学生必修的一门重要基础课, 与其他一些课程的学习密切相关, 是报考数学系研究生的必考课程, 而矩阵特征值是必考的内容之一. 矩阵特征值是高等代数教学中的重点, 也是硕士研究生招生考试中高等代数课程的考试重点, 更是复杂网络以及混沌同步等研究的基础.对自然科学与工程科学的研究能力都会有所帮助.而且, 矩阵的特征值和逆特征值问题一直是基础数学的一个研究方向. 由此可见, 在高等代数的学习当中, 使学生熟练掌握矩阵特征值的一些重要结论是非常必要的. 本文记录了高等代数教学中学生提出一些有趣问题, 概括了有关矩阵特征值的重要结论, 并对矩阵特征值问题进行探讨, 得到和总结了一些重要结果. 这些结果可以纠正学生关于矩阵特征值问题的一些错误认识, 从而提高高等代数和相关课程的教与学质量. 然后, 对几种不同类型的矩阵, 比如正交矩阵、三角矩阵等的特征多项式做了简单的探讨.也给出了特征多项式以及特征值的求法.
1.1 有关于矩阵特征值的重要结果
A表示A 的转置矩阵, 1 A表示A 的逆.
本文中, E 表示单位矩阵, T
定理1 n 阶实对称矩阵的特征值都是实数.
C.
定理2 n 阶实矩阵A 对称正定的充分必要条件是存在n 阶实可逆矩阵C, 使得A=C T
定理3 相似的矩阵有相同的特征多项式, 从而有相同的特征值.
定理4 如果n 阶对称矩阵A 与B 合同, 即存在n 阶可逆矩阵C, 使得B ＝T
C AC, 则A 与B 的正特征值、零特征值和负特征值的个数分别相等.
1.2 关于矩阵特征多项式的几个重要命题
命题1.1 相似的矩阵具有相同的特征多项式. 证明: 假定A ～ B, 则 B=1
P AP -
()11111E B E P AP
P P P AP P E A P P E A P E A
λλλλλλ------=-=-=-=-=-
注1: 命题1 的逆是不成立的.
命题1.2 若 A 与 B 为同阶方阵, 且其中至少有 一个可逆, 则 (i).A B ～ B A (ii).BA E AB E -=
-λλ
证明 不妨设0≠A , 则
A BA A AA A
B AB )()(==, 所以 A B ～ B A ,
由命题1知, BA E AB E -=
-λλ
此处命题2的(ii )是命题 1 的结论. 事实上我们可 以将命题2中的条件“其中至少有一个可逆”去掉, 命题2的(ii )仍成立.
命题1.3 若A 与B 为同阶方阵, 则)BA E AB E -=-λλ
证明 设A 的特征根为,
1λ2λ, …, n λ, 记其中绝对值不为零的最小者为i λ
易知对任意的∈ε{0, n λ}0≠+E A ε 由命题2 的( ii) 知:
()()E A B E B E A E ελελ+-=+-
又由于多项式函数连续, 所以
Lim ()B E A E ελ+-=Lim ()E A B E ελ+- 即BA E AB E -=
-λλ
若将命题3 的条件“A 与B 为同阶方阵”再行减弱为A 与B 为可乘的长方阵, 则可得以下结果.
命题1.4 若A 为n ×m 阶矩阵, B 为m × n 阶矩阵, λ≠ 0 且n > m 时, 则
BA E AB E m m n n -=--λλλ
证明 当n > m 时, 用0 元素把A , B 分别补成
n 阶方阵1A , 1B , 即BA E m m n --λλ, 由命题3 知
BA E AB E m m n n -=--λλλ
从相似矩阵具有相同的特征多项式出发, 逐步改变和减弱命题中相关条件, 得到了几个关于矩阵特征多项式的结论.
1.3 矩阵特征值的理论及应用
引入矩阵特征值及特征向量的概念对于研究线性变换, 乃至于整个线性空间、欧氏空间都是极为重要的.
定理1.1 设n 阶方阵A 的特征值为i λ, i a 是A 的属于特征值i λ 的特征向量(i=1, 2, …, n),
则1)kA(k 是常数)的特征值是k i λ, 且i a 是属于其的特征向量(i=1, 2, …, n). 2)2A 的特征值是2λ , 且i a 是属于其的特征向量(i=1, 2, …, n). 3)k A 的特征值是k λ, 且i a 是属于其的特征向量(i=1, 2, …, n). 4)T A 的特征值是i λ, 且i a 是属于其的特征向量(i=1, 2, …, n).
5)A 可逆时, 1-A 的特征值是1-i λ, 且i a 是属于其的特征向量(i=1, 2, …, n). 6)A 可逆时, A 的伴随矩阵*A 的特征值是｜A ｜1-i λ, 且i a 是属于其的特征向量(i=1, 2, …, n).
7)设m m x a x a x a x f +++= 10)(, 则()A f 的特征值是()i f λ, 且i a 是属于其的特征向量(i=1, 2, …, n).
证明 1)因为i i i A αλα=, 故(kA)i a =k(A i a )=(k i λ)i a
2）因为i i i A αλα=, 2A i a =A ()i A α=A(i λi a )=i λ(A i a )=i λ(i λi a )=2i λi a 3）同理可得.
4）()A E A E A E T T
-=-=-λλλ从而A 与T A 具有相同的特征值.
5) 因为1-A i a =i λi a , 且A 可逆, 故1-A A i a =1-A (i λi a )⇒i a =i λ (1-A i a ) 又｜A ｜=λ1λ2…λn ≠0 (A 可逆), 故λi ≠0(i=1, 2, …, n), 从而由(1)知1-A i a =i λi a .
6) 因为*A =｜A ｜1-A , 再由1) 即可得结论. 7) 因为()m m A a A a E a A f +++= 10, 故有 （()m m A a A a E a A f +++= 10）i a =i m m i A a E a αα +0
=i m i m i i i a a a αλαλα ++10 =()
i m i m i a a a αλλ+++ 10 =f(i λ) i a
例 设3 阶方阵A 的行列式｜A ｜=6, 且A 有特征值-2, 则*A 必有特征值___, *A -21-A 有特征值___, E A A A 88423+++有特征值___, E A A A 88423+++=___. 解: *A 的特征值为6×(-2)=-3, 而*A -21-A =｜A ｜1-A -21-A =4A-1
又｜1-A ｜=1/6, 故*A -21-A 的特征值为 4×(-2)=-2. 故
f(A)= E A A A 88423+++的特征值是
f(-2)=()()()082824223=+-+-+-因为f(A)有特征值0, 所以
()A f = E A A A 88423+++=0.
2.一种改进的求矩阵特征值的方法
在高等代数的学习过程中, 我们已经知道了初等矩阵以及初等变换, 那么, 能不能利用
矩阵的初等变换来求其特征值呢？
我们首先要做的一个工作就是初等变换的选择, 即如何选取一个合适的初等变换将所求矩阵变成一个上三角（或下三角）矩阵, 从而以利于我们对特征值的求解.
当⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A
2
122221
11211时, 如何选取初等矩阵()s i P i ,,2,1 =把A 化为三角形式, 即⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=nn n n c c c c c c B 222
11211, 其实关键看能否把A 的主对角线元素下(或上)方的元素化为零.在换
法变换和倍法变换中初等矩阵的选择比较容易, 主要讨论消法变换中初等矩阵Pi （i=1, 2, ⋯, s ）的选择.为得到初等矩阵中所用非零常数k , 只需任选矩阵A 的第i 行和第j 行（1≤i ≤j ≤n ）, 讨论jj ji ij ii a a a a ,,,这四个元素, 便可求出k 的值.
对矩阵A 作成对同类型的初等行列变换, 分两种情况来看: 1)将元素ji a 化成零 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
=
jj ji ij
ii a a a a A ))((k i j +→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+--+-→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛++ij
jj ij jj ii ji ij
ij
ii ij jj ii ji ij
ii
ka a k a k a a a a ka a ka a ka a a a
2
)( 令
)(2=--+k a k a a a ij jj ii ji ,
①当ij a ≠0 时, 解得()ij
ji
ij jj ii jj ii a a a a a a a k 242+-±
-=
②当ij a =0 时, 分两种情况讨论.
若jj ii a a -≠0, 则ii
jj ji a a a k -=
.
若jj ii a a -=0则jj ii a a =, 此时可将A 先进行一次成对的同类型初等变换化成如①的情形, 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--+→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛ji
ii ji
ji
ji ii ii
ji ii
ji ii ii ji ii a a a a a a a a a a a a a a
然后对1A 用上法求出k 的值. 2)将元素ij a 化成零 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=
jj ji ij
ii a a a a A ()
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛---++→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++→
ji
jj ji ji ii jj ij ji
ii jj ji jj
ij ji ii ka a a k a k a a a ka a a a ka a ka a 2 令()
2k a k a a a ji ii jj ij --+ =0 ①当ji a ≠0 时, 解得
()ji
ij
ji jj ii ii jj a a a a a a a k 242+-±
-=
②当ji a =0 时, 分两种情况讨论. 若jj ii a a -≠0, 则ii
jj ij a a a k -=
若jj ii a a -=0, 则jj ii a a =.此时可将A 先进行一次成对的同类型初等变换化成如①的情形, 即
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+--→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=
ij
ii ij ij
ij ii ij
ii ii ij
ji
ii ii ij
ii a a a a a a a a a a a a a a a A 0 现在, 介绍这种方法的应用.
对三类不同特点的矩阵分别用上文中的方法求其特征值, 来说明改进后方法对此类问题的 求解将更为简便. 类型1: 一般数字矩阵. 例2.1 ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛-----=0167121700
140013
A , 求矩阵A 的特征值. 解 对A 施行成对的行初等变换和列初等变换: ⎪⎪
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-----=0167121700140013
A ⎪
⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-----→0125711
500014000101671217
00
140001016712170014002
11 ⎪
⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--
---→11257015000
140001
, 所以A 的特征值为1(四重).
类型2: 行元素接近矩阵.
例2.2 ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛------=8156635660267155A , 求A 的特征值.
解 由于A 中第1列和第4列元素在取值上比较接近, 将A 的第4列乘以(-1)加到第1列, 同 时将A 的第1行乘以(+1)加到第4 行, 即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛------=8156635660267155A
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛+----+→
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+----→
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---→
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→1000663550602
0715210006632506020715
210006350602071521001635660
267155k k
k
k k 令k=- 1, 则有⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛--→1000030060
2071
42A , 故A 的特征值为2, - 2, 3, 1. 类型3: 对称的行(列)元素接近矩阵.
例2.3 ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛------=111111*********
1A , 求矩阵A 的特征值.
解 一般可直接利用A 的特征多项式进行求解, 但比较麻烦.先用初等变换化简.
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=1111111111111111A ⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→2200111200201110111211120020111011111111002
2111
1
B =⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛-→10
00101200201210, 由于矩阵A 与B 相似, 由此可求得 ()()()2222
21
000112002012132+-=---=-------=-λλλλλλλλλ
λB E
故B 的特征值为-2和2(三重), 从而A 的特征值也为-2和2(三重).
总的来说, 第一, 在利用矩阵的初等变换求方阵的特征值时, 要善于观察判断该矩阵.此法对行或列比较接近的矩阵, 以及一些特殊的矩阵求特征值时会比较有效, 且计算简单便于实现.第二, 以上计算中所施行的初等变换必须是行与列同类型的初等变换, 对方阵的行与列必须配对施行, 所做变换必须是相似变换, 以保证方阵的特征值在初等变换过程中不会发生改变. 第三, 对更一般的高阶矩阵求特征值时, 如何选择有效的初等矩阵, 其方法仍是一个有待研究解决的问题.
3.同时求出特征值和特征向量的一种方法
如下方法, 可以同时求出特征值和特征向量. （1）. 由n 阶矩阵A , 做出一个2 n ×n 的矩阵E A E
λ-⎛⎫
⎪⎝⎭
, 经初等变换化成(())()
i diag d λθλ⎛⎫
⎪⎝⎭
. （2）. 求出()λi d =0 的根(0≤i ≤n), 设为k λλλ ,,21, 则k λλλ ,,21就是A 的所有不同的特征值.
(3) .把j λ , 1 ≤j ≤k 代入(())()
i diag d λθλ⎛⎫
⎪⎝⎭
, 设()()()λλλn d d d ,,,21 中代入j λ后为零的有()j i d λ1=0 , ()j i d λ2= 0 , ⋯, ()
j i m d λ = 0 , 则Q(j λ)中第m i i i ,,,21 列构成A 的对应于特征值j λ的m 个特征向量, 且构成V λ的一组基.
现在给出相关例题来说明这个方法.
例: 设线性变换A 在基1,23,εεε下的矩阵是A =211211211⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
, 求A 的特征值与特征向量
解: A =211211211⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
, 取矩阵E A E λ-⎛⎫
⎪⎝⎭, 经过一系列的初等变换, 最后可以求出特征值
1231,1,4λλλ===, 其中γ=1对应的特征向量为1P →
=110-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 2P →
=211-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 3P →=111⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
.
求解完毕.
其实, 这种方法与课本上给出的方法有点不一样, 事实上, 在用这种方法的时候, 还需要如下3个定理.
定理3.1 对任意方阵A , 矩阵λ E - A 经过一系列的初等变换可变成形1()
()n d d λλ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
的对角矩阵, 其中()λi d 是λ的非零多项式.
定理3.2 对上述的()λi d 使()λi d =0的λ就是A 的特征值, 且总存在一个()n j j ≤<0, 使 ()λi d =0.
定理3.3 若
P(λ)(λE-A)Q(λ)=()()12,,
,()n diag d d d λλλ⎡⎤⎣⎦成立, 且有
()()()123*0*0
(*)0*0
i i i in d d d d λλλλ===
=, 其中12,,m i i i 是1 到n 中的m 个数,
则Q(λ3) 的第12
,,m i i i 列为A 的m 个线性无关的特征向量(对应于*λ) , 且Q （*λ）的第
12,,m i i i 列构成A 的对应于*λ特征子空间*V λ的一组基.
