苏教版数学高二- 选修2-2导学案 《常见函数的导数》

课题：常见函数的导数授课教师：仇卓然教材：高中数学 苏教版 选修学习目标1. 理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；2. 会利用导数的定义求出某些简单的初等函数；3. 会利用导数的几何意义求函数在某点的的切线方程。

教学重点：理解导数的定义，掌握熟记常见初等函数的导数教学难点: 利用导数的几何意义求函数在（过）某点处的切线教学方法：演示讲解法教学手段：多媒体 投影仪【问题情境】在前面我们解决的问题：1、求函数2)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。

x xx f x f x y ∆+=∆-∆+=∆∆4)()2(，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12-=t V ，求o t t =时的瞬时速度。

t t tt v t t v t V o o o ∆+=∆-∆+=∆∆2)()(，故斜率为4 ． 【教学过程】一、温故1平均变化率、瞬时变化率2、瞬时速度、瞬时加速度瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率。

二、知新1导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，，则称()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0'()f x 。

例 1、（1）求函数22+=x y 在=1处的导数【变式1】求函数22+=x y 在a x =处的导数【变式2】求函数在2,3处的导数。

【小结】求导数的步骤：①求函数的增量：=∆y ②求平均变化率：=∆∆xy ③取极限，得导数：=)(0'x f上述求导方法可简记为：一差、二化、三极限。

2常见函数的导数公式1：k b kx ='+)(公式2：为常数）（C C 0='公式3：1)(-='n n nx x公式4：x x cos )(sin ='公式5：x x sin )(cos -='公式6：a a a x x ln )(=')10(≠>a a 且公式7：x x e e =')(公式8：)10(ln 1)(log ≠>='a a a x x a 且 【思考】__________)30(sin ='【小结】注意])([)(00''x f x f 与的区别例2、求导（1）31x y = （2）35x y = （3）x y 4=（4）x y 3log =3导数的几何意义：函数=f 在=0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 4导函数：若()f x 对于区间(,)a b 内任一点可导，则()f x 在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因此也是自变量x 的函数，该函数称为()f x 的导函数，记作()f x '，在不引起混淆时，导函数()f x '也称为()f x 的导数。

常见函数的导数 NO.3学习目标：1掌握根据导数的概念，求函数导数的方法；2．牢记常见函数的导数公式，并能应用公式求基本初等函数的导数。

一、知识扫描：1. 导数： _______________________________________________________ ______________________________________________记作_____________2.导数)(0'x f 的几何意义:________________________________________ 3. 导函数：_______________________________________________________4. )(0'x f 与)('x f 的区别:_______________________________________5.求导公式:⑴________________________________⑵____________________________ ⑶________________________________⑷___________________________ ⑸________________________________⑹__________________________ (7)_______________________________(8)_________________________ (9)_______________________________(10)__________________________ (11)______________________________(12)__________________________ (13)______________________________(14)__________________________ 二、例题选讲：例1:已知2()5f x x x =+,⑴求()f x 在3x =处的导数；⑵求()f x 在x a =处的导数．例2:.已知()f x ='(),'(1).f x f例3、求下列函数在已知点处的导数： ⑴3;y x == ⑵10,;x y x a ==⑵ lg ,2;y x x == ⑷12log ,2;y x x ==⑸;y x a == ⑹2(sin cos )1,.224x x y x π=+-=例4.(1) 已知曲线方程2y x =，求过点(3,5)B 且与曲线相切的直线方程。

