2019-2020年高三第一次诊断性测试数学(理)试题

22019-2020 年高三诊断考试数学理试题本试卷分第Ⅰ卷 （选择题 ）和第Ⅱ卷 （非选择题 ）两部分。

共 150分，考试时间 120 分钟。

参考公式：如果事件 A 、B 互斥，那么 P （A ＋B ）＝ P （A ）＋P （B ）． 如果事件 A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）＝ P （A ）·P （B ）．如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次 的概率 P n （k ） C n k （1 P ）n k球的表面积公式 S 4 R 2 , 球的体积公式 V 4 R 3 ,其中 R 表示球半径。

3第Ⅰ卷（选择题 共 60分）一、选择题（每小题 5分，共 60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意。

）341. 若 z sin (cos )i 是纯虚数，则 tan() 的值为5 5 4x15. 过点（ 0,1 ）且与曲线 y在点 （3，2） 处的切线垂直的直线的方程为x1A ． x 2y 2 0 C ． 2x y 1 0B Da 1 1 ，a 2 2 ．2x ．x ， 2a n 2 y 1 0 2y 2 06. 已知正项数列 a n 中，a n 12 a n 12 （n 2） ，则 a 6 等于A.16B.8C.22 D.47. △ ABC 外接圆的半径为1，圆心为 O ，且2OAABAC0 ， |OA| |AB| ，则 CACB等于A.3B.3 C.3D.23A.-7B.C.7D.2．抛物线 y 2x 2 的准线方程是A. xB.x8 C.1y 121. y 183. 设函数 f (x)23x 23x 1， f (x) 的反函数 f 1 (x)为A. f 1(x) 1 3 x(x R)B. f 1(x) 1 3 x(x 0)C.f 1(x) 1 3 x(x R)D. f 1(x) 1 3 x(x 0)4. “ cos α=5是“ cos2α= - 7 ”25A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件函数 f (x) cosx sin x , 把 y f ( x )的图象按向量 a ( ,0) ( >0)平移后，恰好得 到函数 y = f( x )的图象，则 的值可以为A ．23B ．2C ．π3 D ．4停车场划出一排 12 个停车位置，今有 8 辆车需要停放， 要求空车位连在一起， 则不同的停车方法有A.A 5 A 8 种B.A 12 种C.A 8 C 8 种 D. A 8C 9 种已知偶函数 f ( x )对任意的 x R 满足 f ( 2 + x ) = f ( 2 –x )，且当 2 x 0时，f ( x ) log 2( 1 –x )，则 f ( 2011 ) 的值是 x －y ＋1≤0，若实数 x 、 y 满足 x > 0， 则 x y 的最小值是xy ≤2，如果随机变量 ~ N( , 2),则P() 0.682 ，P( 2 2 ) 0.9544 ， P( 3 3 ) 0.9974 .已知随机变量 x~ N (3,1) ，则 P(4 x 5) ；在斜三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中, 底面是以∠ ABC 为直角的等腰三角形 , 点 A 1 在平面 ABC上的射影为 AC 的中点 D, AC ＝2, BB 1 ＝3,则 AB 1与底面 ABC 所成角的正切值 为.x 2 y2已知 P是双曲线 2 1(b 0)上一点， F 1、F 2是左右焦点，⊿ P F 1F 2的三边长成 4 b 2等差数列，且∠ F 1 P F 2=120 °，则双曲线的离心率等于解答题 (本大题有 6个小题；共 70 分．解答应写出文字说明。

20佃-2020年高三第一次（12月）诊断联考数学理试题含解析、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。

俯视图1 2 B.— C. D . 13 372°角，则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大 角等于 ()0 0 0 0 A . 72 B . 90]| C . 108 D .180已知 M 是 ABC 内的一点，且 AB AC 二 2 3 , BAC =30，若 MBC , 1 14MAB 的面积分别为一，x, y ，贝V的最小值为（）2 x yA. 20B. 18C. 16D. 9&函数y = x • cosx 的大致图像是（）1 •设集合 U={1 , 2, 3, 4, 5, 6} , M={1 , 2, 4}，则?U M=( )A • UB • {1 , 3, 5}C . {3 , 5, 6}勺 (3i)2.若复数 ------ (a R,i 为虚数单位)是纯虚数，则实数 a 的值为1 +2i3. A. -6 等差数列A . 20玄中,a 44. B. -2■ a10■玄花=30,则 a 18 B . - 204…,cos x ,贝9 tan 2x =5 C. 4 -2a 14的值为(C . 105. x （-笄） 已知 224A . -V某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是7 B . -24 C .)7_24D . {2 , 4, 6} () D. 6 D . - 1024D .万正视图 侧视图1 A.-66.若一条直线与一个平面成MCA ,9. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球,摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是( )A. 0.42B. 0.28C. 0. 310•如图所示的程序框图输出的结果是摸出红球的概率是0.42 ,D.S= 720,则判断框内应填的条件是(0.7)11.椭圆M:B. i>72笃•与=1(a b 0)左右焦点分别为F1 , F2 , P为椭圆a bi>9M上任一点且PF1〔PF?］：( )A. f，1-2最大值取值范围是2C2,3C2，其中c二；a2-b2，则椭圆离心率e取值范围C.3_3B.一31:::x上m (其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记2在此基础上给出下列关于函数1.321 m2作｛x｝，即｛x｝二m.1 1 . .① f( ) •，② f(3.4)=—0.4 :③ f( ) ”： f(—):④ y=f(x)的定义域是R，值2 2 4 41 1域是［-一，］.则其中真命题的序号是2 2A .①②12.给出定义：若f(X)= X-{x}的四个命题:1B .①③C.②④第II卷(非选择题共90 分)D .③④二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。