关于这三个定理的证明, 限于篇幅, 而且对于求解特征向量与特征值的过程也是不需要用
到的, 这里就不再给出它们的证明.
4.针对特殊矩阵的特征多项式的求法
4.1 秩为1的矩阵的特征多项式
首先, 给出如下结论:
定理4.1 设K 为n 阶方阵A 的特征值, x 为对应于K 的特征向量, 如果方阵A 满足方程
m m A a A a A a E a +++2210=0, 那么方阵A 的特征值λ满足方20120m m a a a a λλλ+++=
证明 因λ为A 的特征值, x 为对应于λ的特征向量, 所以A x = λx , 若A = E , 则显然有E x = x , 即x a Ex a 00=; 再由式(1) , 可依次得到11,
,m m m m a Ax a x a A x a x λλ==, 且有
x A a x A a Ax a Ex a m m ++++ 2210=2012m m a a a a λλλ+++
, 即
(m m A a A a A a E a +++2210 ) x =（2012m m a a a a λλλ+++
）x, 由于x ≠0. 于是, 若 m m A a A a A a E a +++2210 = 0, 则2012m m a a a a λλλ+++
=0即原结论成立.另一方面, 若
一个n 阶方阵A = (ij a ) 的秩R (A ) = 1, 则A 中至少有一个非零元, 不妨设ki a ≠0, 且A 的各行(列) 都成比例(否则, 由行列式的性质知A 中至少有一个2 阶非零子式, 这与R (A ) = 1 矛盾) , 故A 总可以表示成如下形式
A =111ki k ki ki k ki n ki a a a a a λλλλ-+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
()1
11
,1,,i i n μμμμ-+, 令α=111ki k ki ki k ki n ki a a a a a λλλλ-+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
, T
β=()1
11,1,,i i n μμμμ-+, 由此可
知方阵A 总可以表示为一个非零列矩阵与一个非零行矩阵的乘积的形式.并且按照矩阵乘积的定义, 可得1111,
,ki n n ki nn a a a a λμλμ==.则T βα=nn a a a ++2211
根据以上论述, 来推导秩为1 的方阵的特征值的求法: 不失一般性, 设A = (ij a ) 为n 阶方阵, R (A ) = 1, 则A =αT β其中α表示一个非零列
矩阵, T
β表示一个非零行矩阵, 从而2
A =α
T βαT β=α(T βα) T β, 其中
T βα=nn a a a ++2211 再依上述定理, 可知方阵A 的特征值满足方程20k λλ-=, 解得
λ=0或λ=k.这也就是说, 秩为1的方阵A 只有零特征值和非零特征值k . 进一步提出问题: 这里
的k 到底有多少个? 有多少个零特征值? 如何求k ? 根据方阵的特征值的性质
111n nn a a λλ++=++故秩为1的方阵A 只有一个非零特征值k = nn a a a ++2211, 其余的
n - 1个特征值都是零特征值, 即1λ=11nn a a ++, 230n λλλ====.
下面通过具体的实例来说明秩为1 的方阵特征值的简便求法.
例4.1 设n 阶方阵A =)0(≠⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛a a a a a a a a a a , 求A 的特征值.
解 显然R (A ) = 1, 则可设A =()T a a a αβ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 , 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a α, ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=111 β, 则
T T T T A βαβααβαβ)(2==, 而T βα=na a a a =++ , 从而naA na A T ==αβ2, A 的
特征值λ满足λλna =2
, 故na =λ或0=λ.
以上针对秩为1 的方阵给出的一种求特征值的简便方法, 说明在求某一方阵的特征值, 包括解决其他任何实际问题时, 不要硬背理论, 死套公式, 而应根据问题的具体特点, 采取不同的解决方法.
4.2 正交矩阵的特征多项式
正交矩阵作为一种特殊形式的矩阵, 在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用, 它具有很好的性质, 因此其特征多项式和特征根有某些独特的规律. 首先看下面的定义:
定义4.1 如果一个n 阶实矩阵A 有E A A AA T
T
==, 即1
-=A A T
, 则称A 为正交矩阵. 定义4.2 设A 为n 阶矩阵, 任取1i ⋯ k i 行和1i ⋯k i 列, 位于这些行和列的交点上的2
k 个元素组成一个k 阶行列式, 称为矩阵A 的k 阶主子式.
引理4.1 设n 阶方阵A=（ij a ）（i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ..., n ）的特征多项式为
n n n n A b b b A E f ++++=-=--λλλλλ111)( , 则其中k b 为A 的一切k 阶主子式的和乘以
k )1(-, 即
b k =k
)
1(-∑
≤<<≤n
i i ikik
iki iki ik i i i i i ik
i i i i i k a a a a a a a a a 112
1
222121211
1
引理4.2 矩阵A 的k 阶主子式和等于A 的一切可能k 个特征根乘积之和. 引理4.3 正交矩阵的行列式的值为±1
引理4.4 若A 是正交矩阵, 则A ′, *
A , 1
-A 都是正交矩阵. 引理4.5 正交矩阵的特征根模为1.
引理4.6 若0λ是正交矩阵A 的特征根, 则1
0-λ也是A 的特征根 引理4.7 设U 是一个三阶正交矩阵, 且| U| = 1, 则 (i) U 有一个特征根等于1
(ii) U 的特征多项式有形式1)(25
-+-=λλλλt t f ( - 1 ≤t ≤3) .
引理4.8 设A 为正交矩阵,
(i) 若| A| = 1 , 则A 的任意k 阶子式与其代数余子式相等; (ii) 若| A| = - 1 , 则A 的任意k 阶子式与其代数余子式仅差一符号. 推论4.1 设A 为n 阶正交矩阵,
（i ）若| A| = 1 , 则A 的任意k 阶主子式等于其余子式, 且k 阶主子式的余子式为A 的n -
k 阶主子式;
(ii) 若| A| = - 1 , 则A 的任意k 阶主子式与其余子式仅差一符号, 且k 阶主子式的余子式为A 的n - k 阶主子式.
下面, 将给出正交矩阵的特征多项式 定理4.2 设A 为n 阶正交矩阵, A E f A -=
λλ)( 为A 的特征多项式, 则
(1) 当| A| = 1时,
(i) n 为偶数时n n n n A b b b A E f ++++=-=--λλλλλ111)( , 其中11+--=k n k b b （k = 2 , ⋯,
2
n
）, 1=n b . （ii ）n 为奇数时n n n n A b b b A E f ++++=-=--λλλλλ111)( , 其中k n k b b --=（ k = 1 ,
2 , ⋯,
2
1
-n ）, n b =-1. (2) 当| A| = - 1时,
(i) n 为偶数时n n n n A b b b A E f ++++=-=--λλλλλ111)( , 其中11+---=k n k b b （k = 2 , ⋯,
2
n
）, n b =-1. （ii ）n 为奇数时n n n n A b b b A E f ++++=-=--λλλλλ111)( , 其中k n k b b -=（ k = 1 , 2 ,
⋯,
2
1
-n ）, n b =1. 证 据引理1知正交矩阵A 的特征多项式为n
n n n A b b b A E f ++++=-=--λλλλλ111)( 其中k b 为A 的一切k 阶主子式的和乘以k )1(-, 令⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k k i i i i M 1
1为A 的k 阶主子式, k A 为k 阶主子式k M 的代数余子式, k
n N -= ⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--k n k n i i i i 1
1为k M 的余子式.