1.2.1 常见函数的导数学习目标 1.能根据定义求函数y ＝C ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数.2.掌握基本初等函数的导数公式.3.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.知识点一 几个常见函数的导数 1.(kx ＋b )′＝k (k ，b 为常数)； 2.C ′＝0(C 为常数)； 3.(x )′＝1； 4.(x 2)′＝2x ； 5.(x 3)′＝3x 2； 6.(1x )′＝－1x 2； 7.(x )′＝12x.知识点二 基本初等函数的导数公式 1.(x α)′＝αx α－1(α为常数)；2.(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)；3.(log a x )′＝1x log a e ＝1x ln a (a >0，且a ≠1)；4.(e x )′＝e x ；5.(ln x )′＝1x ；6.(sin x )′＝cos x ；7.(cos x )′＝－sin x .类型一 利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数.(1)y ＝cos π6；(2)y ＝1x 5；(3)y ＝x 2x ；(4)y ＝lg x ；(5)y ＝5x ；(6)y ＝cos(π2－x ).解 (1)y ′＝0. (2)∵y ＝1x5＝x －5，∴y ′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x 6.(3)∵y ＝x 2x＝32x ，∴y ′＝(32x )′＝1232x ＝32x .(4)y ′＝1x ln 10.(5)y ′＝5x ln 5.(6)∵y ＝cos(π2－x )＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .反思与感悟 若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导. 跟踪训练1 (1)下列结论： ①(sin x )′＝cos x ； ②(53x )′＝23x ； ③(log 3x )′＝13ln x； ④(ln x )′＝1x.其中正确结论的序号是________. 答案 ①④解析 ∵②(53x )′＝2353x ；③(log 3x )′＝1x ln 3，∴②③错误，①④正确.(2)求下列函数的导数. ①y ＝(1－x )(1＋1x)＋x ； ②y ＝2cos 2 x2－1.解 ①∵y ＝(1－x )(1＋1x )＋x ＝1－x x ＋x ＝1x， ∴y ′＝3212x --.②∵y ＝2cos 2 x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x . 类型二 求函数在某一点处的导数 例2 求函数f (x )＝16x5在x ＝1处的导数.解 ∵f (x )＝16x5＝56x-，∴f ′(x )＝(56x -)′＝11656x --，∴f ′(1)＝－56.反思与感悟 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解.跟踪训练2 函数f (x )＝x ，则f ′(3)＝________. 答案36解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.类型三 利用导数研究切线问题 命题角度1 已知切点解决切线问题例3 (1)已知P ，Q 为抛物线y ＝12x 2上两点，点P ，Q 横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的坐标为________.答案 (1，－4) 解析 y ′＝x ，k P A ＝y ′|x ＝4＝4，k QA ＝y ′|x ＝－2＝－2. ∵P (4,8)，Q (－2,2)，∴P A 的直线方程为y －8＝4(x －4)， 即y ＝4x －8.QA 的直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－4，∴A (1，－4).(2)已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.解 设存在一个公共点(x 0，y 0)，使两曲线的切线垂直，则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝y ′|0x x =＝cos x 0，k 2＝y ′|0x x =＝－sin x 0. 要使两切线垂直，必须有k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1， 即sin 2x 0＝2，这是不可能的.所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上，这三个条件联立方程即可解决. 跟踪训练3 已知函数y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的一条切线，则k ＝________. 答案 1e解析 设切点坐标为(x 0，y 0)， 由题意，得y ′|0x x =＝1x 0＝k ，① 又y 0＝kx 0， ② 而且y 0＝ln x 0，③由①②③可得x 0＝e ，y 0＝1，则k ＝1e .命题角度2 已知斜率解决切线问题例4 求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离.解 设切点坐标为(x 0，x 20)，依题意知，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短.∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12，∴切点坐标为(12，14)，∴所求的最短距离d ＝|12－14－2|2＝728.反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.跟踪训练4 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大. 解 设P (x 0，y 0)为切点，过点P 与AB 平行的直线斜率k ＝ y ′＝2x 0，∴k ＝2x 0＝2， ∴x 0＝1，y 0 ＝1. 故可得P (1,1)，∴切线方程为2x －y －1＝0.由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，∴|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要点P 到AB 的距离最大，故点P (1,1)即为所求弧AOB 上的点，使△ABP 的面积最大.1.下列函数中的求导运算正确的个数为________.①(3x )′＝3x log 3e ；②(log 2x )′＝1x ln 2；③1(ln x )′＝x ；④若y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227.答案 3解析 ①中(3x )′＝3x ln 3，②③④均正确. 2.函数f (x )＝x 3的切线斜率等于1的有________条. 答案 2解析 设切点为(x 0，y 0)，∵f ′(x 0)＝3x 20＝1，∴x 0＝±33.故斜率等于1的切线有2条.3.设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________. 答案 1e解析 f ′(x )＝1x ln a ，则f ′(1)＝1ln a ＝－1，∴a ＝1e.4.求过曲线y ＝sin x 上一点P (π6，12)且与在这一点处的切线垂直的直线方程.解 曲线y ＝sin x 在点P (π6，12)处切线的斜率k=6x y π'＝＝cos π6＝32，则与切线垂直的直线的斜率为－233，∴所求直线方程为y －12＝－233(x －π6)，即123x ＋18y －23π－9＝0. 5.求下列函数的导数. (1)y ＝(32x ＋1)(32x －1)＋1； (2)y ＝(cos x 2＋sin x2)2－1；(3)y ＝3log 23x .解 (1)∵y ＝x 3，∴y ′＝3x 2.(2)∵y ＝cos 2 x 2＋sin 2 x 2＋2sin x 2cos x2－1＝sin x ，∴y ′＝cos x .(3)∵y ＝log 2x ，∴y ′＝1x ln 2.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y ＝1－2sin 2 x 2的导数.因为y ＝1－2sin 2 x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.课时作业一、填空题1.下列各式中正确式子的序号是________.①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －2；③(1x)′＝－1232x -；④(5x 2)′＝2535x -；⑤(cos x )′＝－sin x ；⑥(cos 2)′＝－sin 2. 答案 ①③④⑤解析 ∵②(x －1)′＝－x －2；⑥(cos 2)′＝0. ∴②⑥不正确.2.正弦曲线y ＝sin x 的切线的斜率等于12的点为________.答案 (2k π＋π3，32)或(2k π－π3，－32)(k ∈Z )解析 设斜率等于12的切线与曲线的切点为P (x 0，y 0)，∵y ′|x ＝x 0＝cos x 0＝12，∴x 0＝2k π＋π3或2k π－π3，∴y 0＝32或y 0＝－32. 3.已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于________. 答案 4解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，∴a ＝4.4.已知曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b ＝________. 答案 28解析 ∵点(2,8)在切线上，∴2k ＋b ＝8. ① 又y ′|x ＝2＝3×22＝12＝k ，②由①②可得k ＝12，b ＝－16，∴k －b ＝28.5.已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则适合方程f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 的值为________. 答案 1或－13解析 由导数公式可知，f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2， 所以2x ＋1＝3x 2，即3x 2－2x －1＝0. 解得x ＝1或x ＝－13.6.已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1f ′(2)，则m ＝________.答案 －4解析 f ′(x )＝－1x 2，g ′(x )＝m .∵g ′(2)＝1f ′(2)，∴m ＝－4.7.设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为________. 答案 (1,1)解析 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为 k 1＝e 0＝1.设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2 (x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率为k 2＝－1m 2 (m >0).因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1， 所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1).8.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围的三角形的面积为________. 答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2；当y ＝0时，x ＝1. ∴S ＝12×1×|－e 2|＝12e 2.9.设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝________. 答案 3解析 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得，在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1. 又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.10.已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于________. 答案 1e解析 ∵y ′＝(ln x )′＝1x ，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.由ln x 0－1＝0知，x 0＝e.∴k ＝1e .11.设曲线y ＝x n ＋1 (n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2x 1＋log 2x 2＋log 2x 3＝________. 答案 －2解析 y ′|x ＝1＝n ＋1， ∴y ＝x n＋1在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 则x n ＝nn ＋1.∴log 2x 1＋log 2x 2＋log 2x 3 ＝log 2(x 1·x 2·x 3) ＝log 2⎝⎛⎭⎫12×23×34＝log 214 ＝－2. 二、解答题12.求下列函数的导数. (1) y ＝5x 3； (2)y ＝1x4；(3)y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫5x 3′＝⎝⎛⎭⎫x 35′＝35x 315-＝35x 25-＝355x 2. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)∵y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ln 2.13.设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，试求f 2 018(x ). 解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…， f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，∴f 2 018(x )＝f 2(x )＝－sin x . 三、探究与拓展14.设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的取值范围是________. 答案 [0，π4]∪[3π4，π)解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴k l ＝cos x ， ∴－1≤k l ≤1，∴α∈[0，π4]∪[3π4，π).15.点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离.解 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近.则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ， 所以e x 0＝1，得x 0＝0， 代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1). 利用点到直线的距离公式得最小距离为22.。

常见函数的导数教学目标：1、能应用由定义求导数的三个步骤推导几种常见函数的导数公式；2、熟记常见函数的导数；3、掌握并能运用四个函数导数公式求函数的导数，会求函数图象的的切线的方程。