2019-2020年高三一模试题及答案（数学理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1(i 为虚数单位)等于A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．若集合}11,|{31≤≤-==x x y y A ，}1{x y x B -==，则A B =A ．(]1,∞-B ．]1,1[-C ．φD ．{1}3．设p 和q 是两个简单命题，若p ⌝是q 的充分不必要条件，则p 是q ⌝的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是1=a 3=b b a a += b a b -= PRINT b a ,A ．1 3 B ．4 1 C ． 0 0 D ．605．若dx x a ⎰=22sin π，dx x b ⎰=10cos ，则a 与b 的关系是A ．b a <B ．b a >C ．b a =D ．0=+b a 6．圆222210x y x y +--+=上的点到直线2=-y x 的距离的最大值是A ．2 B. 1+C ．2+D. 1+7．已知抛物线2x ay =的焦点恰好为双曲线222y x -=的上焦点，则a 的值为A ．1B ．4C ．8D ．168．将奇函数()sin()(0,0,)22f x A x A ππωφωφ=+≠>-<<的图象向左平移6π个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为A ．2B ．3C ．4D ．6 9．已知281(0,0)x y x y+=>>，则x y +的最小值为A ．12B ．14C ．16D ．1810．过原点的直线与函数xy 2=的图像交于B A ,两点，过B 作y 轴的垂线交于函数xy 4=的图像于点C ，若直线AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是A ．)2,1(B ．)4,2(C ．)2,21( D ．)1,0(11．在数列}{n a 中，a a a n n +=+1（a n ,N *∈为常数），若平面上的三个不共线的非零向量,,满足a a 20101+=，三点C B A ,,共线且该直线不过O 点，则2010S 等于A ．1005B ．1006C ．2010D ．201212．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是直线1m 和直线1n ，给出下列四个命题： ①1m ⊥1n ⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ⇒1m ⊥1n ； ③1m 与1n 相交⇒m 与n 相交或重合； ④1m 与1n 平行⇒m 与n 平行或重合； 其中不正确．．．的命题个数是 A.1 B. 2 C.3 D. 4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．若nxx )1(+展开式中第2项与第6项的系数相同，那么展开式的中间一项的系数为 ；14．已知区域}0,5,0|),{(},0,0,10|),{(≥≤≥-=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x ，若向区域Ω上随机投1个点，则这个点落入区域A 的概率()P A = ； 15．关于x 的不等式|2||1|5x x ++-<的解集为 ；16．已知函数⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，且关于x 的方程0)(=-+a x x f 有且只有一个实根，则实数a 的范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知向量)cos ,2sin 3(x t x m +=，)cos 2,1(x n =，设函数n m x f ⋅=)(. (Ⅰ)若21)32cos(=-πx ，且⊥，求实数t 的值; (Ⅱ)在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,若1,3)(==b A f ,且ABC ∆的面积为23,实数1=t ,求边长a 的值.18．（本小题满分12分）某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品, 2种家电商品, 3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.(Ⅰ)试求选出的3种商品中至多有一种是家电商品的概率;(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高x 元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为40元的奖券.假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是21,若使促销方案对商场有利，则x 最少为多少元？19.(本题满分共12分)下图分别为三棱锥ABC S -的直观图与三视图，在直观图中，SA SC =，N M 、分别为SB AB 、的中点.（Ⅰ）求证：SB AC ⊥;（Ⅱ）求二面角B NC M --的余弦值.CSN侧视图20.(本题满分共12分)已知各项均为正数的数列{}n a 满足12212+++=n n n n a a a a ,且42342+=+a a a ,其中*∈N n .(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项和为n T ,令2n n a b =,其中*∈N n ,试比较n n T T 4121++与1log 22log 2212-++n n b b 的大小,并加以证明.21.(本题满分12分)已知定义在正实数集上的函数ex x x f 221)(2+=,b x e x g +=ln 3)(2（其中e 为常数，2.71828e =⋅⋅⋅）,若这两个函数的图象有公共点,且在该点处的切线相同.(Ⅰ)求实数b 的值;(Ⅱ)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1时,x a e x g e aex x f )2())(2(6)2)((222+≤++-恒成立,求实数a 的取值范围.22.(本题满分14分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右两焦点分别为21,F F ，P 是椭圆C 上的一点，且在x 轴的上方，H 是1PF 上一点，若12120,0PF OH F F PF ==⋅=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,31λ（其中O 为坐标原点）.(Ⅰ)求椭圆C 离心率e 的最大值;(Ⅱ)如果离心率e 取(Ⅰ)中求得的最大值, 已知22=b ，点），（01-M ，设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 、M 两点的直线l 交y 轴于点N ,若2NQ QM , 求直线l 的方程.