5第五章 交通流理论

移位负指数分布比负指数分布更接近实
际情况，有较好的实用性。它考虑车辆之间的 最小安全间距，对实际运行的交通流中，τ值 可取受约束部分车流的安全车头时距。 爱尔朗分布
皮尔逊Ⅲ型分布
对数正态分布
复数指数分布
4.3 排队论及其应用
一、概述 二、排队论的基本原理 三、排队论的应用
一、概述
排队论是研究服务系统因“需求”拥
第四章 交通流理论
4.1 概述 4.2 交通流的统计分布特性 4.3 排队论及其应用 4.4 跟驰理论 4.5 流体力学模拟理论
4.1 概述
交通流理论是运用物理学与数学的 定律来描述交通特征的一门边缘科学， 是交通工程学的基础理论。它用分析的 方法阐述交通现象及其机理，从而使我
们能更好地掌握交通现象及其本质，并
递推公式：
p0 e
m
m pk 1 pk k 1
分布的均值M和方差D都等于λt
例4.1 设60辆车随机分布在4km长的道路上，求任意400米 路段上有4辆及4辆车以上的概率。 解：t可理解为计算车辆数的空间间隔，则本例中在空间上 的分布服从泊松分布： ， T=400m，λ=60/400 辆/m，m=λt=6辆，
2
1 2
2 q n 1 1 qm 1
d
w
排队系统中平均消耗时间为：
1 n
排队中的平均等待时间为：
4辆车及4辆以上的概率为： p( 4) 1 P( 4) 0.8488 m k 1 k 0 ☺☺ 各项概率也可直接查泊松分布的有关数表而得出！
p e
p
m p k 1
练习
例1：设60辆车随机分布在10km长的道路上， 其中任意1km路段上，试求： 无车的概率； 小于5辆车的概率； 不多于5辆车的概率； 6辆及其以上的概率； 至少为3辆但不多于6辆的概率； 恰好为5辆车的概率。
把交通流到达看作是相互独立的随机 变量，交通流到达是一种概率变化的过程， 符合概率论与数理统计。 交通流的统计分布特性为设计新的交 通设施和确定新的交通管理方案，提供交 通流的某些具体特性的预测，并且能利用 现有的和假设的数据，作出预报。
二、离散型分布
在一定的时间间隔内到达的车辆数， 或在一定的路段上分布的车辆数，是所谓 的随机变量，描述这类随机变量的统计规
ms p m
1 m N
n
2
m n 2 ms
1 n i m2 s2 N 1 i 1
2
其中m和s2可按下面二式计算：

