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双曲线及其标准方程PPT优秀课件

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双曲线及其标准方程ppt课件

双曲线及其标准方程ppt课件

x2
y2
变式．给出曲线方程
＋
＝1.
4＋k 1－k
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围.
y2 x2
例 5．已知双曲线 C 的方程是 － ＝1，其上下焦点分别是 F2，
16 20
F1，点 M 在双曲线 C 上，且|MF1|＝9，则|MF2|＝________.
归纳总结
y
图形
y
P
P
x
O
F1
F1 O F2
方程
焦点
a,b,c之间的关系
F2
x
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
c2=a2+b2
a，b大小不定
椭圆与双曲线的区别
O
焦点在对应轴上
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
① 方程用“－”号连接；
y
F2
F1
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
② c2=a2+b2 ；
③分母是a2, b2, 且a>0, b>0，但a, b大小不定；
④ 如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.
x
F1 O
F2

结论：已知F1，F2分别是双曲线C：

双曲线及其标准方程精选教学PPT课件

双曲线及其标准方程精选教学PPT课件
王小宝感到了极度的不安全感，想象 着本来 可以挥 舞一直 胳膊般 粗的齐 头长棍 挥舞来 着，可 是这里 竟然有 一种诡 异的禁 制，手 脚没有 一点力 量，或 者说脑 海里有 一种感 觉让你 连抬起 拳头的 欲望都 没有。
全身有一种奇幻的陷落的感觉，有一 种本源 之力难 熬的从 身体的 细微末 节凝聚 ，虽然 力量精 微，依 然可以 触碰到 其流动 的轨迹 。
焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，求△ PF1F2的面积．
解：由已知得 2a＝2，又由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2，
∵|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.
又|F1F2|＝2c＝2 13， 由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝62＋2×462×－452＝0，
设双曲线的标准方程为
ay22－xb22＝1(a>0，b>0)， a2＋b2＝9，
所以1a62 －1b52 ＝1， a2＝4， b2＝5. 所以所求的双曲线的标准方程为y42－x52＝1.
[例2] 已知曲线C：xt22＋t2－y2 1＝1(t≠0，t＝±1)． (1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线； (2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点． [思路点拨] 方程Ax2＋By2＝1表示的轨迹是由参 数A、B的值及符号确定，因此要确定轨迹，需对A、B 进行讨论．
法二：设所求双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)． 将点M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得
m＋n＝1， 4m＋25n＝1，
解得mn＝＝－87，17.
所以所求双曲线的标准方程为x72－y72＝1. 8
[一点通] 求双曲线标准方程的常用方法： (1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹 满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程． (2)用待定系数法，具体步骤如下：

3-2-1双曲线及其标准方程 课件(共67张PPT)

3-2-1双曲线及其标准方程 课件(共67张PPT)
【解析】 距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若 F1，F2 表示双曲线的左、右焦点，且点 P 满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点 P 在右支上；若点 P 满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点 P 在左支上．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．

2.3.1 双曲线及其标准方程 课件(共23张ppt)

2.3.1 双曲线及其标准方程 课件(共23张ppt)

o
x
因 为 PA PB 340 2 680 0,所 以 x 0.
因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为
x2 y2 1( x 0). 115 600 44 400
【举一反三】 1.若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点 的轨迹是什么? 解: 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.
X
离的和等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.
问题2：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距
离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？
即“平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于非零常
数的点的轨迹 ”是什么？
看图分析动点M满足的条件： ①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F| =2a. ②如图(B)，
解:
如图所示，建立直角坐标系xOy,使A，B两点在x
轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合.
设爆炸点P的坐标为(x,y)，则
PA PB 340 2 680，
y
A
P B
即 2a=680，a=340. 又 AB 800，
所以 2c=800,c=400,
b2 c 2 a 2 44 400，
3.列式 由定义可知，双曲线就是集合： P= {M
|||MF1
| - | MF2|| = 2a },
即
( x c )2 y 2 ( x c )2 y 2 2a .
2
4.化简 代数式化简得：(c 2 a 2) x 2 a 2 y a 2(c 2 a 2)，
两 边 同 除 以 a 2 ( c 2 a 2 ), 得
x2 y2 2 1. 2 2 a c a

