第4章多元方差分析

2、单因素随机区组设计 （1）适用条件
一个自变量（p 2 ）,一个无关变量（ n2 ）,自 变量与无关变量没有交互作用。
（2）被试分配
A1 区组 1 区组 2 区组 3 区组 4 S11 S21 S31 S41 A2 S12 S22 S32 S42 A3 S13 S23 S33 S43 A4 S14 S24 S34 S44
（1）适用条件
研究中有两个自变量（被试间变量），一个有p 个水平，另一个有q个水平。随机分配被试，每个被 试接受一个实验处理的结合。 （2）被试分配
a1 b1 S1 S7 S13 S18 a1 b2 S2 S8 S14 S20 a1 b3 S3 S9 S15 S21 a2 b1 S4 S10 S16 S22 a2 b2 S5 S11 S17 S23 a2 b3 S6 S12 S18 S24
原 始 数 据
BL1 BL2 BL3 BL4 BL5 BL6 BL7 BL8
3 6 4 3 5 7 5 2 35
a
3、单因素拉丁方实验设计
（1）适用条件 有一个p个水平的自变量，两个p个水平的无关变量，其 中一个无关变量被分配给p行，另一个被分配给p列；自 变量与两个无关变量之间无交互作用；随机分配处理水 平给p2个单元，每个处理水平仅在每行、每列中出现一 次；每个单元中分配一个或多个被试接受处理。总共被 试量N＝np2 拉丁方格的标准化及随机化 A B A B C A B C B A B C A B A D C A B C D B D C A 第一行和第一列是按字母 排列时，叫标准化方块。 D C A B
(3)随机区组设计模型和检验的假设
y ij j i ij , i 1,2,...,n; j 1,2,...,p
: 总平均数； j：水平j的处理效应； i：区组效应； ij：误差变异；
零假设： H 01 : 处理水平的总体平均数 相等。 .1 .2 .p 或
268.875 np2-1=31
F0.01(3,16)=5.29, F0.05(3,16)=3.24
4、单因素重复测量设计
（1）适用条件
一个自变量有p个水平。被试接受所有的处理水平 时，前面的对后面的没有影响。即没有学习、记忆效应。 该设计的目的是利用被试自己做控制，使被试的各方面 特点在所有的处理中保持恒定，以最大限度地控制由被 试的个体差异带来的变异。 （2）被试分配
2、随机区组设计(Randomized Block Design) 它是通过区组技术来控制无关变异的。首先无关变 量将被试分成若干个同质的区组，然后将每个区组的被 试随机分配给各个处理组。这种试验设计的方差分析可 以将无关变异从总变异中分离出去，减少了误差变异， 从而提高了处理效应的F检验的精度。
自变量－生字密度，4个水平，被试内变量；
因变量－阅读理解分数。n=8
AS表（原始分数）
A1 ±Ê » Ô » Ê ± Ô » Ê ± Ô » Ê ± Ô » Ê ± Ô » Ê ± Ô » Ê ± Ô » Ê ± Ô 1 2 3 4 5 6 7 8 3 6 4 3 5 7 5 2 35 A2 4 6 4 2 4 5 3 3 31 A3 8 9 8 7 5 6 7 6 56 A4 9 8 8 7 12 13 12 11 80 24 29 24 19 26 31 27 22 202
(3) 平方和分解 SS总 Npq-1 ＝SS处理间+SS处理内 ＝（SSA+SSB+ SSAB）+ SS处理内 p-1 q-1 (p-1)(q-1) pq(n-1)
例4.5 因变量：阅读理解分数y,
自变量：A－文章主题熟悉性，a1(熟悉)，a2(不熟悉)；
B－文章生字密度，b1(5:1),b2(10:1),b3(20:1), 双因素有6个水平的结合（单元），选择24名五年级学 生，随机分为6组，每组4人，n=4, p=2,q=3.