青岛市高三教学质量统一检测数学试题（理科）答案 2010.3一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． CBBBA BCDDA AD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 13．20 14．4115．），（23- 16．），（∞+1 三、解答题（共74分）． 17．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)由题意得01)62sin(2cos 2)2sin 3(2=+++=++=⋅t x x t x n m π…………3分 所以21)32cos(21)62sin(2-=---=-+-=ππx x t …………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知2)62sin(21)62sin(2)(++=+++=ππx t x x f由题意得32)62sin(2)(=++=πA A f所以21)62sin(=+πA …………………8分 因为6136260ππππ<+<<<A A ，，所以6562ππ=+A 解得3π=A因为ABC ∆的面积为23,所以23sin 21=A bc ,2=bc 即2=c …………10分 由余弦定理得32121241cos 222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a …………12分 18．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)选出3种商品一共有37C 种选法, …………2分选出的3种商品中至多有一种是家电商品有251235C C C +种. …………4分所以至多有一种是家电商品的概率为7637251235=+=C C C C P .…………5分 (Ⅱ)奖券总额是一随机变量,设为ξ,可能值为0, 40,80,120.…………6分(),81212103003=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ…………7分 (),832121402113=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ…………8分(),832121801223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛==C P ξ …………9分 ().1111200333=⎪⎫ ⎛⋅⎪⎫ ⎛==C P ς…………10分所以60812088084080=⨯+⨯+⨯+⨯=EX .所以60≥x ,因此要使促销方案对商场有利，则x 最少为60元. …………12分19.(本题满分12分)解: 由题意知: 32==SC SA ，侧面⊥SAC 底面ABC ， 底面ABC ∆为正三角形…………2分 (Ⅰ) 取AC 的中点O ,连结OB OS ,. 因为BC AB SC SA ==,, 所以OB ACSO AC ⊥⊥,. 所以⊥AC 平面OSB .所以SB AC ⊥ …………4分(Ⅱ) 如图所示建立空间直角坐标系xyz O -,则)2,3,0(),0,3,1(),22,0,0(),0,0,2(),0,32,0(),0,0,2(N M S C B A -.(4,0,0),(0,AC SB ∴=-=-.).2,0,1(),0,3,3(-==…………6分设=n ),,(z y x 为平面CMN 的一个法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅02033z x y x ，取1=z ,得6,2-==y x . 所以)1,6,2(-=n …………8分又由上可得).2,3,2(),0,32,2(==CN CB 设),,(c b a m =为平面NBC 的法向量,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=⋅=+=⋅02320322c b a b a ,得02=+c a , 令1=c ，则)1,36,2(-=…………10分所以11333333122||||,cos -=⨯+--=>=<n m所以二面角B NC M --的余弦值为1133. …………12分 20.(本题满分12分)解:(Ⅰ)因为12212+++=n n n n a a a a ,即0)2)((11=-+++n n n n a a a a又0>n a ,所以有021=-+n n a a ,所以12+=n n a a 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列…………2分 由42342+=+a a a 得4882111+=+a a a ,解得21=a故数列{}n a 的通项公式为n n a 2=)N (*∈n …………4分(Ⅱ) 因n n n n a b 4222===，所以4,411==+nn b b b 即数列{}n b 是首项为4,公比是4的等比数列 所以)14(34-=nn T …………6分 则1431)14(48441211-+=-+=+++n n n n n T T 又147114641log 22log 2212-+=-+=-++n n n b b n n)14)(14()4713(41471431log 22log 241212121--⋅-+=---=-+-+-++n n n b b T T nn n n n n n 猜想：13471+>⋅-n n …………8分①当1=n 时，41137470=+⨯>=⋅,上面不等式显然成立； ②假设当k n =时，不等式13471+>⋅-k k 成立…………9分当1+=k n 时，1)1(343412)13(4474471++=+>+=+>⨯⨯=⨯-k k k k k k综上①②对任意的*∈N n 均有13471+>⋅-n n …………11分又410,410nn ->->01log 22log 24122121<-+-+∴++n n n n b b T T 所以对任意的*∈N n 均有1log 22log 24122121-+<+++n n n n b b T T …………12分 21.