双曲线及其标准方程完整版课件

双曲线及其标准方程完整版课件
2
2
则双曲线的标准方程为20 − 16 =1.
(2)设双曲线方程为 mx2-ny2=1,
1
= 25 ,
49-72 = 1,
则有
解得
1
28-9 = 1,
= ,
75
2
2
则双曲线的标准方程为25 − 75 =1.
归纳总结
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可
以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b
联立两方程解得 x=8(舍负),y=5 3,
所以 P(8,5 3),
kPA=tan∠PAx= 3,所以∠PAx=60°,
所以 P 点在 A 点的北偏东 30°方向.
当堂达标
1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时
,P点的轨迹为(
)
A.双曲线和一条直线
情景导学
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声
音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双
曲线的有关问题。
问题导学
新知探究
如图，在直线
l 上取两个定点
在平面内，取定点
F1 , F 2，以点 F1 为圆心、线段
在以 F 2 为圆心、线段
我们知道，当点
2
2
解析:∵方程1+ + -2=1,∴(m-2)(m+1)<0,
解得-1<m<2,∴m的取值范围是(-1,2).
答案:D
)
4. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知
1
tan∠PEF=

双曲线及其标准方程课件

双曲线及其标准方程课件

音乐艺术
双曲线在音乐艺术中用于 创作优美的音乐旋律和和 声，特别是在处理音高和 音程时。
交通工程
双曲线在交通工程中用于 设计道路和轨道，特别是 在处理弯道和交叉口时。
04
双曲线的图像绘制
使用数学软件绘制双曲线
使用Ge双曲 线。用户只需在软件中输入双曲线的标准方程，即可自动生 成对应的双曲线图像。
05
双曲线的性质与方程 的关联
双曲线的性质与标准方程的关系
焦点距离
双曲线的标准方程中的系数与焦 点距离有关，决定了双曲线的开
口大小和方向。
渐近线
双曲线的标准方程中的系数决定了 渐近线的斜率和截距，反映了双曲 线的形状和位置。
离心率
双曲线的标准方程中的系数与离心 率有关，离心率决定了双曲线的开 口程度和形状。
推导结果
01
双曲线的标准方程为
$frac{x^2}{a^2}
-
frac{y^2}{b^2} = 1$。
02
其中$a > 0, b > 0$，且满足 $c^2 = a^2 + b^2$。
推导结论
双曲线是一种特殊的二次曲线，其标 准方程反映了双曲线的几何特性。
双曲线的焦点到曲线上任意一点的距 离之差为常数，这个常数等于两焦点 之间的距离的一半。
绘制双曲线
在工具箱中选择“双曲线”工具，然 后在绘图区域单击并拖动鼠标，即可 绘制出双曲线。用户可以根据需要调 整双曲线的参数和位置。
使用手工绘制双曲线
准备工具
准备一张纸、一支笔和一把直尺。
绘制过程
首先在纸上确定双曲线的中心和焦点，然后使用直尺和笔绘制出双曲线的渐近线。接着，使用笔和直尺在纸上绘 制出双曲线的上半部分。最后，使用对称性画出双曲线的下半部分。这种方法虽然比较传统，但对于理解双曲线 的几何意义非常有帮助。

双曲线及其标准方程ppt课件

双曲线及其标准方程ppt课件

C.(0,-5),(0,5)
D.(0,- 7),(0, 7)
双曲线的定义
2
1.设 F1,F2 分别是双曲线 x2-24=1 的左、右焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|, 则△PF1F2 的面积等于 ( )
A.4 2
B.8 3
C.24
D.48
2.已知动点 P(x,y)满足 ( + 2)2 + 2- ( -2)2 + 2=2,则动点 P 的轨迹是 ( )
这两个定点叫做双曲线的焦点. 两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
y
M
F1 o F2 x
如何理解绝对值？若去掉绝对值则图像有何变化？
03 双曲线的标准方程
1. 建系：如图建立直角坐标系xOy，使x轴经 过点F1，F2，并且点O与线段F1F2中点重合.
y M
F1 O F2
x
2.设点:设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a
利用定义求轨迹方程
P P127 习题3.2 第5题
如图,圆O的半径为定长 ,A是圆O外一定点,P是圆上任
意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当
O
点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
A Q
P115 习题3.1 第6题 如图,圆O的半径为定长 ,A是圆O内一定点,P是圆上 任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点 Q,当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
A.椭圆 C.双曲线的左支
B.双曲线 D.双曲线的右支
双曲线的定义
22
【变式练习】
已知
P
是双曲线

