2019-2020学年江苏省南京外国语学校八年级（上）期中数学试
卷
一.选择题（每题2分，共16分）
1．（2分）2019年4月28日，北京世界园艺博览会正式开幕．下面分别是北京、西安、锦州、沈阳四个城市举办世园会的标志，其中是轴对称图形的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2分）如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）
A．AC、BC两边高线的交点处
B．AC、BC两边垂直平分线的交点处
C．AC、BC两边中线的交点处
D．∠A、∠B两内角平分线的交点处
3．（2分）如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为（）
A．30°B．35°C．40°D．50°
4．（2分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，若AD＝3，BE＝1，则DE ＝（）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2分）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＝4，DE＝9，则线段CE的长为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2分）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是
（）
A．
B．
C．
D．
7．（2分）如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C 也在格点上，且△ABC为等腰三角形，满足条件的点C有（）
A．6个B．7个C．8个D．9个
8．（2分）如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝7，且AC+BC＝8，则AB的长为（）
A．6 B．2C．5D．
二.填空题（每题2分，共20分）
9．（2分）如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是．
10．（2分）在△ABC和△DEF中，给出下列四组条件：
①∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；
②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；
③AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；
④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E；
其中，不能使△ABC≌△DEF的条件是．（填写序号）
11．（2分）已知等腰三角形的周长是12，一边长是5，则它的另外两边的长为．12．（2分）如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△
＝21，则DE＝．
ABC
13．（2分）如图，五边形ABCDE中有一等边三角形ACD．若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝115°，则∠BAE的度数是°．
14．（2分）如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，CE平分∠ACB，交BD于点E．下列结论：①BD是∠ABC的角平分线；②△BCD 是等腰三角形；③BE＝CD；④△AMD≌△BCD；⑤图中的等腰三角形有5个．其中正确的结论是．（填序号）
15．（2分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿BE折叠为△BFE，点F 落在边AD上，若AB＝8，BC＝10，则CE＝．
16．（2分）如图，△ABC中，DE⊥AB，垂足为点E．DF⊥AC，垂足为点F，AD平分∠BAC，则下列结论中正确的有个．
①DE＝DF；②AD⊥BC；③AE＝AF；④∠EDA＝∠FDA；⑤∠B＝∠C；⑥BD＝CD．
17．（2分）观察下列各式：32+42＝52；82+62＝102；152+82＝172；242+102＝262；…；你有没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子：．
18．（2分）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别为边BC、AC上的点，且CD＝AE，点F是BE和AD的交点，BG⊥AD，垂足为点G，已知∠BEC＝75°，FG＝1，则AB2＝．
三.解答题（共8小题，满分64分）
19．（6分）如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．
（1）利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l；
（2）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小；
（3）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝．
20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC同侧，连接AE．求证：
（1）△AEC≌BDC；
（2）AE∥BC．
21．（10分）如图，AD＝8，CD＝6，∠ADC＝90°，AB＝26，BC＝24，求该图形的面积．
22．（9分）写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程．
命题：如果一个三角形的两条边相等，那么两条边所对的角也相等（简称：“等边对等角”．）已知：．
求证：．
证明：
23．（8分）如图，在△ABC中，AE⊥BC，垂足为点E，点D为BC边中点，AF⊥AB交BC 边于点F，∠C＝2∠B，若DE＝4，CF＝2，求CE的长．