(本题满分12分)解:(Ⅰ)e x x f 2)(+=',xex g 23)(='………………1分设函数ex x x f 221)(2+=与b x e x g +=ln 3)(2的图象有公共点为),(00y x 由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=++=+032ln 3221002002020x x e e x b x e ex x ………………………3分解得:22e b -= ………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,2ln 3)(22e x e x g -=所以x a x e x g eaex x f ln ))(2(6)2)((2222+=++- 即)1(2)ln 2x x x x a -≥-（当)1,1[ex ∈时，0ln <x ，0ln >-∴x x当[]e x ,1∈时，x x ≤≤1ln ，且等号不能同时成立，0ln >-∴x x所以,则由(1)式可得x x x x a ln 22--≥在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上恒成立……………………7分设x x x x x F ln 2)(2--=,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1又2)ln (ln 22)(1()(x x x x x x F --+-='）……………………9分令0)(='x F 得：1=x 又0ln 22,1ln >-+∴≤x x x所以，当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，0)(<'x F ；当(]1,x e ∈时，0)(>'x F ； 所以，)(x F 在)1,1[e上为减函数，)(x F 在(]1,e 上为增函数…………11分又<<+-=0)1(21)1(e e ee F 12)(2--=e e e e F故12)()(2max --==e e e e F x F所以实数a 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--,122e e e ……………12分 22.(本题满分14分)解:(Ⅰ)由题意知1212,PF OH F F PF ⊥⊥ 则有OH F 1∆与21PF F ∆相似 所以λ==PF PF OF OH 121……………2分设0),0,(),0,(21>-c c F c F ,),(1y c P则有122122=+by a c ,解得a b y 21=所以ab y PF 212==根据椭圆的定义得:ab a PF a P F 22122-=-= ……………4分2222b a b -=∴λ,即λλ+=1222ab 所以112122222-+=-==λab ac e ……………6分显然1122-+=λe 在]21,31[上是单调减函数 当31=λ时,2e 取最大值21 所以椭圆C 离心率e 的最大值是22……………8分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知21211222222=-=-==a a b a c e ,解得42=a 所以此时椭圆C 的方程为12422=+y x ……………10分 由题意知直线l 的斜率存在,故设其斜率为k ,则其方程为),0(),1(k N x k y +=设),(11y x Q ,由于2=,所以有),1(2),(1111y x k y x ---=-3,3211k y x =-=∴……………12分 又Q 是椭圆C 上的一点,则12)3(4)32(22=+-k 解得4±=k所以直线l 的方程为044=+-y x 或044=++y x ……………14分。

2019-2020年高三上学期第一次质量检测数学（理）试题含答案一、填空题：（本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上）1．已知集合，，则．2．函数的递增区间是___________________ .3．已知复数，则复数的虚部是 .4．函数的定义域是．5．若满足约束条件,则的取值范围是．6．已知函数，则．7．已知函数在区间上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是______．8．若函数在上存在极值，则实数的取值范围是______．9．在中，已知，那么的面积是______．10．“”是“函数在上单调递增”的_______________条件．（空格处请填写“充分不必要条件” 、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）11．已知向量，若，则的最小值为．12．若函数图像的一条对称轴方程为，则实数的值为________．13．已知是的中线，，则的最小值是 .14．一般地，如果函数的定义域为，值域也是，则称函数为“保域函数”，下列函数中是“保域函数”的有_____________.（填上所有正确答案的序号）①；②；③；④；⑤.二、解答题：（本大题共9小题，共130分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（本小题满分12分）已知集合，函数的定义域为集合．（1）若，求集合；（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．16．（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),(1,0)a b c ααββ===-（1）求向量的长度的最大值；（2）设，且，求的值.17．（本小题满分14分）已知函数是奇函数，函数是偶函数（1）求的值；（2）不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.18．（本小题满分14分）已知的内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若点为边的中点，，求面积的最大值．19．（本小题满分14分）已知函数.（1）解不等式：；（2）已知，且对于恒成立，求实数的取值范围.20．（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足。

2019-2020年高三教学质量检测（一模）数学（理）试题 含答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{1,0,1},{||10}A B x x =-=+>，那么A ．B ．C ．D ．2、已知复数，则A ．B ．1C ．D ．-13、沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为4、已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是A ．求的值B ．求的值C ．求的值D ．求的值5、已知平面向量满足11,(2)()2a b a b a b ==+-=-， 则与与的夹角为A ．B ．C ．D ．6、在正项等比数列中，232629log log log 3a a a ++=，则的值是A ．16B ．8C ．4D ．27、在二项式的展开式中，含的项的系数为A ．-10B ．10C ．-5D ．58、某城市对机动车单双号限行进行了调查，在参加调查的2548名有车人中有1560名持反对意见，2452名无车人中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”是否有关系时，用什么方法最有说服力A ．平均数与方差B ．回归直线方程C ．独立性检验D ．概率9、焦点在y 轴上的双曲线G 的下焦点为F ，上顶点为A ，若线段FA 的中垂线与双曲线G 有公共点，则双曲线G 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10、已知()[)[]211,010,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，则下列函数的图象正确的是A ．的图象B ．的图象C ．的图象D ．的图象11、若直线20(0,0)ax by a b -+=>>过圆22:2410C x y x y ++-+=的圆心，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．12、定义域为R 的偶函数满足对任意，有，且当时，，若函数在上恰有三个零点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

