材料力学第八章组合变形

叠加原理
如果内力、应力、变形等与外力成线性关系，则复 杂受力情况下组合变形构件的内力、应力、变形等可以 由几组产生基本变形的载荷单独作用下的内力、应力、 变形等的叠加而得到，且与各组载荷的加载次序无关。
l 叠加原理成立的条件
(1) 应力应变关系为线性关系，即满足胡克定律； (2) 变形是小变形，可以用原始尺寸原理。 下面的讨论，都假设用叠加原理的条件成立。
P 870 N, Pr 316 N, m m, Fy f y 542 N, Fx fx 257 N
l 画出内力图 l 危险截面
B截面
l 危险截面 B截面
l B截面内力
T 21.7 N m,
M
M
2 y
M
2 z
26.7 Nm
l 强度校核
按第三强度理论校核
r3
1 W
M 2 T 2 3.18 MPa [ ]
l 强度校核
按第四强度理论
r4
1 W
Mz Qz
M 2 0.75T 2 47.4 MPa [ ]
(3) 曲柄的强度计算
l 危险截面 III-III截面
l 计算内力 u 取下半部分
Qx Qz
N R2 C1 13 kN Mx m H2 d /2
765 Nm
M z R2 (a b / 2) 660 Nm
安全
例 4 (书例8.6) 已知: 曲轴, 碳钢, 各几何尺寸已知。 P =32kN, F = 17 kN, 曲柄的惯性 力C=3kN, 平衡重 的惯性力C1=7kN,
[]= 120 MPa 。
求：校核曲轴的 强度。
解： l 求外力
R1 R2 20 kN, H1 H2 8.5 kN,
对主轴的扭矩
l 按弯曲正应力选择工字钢型号
M C [ ]
W
选16号工字钢
W M C 120 cm3 [ ]
W 141 cm3, A 26.13 cm2
l 按最大正应力校核强度 拉(压)弯组合变形时，危险点的应力状态是单向应力状态。
c max
N MC AW
100.5 MPa [ ]
可以使用
Qz
B点的应力状态如图。
r4 2 3 2 96.7 MPa [ ] 安全
49
例题5 F1=0.5kN,F2=1kN,[]=160MPa.
（1）用第三强度理论计算 AB 的直径 （2）若AB杆的直径 d = 40mm,并在B端加一水平力
F3 = 20kN,校核AB杆的强度.
400
400
B
第八章 组合变形
组合变形和叠加原理 拉伸或压缩与弯曲的组合 扭转与弯曲的组合
目录
§8-1 组合变形和叠加原理
一、组合变形的概念
构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形,则构件 的变形称为组合变形.
l 基本变形 u 拉伸、压缩
u 剪切
u 扭转
u 弯曲
二、解决组合变形问题的基本方法－叠加法
叠加原理的成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
求：校核轴的强度。
解：
l 求外力
u 力偶矩
m 9549 N n
21.7 Nm
u 皮带张力
(F f ) D m 又 F f 600
2
F 465 N, f 135 N
u 齿轮作用力
Pn
cos 20
d1 2
m
Pn 925 N
l 将各力向轴线简化
P 870 N, Pr 316 N, m m, Fy f y 542 N, Fx fx 257 N
F2
x
FN图 F1l/4
x
M图
4.计算危险点的应力 F1
F2
F2
F2
A
l/2 l/2
拉伸正应力 最大弯曲正应力
F2
A
max
M max W
F1l 4W
杆危险截面 下边缘各点处上的拉应力为
Mmax
W
-
t max
max
F2 A
F1l 4W
五、强度条件
由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态,故其强度条件 为:
n
n
FN My
由轴力 FN产生的拉伸正应力为
FN F MPa
A 15
F 350
F
n
拉
z0 y z1
n
z 150
50 150
50 F
由弯矩 My产生的最大弯曲正应力为
tmax
M y z0 Iy
425 7.5F MPa 5310
()
cmax
M y z1 Iy
425 12.5F 5310
三、组合变形工程实例
压弯组合变形
10-1
组合变形工程实例
拉弯组合变形
四、处理组合变形的基本方法
1.外力分析 将外力简化并沿主惯性轴分解,将组合变形分解为基本变形,
使之每个力（或力偶）对应一种基本变形
2.内力分析 求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截面.分
别计算在每一种基本变形下构件的应力和变形
M
A M
二、应力分析
C1
A截面
危险截面上的最大弯曲正应力
发生在C1 、C2 处
最大扭转切应力发生在截面周边
上的各点处.