教学重难点：用定义推导常见函数的导数公式教学过程：一、引入新课1导数的相关知识设函数＝f在区间a，b上有定义，，假设△无限趋近于零时，，那么称f在＝处可导，并称该常数A为函数f在＝处的导数，记作．2如何求切线的斜率。

二、探究新知对于函数，如何求它的导数呢？本节课我们将学习常见函数的导数首先我们来求下面几个函数的导数〔1〕=b ; 〔2〕=2 ; 〔3〕=问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？三、知识建构1几种常见函数的导数:问题引入1：110 0通过以上运算我们能得到什么结论公式一: C为常数，问题引入2：1通过以上运算我们能得到什么结论公式二:除此以外：公式三:公式四:公式五：对数函数的导数:公式六：指数函数的导数:四、新知运用例1 利用求导公式，求以下函数的导数：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕练：以下式子中正确式子个数为：①②③④例2 〔1〕求函数的图象在点处的切线方程。

〔2〕假设直线为函数图象的切线，求及切点坐标。

思考：求函数的图象过点的切线的方程。

五、稳固训练1〔1〕，那么，〔2〕函数的导数2〔1〕求函数的图象在点处的切线的方程。

〔2〕直线能作为以下函数图象的切线吗？假设能，求出切点坐标；假设不能，简述理由。

①②③④3、求函数的图象过点的切线的方程。

导数应用复习 NO.9【知识梳理】 ⑴常见函数的导数 ⑵导数的运算法则 ⑶复合函数的导数⑷导数的应用（单调性、极值、最值）注：0)(0='x f 是函数)(x f 在0x x =处取得极值的必要不充分条件 【自主学习】 例1． ⑴已知曲线31433y x =+，求过点()2,4P 的切线方程⑵已知曲线1:xC y e =与21:xC y e =-，若C 1，C 2分别在点P 1，P 2处的切线是同一条切线，试求出切线的方程例2．c x x x f +-=248)( 在]3,1[-的最小值为-14，求)(x f 的极大或极小值。

例3．已知函数ax x a x x f ++-=23)1(2131)( ⑴求)(x f 的单调区间；⑵方程0)(=x f 仅有一个零点，求实数a 的取值范围。

例4．当 0>x ，证明不等式x x xx<+<+)1ln(1.【课后作业】1． 曲线3231y x x =-+在点()1,1-处的切线方程为______________________2．函数3223125y x x x =--+在[]0,3上的最大值和最小值分别是______,_________3．设函()32f x ax bx cx =++在1x =和1x =-处均有极值，且()11f -=-，则a b c ++=4．已知()()221f x x xf '=+，则()0f '=5．函数231xy x =+在x=___________有极大值，极大值是____________6．函数()f x 的定义域为开区间（a ，b ），导函数()f x '在（a ，b ）内的图象如图2所示，则函数()f x 在开区间（a ，b ）内有极小值点有 个；7．点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点, 则点P 到直线2+=x y 的距离的最小值是 ；8．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图像如右图所示，则导函数()f x '的图像可以为A B C D9．设函数23252x y x x =--+，若对任意[]1,2x ∈-，都有()f x m >，则实数m 的取值范围是 ； 10．已知函数()32y f x x px qx ==++，图像与x 轴切于非原点的一点，且4y =-极小值，那么,p q 的值分别为 。