2019-2020年高三（上）第一次质量检测数学试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）（xx•松江区一模）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为4．考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得，即可得答案．解答：解：∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，4，16}∴∴a=4，故答案为：4．点评：本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题．2．（3分）（xx•南昌模拟）如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}．则A*B为{x|0≤x≤1或x＞2}．考点：V enn图表达集合的关系及运算．专题：计算题；新定义．分析：先分别求出集合A和集合B，然后根据A*B表示阴影部分的集合得到A*B={x|x∈A 或x∈B且x∉A∩B}，最后根据新定义进行求解即可．解答：解：A={x|y=}=[0，2]B={y|y=3x，x＞0}=[1，+∞）根据A*B表示阴影部分的集合可知A*B={x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}∴A*B={x|0≤x≤1或x＞2}故答案为：{x|0≤x≤1或x＞2}点评：本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力以及转化的能力，属于新颖题型．3．（3分）已知函数f（x）=x2﹣6x+8，x∈[1，a]，并且函数f（x）的最小值为f（a），则实数a的取值范围是（1，3]．考点：函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．专题：常规题型；压轴题．分析：由题意知，函数f（x）在区间[1，a]上单调递减，结合二次函数的对称轴求出实数a 的取值范围．解答：解：函数f（x）=x2﹣6x+8=（x﹣3）2﹣1，x∈[1，a]，并且函数f（x）的最小值为f （a），又∵函数f（x）在区间[1，3]上单调递减，∴1＜a≤3，故答案为：（1，3]．点评：本题考查二次函数函数的单调区间，联系二次函数的图象特征，体现转化的数学思想．4．（3分）若函数f（x+1）=x2﹣2x+1的定义域为[﹣2，6]，则函数y=f（x）的单调递减区间[﹣1，2]．考点：二次函数的性质；函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：由已知函数f（x+1）=x2﹣2x+1的定义域为[﹣2，6]，可得﹣2≤x≤6，进而﹣1≤x+1≤7，再利用换元法求得函数的解析式，进而得出函数y=f（x）的单调递减区间．解答：解：∵函数f（x+1）=x2﹣2x+1的定义域为[﹣2，6]，∴﹣2≤x≤6，∴﹣1≤x+1≤7．令x+1=t，则x=t﹣1，且﹣1≤t≤7，∴f（t）=（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+1=（t﹣2）2，∴函数y=f（x）的单调递减区间是[﹣1，2]．故答案为[﹣1，2]．点评：本题考查了函数的定义域和单调性，正确理解函数的定义域是自变量的取值范围和掌握二次函数的单调性是解题的关键．另外利用换元法是解决此类题的常用方法．5．（3分）（2011•西山区模拟）设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0且g（﹣3）=0，则f（x）g（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．考点：函数的单调性与导数的关系；奇函数；偶函数．专题：计算题．分析：先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x ＞0时也是增函数，最后根据g（﹣3）=0可求得答案．解答：解：因f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0，即[f（x）g（x）]'＞0故f（x）g（x）在x＜0时递增，又∵f（x），g（x）分别是定义R上的奇函数和偶函数，∴f（x）g（x）为奇函数，关于原点对称，所以f（x）g（x）在x＞0时也是增函数．∵f（﹣3）g（﹣3）=0，∴f（3）g（3）=0所以f（x）g（x）＜0的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．点评：本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系．导数是一个新内容，也是高考的热点问题，要多注意复习．6．（3分）已知函数若f（f（0））=4a，则实数a=2．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题．分析：给出的是分段函数，根据所给变量的范围确定选用具体的解析式，从而得方程，故可解．解答：解：由题意，f（0）=20+1=2，∴f（2）=4+2a=4a，∴a=2故答案为2．点评：本题的考点是函数与方程的综合运用，主要考查分段函数的定义，考查求函数值，有一定的综合性7．（3分）已知p：，q：，则q是p的必要不充分条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：根据题意分别求出命题p和q，再根据充分必要条件的定义，进行判断；解答：解：已知p：，解得0＜x＜，q：，解得0≤x＜1，0＜x＜，⇒0≤x＜1，∴q是p的必要不充分条件；故答案为：必要不充分；点评：此题主要考查不等式的解法，以及充分必要条件的定义，是一道基础题；8．（3分）（xx•怀柔区二模）当x∈（1，2）时，不等式（x﹣1）2＜log a x恒成立，则实数a 的取值范围是（1，2]．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：根据二次函数和对数函数的图象和性质，由已知中当x∈（1，2）时，不等式（x﹣1）2＜loga x恒成立，则y=log a x必为增函数，且当x=2时的函数值不小于1，由此构造关于a的不等式，解不等式即可得到答案．