（1） 当| A| = 1时, k n i i k k N A M k -+-==)(21)1( =k n N -
因k M 为A 的k 阶主子式, 所以k n N -为A 的n - k 阶主子式, 故A 的一切k 阶主子式之和等于A 的一切n - k 阶主子式之和.
(i) n 为偶数时, )(λf 有奇数项, 由1-k M =1+-k n N , 且1-k b 为所有1-k M 之和乘以1)1(--k , 1+-k n b 为所有1+-k n N 之和乘以1)1(+--k n , 其中1)1(--k = 1)1(+--k n ( n 为偶数) . 故
11+--=k n k b b （k = 2 , ⋯, 2
n
）, 1)1(=-=A b n n
(ii) n 为奇数, )(λf 有偶数项, 由1-k M =1+-k n N 和k n k N M -= , 且k b 为所有k 阶主子式之和乘以k )1(- , k n b -为所有n - k 阶主子式之和乘以k n --)1(, 其中k )1(-与k n --)1(相差一符号, 故
k n k b b --=（ k = 1 , 2 , ⋯,
2
1
-n ）, 1)1(-=-=A b n n 所以, 若| A| = 1 , 当n 为偶数时, A 的特征多项式有奇数项, 它以n b 为中间项, 左右对称项的系数相同, 其中包括首项系数与常数项n b ; 当n 为奇数, A 的特征多项式有偶数项. 处在对称位置的左右两项系数仅差一符号, 因首项系数为1 , n b 为- 1 , 故也包括在内. （2）若| A | = 1, k M =k A -=k n k n i i N N k --+-=--)(21)1(
故A 的一切k 阶主子式之和与A 的一切n-k 阶主子式之和仅差一符号.
(i) n 为偶数时, )(λf 有奇数项, 1-k M =-1+-k n N , 且1-k b 为所有1-k M 之和乘以1)1(--k , 1+-k n b 为所有1+-k n N 之和乘以1)1(+--k n , 其中1)1(--k = 1)1(+--k n ( n 为偶数) . 故 1+--=k n k b b （k = 2 , ⋯,
2
n
）, 1)1(-=-=A b n n . (ii) n 为奇数, )(λf 有偶数项, 1-k M =-1+-k n N , k n k N M --=, 且k b 为所有k 阶主子式之和乘以k )1(- , k n b -为所有n - k 阶主子式之和乘以k n --)1(, 其中k )1(-与k n --)1(相差一符号, 故k n k b b -=（k = 2 , ⋯,
2
n
）, 1)1(=-=A b n n 所以, 若| A| = - 1 , 当n 为偶数时, A 的特征多项式有奇数项, 以2
n b 为中间项, 左右两边对称项的系数相差一符号, 因首项系数为1, n b 为-1, 故也包括在内; 当n 为奇数时, A 的特征多项式有偶数项, 处在对称位置的左右两项系数相同, 因首项系数为1, n b 为1, 所以也包括在内.
4.3 求三对角矩阵特征多项式的一种简便方法
这里用递推的方法给出一种求三对角矩阵特征多项式的算法.首先, 给出一个定理:
定理4.3 若A 的特征多项式
0111a a a A E n n n ++++=---λλλλ
A E -λ的伴随矩阵adj (A E -λ) = 1-n λ 1-n
B + 2-n λ 2-n B + ⋯+ λ1B +0B , 则adj (A E -λ) 与A E -λ的系数j B , j a ( j =n -1, n -2, ⋯, 1, 0) 有如下关系:
1
102
211121AB E a B AB E a B AB E a B E B n n n n n n n
n +=+=+==----
)
(1
)
(11)
(2
1
)
(00112211AB tr n
a AB tr n a AB tr a AB tr a n n n n -=--=-=-=---- 其中)(1-n AB tr 为矩阵1-n AB 的迹, 余类推
但当矩阵A 是实三对角矩阵时, 上述结果计算量偏大. 那么, 在这里, 给出一种针对三对角矩阵特征多项式给为简便的方法. 首先, 看下面的引理:
引理4.9 记⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=--n n n b a c c b a c b A 11221
11 , i a , i b , i c 为实数. k A 表示A 的k 阶顺序主子式, 其中11b A =, A n = A, 设k A 的特征多项式为)(λϕk , 有递推关
系: ()()()()()
()()()()
λϕλϕλλϕλϕλϕλλϕλλϕλϕ21110111221
101
)(------=--=-==n n n n n n c a b c a b b
由于该递推公式没有直接给出A E -λ中λ的各次幂的系数, 使用不太方便. 下面给出一种求三对角矩阵特征多项式系数的简便方法, 通过递推, 直接确定i a (i=n-1, ⋯, 1, 0).
定理4.4 设A 的特征多项式0111a a a A E n n n ++++=---λλλλ ,
k A 的特征多项式()()()()k k k k k k k a a a 0111++++=--λλ
λλϕ , 其中()()()n n n n a a a 011,,, -为011,,,a a a n -, 则
()
()()()()()()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=------------2021231110111201211022202133
3303132111022
20211101011111011011011n n n n n n n n n n n n
n
n n n n n n
a a a c a a a a
b b b a a a a a
c a a a b b b a a a c a a b b a a b a
这就是实三对角矩阵特征多项式的求法公式, 下面将结合一道例题对本定理进行一定说明.
例4.2 若A=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1134521213, 求A E -λ.
解 由上述方法, 可得()310-=a ()()()⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54102311112021a a ()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛414014303132a a a ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1011831010541 ()()()()⎪⎪
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111*********a a a a ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-251116954103101181 所以 A E -λ=2511169234-++-λλλλ.