3、混合设计(Mixed Design) 指一个实验中既有被试内自变量，有又被试间自变量。 它也是重复测量实验设计的一种形式。是一种最有实用价 值的实验设计。
4.2 一些常用实验设计的方差分析
4.2.1 单因素的实验设计 1、单因素完全随机实验设计
（1）适用条件
一个自变量，自变量有两个或多于两个水平（P2） （2）被试分配
（3）平方和分解 SS总变异=SS处理间+SS处理内 =SSA+(SSB+SSC+SS单元内 + SS残差) 自由度 p-1 p-1 p-1 (p-1)(p-2) p2(n-1)
例4.3 研究者在做4种文章的生字密度对学生阅读理解 影响的研究中，从4个班随机选取32名学生，每班8人， 实验在星期三、四、五、六下午分四次进行。 自变量：A－生字密度A1,A2,A3,A4四个水平； 第一无关变量：B－不同班级B1，B2，B3,B4四个水平； 第二无关变量：C－实验时间C1,C2,C3,C4四个水平。 因变量：Y－阅读理解分数。
ABCS表
C1 B1 B2 B3 B4 A1 3 4 A2 8 7 A3 8 9 A4 5 4 C2 A2 2 3 A3 3 2 A4 12 13 A1 8 7 C3 A3 6 5 A4 4 3 A1 5 6 A2 12 11 C4 A4 9 8 A1 7 6 A2 6 4 A3 7 5
单因素拉丁方实验的方差分析表
（2）被试分配
C1 B1 B2 B3 B4 A1 S1 S2 A2 S3 S4 A3 S5 S6 A4 S7 S8 C2 A2 S9 S10 A3 S11 S12 A4 S13 S14 A1 S15 S16 C3 A3 S17 S18 A4 S19 S20 A1 S21 S22 A2 S23 S24 C4 A4 S25 S26 A1 S27 S28 A2 S29 S30 A3 S31 S32
a3(15:1)、a4(20:1)
因变量－－阅读理解测验分数。
A1 6 4 3 5 7 5 2 A2 4 6 4 2 4 5 3 3 31 A3 8 9 8 7 5 6 7 6 56 A4 9 8 8 7 12 13 12 11 80
n=8 (每组8个被试)，p=4 (4组)， 3 原 始 数 据
35
变异来源 A(生字密度) B(班级) C(实验时间) 残差 单元内误差 合计 平方和 自由度 190.125 56.125 1.375 10.250 11.000 P-1=3 P-1=3 P-1=3 (p-1)(p-2)=6 p2(n-1)=16 均方 63.375 18.708 0.458 1.708 0.688 F值 92.11** 27.19** 0.67 2.48
第四章 多元方差分析
4.1 实验设计的分类 4.2 一些常用实验设计的方差分析 4.3 多元方差分析
4.1 试验设计的分类
4.1.1 完全随机、随机区组和拉丁方设计 1、完全随机设计（Completely Randomized Design） 使用随机方法分配被试给各个实验处理，期望各 个处理的被试之间在统计上无差异。这种设计的方 差分析中，把所有不能有处理效应解释的变异全部 被归为误差变异，因此，处理效应的F检验不够敏感。
单因素重复测量实验的方差分析表
变异来源
被试间 A(生字密度) 残差 合计
平方和
Fra Baidu bibliotek自由度
均方
63.375 2.518
F
25.17**
25.875 n-1=7 190.125 (p-1)=3 52.875 (n-1)(p-1)=21 268.876 np-1=31
4.2.2 双因素设计
1、两因素完全随机实验设计
A1 S1 S5 S9 S13
A2 S2 S6 S10 S14
A3 S3 S7 S11 S15
A4 S4 S8 S12 S16
（3）检验的假设和实验设计模型
H 0 : 1 2 p 或 H 0 : j 0, j 1,2,, p 即无处理效应 模型： y ij j ij , i 1,2,, n, j 1,2,, p
3、拉丁方设计(Latin Square Design) 可以利用随机区组设计的思想，不同的是它能区分 出两个无关变异，可以进一步提高实验的精度。