危险截面上的危险点为C1 和 C2 点
C3
C4
C2
C1
对于许用拉压应力相等的塑性材 料制成的杆,这两点的危险程度是相同 的.可取任意点C1 来研究.
C1 点处于平面应力状态, 点的单元体如图示
T hb
2
系数根据比值h/b查表3.2(p.116) 确定。
本题中： h 102 mm, b 22 mm, h / b 4.64
作线性插值，得： 0.287 1 19.8 MPa
s 弯曲切应力
2
3 2
Qz bh
5.68
MPa
B点的两种切应力方
向相同。
Qx
1 2 25.5 MPa
Qz H2 8.5 kN
M y T H2 (a b / 2) 281 Nm
Qx 0
l 强度校核 u 危险点
A点, B点。
u A点 单向应力状态
A
N bh
Mx Wx
Mz Wz
Qx Qz
106 MPa [ ]
u B点 平面应力状态
B
N bh
Mz Wz
86 MPa
s 扭转切应力
max
u 两个方向的弯矩不宜合成，可分别计算应力。 u 扭转切应力按矩形截面扭转公式计算。
max
T hb2
例 3 (书例8.5)
已知： 传动轴, 45号钢，d=35mm, []=85 Mpa, 输入功率 N= 2.2kW，n=966r/min。D=132mm， F+f = 600N。齿轮E的d1=50mm。
MPa
()
n
n
FN My
F 350
F
n
拉
z0 y z1
n
z 150
50 150
50 F
压
n
n
FN My
（3）叠加 在截面内侧有最大拉应力
t max
tmax
F 15
425 7.5F 5310
[ t ]
[F] 45.1 kN
F 350
F
n
拉
z0 y z1
n
z 150
50 150
50 F
杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形
示例1 示例2
F1 产生弯曲变形 F2 产生拉伸变形 Fy 产生弯曲变形 Fx 产生拉伸变形
F2
F1
F2
Fy
F
Fx
三、内力分析
横截面上内力
1.拉(压) :轴力 FN
弯矩 Mz
2.弯曲 剪力Fs
因为引起的切应力较小,故一般不考虑.
FSMz
O
z x
FN
y
四、应力分析
F 350
F
n
z0 y z1
z n 150
50
50 F
150
n
n
FN My
（2） 分析立柱横截面上的内力和应力 在 n-n 截面上有轴力 FN及弯矩 My
FN F M y [(35 7.5) 102 ]F 42.5 102 F
F 350
F
n
z0 y z1
n 150 z
50
150
50 F
l 本题不需要校核剪切强度
例题2 小型压力机的铸铁框架如图所示.已知材料的许用拉应力
[t] =30MPa ,许用压应力 [c] =160MPa.试按立柱的强度确定压
力机的许可压力F.
F 350 F
z0 y z1
z 150
50
50 150
F 350 F
z0 y z1
z 150
50
50 150
解：（1）确定形心位置 A=1510-3 m2 z0 =7.5 cm 计算截面对中性轴 y 的惯性矩 Iy = 5310 cm4
l 内力图如图 l 危险截面
E截面
E截面的内力
T PD 2
M y max
Βιβλιοθήκη Baidu
Pr ab l
M z max
Pab l
34
l 对圆截面杆
可将两个方向的弯矩按 矢量合成。
M
M2 y max
M
2 z max
l 危险点的应力 u 扭转切应力
u 弯曲正应力 u 弯曲切应力
T
Wt
M
W
一般可忽略
35
l 矩形截面杆的弯扭组合变形问题
横截面上任意一点 （ z, y） 处的正应 力计算公式为
1.拉伸正应力
FN
A
2.弯曲正应力
Mz y
Iz
FN Mz y
A Iz
( z,y)
Mz
z
O
x
FN
y
3.危险截面的确定
作内力图
F1
轴力
FN F2
弯矩
F2
F2
l/2 l/2
M max
F1l 4
所以跨中截面是杆的危险截面
弯扭组合变形时,相应的相当应力表达式可改写为
r3 r4
2 4 2 2 3 2
( M )2 4( T )2
W
Wt
( M )2 3( T )2
W
Wt
M2 T2 W
M 2 0.75T 2 W
式中W为杆的抗弯截面系数.M,T分别为危险截面的弯矩和扭 矩. 以上两式只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆.