本篇论文是在掌握对高等代数课本知识了解的基础上, 着重对以上几种特殊的矩阵进行研究, 参考借鉴了前辈学者对这一方面的研究, 不再是单一的求出某一类矩阵的特征多项式, 而
本科毕业论文 （ 2010 届） 题目矩阵特征值及特征多项式问题探讨 学院数学与信息工程学院 专业数学与应用数学
摘要 矩阵的特征值和逆特征值问题一直是基础数学的一个研究方向.在高等代数的学习当中, 对学生来说熟练掌握矩阵特征值的一些重要结论是非常必要的. 本文记录了高等代数学习中学生提出的一些有趣问题, 概括了有关矩阵特征值的重要结论, 并对矩阵特征值问题进行探讨, 得到和总结了一些重要结果. 这些结果可以纠正学生关于矩阵特征值问题的一些错误认识, 从而提高高等代数和相关课程教与学的质量. 关键词 特征多项式; 特征根; 特征值; 正交矩阵
Abstract The problem of matrix eigenvalue and matrix inverse eigenvalue is a prospect to study in pure mathematics. In the study of higher algebra, it is necessary for students to master some important conclusions of matrix eigenvalue skillfully. The paper shows some interesting problems proposed by students in the study of higher algebra. Furthermore, t he problem of matrix eigenvalue is studied and some important conclusions of matrix eigenvalue are summarized in this paper. Those results can rectify the misleading understanding of matrix eigenvalue and improve the teaching and studying quality of the higher algebra and some related courses. Keywords characteristic polynomial; characteristic root; eigenvalue; Orthogonal Matrices
矩阵特征多项式及特征值的一些应用 xxx （xxxx大学 xx xx xxxxx） 摘要在高等代数中我们学习了许多与矩阵特征多项式及特征值相关的 知识，并且可以利用特征多项式及特征值来解决许多问题，而这篇论文的核心思想就是总结它在解题中的具体运用. 这篇论文中借助矩阵特征多项式及特征值详细叙述了有关矩阵零化、矩阵指数、基解矩阵以及矩阵的对角化，其中矩阵的对角化包括相似对角形与合同对角形，同时说明了实对称矩阵相似与合同之间的关系，从而形成一个与之相关的知识系统并且能够在解题中熟练地加以运用. 关键词矩阵零化；基解矩阵；合同；相似；对角化；若尔当标准形 The Application of Characteristic Polynomial and Characteristic Value of Matrix when Solving Mathematical Problems xxx （xxxxuniversity xxx xxxx） Abstract: We have studied so much knowledge about characteristic polynomial and eigenvalue of matrix in the advanced algebra teaching material that we can use such knowledge to save great numbers of mathematical problems. But how to use this knowledge when saving problems? Now, let us summarize its specific use about this knowledge, which are the core ideas of this paper. In this paper，with the help of characteristic polynomial and eigenvalue of matrix，a lot of knowledge
提供完整版的各专业毕业设计， 存档编号赣南师范学院学士学位论文矩阵特征值的求法研究 教学学院数学与计算机科学学院 届别 2015届 专业数学与应用数学 学号 110700064 姓名 指导教师 完成日期 2015年5月5日
作者声明 本毕业论文（设计）是在导师的指导下由本人独立撰写完成的，没有剽窃、抄袭、造假等违反道德、学术规范和其他侵权行为。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。因本毕业论文（设计）引起的法律结果完全由本人承担。 毕业论文（设计）成果归赣南师范学院所有。 特此声明。 作者专业：数学与应用数学 作者学号：110700064 作者签名：古家琼 2015 年3 月12 日
矩阵特征值的求法研究 。。。。 Matrix eigenvalue in this study Gu Jiaqiong 2014年5月5日
摘要 本文主要讨论关于矩阵特征值的求法及矩阵特征值得一些常见的证明方法。对于一般矩阵，我们通常采用的是求解矩阵特征多项式根的方法。若矩阵的特征多项式的根存在，则这个根即为矩阵特征值；如果没有根，则该矩阵无特征值。而对于一些抽象矩阵，主要有左乘矩阵法。通过证明一个数为矩阵多项式根的方法及转置共轭法。在这三种方法的运用过程中，通过一些已证得的特殊矩阵特征值的相关结论，可以起到简化运算的效果。本文不仅给出了每一种方法与相关结论的证明，而且还通过大量的例题来说明这些方法的具体求解步骤。 关键词：矩阵；特征值；特征多项式 Abstract This article mainly discuss about the characteristic of matrix and matrix eigenvalue of religion worth some common methods of proof. For general matrix, we usually adopt is the method of solving matrix characteristic polynomial roots. If the characteristic polynomial of matrix exists, the root of the root is the characteristic value of matrix; If there is no root, the matrix eigenvalues. For some abstract matrix, basically have left by matrix method. By showing that a number of matrix polynomial root method and transposed conjugate method. In the process of the use of these three methods, through some has the special matrix eigenvalue related conclusions, can have the effect of simplified operation. This paper not only gives the proof of each method and the related conclusions, but also through a lot of examples to illustrate the concrete solving steps of these methods. Key words:Matrix; Characteristic value; Characteristic polynomial