解答：解：∵函数y=（x﹣1）2在区间（1，2）上单调递增，∴当x∈（1，2）时，y=（x﹣1）2∈（0，1），若不等式（x﹣1）2＜log a x恒成立，则a＞1且1≤log a2即a∈（1，2]，故答案为：（1，2]．点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据二次函数和对数函数的图象和性质，结合已知条件构造关于a的不等式，是解答本题的关键．9．（3分）（xx•东莞市模拟）已知函数满足对任意成立，则a的取值范围是．考点：函数单调性的性质．专题：综合题；数形结合；转化思想；综合法．分析：对任意成立，说明此函数是一个减函数，由此性质即可判断得出参数所满足的不等式，求解即可．解答：解：∵对任意成立∴函数是一个减函数，由于函数，故解得a∈故答案为：点评：本题考查函数单调性的性质，解题的关键是对“对任意成立”理解以及在分段函数的端点处函数值大小比较，即x=0时两个端点的函数值的比较．准确理解题意，认真审题是此类题正解解答的关键．本题易因为忘记比较端点处的函数值的大小比较而导致出错．做题时要注意转化的等价性10．（3分）f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是．考点：函数与方程的综合运用；函数的周期性；函数的零点；二项式定理．专题：计算题．分析：根据函数是一个偶函数且周期是2，写出函数在[﹣1，0]，[2，3]，[﹣1，0）上的函数解析式，根据g（x）仍为一次函数，有4个零点，故在四段内各有一个零点．分别在这四段上讨论零点的情况，零点的范围，最后求出几种结果的交集．解答：解：x在[0，1]，f（x）=x 由于f（x）是偶函数，x在[﹣1，0]，f（x）=﹣x f（x）是周期为2的函数f（2）=f（0）=0 函数解析式：y=﹣x+2 x在[2，3]时，函数解析式：y=x﹣2 g（x）仍为一次函数，有4个零点，故在四段内各有一个零点．x在[﹣1，0）g（x）=﹣x﹣kx﹣k=﹣（k+1）x﹣k 令g（x）=0 x=﹣﹣1≤﹣＜0解得k＞0 x在（0，1]g（x）=x﹣kx﹣k=（1﹣k）x﹣k 令g（x）=0 x=0＜≤1 解的0＜k≤x在（1，2]g（x）=﹣x+2﹣kx﹣k=﹣（k+1）x+2﹣k 令g（x）=0 x= 1＜≤2 解的0≤k＜x在（2，3]g（x）=x﹣2﹣kx﹣k=（1﹣k）x﹣2﹣k 令g（x）=0 x=2＜≤3 解的0＜k≤综上可知，k的取值范围为：0＜k≤故答案为：（0，]．点评：学生知识经验已较为丰富，智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以本题符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展．11．（3分）函数f（x）=sin3x+x5﹣x﹣3在[﹣2π，2π]上最大值与最小值之和为﹣6．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：构造g（x）=sin3x+x5﹣x，确定函数是奇函数，从而可求函数f（x）=sin3x+x5﹣x﹣3在[﹣2π，2π]上最大值与最小值之和．解答：解：令g（x）=sin3x+x5﹣x，则g（﹣x）=﹣sin3x﹣x5+x=﹣g（x），∴g（x）=sin3x+x5﹣x是奇函数∴g（x）=sin3x+x5﹣x在[﹣2π，2π]上最大值与最小值之和为0∴函数f（x）=sin3x+x5﹣x﹣3在[﹣2π，2π]上最大值与最小值之和为﹣6故答案为：﹣6点评：本题考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．12．（3分）给出如下四个命题：①∀x∈（0，+∞），x2＞x3；②∃x∈（0，+∞），x＞e x；③函数f（x）定义域为R，且f（2﹣x）=f（x），则f（x）的图象关于直线x=1对称；④若函数f（x）=lg（x2+ax﹣a）的值域为R，则a≤﹣4或a≥0；其中正确的命题是③④．（写出所有正确命题的题号）考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题．分析：令x=1，可判断①的真假；构造函数f（x）=e x﹣x，利用导数法法分析其值域，即可判断②的真假；利用函数对称变换法则“对称变换二倍减，横向减里边，纵向减外边”的口决，可判断③的真假；根据对数函数的性质，分析出内函数值域A⊇（0，+∞），进而根据二次函数的图象和性质求出a的范围可得④的真假；解答：解：当x=1时，x2=x3=1，故①为假命题；令f（x）=e x﹣x，则f′（x）=e x﹣1，当x∈（0，+∞），f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）=1恒成立，故②为假命题；根据函数图象对称变换法则，可得若f（2﹣x）=f（x）恒成立，则f（x）的图象关于直线x=1对称，故③为真命题；若函数f（x）=lg（x2+ax﹣a）的值域为R，设函数y=x2+ax﹣a的值域为A，则A⊇（0，+∞），即△=a2+4a≥0，解得a≤﹣4或a≥0，故④为真命题；故答案为：③④点评：本题考查的知识点是命题的真假判断，其中熟练掌握幂函数、指数函数、对数函数及二次函数的图象与性质，函数图象的对称变换法则，是解答的关键．13．（3分）已知定义在（﹣1，+∞）上的函数，若f（3﹣a2）＞f（2a），则实数a取值范围为（，1）．考点：函数单调性的性质；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式可得函数在（﹣1，0）上是增函数，由2x+1在[0，+∞）是增函数，且20+1≥3﹣2=1，可得函数在（﹣1，+∞）上是增函数，故由不等式可得3﹣a2 ＞2a＞﹣1，由此求得实数a取值范围．解答：解：由于==3﹣，故函数在（﹣1，0）上是增函数．再由2x+1在[0，+∞）是增函数，且20+1≥3﹣2=1，可得函数在（﹣1，+∞）上是增函数．再由f（3﹣a2）＞f（2a），可得3﹣a2 ＞2a＞﹣1，解得﹣＜a＜1，故实数a取值范围为（，1）．点评：本题主要考查函数的单调性的性质，注意2a＞﹣1，这是解题的易错点，属于中档题．14．（3分）已知函数f（x）=若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则lga+lgb+lgc 的取值范围是（1，2）．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．解答：解：不妨设a＜b＜c，则由函数的解析式可得f（a）=f（b）=f（c），即﹣lga=lgb=﹣c+50∈（0，1），∴ab=1，且0＜﹣c+50＜1，则abc=c∈（98，100），∴1＜lgc＜2，故lga+lgb+lgc=lg（abc）=lgc∈（1，2）．作出函数g（x）的图象如图：故答案为（1，2）．点评：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力，属于基础题．二、解答题（共10小题，满分108分）15．