24．（10分）如图，在△AOB与△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，AO＝BO，CO＝DO，连结CA，BD．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）连接BC，若OC＝1，AC＝，BC＝3
①判断△CDB的形状．
②求∠ACO的度数．
25．（8分）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连结CD．作∠CDE＝30°，DE交AC于点E．
（1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是三角形；
（2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED 的度数；若不可以，请说明理由．
26．（5分）如图，在边长为3的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另两个顶点在正方形ABCD边上的等腰三角形，要求此三角形其中一条边长为2．请画出所有大小不同的等腰三角形．（画出示意图，并在长为2的边上标注数字2）
2019-2020学年江苏省南京外国语学校八年级（上）期中数学试
卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每题2分，共16分）
1．（2分）2019年4月28日，北京世界园艺博览会正式开幕．下面分别是北京、西安、锦州、沈阳四个城市举办世园会的标志，其中是轴对称图形的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：第一个图形、第三个图形、第四个图形都不是轴对称图形，
第二个图形是轴对称图形，
故选：A．
2．（2分）如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）
A．AC、BC两边高线的交点处
B．AC、BC两边垂直平分线的交点处
C．AC、BC两边中线的交点处
D．∠A、∠B两内角平分线的交点处
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．
【解答】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC 和BC的垂直平分线上，
故选：B．
3．（2分）如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为（）
A．30°B．35°C．40°D．50°
【分析】根据全等三角形的性质和角的和差即可得到结论．
【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠A′CB′＝∠ACB＝70°，
∵∠ACB′＝100°，
∴∠BCB′＝∠ACB′﹣∠ACB＝30°，
∴∠BCA′＝∠A′CB′﹣∠BCB′＝40°，
故选：C．
4．（2分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，若AD＝3，BE＝1，则DE ＝（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据余角的性质，可得∠DCA与∠CBE的关系，根据AAS可得△ACD与△△CBE的关系，根据全等三角形的性质，可得AD与CE的关系，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°．
∵∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠CAD＝90°，
∠DCA＝∠CBE，
在△ACD和△CBE中，，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CE＝AD＝3，CD＝BE＝1，
DE＝CE﹣CD＝3﹣1＝2，
故选：B．
5．（2分）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＝4，DE＝9，则线段CE的长为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．求证∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，再利用两直线平行内错角相等，求证出∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，即BD＝DF，FE＝CE，然后利用等量代换即可求出线段CE的长．
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，
∵DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，
∴BD＝DF＝4，FE＝CE，
∴CE＝DE﹣DF＝9﹣4＝5．
故选：C．
6．（2分）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是
（）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用线段垂直平分线的性质以及圆的性质分别分得出即可．
【解答】解：A、如图所示：此时BA＝BP，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项错误；
B、如图所示：此时PA＝PC，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项
错误；
C、如图所示：此时CA＝CP，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项
错误；
D、如图所示：此时BP＝AP，故能得出PA+PC＝BC，故此选项正确；
故选：D．
7．（2分）如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C 也在格点上，且△ABC为等腰三角形，满足条件的点C有（）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【分析】根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边．