双曲线及其标准方程课件

双曲线及其标准方程课件
双曲线及其标准方程ppt 课件
欢迎来到本次ppt课件，将带您深入了解双曲线及其标准方程。让我们一起探 索这个有趣而美丽的数学概念！
什么是双曲线？
双曲线是数学中的一种曲线，它的形状类似于一个张开的双金属圆弧。它具有很多独特的特性和 性质。
图形特征
形状
双曲线的主轴长度大于副轴 长度，呈现出独特的开口形 状。
双曲线的图像与性质
焦点与准线
双曲线有两个焦点和两条 准线，这些元素决定了曲 线的位置和形状。
双曲线的离心率
离心率是衡量曲线弯曲程 度的指标，对于双曲线而 言，离心率大于1。
双曲线的对称性
双曲线具有对称性，关于 焦点、顶点、中心和原点 都存在对称性。
双曲线的应用
天文学
双曲线在行星轨道和彗星轨道的描述中发挥着重要作用。
渐近线
双曲线具有两条渐近线，可 以帮助我们更好地理解其形 状和趋势。
顶点
双曲线有两个顶点，它们是 曲线的最近点和最远点。
双曲线的标准方程
1 横轴标准方程
x²/a² - y²/b² = 1
2 纵轴标准方程
y²/a² - x²/b² = 1
3 参数方程
x = a*cos(θ), y = b*sin(θ)
通信技术
双曲线广泛应用于卫星通信和雷达系统中。
工程建模
双曲线在工程建模、电子设计和信号处理等领Leabharlann 具有广泛的应用价值。练习题
1
问题1
找到双曲线的焦点和准线。
问题2
2
计算给定双曲线的离心率。
3
问题3
应用双曲线方程解决实际问题。
结论和要点
1 双曲线是一种独特的数学曲线。
它具有特殊的形状、标准方程和性质。

人教版选修2-1【数学】1双曲线定义与标准方程 (共33张PPT)教育课件

人教版选修2-1【数学】1双曲线定义与标准方程 (共33张PPT)教育课件

人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过高Biblioteka 的奢望，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
■
电
(x c)2y2(x c)2y2 2 a
2
2
(x c )2 y 2 2 a (x c )2 y 2

双曲线及其标准方程ppt课件

双曲线及其标准方程ppt课件

F1 O F2
3.限式 |MF1| - |MF2|=±2a
4.代换 即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
5.化简
6
代数式化简得：
y
M (c2 a2) x2 a2 y2 a2 (c2 a2)
F1 O F2
可令：c2-a2=b2
x
代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
不存在
(4)已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差 的绝对值为0,则M点的轨迹是什么?
线段AB的垂5直平分线
（三）合作探究，构建方程
双曲线标准方程推导
1.建系
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中 y 点为原点建立直角坐标系
M
2.设点
x
设M（x , y）,则F1(-c,0),F. 2(c,0)
15
16
2
（二）注重细节，理解概念
双曲线定义：
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对 值等于非零常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹
叫做双曲线.
M
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
F1 o F2
3
（二）注重细节，理解概念
思考：为什么要求 0<2a<2c? 演示
当2a=2c时，动点的轨迹是什么? 以点F1、F2为端点，方向指向F1F2外侧的两条射 线． 当2a>2c时，动点的轨迹是什么? 不存在 当2a=0时，动点的轨迹是什么? 线段F1F2的垂直平分线
x2 b2
（1 a
0, b
0)
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上呢？
(二次项系数为正,焦点在相应的轴8上)

双曲线及其标准方程ppt

双曲线及其标准方程ppt
2
双曲线与椭圆之间的区别与联系： 椭 定义 圆 双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
2 x2 - y = 1 2 2 a b y2 x2 = 1 2 2 a b
|MF1|+|MF2|=2a
2 x2 + y = 1 2 2 a b
方程
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
y2 x2 + 2 =1 2 a b 焦点
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
M
注意
（1）2a<2c ；
（2）2a >0 ；
F1
o
F2
方程的推导
求曲线方程的步骤：yBiblioteka M1. 建系设点.
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
F1
O
F2
x
2. 写出适合条件的点M的集合； 3. 用坐标表示条件，列出方程； 4. 化简.
得1 m 2
变式一:
x2 y2 1 表示双曲线时，则m的取值 方程 2m m1
m 1 或 m 2 范围_________________.
变式一:
x2 y2 1 表示双曲线时，则m的取值 方程 2m m1
m 1 或 m 2 范围_________________.
双曲线的标准方程
y
M
y
M F2 x
F1
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
O
F2
x
O
F1
x y 2 1 2 a b
2
2
y x 1 2 2 a b
2
2
(a 0，b 0)