矩阵特征值的计算方法 SUMMARY ： This passage is mainly talking about several digital method to get the eigenvalue of certain matrix,since the eigenvalue is of the most importance to study the matrix linear transformation.First,we come up with the difination of eigenvalue and eigenvector,by which the basic way ——eigenfunction ——is got. Because of the limitation of eigenfunction ,another two means are introduced.Here we can see how these means works.. 内容概要： 由于特征值在矩阵的线性变换中具有重要作用，所以本文主要介绍几种求解某个特定矩阵特征值的方法。文章开始引出了特征值和特征向量的概念，从这个概念出发我们可以得到一种求解的最基本的方法——利用特征函数。但是，这个方法有很多缺陷，而且很难在计算机上实现，为此，我们在这里提出了另外两种方法。本文也就是这两种方法的介绍。 关键字：特征值 特征向量 特征方程 变换法求解 基本幂法 收敛性 一：问题的引入： 我们知道对于在实际的数学应用中矩阵占有重要位置。而线形变换又是矩阵的一种重要运算方式。我们为了利用矩阵来研究线形变换，对于每一个给定的线形变换，我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式。为此，我们就必须研究在这个过程中占重要位置的一个概念矩阵的特征值的计算方法。 定义：设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，如果对于数域P 中一数λ，存在一个非零向量ξ，使得 A ξ=λξ （1） 那么λ称为A 的一个特征值，而ξ称为A 的属于特征值λ的一个特征向量。从几何上来看，特征向量的方向经过线性变换后，保持在同一条直线上，这时或者方向不变（λ）0）或者方向反向（λ<0），至于λ=0时，特征向量就被线性变换成0。 二：问题的求解 1．利用特征方程求解： 下来我们来寻找求解特征值的方法。设V 是数域P 上n 维线性空间，1ε，2ε，……，n ε是它的一组基，线性变换A 在这组基下的矩阵为A 。设0λ是特征值，它的一个特征向量ξ在1ε，2ε，……，n ε下的坐标是,,0201x x ……n x 0,。 则A ξ的坐标是： ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x A 00201...，0λA 的坐标是：⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛n x x x 002010 ...λ
关于矩阵特征值有关性质的探讨 矩阵特征值是线性代数中的重要概念，有很多与之相关的性质。在本文中，我们将对一些与矩阵特征值有关的性质进行探讨。 矩阵的特征值具有以下性质： 1. 矩阵的特征值是矩阵的特征方程的根，即满足以下方程：det(A - λI) = 0，其中A是n阶矩阵，I是单位矩阵，λ是特征值。 2. 特征值的个数等于矩阵的秩，且特征值是以重数计算的。 3. 矩阵的特征值与矩阵的转置的特征值相同。 4. 矩阵的特征值与矩阵幂的特征值也相同。 特征值与矩阵的其他性质之间还存在着一些关联： 1. 特征值与矩阵的行列式和迹有关。矩阵的行列式等于其特征值之积，即det(A) = λ₁* λ₂* ... * λₙ，而矩阵的迹等于其特征值之和，即tr(A) = λ₁+ λ₂+ ... + λₙ。 2. 特征值与矩阵的逆矩阵有关。如果A是一个可逆矩阵，那么它的逆矩阵A⁻¹的特征值等于A的特征值的倒数，即λ⁻¹。 3. 特征值与矩阵的特征向量有关。对于一个给定的特征值λ，矩阵A的特征向量是满足方程Ax = λx的非零向量x。特征向量可以通过解特征方程得到。 在矩阵特征值的求解过程中，有一些常用的方法： 1. 特征值可以通过解矩阵的特征方程得到。特征方程是一个关于特征值的多项式方程，可以通过求解该方程得到特征值的值。 2. 使用特征向量构成的矩阵(P矩阵)可以将矩阵对角化。对角化可以将矩阵变为对角矩阵，使得特征值成为该对角矩阵的对角元素。 3. 特征值和特征向量可以通过求解矩阵的特征值问题得到。对于大多数情况，特征值问题可以通过数值方法来求解，如幂法和反幂法。 矩阵特征值具有很多与矩阵本身以及其他性质相关的特点。这些性质不仅在理论上有重要意义，也在实际中有广泛应用，如在信号处理、电路分析和力学等领域。研究和理解矩阵特征值的性质对于深入理解线性代数和相关应用具有重要意义。
关于矩阵特征值有关性质的探讨 矩阵的特征值是矩阵在特定变换下的不变点，它在矩阵变换和线性代数中起着重要的 作用。研究矩阵特征值的性质对于深入理解矩阵的本质和其在现实问题中的应用具有重要 意义。本文将对矩阵特征值的相关性质进行探讨，包括特征值的定义、性质、计算方法以 及特征值与矩阵的关系等方面。 一、特征值的定义 矩阵A的特征值是指使得矩阵A减去这个特征值乘以单位矩阵后的矩阵不可逆的值。 具体来说，对于矩阵A，如果存在实数λ和非零向量X使得AX=λX，其中X称为特征向量，那么λ就是矩阵A的特征值。特征值和特征向量是矩阵的重要属性，它们能够描述矩阵在变换中的不变性，对于矩阵的性质和应用具有重要的意义。 1. 特征值的个数等于矩阵的秩 对于一个n阶矩阵，它最多有n个不同的特征值，特征值的个数等于矩阵的秩。这一 性质可以通过特征值与矩阵的迹和行列式之间的关系来进行证明。特征值是矩阵的一个重 要属性，通过特征值的数量可以进一步了解矩阵的结构和性质。 2. 特征值和特征向量的计算 为了求解一个矩阵的特征值和特征向量，可以利用矩阵的特征多项式来进行计算。特 征多项式是矩阵A减去λ乘以单位矩阵的行列式。通过求解特征多项式的根，就可以得到矩阵的特征值。进而，可以通过特征值来求解特征向量，从而完成对矩阵特征值和特征向 量的求解。 3. 特征值与矩阵的关系 矩阵的特征值和矩阵的相似性有着密切的关系。如果两个矩阵A和B是相似的，那么 它们的特征值是相同的。这一性质对于矩阵的对角化过程和特征值的求解具有重要的意义。通过相似变换可以将矩阵对角化，进而求解其特征值和特征向量。特征值与矩阵的相似性 是矩阵特征值的重要性质。 4. 特征值的应用 特征值与矩阵的性质有着密切的关系，特征值在实际问题中有着广泛的应用。在物理、工程、计算机科学等领域，特征值被广泛应用于矩阵的对角化、特征提取、模式识别等方面。特征值的计算和应用已经成为现代科学和工程领域中不可或缺的一部分。 三、特征值的计算方法
毕业论文文献综述 数学与应用数学 矩阵特征值、特征向量的研究 一、前言部分 数学作为一种研究问题的工具，大部分同学并未真正感受到它的实用价值，往往低估了数学对于学习知识及其解决问题的重要作用，或不会灵活运用数学这一工具去理解、解决问题．许多理论、规律、计算等若能灵活而有效地借助数学方法去剖析、推演，往往会有意外的收获[]1。 矩阵就是数学中的一小部分，英文名Matrix（SAMND矩阵）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方，同时，在数学名词中，矩阵用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据。这个定义很好地解释了Matrix代码制造世界的数学逻辑基础。在科学技术和工程应用中，矩阵理论的重要性和应用的广泛性是众所周知的，尤其是有了矩阵特征值、特征向量的各种求解及计算机的广泛使用和MATLAB等数学计算软件的迅猛普及为矩阵提供了更为广阔的发展和应用前景。矩阵特征值、特征向量运用非常的广泛，在很多方面都有涉及。本文将先从各种矩阵的特征值、特征向量求解方法和矩阵历史入手，从几个方面综述矩阵特征值、特征向量的应用[]2。 那什么是矩阵特征值、特征向量呢？定义：设A是N阶矩阵，如果数X和N维非零列向量x，使关系式Ax=Xx成立，那么，这样的数X就称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值X的特征向量。 求特征值 描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式：说λ是A的特征值等价于λ) v = 0 (其中I是恒等矩阵)有非零解 (一个特征向量)，因说线性系统 (A – i λ)=0。 此等价于行列式 det(A – i
第一：运用MATLAB求解矩阵特征值、特征向量。首先，我用下面的例子，来引导我们认识MATLAB在求解矩阵特征值、特征向量上的运用。 例1：对亏损矩阵进行 Jordan 分解[]5。 A=gallery(5) %MATLAB 设置的特殊矩阵，它具有五重特征值。 [VJ,DJ]=jordan(A); % 求出准确的特征值，使 A*VJ=VJ*D 成立。 [V,D,c_eig]=condeig(A);c_equ=cond(A);