【解答】解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；
②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．
所以符合条件的点C共有9个．
故选：D．
8．（2分）如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝7，且AC+BC＝8，则AB的长为（）
A．6 B．2C．5D．
【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∵S1+S2＝7，
∴×π×（）2+×π×（）2+×AC×BC﹣×π×（）2＝7，
∴AC×BC＝14，
AB＝＝＝6，
故选：A．
二.填空题（每题2分，共20分）
9．（2分）如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是HL．
【分析】利用判定方法“HL”证明Rt△OMP和Rt△ONP全等，进而得出答案．
【解答】解：在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP＝∠NOP，
∴OP是∠AOB的平分线．
故答案为：HL
10．（2分）在△ABC和△DEF中，给出下列四组条件：
①∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；
②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；
③AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；
④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E；
其中，不能使△ABC≌△DEF的条件是④．（填写序号）
【分析】根据全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL结合选项进行判定．【解答】解：①∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F，可根据ASA判定△ABC≌△DEF；
②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，可根据SAS判定△ABC≌△DEF；
③AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，可根据SSS判定△ABC≌△DEF；
④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E，不能判定△ABC≌△DEF；
故答案为：④．
11．（2分）已知等腰三角形的周长是12，一边长是5，则它的另外两边的长为 3.5、3.5或
5、2 ．
【分析】已知给出的等腰三角形的一边长为5，但没有明确指明是底边还是腰，因此要分两种情况，分类讨论解答．
【解答】解：∵等腰三角形的一边长为5，周长为12，
∴当5为底时，其它两边都为3.5、3.5，5、3.5、3.5可以构成三角形；
当5为腰时，其它两边为5和2，5、5、2可以构成三角形．
∴另两边是3.5、3.5或5、2．
故答案为：3.5、3.5或5、2．
12．（2分）如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△
＝21，则DE＝ 3 ．
ABC
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝DF，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵AB＝6，BC＝8，
∴S△ABC＝AB?DE+BC?DF＝×6DE+×8DE＝21，
即3DE+4DE＝21，
解得DE＝3．
故答案为：3．
13．（2分）如图，五边形ABCDE中有一等边三角形ACD．若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝115°，则∠BAE的度数是125 °．
【分析】根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△DEA全等，进而得出∠B＝∠E，利用多边形的内角和解答即可．
【解答】解：∵正三角形ACD，
∴AC＝AD，∠ACD＝∠ADC＝∠CAD＝60°，
在△ABC与△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（SSS），
∴∠B＝∠E＝115°，∠ACB＝∠EAD，∠BAC＝∠ADE，
∴∠ACB+∠BAC＝∠BAC+∠DAE＝180°﹣115°＝65°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠DAE+∠CAD＝65°+60°＝125°．
故答案为：125．
14．（2分）如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，CE平分∠ACB，交BD于点E．下列结论：①BD是∠ABC的角平分线；②△BCD 是等腰三角形；③BE＝CD；④△AMD≌△BCD；⑤图中的等腰三角形有5个．其中正确的结论是①②③⑤．（填序号）
【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝∠ACB＝72°，再根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则∠DBA＝∠A＝36°，从而可对①进行判断；
通过计算出∠BDC＝∠BCD＝72°可对②进行判断；通过计算出∠EBC＝∠BCE＝36°可对③进行判断；利用△AMD为直角三角形，而△BCD为锐角三角形可对④进行判断；
然后利用等腰三角形的判定定理写出图中所有等腰三角形，从而可对⑤进行判断．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，
∵MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝36°，
∴∠DBA＝∠DBC＝36°，所以①正确；
∵∠BDC＝∠A+∠DBA＝36°+36°＝72°，
∴∠BDC＝∠BCD，