m Fr 1020 Nm
(1) 连杆轴颈的强度计算
l 危险截面
连杆轴颈的中点
l 计算内力
取左半部分
M z R1 L / 2 (C C1) l / 2 1170 N m
M y H1 L / 2 553 Nm
My Qy T
Mz Qz
M
M
2 z
M
2 y
1290
Nm
T H1 r 510 Nm
该
C3
C1
T
C4
C2
三、强度分析
1.主应力计算
1 ( )2 2 1 2 4 2
C1
3 2
2
22
2 0
2.相当应力计算
第三强度理论,计算相当力 r3 1 3 2 4 2 第四强度理论,计算相当应力 r4 2 3 2 3.强度校核 r [ ]
讨论
A
C
D
F1
F2
解:将F2向AB杆的轴线简化得
F2 1kN Me 0.4kN m
AB为弯扭组合变形
400
400
B
A
C
D
l 强度校核
按第四强度理论
r4
1 W
M 2 0.75T 2 111 MPa [ ]
(2) 主轴颈的强度计算
l 危险截面 l 计算内力
II-II截面 取右段
M z R2 a 440 Nm
M y H2 a 187 Nm
M
M
2 z
M
2 y
478
Nm
Qy My
T m 1020 Nm
T
（1） r3 1 3 2 4 2 r4 2 3 2
C1
该公式适用于图示的平面应力状态. 是危险点的正应力, 是
危险点的切应力.且横截面不限于圆形截面
该公式适用于弯扭组合变形;拉（压）与扭转的组合变形;以 及拉（压）扭转与弯曲的组合变形
（2）对于圆形截面杆有
Wt
2W
d 3 16
C1
压
n
n
FN My
在截面外侧有最大压应力
cmax
cmax
F 42512.5F A 5310
[ c ]
[F] 171.3 kN
所以取 [F] 45.1 kN
§8-3 扭转与弯曲的组合
研究对象: 圆截面杆
受力特点:
杆件同时承受转矩和横向力作用
变形特点:
发生扭转和弯曲两种基本变形
F
B
C
M A(F) 0
F 42 kN
H 40 kN, V 12.8 kN
l 内力图 l 危险截面
C 截面
M C 12 kNm, N 40 kN
l 设计截面的一般步骤
u 先根据弯曲正应力选择工字钢型号； u 再按组合变形的最大正应力校核强度，必要时选择大一号或 大二号的工字钢； u 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
Al
一、 内力分析
设一直径为d 的等直圆杆AB, B 端具有与AB成直角的刚臂. 研究AB 杆的内力.
将力 F 向 AB 杆右端截面的形 心B简化得
横向力 F （引起平面弯曲）
力偶矩 M= Fa （引起扭转）
AB 杆为弯曲与扭转局面组合 变形
F
B
C
Al
M
x
A
B
F
画内力图确定危险截面
A
F
Fl
固定端A截面为危险截面
max [ ]
当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,应分别建立 杆件的抗拉和抗压强度条件.
tmax [ t ]
cmax [ c ]
例1 已知：P = 8kN, AB为工字钢， 材料为A3钢，
[] = 100MPa。
求: 工字钢型号。
解： AB受力如图
这是组合变形问 题 压弯组合。
l 求约束反力 取AB, 受力如图
3.应力分析
画出危险截面的应力分布图,利用叠加原理 将基本变形下的
应力和变形叠加,建立危险点的强度条件
研究内容
斜弯曲
拉（压）弯组合变形 弯扭组合变形
l
SF
a
外力分析 内力分析 应力分析
§8-2 拉伸（或压缩）与弯曲的组合
一、受力特点
作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力,还有横向力
二、变形特点