i 1
i
式中：N——观测的计数间隔数； xi——第i个计数间隔内的车辆到达救。
例：在某条公路上，上午高峰期间，以15秒间隔观测到达
车辆数，得到的结果列入下表，试用二项分布拟合之。
单路排队多通道服务
多路排队多通道服务
1
单路排队多通道服务
2
V
排成一个队等待数条通道服务的情况，排
队中头一辆车可视哪个通道有空就到哪里去接受 服务。
1
多路排队多通道服务
2
V
每一个通道各排一个队，每个通道只为其相 对应的一队车辆服务，车辆不能随意换队。
多通道服务系统示意图
1
1
2
2
V
V
单路排队多通道服务
三、排队论的应用
M代表波松输入 或负指数服务 D代表定长输入 或定长服务
单通道排队服务系统(M/M/1系统) 此时，由于排队等待接受服务的通道只有 单独一条，也叫单通道服务系统。
到达
λ μ
多通道服务系统(M/M/N系统) 在此系统中，服务通道有N条，根据排 队方式的不同，又可分为 ：
1
1
2
2
V
V
p—二项分布参数，p<1，
经常代表转向车流占整个车流的比例
递推公式
pk 1 nk p pk k 1 1 p
分布的均值M和方差D分别为：
M np，
D np1 p
显然有D<M，这是二项分布与泊松分布的 显著区别，它表征二项分布到达的均匀程度高 于泊松分布。
如果通过观测数据计算出样本均值m和方差s2， 则可分别代替M和D。
损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该
顾客就自动消失，永不再来。
等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他
们就排成队伍，等待服务。服务次序有先到先服务
(FIFO)、先到后服务(LIFO)和优先权服务(SIRO)等多
种规则。
混合制：顾客到达时，若队伍长小于L，就排入
队伍；若队伍长等于L，顾客就离去，永不再来。
恰好为5辆车的概率为： P( 5 ) 0.1606
例4.2某信号灯交叉口的周期C=97s，有效绿灯时间g=44s， 在有效绿灯时间内排队的车流以s=900（辆/h）的交通量通过交 叉口，在有效绿灯时间外到达的车辆要停车排队。设信号灯交 叉口上游车辆的到达率q=369（辆/h），服从泊松分布，求使 到达车辆不致两次排队的周期能占的最大百分率。 解：由于车流只能在有效绿灯时间内通过，所以一个 周期能通过的最大车辆数：
m
查累积的泊松分布表可得到达车辆大 于11辆的周期出现的概率为：
p( 11) 0.29
不发生两次排队的周期最多占71%。
练习：某交叉口信号周期长为90s，某相位的有 效绿灯时间为45s，在有效绿灯时间内车辆以1200辆/h
的流量通过交叉口。假设信号交叉口上游车辆到达为
400辆/小时，服从泊松分布。求：
（1）一个周期内到达车辆不超过10辆的概率；
（2）求到达车辆不致两次排队的周期最大百分率。
2、二项分布
车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的车流
基本公式
P k C p 1 p
n k k
n k
k 0,1,2,
式中： Pk—在计数间隔t内到达k辆车的概率； n—每个计数间隔持续的时间，正整数；
因为S2<m，用二项分布拟合是合适的。 p=（7.469-3.999）/7.469=0.465
1 ( 32 3 42 0 ... 122 1 64 7.4692 ) 3.999 1 n 64 1 1 n 2 2 m i s i m
距分布来表述，这种分布属于连续型分布。
1、负指数分布
交通流到达服从泊松分布，则交通流到达的
车头时距服从负指数分布，概率分布密度函数为
dP t F t e dt
适用条件：车流密度不大，车辆随机到达，且 车流为连续，当流量小于500veh/h/车道时，用负指 数分布描述车头时距，通常是符合实际情况的。
P0 e 6 0.0025
6 p2 p1 0.0446 x m 2 m e
Fra Baidu bibliotek
不足4辆车的概率为： x! p( 4) pi 0.1512
i 0
Px
6 p1 p0 0.0149 1 6 p3 p2 0.0892 3 3 x 0,1, 2,
m xem x 0,1,2, Px 如果某周期到达的车辆数N大于11辆，则最后到达的Nx! 11辆车就不能在本周期内通过而发生两次排队。在泊松分布
公式中：
A gs 44 900 / 3600 11辆
m p0 e mt 369pk97 9.9 pk 1 k 1 3600
二、排队论的基本原理
基本概念
排队：单指等待服务的，不包括正在服务的； 排队系统：包括等待服务的，也包括正在被服 务的。
二、排队论的基本原理
输入过程 各种类型的顾客，按怎样的规律到来，主要 有定长输入、泊松输入、爱尔兰输入； 排队规则
到来的“顾客”按怎样的规定次序及受服务，
主要有3种制式损失制、等待制、混合制。
多路排队多通道服务
到达
λ μ
(M/M/1系统)计算公式
平均到达率为λ
在系统中没有顾客的概率为 在系统中有n个顾客的概率为 在系统中的平均顾客数为 平均排队长度为： 平均非零排队长度为：
交通强度 利用系数
平均服务率为μ
p0 1 pn n 1


系统中顾客的方差为： n 1
2、移位负指数分布
适用条件为：
用于描述不能超车的单列车流的车头时距分
布和车流量低的车流的车头时距分布
基本公式：
P(h t ) e
( t )
,
t
分布的均值和方差分别为：
M
1