∴△BCD为等腰三角形，所以②正确；
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACB＝36°，
∴∠EBC＝∠BCE，
∴EB＝EC，所以③正确；
∵△AMD为直角三角形，而△BCD为锐角三角形，
∴△AMD与△BCD不全等，所以④错误；
图中的等腰三角形有△ABC，△BCD，△DAB，△CED，△BCE，所以⑤正确．
故答案为①②③⑤．
15．（2分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿BE折叠为△BFE，点F 落在边AD上，若AB＝8，BC＝10，则CE＝ 5 ．
【分析】由矩形的性质可得AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠A＝∠D＝90°，由折叠的性质可求BF＝BC＝10，EF＝CE，由勾股定理可求AF的长，CE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠A＝∠D＝90°，
∵将△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴BF＝BC＝10，EF＝CE，
在Rt△ABF中，AF＝＝6
∴DF＝AD﹣AF＝4
在Rt△DEF中，DF2+DE2＝EF2＝CE2，
∴16+（8﹣CE）2＝CE2，
∴CE＝5
故答案为：5
16．（2分）如图，△ABC中，DE⊥AB，垂足为点E．DF⊥AC，垂足为点F，AD平分∠BAC，则下列结论中正确的有①③④个．
①DE＝DF；②AD⊥BC；③AE＝AF；④∠EDA＝∠FDA；⑤∠B＝∠C；⑥BD＝CD．
【分析】根据角平分线的定理可知①正确，证得Rt△AED≌Rt△AFD，可得③④正确；
利用反证法来证，证得②⑤⑥不正确．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，故①正确；
在Rt△AED和△RtAFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴∠ADE＝∠ADF，AE＝AF，故③④正确；
要想证得②⑤⑥那就要求△ABC为等腰三角形，但是已知条件没有，从已知条件中也不能证得．
∴只有①③④是正确的．
故答案为①③④．
17．（2分）观察下列各式：32+42＝52；82+62＝102；152+82＝172；242+102＝262；…；你有没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子：352+122＝372．
【分析】观察等式的规律，可分别观察等式的左边：第一个的底数分别为：3＝22﹣1，8＝32﹣1，15＝42﹣1，24＝52﹣1，第n个式子为（n+1）2﹣1，第二个的底数是4，6，8…
连续的偶数．右边的底数是比左边的第一个数大2，根据规律即可写出下一个式子规律为：[（n+1）2﹣1]2+[2（n+1）]2＝[（n+1）2+1]2．
【解答】解：根据规律，下一个式子是：352+122＝372．
18．（2分）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别为边BC、AC上的点，且CD＝AE，点F是BE和AD的交点，BG⊥AD，垂足为点G，已知∠BEC＝75°，FG＝1，则AB2＝ 6 ．
【分析】结合等边三角形得性质易证△ABE≌△CAD，可得∠FBG＝30°，BF＝2FG＝2，再求解∠ABE＝15°，进而两次利用勾股定理可求解．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAE＝∠C＝60°，AB＝AC，
CD＝AE＝CD，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠BFD＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAF＝∠BAC＝60°，
∵BG⊥AD，
∴∠BGF＝90°，
∴∠FBG＝30°，
∵FG＝1，
∴BF＝2FG＝2，
∵∠BEC＝75°，∠BAE＝60°，
∴∠ABE＝∠BEC﹣∠BAE＝15°，
∴∠ABG＝45°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB＝90°，
∴，
．
故答案为6．
三.解答题（共8小题，满分64分）
19．（6分）如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．
（1）利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l；
（2）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小；
（3）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝ 3 ．
【分析】（1）利用网格特点，作AD的垂直平分线即可；
（2）连接CD，与直线l的交点即为所求；
（3）利用割补法求解可得．
【解答】解：（1）如图所示，直线l即为所求．
（2）如图所示，点P即为所求；
（3）△ABC的面积＝2×4﹣×1×2﹣×1×4﹣×2×2＝3，
故答案为：3．
20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC同侧，连接AE．求证：
（1）△AEC≌BDC；
（2）AE∥BC．
【分析】（1）根据等边三角形性质推出BC＝AC，CD＝CE，∠BCA＝∠ECD＝60°，求出∠BCD＝∠ACE，根据SAS证△AEC≌△BDC；
（2）根据△AEC≌△BDC推出∠EAC＝∠DBC＝∠ACB，根据平行线的判定推出即可．【解答】解：（1）∵△ABC和△DEC是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠BCA＝∠ECD＝60°，∠B＝60°，
∴∠BCA﹣∠DCA＝∠ECD﹣∠DCA，
即∠BCD＝∠ACE，
在△AEC和△BDC中，
，
∴△AEC≌△BDC（SAS）．
（2）∵△AEC≌△BDC，
∴∠EAC＝∠B，
∵∠B＝60°，
∴∠EAC＝∠B＝60°＝∠ACB，
∴AE∥BC．