选择必修 第三章 3.2.1 双曲线及其标准方程 课件(共23张PPT)

选择必修 第三章 3.2.1 双曲线及其标准方程 课件(共23张PPT)
0)，焦点F1，F2的坐标分别为(-c , 0) ，(c , 0).
又设||MF1|-|MF2||= 2a( a为大于0的常数, a<c)．
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<a<|F1F2|}.
y
M
F1
O
F2 x
知新探究
y
设 M(x, y) 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 2c（ c >
拓展2：根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某
条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最关心的是
炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢?
利用两个不同的观测点A, B测得同一点P发出信号的时间差, 可以确定点P所在
双曲线方程. 如果再增设一个观测点C，利用B、C(或A、C)两处测得的爆炸声的时
因为|PA|－|PB|=340×2=680＞0，
所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此x＞340.
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为
2
115600
2
−
=1(x＞340).
44400
P
A o
B x
知新探究
拓展1：若在A，B两地同时听到炮弹爆炸声，则炮弹爆炸点的轨迹是什么?
提示: 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.
思考：
1.与两定点的距离的差的绝对值等于常数(当2a=|F1F2|时)的轨迹是什么？
在直线F1F2上且 以F1、F2为端点向外的两条射线.
2.与两定点的距离的差的绝对值等于常数(当2a>|F1F2| )时的轨迹是什么？
不存在
3.当||MF1|-|MF2||=2a=0时的轨迹是什么？

双曲线及其标准方程ppt课件

双曲线及其标准方程ppt课件

课后提升
1.必做题：P127页课本习题3.2第1，2，5题
2. 思考题（选做）:定位问题
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告，正西、
正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其
它两个观测点晚4秒。已知各观测点到该中心的距离都是1020m，试
确定该巨响发生的位置。
（假定声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面内。）


−
= 令 = −



−
你能在y轴上找一点B，使得|OB|=b吗？
1
验证
设点
2
坐标法
4
化简
列式
3
绝对值
教学过程分析
3
通过图象，生成定义
绘制图象，合作探究
2
1
类比启发，方程推导
重
点
4
5
类比推理，举一反三
列表对比，加深理解
教学过程分析
方程推导
在学生脑海里留下更加深刻的印象。
通过学生的自主学习、小组合作、师生互
动，让学生学会交流、表达、质疑、反思。
04
01
02
03
谢
大
谢
家
5.及时练习，巩固所学
6.回顾小结，思维提升
7.课后延伸，探究发现
教学过程分析
复习回顾，课题导入
复习回顾：
椭圆及其标准方程
创设情境
导入课题：双曲线及其标准方程
教学过程分析
3
通过图象，生成定义
绘制图象，合作探究
2
1
类比启发，方程推导
4
类比推理，举一反三
5
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几何画板探究
3
双曲线及其标准方程(一)
1.双曲线的定义:平面内与两个定点 F1, F2 的距 离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2 )的点的轨 迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点.
两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
2.怎样建立双曲线的方程呢? 求曲线的方程一般步骤:
M
F1
F2
建系 设点 列式 化简 得方程