矩阵多项式 一、矩阵多项式的定义和性质 1.定义 设n n n n a x a x a x a x f ++Λ++=--11 10)(是X 的n 次多项式，A 是方阵， E 是与A 同阶的单位阵，则称 E a A a A a A a A f n n n 01110)(++Λ++=-- 为由多项式 n n n n a x a x a x a x f ++Λ++=--1110)(形成的矩阵A 的多项式。记作)(A f 。 2.性质 设 p （z)是复数域上的多项式， 即：若λ为矩阵A 的特征值，则)(λp 为 )(A p 的特征值。 3.化零多项式 设p （z ）是复数域上的多项式，A 是n 阶矩阵，如果 p(A)=0, 则称p （z ）是矩阵A 的化零多项式 4.Hamilton-Cayley 定理 设A 是n 阶矩阵，f （A ）是A 的特征多项式，则 f(A)=0 该定理表明任何方阵的特征多项式是该矩阵的化零多项式 5.最小多项式 设A 是n 阶矩阵，称A 的首项系数为1，次数最小的化零多项式为A 的最小多项式。 例：主对角元为λ0的n 阶Jordan 块J 的最小多项式为P(λ) = (λ-λ0)n 主对角元为λ0的n 阶Jordan 形 J=diag (J 1, J 2, …, J s )的最小多项式为 P(λ) = (λ-λ0) k 其中k 是J 的Jordan 块Ji 的最大阶数。 6.最小多项式的性质 （1）矩阵A 的任意化零多项式能被A 的最小多项式整除。 （2）相似矩阵有相同的最小多项式。 （3）矩阵A 的特征多项式与最小多项式有相同的根。 证明： （1）设()()λλψp ,分别是矩阵A 的最小多项式和化零多项式，由最小多项式的定 义可知 ()[]()[]λλψp 0 0∂≤∂利用多项式的带余除法知，存在多项式()()λλr q ,使得T A p T B p AT T B )()(,)1(11--==则若则若),,,,()2(21s A A A diag A =))(,),(),(()(21s A p A p A p diag A p =x p x A p x Ax )()(,)3(λλ==则若
毕业论文-低秩矩阵的特征多项式和最小多项式本科毕业论文(设计) 题目低秩矩阵的特征多项式和最小多项式 姓名学号专业年级数学与应用数学 指导教师职称 2009年4月20日 目录绪论 (1) 1 相关概念与记 号 (1) 1.1 概念 (1) 1.2 本文中相关记号 (1) 2 矩阵的满秩分 解 (2) 3 降阶求特征多项 式 (3) 4 降阶求最小多项 式 (5) 5 最小多项式的几种求法及比 较 (9) 5.1 根据特征多项式求最小多项式 (9) 5.2 根据不变因子求最小多项式 (10) 5.3 根据Jordan标准形求最小多项式 (11) 5.4 根据线性相关求最小多项式…………………………………………… 12
5.5 最小多项式求法的综合比较…………………………………………… 13 6 最小多项式的简单应用……………………………………………………… 14 参考文献………………………………………………………………………… 16 低秩矩阵的特征多项式与最小多项式摘要矩阵的特征多项式和最小多项 式在矩阵相似、若当标准形、矩阵函数和矩阵方程中都有很重要的作用，因此如 何求矩阵的特征多项式和最小多项式极为重要(本文先从目前已有的矩阵的满秩 分解入手，通过特殊情况下的满秩分解求出矩阵的特征多项式，再推广到一般， 从而得到了矩阵特征多项式的一种降阶求法(接着根据最小多项式的定义和矩阵 乘法的原则，同样得到了一种求最小多项式的降阶公式，这样在很大程度上简化 了求低秩矩阵的特征多项式和最小多项式的计算量(最后，本文列举了目前已有 的四种最小多项式的四种求法，并结合本文的最小多项式的求法作了一个综合的 比较( 【关键词】矩阵满秩分解特征多项式最小多项式 The Characteristic Polynomial and the Minimal Polynomial
(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 矩阵的特征值与特征向量分析及应用毕业论文 摘要 特征值和特征向量是高等代数中的一个重要概念，为对角矩阵的学习奠定了基础.本文在特征值和特征向量定义的基础上进一步阐述了特征值和特征向量的关系.本文还研究矩阵的特征值和特征向量的求解方法.再列举了特征值和特征向量相关的性质.最后给出了阵的特征值与特征向量在生活中的运用，并应用于实例. 关键词：矩阵特征值特征向量 1
Abstract Eigenvalues and eigenvectors are important concepts of advanced algebra which laid the foundation for the diagonal matrix learning. This paper, on the basis of the definition of eigenvalues and eigenvectors, study the relationship of them. This also study the solution method of eigenvalues and eigenvectors. And then lists the related properties of eigenvalues and eigenvectors. Finally, use the matrix eigenvalues and eigenvectors in ordinary live, and application in real examples. Keywords: matrix ; eigenvalue ; eigenvector 目录 引言 第一章、本征值和本征向量的关系 1.1 本征值与本征向量的定义 1.2 求解本征值与本征向量的方法探索 第二章、矩阵的特征多项式和特征根 2.1 矩阵的特征多项式和特征根的定义 2.2 求解特征根和特征向量的方法 2.3 线性变换的特征根与特征向量的求法 第三章、特征值和特征向量在生活中的应用 3.1 经济发展与环境污染的增长模型 3.2 莱斯利（Leslie）种群模型 四、结论 引言
编号2012110243 研究类型理论研究分类号O151．21 学士学位论文（设计） Bachelor’s Thesis 论文题目关于几类特殊矩阵特征值的讨论 作者姓名 学号2008111010243 所在院系数学与统计学院 学科专业名称数学与应用数学 导师及职称傅朝金教授 论文答辩时间2012年5月5日 学士学位论文（设计）诚信承诺书 中文题目：关于几类特殊矩阵特征值的讨论 外文题目： Discussion on some special classes of matrix eigenvalue 学生姓名学生学号2008111010243 院系专业数学与统计学院 数学与应用数学 学生班级0802班 学生承诺
我承诺在学士学位论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人学士学位论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。 学生（签名）： 年月日 指导教师承诺 我承诺在指导学生学士学位论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术道德规范，经过本人核查，该生学士学位论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象。指导教师（签名）： 年月日 目录 1．引言 1 2．矩阵的特征值与特征向量的定义及其性质 1 3．特值与特征征向量的求法 2 3．1 求数字方阵的特征值与特征向量 2 3．2 已知矩阵 ，求与之相关的矩阵的特征值 2 4．与矩阵 相关矩阵的特征值 2
5．矩阵 与 的特征值的关系 5 6．矩阵的Kronecker积的特征值 7 7．行（列）转置矩阵的特征值 8 7．1 定义和命题 8 7．2 主要结果 9 8．矩阵 的特征值与矩阵 的共轭转置矩阵 的特征值之间的关系 10 8．1 当 时，矩阵 的特征值的特点 10 8．1．1 酉矩阵的特征值 11 8．1．2 正交矩阵的特征值 11 8．2 当
ZHEJIANG NORMAL UNIVERSITY 本科毕业设计（论文） （2015 届） 题目:矩阵的特征值与特征向量的相关研究____________ 学院：数理与信息工程学院__________________________ 专业:数学与应用数学_______________________________ 学生姓名: ________________ 学号: __________________ 指导教师: ________________ 职称: ____________________ 合作导师: ________________ 职称: ____________________ 完成时间: __________ 201 年月日__________________ 成绩: _____________________________________________
浙江师范大学本科毕业设计（论文）正文 目录 摘要 (1) 英文摘要 (1) 1引言 (1) 2选题背景以及特征值与特征向量的定义与性质 (2) 2.1选题背景 (2) 2.2 特征值与特征向量的定义 (2) 2.3 特征值与特征向量的性质 (2) 3矩阵的特征值与特征向量的求解方法 (3) 3.1求解数字方阵的特征值与特征向量 (3) 3.2已知矩阵A的特征值与特征向量,求与A相关的矩阵的特征值 (7) 4矩阵的特征值与特征向量的反问题的求解 (7) 4.1矩阵的全部特征值与全部特征向量,反求解矩阵A的方法 (7) 4.2已知实对称矩阵的全部特征值和部分线性无关的特征向量，反求矩阵 A的方法 (9) 5矩阵的特征值与特征向量的应用 (9) 5.1矩阵的特征值与特征向量在线性递推关系上的应用 (9) 5.2经济发展和环境污染的增长模型 (14) 6结论 (16) 参考文献 (16)