,
D
1

2
用样本的m代替M，样本的s2代替D，则可 算出移位负指数分布的两个参数λ和τ：
律用的是离散型分布。
1、泊松分布
适用条件： 交通流量小，驾驶员随意选择车速， 车辆到达是随机的。
基本公式：
观测周期t内到达x车的概率服从泊松分布， 公式为：
t P x
k!
k
e
t
x 0,1,2,
式中：P(x)—在计数周期t内到达x辆车的概率 m=λt—在观测周期t内的平均到达车辆数， m又称为泊松分布的分布参数 λ—单位时间内的平均到达率，veh/s t—每个计数周期的持续时间，s e—自然对数底，取2.71828
挤而产生的等待行列（即排队的现象）。 排队论也称随机服务系统理论，是运 筹学的重要内容之一。主要研究“服务”
与“需求”关系的一种以概率论为基础的
数学理论。
1905年丹麦哥本哈根电话工程师爱尔朗首
先在电话自动交换机设计时应用了排队论； 二战后： 车辆延误 通行能力 信号灯配置
停车场、加油站设计与管理
使城市道路与公路的规划设计和营运管
理发挥最大的功效。
当前交通流理论的主要内容
交通流量、速度和密度的相互关系及
测量方法
交通流的统计分布特性 排队论的应用 跟车理论 交通流的流体力学模拟理论
4.2 交通流的统计分布特性
一、交通流统计分布的研究内容与意义
二、离散型分布
三、连续型分布
一、交通流统计分布的研究内容与意义
m 6
无车的概率为：
P( 0 ) 0.0025
小于5辆车的概率为：
不多于5辆车的概率为：
P( k 5 ) 0.2850 P( k 5 ) 0.4456
6辆及其以上的概率为： P( k 6 ) 1 P( k 5 ) 0.5544
至少为3辆但不多于6辆的概率为： P( 3k 6 ) 0.5442
包含ni的间隔 出现的次数
0
3
0 16 Pk C k8 010 11 10 535 n9 .465 k 0. 11 k
1
1
0
三、连续型分布
车头时距 位为s/veh。 车流到达的统计规律除了可用计数分布 来描述外车流到达的统计规律可以用车头时 在观测时间内，同向行驶的一 列车队中相邻两车车头之间的时间间隔，单
解：这里t 理解为车辆数的空间间隔，λ为车 辆平均分布率，m 为计数空间间隔内的平均 车辆数。 由λ=60/10 t=1 ，因此m =λt=6（辆） 这里m即为计数空间间隔内的平均车辆数。
P( 0 ) P( 2 ) P( 4 ) P( 6 ) m e e 0.0025 P(1) P( 0 ) 0.0149 1 m m P(1) 0.0446 P( 3 ) P( 2 ) 0.0892 2 3 m m P( 3 ) 0.1338 P( 5 ) P( 4 ) 0.1606 4 5 m P( 6 ) 0.1606 6
1 解： m N 3 3 4 0 ... 12 1 478 7.469 xi 3 0 ... 1 64 i 1
N
2
N 1 N 1 2 2 s ( xi m ) ( x i Nm 2 ) N 1 i 1 N 1 i 1
N i 1 m s2 p m
N 1 i 1
m2 n m s2
n n=m/P=7.469/0.465=16.08，取为16。 P k Ck pk 1 pn k
车辆到达数ni
<3 3 4 5 6 7 8 故，拟合的二项分布的分布函数为： 9
10 11 12 >12
服务机构 同一时刻有多少服务设施可以接纳顾
客，为每一顾客服务了多少时间，服务时
间为定长分布、负指数分布、爱尔兰分布。
排队系统的主要数量指标
等待时间
从顾客到达时起到他开始接受服务时止这段时间；
忙期
服务台连续繁忙的时期，这直接关系到服务台的
工作强度；
队长
有排队等待服务的顾客数与排队系统中顾客数之分。