y2 b2
1
y2 a2

x2 b2
1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2a2b2谁正谁对应a 11
定义
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
图象
y
·· F1 o F2 x
y
· F2 ·o x
F1
方程
x2 a2
by22
1(ab0)
y2 x2 1(ab0)
方程 x2 y2 1 表示焦点在y轴双曲线时， 2m m1
则m的取值范围____m_______2__.
10
学习小结:
双曲线定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
双曲线图象
M
F1 o F2 x
M F2
x
F1
标准方程
焦点
a.b.c 的关系
x2 a2
(二次项系数为正,焦点在相应的轴上)
练习：写出以下双曲线的焦点坐标
x2 y2 1
16 9
F1(0,5),F2(0,5)
9
双曲线及其标准方程(一)
例1:如果方程 x2 y2 1 表示双曲
2m m1
线，求m的取值范围.
解: 由 (2m )(m1)0得 m2或 m1 ∴ m 的取值范围为 (, 2) (1, ) 思考：
方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点， 指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。
作业:课本 P66 习题 2.3 A1、A2⑴⑵
14
§2.2.1 双曲线及其标准方程
(第二课时)
M
F1
F2
15
§2.2.1 双曲线及其标准方程
(第二课时)
一、知识学习 一句话引入 本课小结
二、例题分析 例1
例2
三、课堂练习
a2 b2
焦点
F ( ±c,0)
F(0, ± c)
a.b.c的关 系
a2=b2+c2
12
双曲线及其标准方程(一)
练习巩固:
1.
过双曲线
x2 3
y2 4
1的焦点且垂直x轴的弦的长度
83
为3
.
2. y2-2x2=1的焦点为
(0,
6 2
)、焦距是
.6
3.方程(2+)x2+(1+)y2=1表示双曲线的充要条件
双曲线的标准方程
y
y
M
F1 O F2 x
O
x
方案一
方案二
x2 a2

y2 b2
1
y2 a2

x2 b2
1
(a0， b0)
8
双曲线及其标准方程(一)
y
x2 a2

y2 b2
1
F1 O
F ( ±c, 0)
M
F2 x
y
O
x
y2 a2

x2 b2
1
F(0, ± c)
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
双曲线及其标准方程(一)
一、知识学习 引入
双曲线定义及 标准方程推导
本课小结
二、例题分析 例1
三、课堂练习
作业:课本 P66 习题 2.3 A1、A2⑴⑵ 1
前面我们研究了
椭圆
定义： |M F 1| |M F 2| 2 a (2 aF 1 F 2)
图形：
x2 y2
x2 y2
标准方程： a2 b2 1(ab0) b2 a2 1(ab0)
PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6 ∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线,
作业:课本 P67 习题 2.3B 组第 2 题
16
§2.2.1 双曲线及其标准方程
(第二课时)
双曲线的定义
MF1 MF2 2a( F1F2 2c 2a 0)
图形
焦点坐标 标准方程
a、b、c 的关系
F1(c,0) 、F2(c,0) F1(0, c) 、F2(0,c)
x2 a2
性质：

从图形来看……
从方程来推……
2
§2.3.1 双曲线及其标准方程(一)
探求轨迹:
平面内到两个定点F1、F2的距离 的差的绝对值等于常数2a的动点的轨
迹是怎样的图形？
M
⑴当 0< 2a F1F2 时,轨迹是 F 1
F2
⑵当 2a F1F2 时,轨迹是 两条射线
⑶当 2a F1F2 时,轨迹是 不存在是源自-2<<-1.
13
练习巩固:
下列方程各表示什么曲线?
( 1 )( x 3 ) 2 y 2 ( x 3 ) 2 y 2 4
方程表示的曲线是双曲线
( 2 )( x 3 ) 2 y 2 ( x 3 ) 2 y 2 5
方程表示的曲线是双曲线的右支
( 3 )( x 3 ) 2 y 2 ( x 3 ) 2 y 2 6
1. 建系：如图建立直角坐标系
xOy，使x轴经过点F 1 ，F 2 ，
并且点O与线段F1F2中点重
合.
2.设点:设M（x , y）,双曲线的焦 距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a
y M
F1 O F2
x
6
双曲线及其标准方程(一)
3.列式: MF1 MF2 2a 即 (xc)2y2(xc)2y2 2a
4
如何建立适当的直角坐标系？
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案 yy y
M
y FO1 O O F 2 x xx
y
O
x
O 方案一x
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段
所在的直线作为坐标轴.) (对称、“简
洁”)
5
双曲线及其标准方程(一)
双曲线方程的推导

y2 b2
1
y2 a2

x2 b2
1
a2 b2 c2 (c a 0, c b 0)
上一节,我们学习了双曲线的定义及推导出了双曲 线的标准方程,这一节我们一起来体会这些知识的运17用.
例1
已 知 两 定 点 F1(5, 0) , F2(5, 0) , 动 点 P 满 足
4.化简.
2
2
(x c ) 2 y 2 2 a (x c ) 2 y 2
cxa2a(xc)2y2
(c 2 a 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 )
令b2 c2 a2
x2 y2 a2 b2 1(a0,b0)
7
双曲线及其标准方程(一)