矩阵的特征值与特征向量的若干应用 Several applications of eigenvalues and eigenvectors of the matrix 专业: 数学与应用数学 作者: 指导老师: 学校 二○一
摘要 本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的一些理论, 在此理论基础上做了一定的推广, 并通过矩阵的特征值与特征向量的命题与性质来探讨特征值与特征向量的一些应用. 关键词: 特征值; 特征向量; 矩阵; 递推关系
Abstract This article describes some theories of eigenvalues and eigenvectors of the matrix , based on these theories we do some promotions, and discusses the applications of eigenvalues and eigenvectors of the matrix through their propositions and nature. Keywords: eigenvalue; eigenvector; matrix; recursion relations
目录 摘要 ................................... I ABSTRAC.T ........................................................... II 0 引言 (1) 1 关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论 (1) 2 矩阵特征值与特征向量的几个应用 (5) 2.1 特征值与特征向量确定矩阵的方法证明及应用 (5) 2.1.1 命题的证明 (5) 2.1.2 命题的应用 (7) 2.2 线性递推关系中特征值与特征向量的应用 (7) 2.2.1 命题的证明 (7) 2.2.2 命题的应用 (9) 2.3 特征值与特征向量在矩阵运算中的应用 (11) 2.3.1 特征值与特征向量的基本性质 (11) 2.3.2 性质的应用 (12) 3 小结 (15) 参考文献 (16)
巢湖学院2013届本科毕业论文（设计） 高阶对称矩阵特征值的计 算毕业论文 目录 摘要..................................... 错误!未定义书签。Abstract ................................. 错误!未定义书签。目录.. (1) 引言..................................... 错误!未定义书签。 1 关于矩阵特征值的概念 (2) 1.1 矩阵特征值和特征向量的定义 (2) 1.2矩阵特征值的计算方法 (2) 1.3对称矩阵特征值的一些性质 (3) 2高阶对称矩阵特征值的计算方法 (4) 2.1Jacobi旋转法 (4) 2.1.1Jacobi旋转法的概念 (5) 2.2幂法 (7) 2.2.1幂法的概念 (7) 2.2.2反幂法的概念 (10) 2.3 QR方法 (12) 2.3.1豪斯霍尔德变换 (12)
高阶对称矩阵特征值的计算 2.3.2用正交相似变换约化一般矩阵为上海森伯格矩阵 ......... 12 2.3.3豪斯霍尔德约化对称矩阵为对称三对角矩阵 ............. 15 2.3.4QR 方法的算法及实例 ................................. 15 3结束语 ................................................ 17 参考文献 (19) 1 关于矩阵特征值的概念 本论文在第一部分首先介绍矩阵特征值的定义，接着介绍本文讨论的关于对称矩阵在特征值问题上的不同于一般矩阵的性质。这样在下面介绍其他矩阵特征值计算方法之前，可以对特征值有一个大致的了解。 1.1 矩阵特征值和特征向量的定义 定义1[3] 设矩阵()n n ij A a ⨯=∈ ，若存在实数或者复数λ和非零向量 12(,, ,)T n n x x x x =∈ ，使 Ax x λ= （1） 则称λ为A 的特征值，x 为A 对应λ的特征向量。 1.2矩阵特征值的计算方法 上面说明了矩阵特征值的定义，下面我们来看矩阵特征值的计算方法。 由（1）式可知λ可使其次线性方程组 ()0I A x λ-= 有非零解，故系数行列式det()0I A λ-=，记
矩阵多项式的性质讨论 摘要：本文系统总结了矩阵多项式的一些性质，且主要针对矩阵多项式的特征值、秩、逆矩阵求法和可逆性判别、迹的性质的探讨以及矩阵多项式在代数学中的应用。其中对于已有的结论则不予证明，同时本文也给出了一些重要的结论。 关键词：矩阵多项式特征多项式最小多项式特征值秩迹 Matrix to discuss the nature of polynomial Abstract: This article summarizes the matrix system polynomial some properties, mainly against Matrix and the characteristics of polynomials, rank, the matrix inverse discrimination law and reversible, track and investigate the nature of the matrix in polynomial The application of algebra. For the conclusions of which have not proved it, and this also gives a number of important conclusions. Key words: Matrix polynomial characteristic polynomial smallest trace polynomial characteristics rank envalue.
目录 1 引言 (3) 2 矩阵多项式的基本性质 (3) 2.1矩阵多项式的特征值 (3) 2.2矩阵多项式的秩 (5) 2.3矩阵多项式可逆判定与求法总结 (7) 2.4矩阵多项式的迹 (10) 3 矩阵多项式性质的应用 (13) 3.1矩阵多项式成为恒等式的应用 (13) 3.2矩阵多项式在求变换矩阵中的应用 (14) 参考文献 (17) 谢辞.................................................................................................. 错误！未定义书签。
0 引言 为了利用矩阵研究线性变换, 希望能找到线性空间的基使线性变换在该基下的矩阵具有最简单的形式, 因此我们引进了特征值与特征向量. 特征值与特征向量在线性变换中起着举足轻重的作用, 充分利用特征值与特征向量的命题与性质对我们解题带来极大的帮助, 能使复杂的问题变的简单, 化简为易, 化繁为简. 本文就矩阵的特征值与特征向量在一些解题中的应用作了初步的探讨. 1. 关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论 我们知道, 在有限维线性空间中, 取了一组基之后, 线性变换就可以用矩阵来表示. 为了利用矩阵来研究线性变换, 对于每个给定的线性变换, 我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式. 从现在开始, 我们主要的来讨论, 在适当的选择基之后, 一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式. 为了这个目的, 先介绍特征值和特征向量的概念, 它们对于线性变换的研究具有基本的重要性． 定义 1.1 设A 是数域P 上的一个n 阶方阵,若存在一个数P λ∈以及一个非零n 维列向量n x P ∈,使得 Ax x λ= 则称λ是矩阵A 的一个特征值,向量x 称为矩阵A 关于特征值λ的特征向量． 定义1.2 设A 是数域P 上一n 级矩阵, λ是一个文字. 矩阵A E -λ的行列式 nn n n n n a a a a a a a a a A E ---------= -λλλλ 2 1 22221 11211 ， 称为A 的特征多项式, 这是数域P 上的一个次多项式. 设T 是n 维线性空间V 上的一个线性变换，求解T 的特征值与特征向量的方法可以分成一下三几步： 1) 在线性空间V 中取一组基12,,,n ξξξ, 写出/A 在这组基下的矩阵A ; 2) 求出A 的特征多项式 E A λ-在数域P 中全部的根, 它们也就是线性变换/A 的全部 特征值; 3) 对于A 的每个特征值 , j λ求其次线性方程组 ()0j I A X λ-=的一组基础解系：