21．（10分）如图，AD＝8，CD＝6，∠ADC＝90°，AB＝26，BC＝24，求该图形的面积．
【分析】连接AC，在Rt△ACD中，AD＝8，CD＝6，根据勾股定理可求AC；在△ABC 中，由勾股定理的逆定理可证△ABC为直角三角形，利用两个直角三角形的面积差求图形的面积．
【解答】解：连接AC，在Rt△ACD中，AD＝8，CD＝6，
∴AC＝＝10，
在△ABC中，
∵AC2+BC2＝102+242＝262＝AB2，
∴△ABC为直角三角形；
∴图形面积为：
S△ABC﹣S△ACD＝×10×24﹣×6×8＝96．
22．（9分）写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程．
命题：如果一个三角形的两条边相等，那么两条边所对的角也相等（简称：“等边对等角”．）已知：在△ABC中，AB＝AC．
求证：∠B＝∠C．
证明：
【分析】根据图示，分析原命题，找出其条件与结论，然后根据AB＝AC，结合全等三角形的性质，从而得出结论．
【解答】解：已知：在△ABC中，AB＝AC，
求证：∠B＝∠C，
证明：过点A作AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∵
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
∴∠B＝∠C．
23．（8分）如图，在△ABC中，AE⊥BC，垂足为点E，点D为BC边中点，AF⊥AB交BC 边于点F，∠C＝2∠B，若DE＝4，CF＝2，求CE的长．
【分析】取BF的中点G，连接AG，则BG＝FG，由直角三角形斜边上的中线性质得出AG＝BF＝BG＝FG，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠AGC＝∠C，得出AG＝AC，得出GE＝CE，BD＝CD，设EF＝x，则GE＝CE＝EF+CF＝x+2，BD＝CD＝DE+EF+CF＝x+6，DG＝GE﹣DE＝x﹣2，得出BG＝FG＝GE+EF＝2x+2，由BD ＝CD得出方程，解方程得出EF＝3，即可得出结果．
【解答】解：取BF的中点G，连接AG，如图所示：
则BG＝FG，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∴AG＝BF＝BG＝FG，
∴∠B＝∠GAB，
∵∠AGC＝∠B+∠GAB＝2∠B，∠C＝2∠B，
∴∠AGC＝∠C，
∴AG＝AC，
∵AE⊥BC，
∴GE＝CE，
∵点D为BC边中点，
∴BD＝CD，
设EF＝x，则GE＝CE＝EF+CF＝x+2，BD＝CD＝DE+EF+CF＝x+6，DG＝GE﹣DE＝x﹣2，
∴BG＝FG＝GE+EF＝2x+2，
∵BD＝CD，
∴2x+2+x﹣2＝x+6，
解得：x＝3，
∴EF＝3，
∴CE＝EF+CF＝5．
24．（10分）如图，在△AOB与△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，AO＝BO，CO＝DO，连结CA，BD．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）连接BC，若OC＝1，AC＝，BC＝3
①判断△CDB的形状．
②求∠ACO的度数．
【分析】（1）由题意可得∠AOC＝∠BOD，且AO＝BO，CO＝DO，即可证△AOC≌△BOD；
（2）①由全等三角形的性质和勾股定理的逆定理可得∠BDC＝90°，即可得△CDB是直角三角形；
②由全等三角形的性质可求∠ACO的度数．
【解答】证明：（1）∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，且AO＝BO，CO＝DO，
∴△AOC≌△BOD（SAS）
（2）①如图，
∵△AOC≌△BOD
∴∠ACO＝∠BDO，AC＝BD＝
∵CO＝DO＝1，∠COD＝90°
∴CD＝＝，∠ODC＝∠OCD＝45°
∵CD2+BD2＝9＝BC2，
∴∠CDB＝90°
∴△BCD是直角三角形
②∵∠BDO＝∠ODC+∠CDB
∴∠BDO＝135°
∴∠ACO＝∠BDO＝135°
25．（8分）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连结CD．作∠CDE＝30°，DE交AC于点E．
（1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是直角三角形；
（2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED 的度数；若不可以，请说明理由．
【分析】（1）由DE∥BC得到∠BCD＝∠CDE＝30°，再由∠ACB＝120°，得到∠ACD ＝120°﹣30°＝90°，则△ACD是直角三角形．
（2）分类讨论：当∠CDE＝∠ECD时，EC＝DE；当∠ECD＝∠CED时，CD＝DE；
当∠CED＝∠CDE时，EC＝CD；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算．
【解答】解：（1）∵△ABC中，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝＝＝30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝30°，
又∵∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝30°+30°＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴△ACD是直角三角形；
（2）△ECD可以是等腰三角形．理由如下：
①当∠CDE＝∠ECD时，EC＝DE，
∴∠ECD＝∠CDE＝30°，
∵∠AED＝∠ECD+∠CDE，
∴∠AED＝60°，
②当∠ECD＝∠CED时，CD＝DE，
∵∠ECD+∠CED+∠CDE＝180°，
∴∠CED＝＝＝75°，
∴∠AED＝180°﹣∠CED＝105°，
③当∠CED＝∠CDE时，EC＝CD，
∠ACD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵∠ACB＝120°，
∴此时，点D与点B重合，不合题意．
综上，△ECD可以是等腰三角形，此时∠AED的度数为60°或105