（12分）若集A={（x，y）|x2+mx﹣y+2=0，x∈R}，B={（x，y）|x﹣y+1=0，0≤x≤2}当A∩B≠∅时，求实数m的取值范围．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：转化思想．分析：由A∩B≠∅，将问题转化为方程组在[0，2]上有解，即x2+（m﹣1）x+1=0在[0，2]上有解，构造函数f（x）=x2+（m﹣1）x+1，则函数在[0，2]上有零点，结合二次函数的图象和性质及零点存在定理，可得实数m的取值范围．解答：解：问题等价于方程组在[0，2]上有解，即x2+（m﹣1）x+1=0在[0，2]上有解，令f（x）=x2+（m﹣1）x+1，则由f（0）=1知抛物线y=f（x）过点（0，1），∴抛物线y=f（x）在[0，2]上与x轴有交点等价于f（2）=22+2（m﹣1）+1≤0 ①或②由①得m≤﹣，由②得﹣＜m≤﹣1，∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1]．点评：本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，方程的根与函数零点之间的关系，其中将集合有公共元素转化为方程组有解，再转化为函数有零点，进而借助函数的图象和性质进行解答是本题的关键．16．（12分）已知x满足，求的最大值与最小值及相应的x的值．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：由条件求得，化简函数y的解析式为，由此可得y最大值与最小值及相应的x的值．解答：已知x满足，求的最大值与最小值及相应的x的值．解：由题意，解得，∴．又∵=（log2x﹣1）（log2x﹣2）==，∴当时，，当log2x=3时，y max=2，即当时，；当x=8时，y max=2．点评：本题主要考查二元一次不等式、对数不等式的解法，属于中档题．17．（12分）设函数y=f（x）是定义在R+上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），．（1）求f（1）的值；（2）如果f（x）+f（2﹣x）＜2，求x的取值范围．考点：函数的值；函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）利用赋值法：令x=y=1即可求解（2）利用赋值法可得，f（）=2，然后结合f（xy）=f（x）+f（y），转化已知不等式，从而可求解答：解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0（4分）（2）∵∴∴，又由y=f（x）是定义在R+上的减函数，得：解之得：．…（12分）点评：本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值，及利用函数的单调性求解不等式，属于函数知识的综合应用18．（12分）某种商品每件进价12元，售价20元，每天可卖出48件．若售价降低，销售量可以增加，且售价降低x（0≤x≤8）元时，每天多卖出的件数与x2+x成正比．已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件．（1）试将该商品一天的销售利润表示成x的函数；（2）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？考点：函数最值的应用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）确定每件商品的利润，每天卖出的商品件数，即可求得该商品一天的销售利润表示成x的函数；（2）求导函数，确定函数的极值，从而可得最大利润．解答：解：（1）由题意可设，每天多卖出的件数为k（x2+x），∴36=k（32+3），∴k=3 又每件商品的利润为（20﹣12﹣x）元，每天卖出的商品件数为48+3（x2+x）∴该商品一天的销售利润为f（x）=（8﹣x）[48+3（x2+x）]=﹣3x3+21x2﹣24x+384（0≤x≤8）（2）由f'（x）=﹣9x2+42x﹣24=﹣3（x﹣4）（3x﹣2）令f'（x）=0可得或x=4当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：0 4 8﹣0 + 0 ﹣384 ↘极小值↗极大值432 ↘0 ∴当商品售价为16元时，一天销售利润最大，最大值为432元点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，解题的关键是确定函数的解析式．19．（8分）设函数f（x）=e2x+|e x﹣a|，（a为实数，x∈R）．（1）求证：函数f（x）不是奇函数；（2）若g（x）=x a在（0，+∞）单调减，求满足不等式f（x）＞a2的x的取值范围；（3）求函数f（x）的值域（用a表示）．考点：反证法与放缩法；奇偶性与单调性的综合；其他不等式的解法．专题：计算题；应用题；分类讨论；转化思想．分析：（1）利用反证法，假设f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），推出矛盾结果，即可证明函数f（x）不是奇函数；（2）利用g（x）=x a在（0，+∞）单调减，求出a的范围，然后解不等式f（x）＞a2，求出x的取值范围；（3）通过当a≤0，，，分别求函数f（x）的值域（用a表示）即可．解答：解：（1）证明：假设f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），而x∈R，则f（0）=0，而f（0）=e0+|e0﹣a|=1+|1﹣a|≠0，故假设不成立，从而函数f（x）不是奇函数．（2）因g（x）=x a在（0，+∞）单调减，则a＜0，e2x+|e x﹣a|=e2x+e x﹣a＞a2则（e x﹣a）（e x+a+1）＞0，而（e x﹣a）＞0，则e x＞﹣a﹣1，于是x＞ln[﹣（a+1）]；（3）设e x=t，则t＞0，y=f（x）=t2+|t﹣a|，当a≤0时，y=f（x）=t2+t﹣a在t＞0时单调增，则f（x）＞f（0）=﹣a；当时，y=f（x）=t2+t﹣a≥f（a）=a2；当时，；故当a≤0时，f（x）的值域为（﹣a，+∞）；当时，f（x）的值域为（a2，+∞）；当时，f（x）的值域为．点评：本题考查函数的单调性的应用，函数的值域的求法，分类讨论思想的应用，考查转化思想计算能力．20．（8分）已知奇函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，求实数c的最小值；（3）若关于p的一元二次方程p2﹣2mp+4=0两个根均大于1，求函数的单调区间．