2019-2020学年苏教版选修2-2 导数的计算 教案考点一 导数的运算多维探究角度1 根据求导法则求函数的导数 【例1－1】 分别求下列函数的导数： (1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3) f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1. 解 (1)y ′＝(e x)′ln x ＋e x(ln x )′＝e xln x ＋e xx＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .(2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝3x 2－2x3.(3) f ′(x )＝a ·1x ＋1·（x ＋1）－（x －1）·1（x ＋1）2＝a x ＋2（x ＋1）2＝ax 2＋2（a ＋1）x ＋ax （x ＋1）2. 角度2 抽象函数的导数计算【例1－2】 (2019·南昌联考)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x，则f (1)＝( )A.－eB.2C.－2D.e解析 由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1x，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)＝2. 答案 B规律方法 1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 【训练1】 (1)若y ＝x －cos x 2sin x2，则y ′＝________.(2)已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 解析 (1)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x . (2)∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 答案 (1)1－12cos x (2)－4考点二 导数的几何意义 多维探究角度1 求切线方程【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( ) A.y ＝－2x B.y ＝－x C.y ＝2xD.y ＝x解析 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以a －1＝0，则a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x . 答案 D角度2 求切点坐标【例2－2】 (1)(2019·郑州月考)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) A.3B.2C.1D.12(2)设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.解析 (1)设切点的横坐标为x 0(x 0>0)， ∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3. (2)∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x，∴曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (x 0，y 0)(x 0>0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1x(x >0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1x 20，由题意知k 1k 2＝－1，即1·⎝⎛⎭⎪⎫－1x20＝－1，解得x 20＝1，又x 0>0，∴x 0＝1.又∵点P 在曲线y ＝1x(x >0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1，1).答案 (1)A (2)(1，1) 角度3 求参数的值或取值范围【例2－3】 (1)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图像存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)(2)(2019·东北三省四校联考)已知曲线f (x )＝x ＋a x＋b (x ≠0)在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋5，则a －b ＝________.解析 (1)由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解. ∴f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x.因为x ＞0，所以2－1x＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2).(2)f ′(x )＝1－a x2，∴f ′(1)＝1－a ，又f (1)＝1＋a ＋b ，∴曲线在(1，f (1))处的切线方程为y －(1＋a ＋b )＝(1－a )(x －1)，即y ＝(1－a )x ＋2a ＋b ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝2，2a ＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝7，∴a －b ＝－1－7＝－8. 答案 (1)B (2)－8规律方法 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【训练2】 (1)(2018·东莞二调)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( ) A.(0，0)B.(1，－1)C.(－1，1)D.(1，－1)或(－1，1)(2)(2018·全国Ⅲ卷)曲线y ＝(ax ＋1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________． 解析 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2，得f ′(x )＝3x 2＋2ax . 根据题意可得f ′(x 0)＝－1，f (x 0)＝－x 0，可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 20＝－x 0， ①3x 20＋2ax 0＝－1， ②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，a ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，a ＝2. 当x 0＝1时，f (x 0)＝－1， 当x 0＝－1时，f (x 0)＝1.∴点P 的坐标为(1，－1)或(－1，1).(2)y ′＝(ax ＋1＋a )e x ，由曲线在点(0，1)处的切线的斜率为－2，得y ′|x ＝0＝(ax ＋1＋a )e x|x＝0＝1＋a ＝－2，所以a ＝－3.答案 (1)D (2) －3[思维升华]1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点.3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解. [易错防范]1.求导常见易错点：①公式(x n)′＝nx n －1与(a x )′＝a xln a 相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）＋f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2，(cos x )′＝sin x .2.求切线方程时，把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题.基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.下列求导数的运算中错误的是( ) A.(3x)′＝3xln 3 B.(x 2ln x )′＝2x ln x ＋x C.⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝x sin x －cos x x 2D.(sin x ·cos x )′＝cos 2x解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝－x sin x －cos x x 2，C 项错误.答案 C2.(2018·日照质检)已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A.e 2B.eC.ln 22D.ln 2解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 答案 B3.函数y ＝x 3的图像在原点处的切线方程为( ) A.y ＝x B.x ＝0 C.y ＝0D.不存在解析 函数y ＝x 3的导数为y ′＝3x 2，则在原点处的切线斜率为0，所以在原点处的切线方程为y －0＝0(x －0)，即y ＝0. 答案 C4．(2019·达州测验)已知函数f (x )在R 上可导，其部分图像如图所示，设f （4）－f （2）4－2＝a ，则下列不等式正确的是( )A ．a <f ′(2)<f ′(4)B ．f ′(2)<a <f ′(4)C ．f ′(4)<f ′(2)<aD ．f ′(2)<f ′(4)<a解析 由图像可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大，所以(2，f (2))，(4，f (4))两点连续的斜率f （4）－f （2）4－2的大小，在点(2，f (2))处的切线斜率f ′(2)与点(4，f (4))的切线斜率f ′(4)之间，∴f ′(2)<a <f ′(4)．答案 B5.(2019·合肥一模)函数f (x )＝x －g (x )的图像在点x ＝2处的切线方程是y ＝－x －1，则g (2)＋g ′(2)＝( )A.7B.4C.0D.－4解析 ∵f (x )＝x －g (x )，∴f ′(x )＝1－g ′(x )，又由题意知f (2)＝－3，f ′(2)＝－1，∴g (2)＋g ′(2)＝2－f (2)＋1－f ′(2)＝7. 答案 A6.已知e 为自然对数的底数，曲线y ＝a e x＋x 在点(1，a e ＋1)处的切线与直线2e x －y －1＝0平行，则实数a ＝( ) A.e －1eB.2e －1eC.e －12eD.2e －12e解析 ∵y ′＝a e x＋1，∴在点(1，a e ＋1)处的切线的斜率为y ′|x ＝1＝a e ＋1，又切线与直线2e x －y －1＝0平行，∴a e ＋1＝2e ，解得a ＝2e －1e .答案 B7.如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )解析 由y ＝f ′(x )的图像知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上是单调递减的，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也是单调递减的，故可排除A ，C ；又由图像知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图像在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D. 答案 D8.(2019·咸阳调研)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( )A.ln 2B.1C.1－ln 2D.1＋ln 2解析 由y ＝x ln x 得y ′＝ln x ＋1，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝ln x 0＋1，∵切点(x 0，y 0)(x 0>0)既在曲线y ＝x ln x 上又在直线y ＝kx －2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0－2，y 0＝x 0ln x 0，∴kx 0－2＝x 0ln x 0，∴k ＝ln x 0＋2x 0，则ln x 0＋2x 0＝ln x 0＋1，∴x 0＝2，∴k ＝ln 2＋1.答案 D 二、填空题9.已知曲线f (x )＝2x 2＋1在点M (x 0，f (x 0))处的瞬时变化率为－8，则点M 的坐标为________. 解析 由题意得f ′(x )＝4x ，令4x 0＝－8，则x 0＝－2， ∴f (x 0)＝9，∴点M 的坐标是(－2，9). 答案 (－2，9)10.已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图像在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________.解析 f (1)＝a ，切点为(1，a ).f ′(x )＝a －1x，则切线的斜率为f ′(1)＝a －1，切线方程为：y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0得出y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1. 答案 111.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝________.解析 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， 所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，所以f ′(2)＝－94.答案 －9412.已知函数y ＝f (x )的图像在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为________________. 解析 由题意，知f (2)＝2×2－1＝3，∴g (2)＝4＋3＝7， ∵g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，f ′(2)＝2，∴g ′(2)＝2×2＋2＝6，∴曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为y －7＝6(x －2)，即6x －y －5＝0. 答案 6x －y －5＝0能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.(2018·深圳二模)设函数f (x )＝x ＋1x＋b ，若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处的切线经过坐标原点，则ab ＝( ) A.1B.0C.－1D.－2解析 由题意可得，f (a )＝a ＋1a ＋b ，f ′(x )＝1－1x 2，所以f ′(a )＝1－1a2，故切线方程是y－a －1a－b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2(x －a )，将(0，0)代入得－a －1a－b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2(－a )，故b ＝－2a，故ab＝－2. 答案 D14.(2019·西安一模)定义1：若函数f (x )在区间D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在区间D 上也可导，则称函数f (x )在区间D 上存在二阶导数，记作f ″(x )＝[f ′(x )]′. 定义2：若函数f (x )在区间D 上的二阶导数恒为正，即f ″(x )>0恒成立，则称函数f (x )在区间D 上为凹函数.已知函数f (x )＝x 3－32x 2＋1在区间D 上为凹函数，则x 的取值范围是________.解析 因为f (x )＝x 3－32x 2＋1，因为f ′(x )＝3x 2－3x ，f ″(x )＝6x －3，令f ″(x )>0，解得x >12，故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞15.函数g (x )＝ln x 图像上一点P 到直线y ＝x 的最短距离为________.解析 设点(x 0，ln x 0)是曲线g (x )＝ln x 的切线中与直线y ＝x 平行的直线的切点，因为g ′(x )＝(ln x )′＝1x ，则1＝1x 0，∴x 0＝1，则切点坐标为(1，0)，∴最短距离为(1，0)到直线y ＝x 的距离， 即为|1－0|1＋1＝22.答案2216.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝x －a ＋1x.∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点， 即x ＋1x－a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号).答案 [2，＋∞)。

