安徽省黄山市屯溪一中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷 (有解析)

安徽省黄山市屯溪一中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.直线l1：x+ay+6=0与l2：(a−2)x+3y+2a=0平行，则a的值等于()

A. −1或3

B. 1或3

C. −3

D. −1

2.如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，若P为三角形A1B1C1内一点(不

含边界)，则点P在底面ABC的投影可能在()

A. △ABC的内部

B. △ABC的外部

C. 直线AB上

D. 以上均有可能

3.已知两条直线l，m，α,β是两个平面，下列命题正确的是()

A. 若α//β，l//α，则l//β

B. 若l//α，m//α，则l//m

C. 若α//β，l//α，m//β，则l//m

D. 若α//β，l⊂α，则l//β

4.已知直线l，m和平面α，β，且l⊥α，m//β，则下列命题中正确的是()

A. 若α⊥β，则l//m

B. 若α//β，则l⊥m

C. 若l//β，则m⊥α

D. 若l⊥m，则α//β

5.若直线l过点(1,3)且在两条坐标轴上的截距相等，则直线l的斜率k是()

A. k=−1或k=3

B. k=±1或k=3

C. k=−1

D. k=1或k=3

6.给出以下四个命题，其中真命题的个数是()

①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；

②若直线l不平行千平面α，则在平面α内不存在与l平行的直线；

③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；

④垂直于同一直线的两条直线相互平行．

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

7.在三棱锥P−ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P−BC−A的大小为120°，则

异面直线PB和AC所成角的余弦值为()

A. 5

8B. 3

4

C. 7

8

D. 1

4

8.已知正四棱柱底面边长为1高为2，俯视图是一个面积为1的正方形，则该正四棱柱的正视图的

面积不可能等于()

A. 2

B. 2.5

C. 2√3−1

D. 2√2+1

9.已知锐二面角α−l−β中，异面直线a，b满足：a⊂α，a⊥l，b⊂β，b与l不垂直，设二面

角α−l−β的大小为θ1，a与β所成的角为θ2，异面直线a，b所成的角为θ3，则()

A. θ1>θ2>θ3

B. θ3>θ2>θ1

C. θ1=θ2>θ3

D. θ3>θ2=θ1

10.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知点A(1,0，3)，C(3,2，−1)，则这个正方体的棱长为()

A. √3

B. 2

C. 2√3

D. 3

11.在各棱长均相等的直三棱柱ABC−A1B1C1中，已知M是棱AC的中点，N是棱BB1的中点，则

异面直线A1N与BM所成角的正切值为()

A. √3

B. 1

C. √6

3D. √2

2

12.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是()

A. 4+8√2

B. 8+4√2

C. 4√2

D. 2√2

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.若直线(3a+2)x+(1−4a)y+8=0与(5a−2)x+(a+4)y−7=0垂直，则a=________．

14.设当x=θ时，函数f(x)=sinx+2cosx取得最大值，则cosθ=______ ．

15.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB1的中点，在面ABCD中取一点F，使EF+FC1

最小，则最小值为__________.

16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，上底面中心为O，则异面直线

AO与DC1所成角的余弦值为______ ，直线AC1与平面BDC1所成角的

正弦值为___________。

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.(1)求过点(1,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程

(2)求到直线2x+3y−5=0和4x+6y+8=0的距离相等点的轨迹．

18.如图所示的容器，由一个有下底面但没有上底面的圆柱和一个与圆柱底面相同的圆锥侧面组成.

已知圆柱的高为2米，底面的周长为2π米，圆锥的母线长为2米．

(1)求该容器的表面积；

(2)求该容器的体积．

19.如图，AD//BC且AD=2BC，AD⊥CD，EG//AD且EG=AD，CD//FG且CD=2FG，DG⊥

平面ABCD，DA=DC=DG=2．

(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN//平面CDE；

(2)求二面角E−BC−F的正弦值；

20.如图四棱锥E−ABCD中，底面ABCD为菱形，BE⊥平面ABCD．

(1)求证：AC⊥平面BED；

(2)若，AB=2，求三棱锥E−ABD的体积．

21.已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB//CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且

PA=AD=DC=1

AB=1，M是PB的中点．

2

(1)求异面直线AC与PB所成的角的余弦值；

(2)求直线BC与平面ACM所成角的正弦值．