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：（1）根据奇函数的性质f（﹣x）=f（x），已知条件函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2可以推出f′（1）=0和f（1）=2，代入即可求得函数y=f（x）的解析式；（2）根据题意对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，将问题转化为）|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|，求出f（x）的最大值和最小值即可；（3）已知关于p的一元二次方程p2﹣2mp+4=0两个根均大于1，根据根与系数的关系求出m的范围，利用导数研究函数g（x）的单调性；解答：解：（1）∵奇函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2，奇函数f（﹣x）=﹣f（x），解得b=0，可得f′（x）=3ax2+c由题，解得，f（x）=﹣x3+3x；（2）|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|=4，根据（1）可得f（x）=﹣x3+3x；求导得f′（x）=﹣3x2+3=﹣3（x2﹣1）令f′（x）=0，可得x=1或﹣1，当f′（x）＞0即﹣1＜x＜1，f（x）为增函数，当f′（x）＜0时即x＞1或x＜﹣1，f（x）为减函数，f（x）在x=1处取极大值f（1）=2，在x=﹣1处取得极小值f（﹣1）=﹣，2；f（﹣2）=2，f（2）=﹣2，∴f（x）max=2，f（x）min=﹣2，要使对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|=4，故c的最小值为4；（3）p2﹣2mp+4=0两个根均大于1，则求得，g（x）=﹣x2+3+mlnx，则x＞0．．而，则时，g'（x）＞0，故是g（x）的单调增区间，时，g'（x）＜0，故是g（x）的单调减区间．点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查的知识点比较全面是一道中档题，这类题是高考的热点问题；21．（10分）已知a，b∈R，若所对应的变换T M把直线L：2x﹣y=3变换为自身，求实数a，b，并求M的逆矩阵．考点：逆变换与逆矩阵．专题：计算题；选作题．分析：首先分析题目已知所对应的变换T M把直线L：2x﹣y=3变换为自身，故可根据变换的性质列出一组方程式求解出a，b即可得到矩阵M，再根据MM1=E，求得M的逆矩阵即可．解答：解：设P（x，y）为直线2x﹣y=3上任意一点其在M的作用下变为（x'，y'）则代入2x﹣y=3得：﹣（b+2）x+（2a﹣3）y=3其与2x﹣y=3完全一样．故得则矩阵又因为MM1=E则点评：此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到逆矩阵的求法，题中是用一般方法求解，也可根据取特殊值法求解，具体题目具体分析找到最简便的方法．22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为（1）求直线l的倾斜角；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．考点：圆的参数方程；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．专题：计算题．分析：（1）根据直线参数方程中的意义，求出直线l的倾斜角．（2）把曲线C的极坐标方程化为普通方程，可知曲线是圆，根据点到直线的距离公式和圆被直线所截得的弦长公式进行计算．解答：解：（1）直线参数方程可以化，根据直线参数方程的意义，这条经过点，倾斜角为60°的直线．（2）l的直角坐标方程为，的直角坐标方程为，所以圆心到直线l的距离，∴．点评：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程，这两个方程是坐标系与参数方程中的重点．经过点P0（x0，y0）、倾斜角为α的直线的参数方程是其中t为参数，直线上的点P 处的参数t的几何意义是有限线段的数量．以及点到直线的距离公式的应用．23．（10分）甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛，采用五局三胜制．若每一局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．现已完成一局比赛，乙暂时以1：0领先．（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时比赛的局数为X，求随机变量X的概率分布列和数学期望．考点：互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：压轴题．分析：（1）甲获得这次比赛胜利，包括甲以3：1获胜和甲以3：2获胜，而前两种情况是互斥的，根据独立重复试验公式和互斥事件的概率公式，列出算式，得到结果．（2）比赛结束时比赛的局数为X，则X的可能取值是3、4、5，当X=3时，乙获得比赛胜利，当X=4时，甲和乙都有可能胜利，包括甲第2、3、4局都胜，或是乙，第2、3局胜一局，第4局一定胜．解答：解：（1）设甲获胜为事件A，则甲获胜包括甲以3：1获胜（记为事件A1）和甲以3：2获胜（记为事件A2），且事件A1，A2为互斥事件，∴P（A）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=．答：甲获得这次比赛胜利的概率为．（2）随机变量X的所有可能取值为3，4，5，随机变量的分布列为P（X=3）=，P（X=4）==，P（X=5）=．∴随机变量X的数学期望为E（X）=．点评：本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识．24．（14分）已知多项式．（1）求f（1）及f（﹣1）的值；（2）试探求对一切整数n，f（n）是否一定是整数？并证明你的结论．考点：反证法与放缩法；函数的值．专题：计算题；压轴题．分析：（1）根据，直接求出f（1）和f（﹣1）的值．（2）对一切整数n，f（n）一定是整数．（10）先用数学归纳法证明：对一切正整数n，f（n）是整数．再证n=0时，f（0）是整数，再证当n为负整数时，令n=﹣m，m是正整数，证明f（﹣m）是整数，从而命题得证．解答：解：（1）∵，∴f（1）=1；f（﹣1）=0．（2）对一切整数n，f（n）一定是整数．证明如下：（10）先用数学归纳法证明：对一切正整数n，f（n）是整数．①当n=1时，f（1）=1，结论成立．②假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，结论成立，即是整数，则当n=k+1时，==f（k）+k4+4k3+6k2+4k+1，根据假设f（k）是整数，而k4+4k3+6k2+4k+1显然是整数，故f（k+1）是整数，从而当n=k+1时，结论也成立．由①、②可知对对一切正整数n，f（n）是整数．…（7分）（20）当n=0时，f（0）=0是整数．…（8分）（30）当n为负整数时，令n=﹣m，则m是正整数，由（1）f（m）是整数，所以==﹣f（m）+m4是整数．综上，对一切整数n，f（n）一定是整数．…（10分）点评：本题主要考查二项式定理、用数学归纳法证明数学命题，推出当n=k+1时命题也成立，是解题的关键和难点，体现了分类讨论的数学思想，属于难题．。