年级 高二学数学版本苏教版（理）课程标题 选修2-2第1章第1-2节 导数的概念及运算一、学习目标：1. 了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。

2. 熟记常函数C ，幂函数x n （n 为有理数），三角函数sinx ，cosx ，指数函数e x ，a x ，对数函数lnx ，log a x 的导数公式；掌握两个函数四则运算的求导法则；3. 掌握复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

二、重点、难点重点：导数的概念、常见函数的导数、函数的和、差、积、商的导数、复合函数的导数。

难点：导数的概念、复合函数的导数。

三、考点分析：1. 导数既是研究函数性态的有力工具，又是进行理性思维训练的良好素材。

导数的概念与几何意义，及导数的运算是每年高考的重点考查内容之一。

2. 考纲要求：理解导数概念及其几何意义，能利用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数。

1. 导数的概念：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x∆时，函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果当0→∆x 时，xy∆∆趋于常数A ，称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把A 叫做)(x f 在0x 处的导数，记作)(0x f '或0x x y ='2. 导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率是)(0x f '。

相应地，切线方程为))((000x x x f y y -'=-。

3. 导数的运算：（1）基本函数的导数公式：()0C '=；1()mm x mx-'=；(sin )cos x x '=；(cos )sin x x '=-；1(ln )x x '=；1(log )log a a x e x'=；()'x x e e =；()'ln x xa a a =。

2019-2020学年苏教版选修2-2 常有函数的导数教课设计教课要点：基本初等函数的导数公式的应用．教课过程：一、问题情境1．问题情境．1）在上一节中，我们用割线迫近切线的方法引入了导数的观点，那么怎样求函数的导数呢？给定函数y＝f(x)计算y＝f(x＋x)－f(x)y x xzaa令x无穷趋近于0bbcc无穷趋近于f(x)xf(x)2）求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：①求出P点的坐标；②利用切线斜率的定义求出切线的斜率；③利用点斜式求切线方程．3）函数导函数的观点2．研究活动．用导数的定义求以下各函数的导数：思虑由上边的结果，你能发现什么规律？二、建构数学1．几个常用函数的导数：1）(kx＋b)＝k；2）C＝0（C为常数）；3）(x)＝1；4）(x2)＝2x；15）(x3)＝3x2；21（6）(x)＝－x2；（7）(x)＝1．2 x思虑由上边的求导公式（3）～（7），你能发现什么规律？2．基本初等函数的导数：8）(x α)＝αx α1（α为常数）； 9）(a x )＝a x lna （a ＞0且a≠1）；（10）1 1a ＞0(log ax)＝log a e ＝）；xlnaa≠1x11）(e x)＝e x ；12）(lnx)＝1；x 13）(sinx)＝cosx ；14）(cosx)＝－sinx ．三、数学运用例1利用求导公式求以下函数导数．（1）＝；（2）y ＝xxx；(3)＝ π＝y； （ysin4）y4（5）＝log 3x；（6）y ＝sin(πc os(2π－x)．y ＋x)；（7）y2例2若直线y ＝－x ＋b 为函数y ＝1图象的切线，求b 及切点坐标．x评论求切线问题的基本步骤：找切点—求导数—得斜率．2变式1 求曲线y＝x在点(1，1)处的切线方程．评论求曲线“在某点”与“过某点”的切线是不同样的．变式3已知直线l：y＝x－1，点P为＝上随意一点，求在什么地点时yx到直线l的距离最短．练习：1．见课本P20练习．第3题：；第5题：（1）；（2）；（3）；（4）．2．见课本P26．第4题：（1）；（2）．3．见课本P27第14题（2）．f(4)＝；f(4)＝．四、回首小结1）求函数导数的方法．2）掌握几个常有函数的导数和基本初等函数的导数公式．五、课外作业1．课本P26第2题．2．增补．（1）在曲线＝4上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°．x2（2）当常数为什么值时，直线y＝x才能与函数2＋相切？并求出切点．y。

1.2导数的概念及其运算一、学习目标掌握导数的求导公式及运算法则。

能利用导数的几何意义求切线方程。

二、知识梳理1、基本初等函数的导数公式2、导数运算法则（1）/[()()]f x g x ±= ；（2）/[()()]f x g x = ； （3）/()[]()f xg x = [()0].g x ≠ 3.简单复合函数的导数：若(),y f u u ax b ==+，则x u x y y u '''=⋅，即x y '= .三、热身训练1. 1、求下列函数的导数：（1）3sin y x x =+ （2）222354y x x x =-+-（3）2(23)(32)y x x =+- （4）n xy x e =（5）tan y x = （6）ln xy x= 2．已知函数nm mxx f -=)(的导数为38)(x x f ='，则=nm ________3．函数2)1)(1(+-=x x y 的导数为_____________4．若对任意x R ∈，3()4,(1)1f x x f '==-，则)(x f =_________ 5．已知2()2(2)f x x xf =+'，则(2)f '=__________四、例题分析例1、 求下列函数的导数：(1)y=(2x 2-1)(3x+1) (2)x x y sin 2= (3)求2sin xy x=的导数；(4) ()ln 32y x =+ (5)y=sin(2)3x π+变式训练：设ln(1), 0()0, 010x x f x x x x⎧⎪+>⎪==⎨⎪⎪<⎩ 求()f x '.例2 已知曲线34313+=x y 。

（1）求曲线在点P （2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P （2，4）的切线方程； （3）求曲线斜率为4的切线方程。

例3.设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为74120x y --=．(1)求()f x 的解析式；(2)证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．五、巩固训练1.函数()()()y x a x b x c =---的导数是 。