4.1.2 单因素和多因素设计 单因素设计：实验中只有一个自变量。
多因素设计：实验中有多个自变量，被试接受几个自变 量水平的结合的处验处理。可以计算自变量水平之间的交 互作用。 4.1.3 被试间、被试内和混合试验设计
ij j -
（4）平方和分解与自由度
SS总＝ np-1,N-1 SS组间 p-1
MS组间 MS组内
+
SS组内， p(n-1),N-p
SS 组间（p - 1 ）
（5）F检验
F
＝
n - 1） SS 组内 （ p
~ Fp - 1,n - 1p
例4.1 一个研究要探讨文章的生字密度对学生阅读理解的 影响。研究假设是：阅读理解成绩随着文章中生字密度的 增加而下降。 自变量－－生字密度（四个水平）：a1(5：1)、a2(10:1)、
(5) F检验
F处理 MS 处理 ~ Fp - 1, (n - 1)(p- 1), MS 误差 MS区组 MS 误差 ～Fn - 1, (n - 1)(p- 1)
F区组＝
随机区组设计的优点是:它从总体中分离出了一个无 关变量的效应,从而减少了实验误差,可获得对处理效应 更精细的估价。缺点：处理水平较多时可能给寻找同质 组、寻找同质被试带来困难。
a1
被试1 被试2 被试3 被试4 S1 S2 S3 S4
a2
S1 S2 S3 S4
a3
S1 S2 S3 S4
a4
S1 S2 S3 S4
(3) 平方和分解
SS总变异＝SS被试间+SS被试内 ＝SS被试间+（SSA+SS残差） np-1 n-1 p-1 n(p-1)
例4.4 研究4种文章的生字密度对阅读理解的影 响。研究者仅用8名被试，每名被试阅读4篇生 字密度不同的文章，并测量阅读理解分数。
两因素完全随机实验设计的计算表
a1 b1 3 6 4 3 a1 b2 4 6 4 2 a1 b3 5 7 5 2 a2 b1 4 5 3 3 a2 b2 8 9 8 7 a2 b3 12 13 12 11
Tes ts of Betw een-S ubjec ts Ef fects Dependent Variable: 阅读理解分数 Type III Sum Source of Squares df Mean Square a Corrected Model 218.333 5 43.667 Intercept 888.167 1 888.167 A 80.667 1 80.667 B 81.083 2 40.542 A * B 56.583 2 28.292 Error 33.500 18 1.861 Total 1140.000 24 Corrected Total 251.833 23 a. R Squared = .867 (Adjusted R Squared = .830)
1、被试间设计(Between-Subject Design)
指实验中每个被试只接受一种自变量水平或自变量水平 的结合。被试间设计也叫非重复测量实验设计，实验中的 自变量叫被试间变量（Between-Subject Variable）。
2、被试内实验设计（With-Subject Design）
它是重复测量实验设计的一种形式，随机区组设计发 展，即由一个被试接受所有的自变量水平或自变量水平的 结合。这种设计把被试带来的无关变异减少到最小的限度。 但是，使用被试内设计的前提是，不能有学习、记忆效应 等。
例4.2 生字密度对阅读理解的影响。 自变量：生字密度(A),4个水平； 无关变量：智力(BL),8个区组；
因变量：阅读理解分数(Y)
A1 A2 4 6 4 2 4 5 3 3 31 A3 8 9 8 7 5 6 7 6 56 A4 9 8 8 7 12 13 12 11 80 24 29 24 19 26 31 27 22 202
j＝0， j 1,2,...,p;
H 02 : 区组的总体平均数相等 。1。 ＝ 2。 ＝ n. 或
i＝0， i 1,2,...,n
（4）平方和分解、自由度
SS总=SS处理间+SS处理内 ＝SSA+ （SS区组 + SS残差） np-1 p-1 n-1 (n-1)(p-1)