1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数【学习要求】1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.【学法指导】导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率、瞬时变化率的概念，可以从物理和几何两种角度理解导数的意义，深刻体会无限逼近的思想.1.函数的变化率2.函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝.引言那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？探究点一平均变化率的概念问题1气球膨胀率我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度，如何描述这种现象呢？问题2高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.计算运动员在下列时间段内的平均速度v，并思考平均速度有什么作用？(1)0≤t≤0.5，(2)1≤t≤2.问题3什么是平均变化率，平均变化率有何作用？问题4平均变化率也可以用式子ΔyΔx表示，其中Δy、Δx的意义是什么？ΔyΔx有什么几何意义？例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ； (2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ； (3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义.跟踪1 (1)计算函数f (x )＝x 2从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为 ①2；②1；③0.1；④0.01.(2)思考：当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？探究点二 函数在某点处的导数问题1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？ 问题2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？问题3 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？ 例2 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数.跟踪2 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数.例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8).计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.跟踪3 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况.【达标检测】1.在导数的定义中，自变量的增量Δx 满足( )A.Δx <0B.Δx >0C.Δx ＝0D.Δx ≠0 2.函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0f x 0＋h－fx 0h( )A.与x 0、h 都有关B.仅与x 0有关，而与h 无关C.仅与h 有关，而与x 0无关D.与x 0、h 均无关3.已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( ) A.4B.4xC.4＋2ΔxD.4＋2(Δx )24.已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________. 【课堂小结】利用导数定义求导数三步曲：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝fx 0＋Δx －fx 0Δx；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx简记为一差，二比，三趋近.1.1.1 函数的平均变化率 1.1.2 瞬时速度与导数 练习题一、基础过关1．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为 ( )A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1 2．函数y ＝1在[2,2＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．0B ．1C ．2D ．Δx 3．设函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx 等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C.13f ′(1) D ．f ′(3) 4．一质点按规律s (t )＝2t 3运动，则t ＝1时的瞬时速度为( )A ．4B ．6C ．24D ．48 5．函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数为( )A ．12B ．6C ．3D ．26. 甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( )A ．甲B ．乙C ．相同D ．不确定7．函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为__________．8．过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________.9．函数f (x )＝1x 2＋2在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.二、能力提升10．求函数y ＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率．11．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值．三、探究与拓展13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3) ①29＋3(t －3)2 (0≤t <3) ② 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．。

第1章导数及其运用1．1 导数的概念一、学习内容、要求及建议1．预习目标(1)本节主要通过对大量实例的分析，理解平均变化率的实际意义和数学意义，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程；(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义．2．预习提纲(1)回顾必修2中用来量化直线倾斜程度的斜率的计算公式．(2)阅读教材，回答下列问题．1)平均变化率:怎样计算一个函数在一个给定的闭区间上的平均变化率?2)瞬时变化率的几何背景：曲线上一点处的切线的斜率①关于割线的斜率：设曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x ＋△x，f(x＋△x))，则割线PQ的斜率是多少?②关于点P(x，f(x))处的切线：设曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C 于另一点Q(x＋△x，f(x＋△x)) ．用运动的观点来看，在点P处的切线可以认为是过点P 处的割线PQ的当Q无限靠近点P的极限位置，那么你能计算出切线的斜率吗?说一说求曲线y=f(x)上任一点P(x0，f(x0))处的切线斜率的基本步骤．3) 瞬时变化率的物理背景：瞬时速度与瞬时加速度①回忆物理学中对瞬时速度与瞬时加速度所下的定义．t的瞬时速度?给出速度－位移方程，如何求物②给出位移－时间方程，如何求物体在时刻t的瞬时加速度?体在时刻4)导数：从上述几何背景和物理背景中抽象出的数学概念①请表述出函数在某一点处的导数的概念．②请表述出导函数的概念，并表述导函数的具体的对应法则．③求导数的步骤是什么?④导数的几何意义是什么?⑤说一说利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤．(3)阅读课本例题，思考下列问题．第7页上例4给我们的启示：一次函数f(x)=kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率等于多少?对比第6页上例3与第9页上例1，给你怎样的启示?第13页上例3是求函数在一点处的导数，要注意表述格式的规范化．3．典型例题例1 物体做直线运动的方程为s (t )=3t 2－5t (位移单位是m ，时间单位是s )，求物体在2s 到4s 的平均速度以及2s 到3s 的平均速度． 分析： 利用公式2121()()s t s t t t --．解： 2s 到4s 的平均速度()221(3454)(3252)13/42v m s ⨯-⨯-⨯-⨯==-； 2s 到3s 的平均速度()222(3353)(3252)10/32v m s ⨯-⨯-⨯-⨯==-例2 已知函数f (x )=2x 2＋1，图象上P (1，3)及邻近上点Q (1＋x ∆，3＋y ∆)，求y x∆∆ 分析： 应用公式y x ∆∆=11()()f x x f x x+∆-∆ 解： y x∆∆=22[2(1)1](211)24x x x +∆+-⨯+=∆+∆ 例3 已知函数f (x )=x 3，证明：函数f (x )在任意区间[],(0)m m δδ+>上的平均变化率都是正数． 分析： 应用公式y x ∆∆=11()()f x x f x x+∆-∆求出平均变化率，再进行配方． 解：y x ∆∆=()()f m f m δδ+-=332222()1333()24m m m m m δδδδδδ+-=++=++ 恒为正数．例4 已知曲线C ：3y x =，求(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点? 解：(1)将x =1代入曲线C 的方程得y =1，∴ 切点P (1，1)设Q(1＋x ∆，()31+x ∆)， PQ k =32(1)1()33x x x x+∆-=∆+∆+∆， 0x ∆→时，PQ k →3，∴过P 点的切线方程为y －1=3(x －1)，即3x －y －2=0(2)由33(1)1y x y x=-+⎧⎨=⎩，可得()()2120x x x -+-=，得121,2x x ==-从而求得公共点为(1，1)或(－2，－8)．点评：切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另外的点．可见，直线与曲线相切不一定只有一个公共点． 例5 已知曲线313y x =上一点P (2，83)，求(1)点P 处的切线的斜率；(2)点P 处的切线方程．分析： 先求出切线的斜率，再由点斜式写出切线方程 解：(1)设P (2，83)，Q (2＋x ∆，31(2)3x +∆)， 则割线PQ 的斜率PQ k =3218(2)13342()3x x x x +∆-=+∆+∆∆， 当0x ∆→时，PQ k →4，即点P 处的切线的斜率为4．(2)点P 处的切线方程为84(2)3y x -=-，即123160x y --=． 点评： 本题若将“点P 处”改为“过点P ”，应该如何解答呢? 例6 自由落体运动方程为212s gt =，(位移单位：m ，时间单位：s )， (1)计算t 从3秒到3．1秒、3．01秒、3．001秒各时间段内的平均速度； (2)求t =3秒时的瞬时速度． 分析： 要求平均速度，就是要求st∆∆的值，为此需要求出s ∆、t ∆．当t ∆的值无限趋向于0时，其平均速度就接近于一个定值． 解：(1)设在3，3．1内的平均速度为1v ，则 1t ∆=3．1－3=0．1s 1s ∆=s(3．1)－s(3)= 21 3.12g ⋅－2132g ⋅=0．305gm所以1110.305 3.05(/)0.1s gv g m s t ∆===∆ 同理2220.03005 3.005(/)0.01s gv g m s t ∆===∆ 3330.0030005 3.0005(/)0.001s g v g m s t ∆===∆ (2)(3)(3)1(6)2s s t s g t t t ∆+∆-==∆+∆∆ 当t ∆无限趋近于0时，st∆∆无限趋近于常数3g (m/s )．例7 求函数2(21)y x =-在3x =处的导数．分析： 根据导数的定义，应先计算函数的增量y ∆，再计算yx∆∆，最后求0x ∆→时，(3)f '的值． 解：00()()y f x x f x ∆=+∆-22[2(3)1](231)x =+∆--⨯- 24(3)4(3)125x x =+∆-+∆+- 24()20,x x =∆+∆24()20420y x x x x x∆∆+∆∴==∆+∆∆ 当0x ∆→时，yx∆∆→20， (3)20f '∴=．例8 某化工厂每日产品的总成本C (单位：元)是日产量x (单位：吨)的函数：()1000200[0,1000]C x x x =++∈．求当日产量为100吨时的边际成本(边际成本就是一段时间的总成本对该段时间产量的导数)．分析： 根据边际成本的定义，本题只要求出当x ∆无限趋向于0时Cx∆∆的值即可． 解：成本的增量为(100)(100)C C x C ∆=+∆-=1000200(100)(1000200100x ++∆++⨯+2005000x =∆+∴C x∆∆=2005000x x ∆+∆10)200x =+∆ =200当0x ∆→时，225,C x∆→∆即Cx ∆∆的极限为225．故当日产量为100吨时的边际成本为225元/吨．点评：本题计算过程中注意分子有理化的技巧． 4．自我检测(1)若函数f (x )=2x 2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx ，1＋Δy )，则xy ∆∆等于 ．(2)函数2()log f x x =在区间2，4上的平均变化率为 ． (3)若函数3)(x x f =，则[(2)]f '-＝ ．(4)已知函数2)(x x f =，由定义求()f x '，并求(4)f '．(5)如果函数)(x f y =在点0x 处的导数分别为：① 0()0f x '= ② 0()1f x '= ③0()1f x '=- ④ 0()3f x '= 试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角． 三、课后巩固练习A 组1．函数f (x )=－3x ＋1在区间[0，2]上的平均变化率为 ．2．设函数y =f (x )，当自变量由x 0变到x 0＋∆x 时，函数的改变量∆y 为 ．3．函数f (x )=x 2－2在区间[1，a ]的平均变化率为3，则a 的值为 ．4．在曲线y =x 2－x ＋2上取点P (1，2)及邻近上点Q(1＋∆x ，2＋∆y )，则yx∆∆= ． 5．1995年中国人口约为12亿，2005年中国人口约为13亿，则从1995年到2005年这10年中中国人口的平均变化率是 ；1995年到2005年的人口增长率是 ． 6．已知函数y =ax 2＋bx ，则yx∆∆= ． 7．某工厂8年来总产量c (万件)与时间t (年)的函数关系如图，则第一年内总产量c 的平均变化率是 ，第三年到第八年总产量的平均变化率是 ．8．函数f (x )=－x 2在点(1，－1)处的切线的斜率为 ．9．一物体运动方程是s =200＋213gt ，(g =9．8m/s 2)，则t =3时物体的瞬时速度为 ．10．若作直线运动的物体的速度(单位：m /s )与时间(单位：s )的关系为v (t )=t 2，则在前3s 内的平均加速度是 ，在t =3时的瞬时加速度是 ．11．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m )，与起跳后的时间t (单位：s )存在函数关系式：h (t )=－4．9t 2＋6．5t ＋10．试分别计算00.5t s ≤≤及12t s ≤≤时间内的平均速度． 12．已知函数f (x )=1x，分别计算函数f (x )在区间[1，3]，[1，2]，[1，1．1]，[1，1．01]上的平均变化率．13．将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，求球体积的平均变化率．14．已知某质点按规律s =(2t 3＋2t )(米)作直线运动．求： (1)该质点在运动前3秒内的平均速度； (2)质点在2秒到3秒的平均速度； (3)质点在3秒时的瞬时速度．15．用割线逼近切线的方法，求曲线y = －x 2＋4x 在点A (4，0)和B (2，4)处的切线的斜率及切线方程．B 组16．(1)若温度T 在上升过程中关于时间t 的函数关系是T =f (t ) ，则()f t '的实际意义是 ．(2)若污染源扩散过程中污染面积S 关于时间t 的函数关系是S =f (t ) ，则()f t '的实际意义是 ．(3)若一水库在泄洪过程中水面的高度关于时间t 的函数关系是h =f (t ) ，则()f t '的实际意义是 ．17．曲线3y x =在点P 处切线的斜率为k ，当k =3时，P 点坐标为 ．18．已知曲线221y ax =+过点)，则此曲线在该点的切线方程是 ．19．已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= ．20．已知函数f (x )=k x 2＋d ，且(1)4f '-=，则k 的值为 ．21．已知函数1()f x m x=+，则(4f '-= ． 22．一个圆形铝盘加热时，随着温度的升高而膨胀．设该圆盘在温度t ℃时，半径为r =r 0(1＋at )(a 为常数)，求t ℃时，铝盘面积对温度t 的变化率．23．已知抛物线2(2)1y x =-+上三点P ，Q ，R 的横坐标分别为－1、－3和2． (1)求割线PQ 、PR 的斜率；(2)当Q 、R 分别沿抛物线向点P 移动，割线PQ 、PR 的斜率如何变化?24．求曲线y =9x在点M (3，3)处的切线的斜率及倾斜角． 25．用割线逼近切线的方法，求1y x=在1x =处的切线的斜率．26． 用割线逼近切线的方法，求y =12x =处的切线的斜率．27．设质点的运动方程是2321s t t =++，计算从t =2到t =2＋t ∆之间的平均速度，并计算当t ∆=0．1时的平均速度，再计算t =2时的瞬时速度．28．生产某种产品q 个单位时成本函数为205.0200)(q q C +=，求 (1)生产90个单位该产品时的平均成本；(2)生产90个到100个单位该产品时，成本的平均变化率； (3)生产90个与100个单位该产品时的边际成本各是多少?C 组29．已知)(0x f '存在，则当h 无限趋近于0时，下列式子各趋近于何值?(1)00(())()f x h f x h +---；(2) 00(2)()f x h f x h +-；(3)00()()f x h f x h h+--；(4) 00()(2)f x h f x h h --+．30．已知函数2()f x x =，记*12,2,2n n I n N ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦(1)求()f x 在区间n I 上的平均变化率n a ；(2)在数轴上画出数列{}n a 对应的点，并观察当n 不断增大时，有什么变化趋势?四、学习心得 五、拓展视野很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球的半径有如何变化?从数学角度如何解释这种现象?解 气球的半径增加得越来越慢．我们知道，气球的体积V (单位：L )与半径(单位：dm )之间的函数关系是34()3V r r π=，如果将半径r 表示为体积V 的函数，那么()r V =V 从0增加到1L 时，气球半径增加了(1)(0)0.62()r r dm -≈，气球的平均膨胀率为(1)(0)0.62(/)10r r dm L -≈-．类似地，当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球半径增加了(2)(1)0.16()r r dm -≈，气球的平均膨胀率为(2)(1)0.16(/)21r r dm L -≈-．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的膨胀率逐渐变小了．1．1 导数的概念检测反馈：1． 4+2Δx ；2． 12；3． 0； 4． 解：22()2y x x x x x x x ∆+∆-==+∆∆∆，当0x ∆→时，2y x x∆→∆， 所以()2,(4)8f x x f ''==．5． （1）0α=；（1）4πα=；（1）34πα=；（1）3πα=．巩固练习：A 组1．-3 ； 2．00()()f x x f x +∆-； 3．2； 4．1x ∆+； 5．0．1，8．3%； 6．2ax a x b +∆+； 7． 3万件/年，0万件/年； 8．-2； 9．19．6m/s ； 10．223/,6/m s m s ； 11．当00.5t ≤≤时，平均速度1(0.5)(0)4.05(/)0.50h h v m s -==-；当12t ≤≤时，平均速度2(2)(1)8.2(/)21h h v m s -==--；12．1110100,,,3211101----；13．22433()3R R R R π⎡⎤+∆+∆⎣⎦； 14．（1）20米/秒；（2）40米/秒；（3）56米/秒；15．4,4160k x y =-+-=； 0,4k y ==B 组16．(1)温度上升的瞬时速度；(2)污染源扩散的瞬时速度；(3)水面高度下降的瞬时速度； 17．（-1，1）或（1，1）；18．41y x =-； 19．3； 20．-2； 21．-822．解：圆盘面积2220(1).S r r at ππ==+()()()222200201122,S r t t r t r t t t παπαπααα∆=++∆-+⎡⎤⎣⎦=++∆∆20(22),Sr t t tπααα∆=++⋅∆∆ ()20021,st r a at tπ∆∆+∆当无限趋近时，无限趋近于即为铝盘面积对温度t 的变化率.23．(1)8,3PQ PR K K =-=-,(2)PQ 逐步增大，PR 逐步减小；24．k = -1,倾斜角=1350； 25．令(1,1)p ，11,1Q x x ⎛⎫+∆ ⎪+∆⎝⎭，则1111111PQx k x x-+∆==-+∆-+∆，当0x ∆→时，1PQ k →-，从而曲线1y x=在1x =处切线斜率为1-．26．令12P ⎛ ⎝⎭，1(0)2Q x x ⎛ +∆∆≠ ⎝，则PQk ==，当0x ∆→时，3PQ k →-，故切线的斜率为3-．27．略 28．（1）12118；（2）192；（3）(90)9,(100)10C C ''==C 组29．（1）0000()()(())()f x f x h f x h f x h h--+--=-，当 h 无限趋近于0时，- h 也无限趋近于0，∴00(())()f x h f x h+---无限趋近于0()f x '；（2）0000(2)()(2)()22f x h f x f x h f x h h +-+-=⋅，当h 无限趋近于0时，2h 也无限趋近于0，∴00(2)()2f x h f x h+-无限趋近于0()f x '，∴00(2)()f x h f x h+-无限趋近于20()f x '；（3）00()()f x h f x h h+--= 0000()()()()f x h f x f x f x h h+-+--=0000()()()()f x h f x f x f x h h h +---+，当h 无限趋近于0时，00()()f x h f x h+-无限趋近于0()f x '，00()()f x f x h h--无限趋近于0()f x '，∴00()()f x h f x h h+--无限趋近于20()f x '；（4）00()(2)f x h f x h h--+=00()(2)(3)3f x h f x h h--+⋅--=当h 都无限趋近于0时，-3h 也无限地趋近于0，00()(2)f x h f x h h --+无限趋近于03()f x '-．30．（1）142n n a =+； （2）当n 不断增大时，n a 无限趋向于4（当n 无限增大时，区间长度无限趋近于0，此时的平均变化率趋近于函数在2x =时的导数）；。

1.2.1《常见函数的导数》教案一、教学目标：掌握初等函数的求导公式；二、教学重难点：用定义推导常见函数的导数公式．三、教学过程【复习准备】1.导数的相关知识①导数的定义；②导数的几何意义；③导函数的定义；④求函数的导数的流程图.（1）求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim 2.如何求切线的斜率?(0)PQ x k P ∆→当时，无限趋近于点处切线的斜率3.导数：函数在某点处的瞬时变化率设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若△x 无限趋近于零时，比值 00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆.无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f /(x 0)．4.由定义求导数（三步法）①求函数的增量：=∆y 00()();y f x x f x ∆=+∆-②算比值（平均变化率）：=∆∆x y 00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆ ③取极限，得导数：0x x y ='=0.0x x y y x x=∆'=∆→∆在时 【情境引入】本节课我们将学习常见函数的导数.首先我们来求下面几个函数的导数.（1）y =x ; （2）y =x 2 ; （3）y =x 3问题：1-=x y ，2-=xy ，3-=x y 呢？问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？ 【数学建构】1.几种常见函数的导数:问题引入1：(1)(23)x '-+=2- (4)x '=1(2)(2)x '-=2- (5)(5)x '+=1(3)3'=0 (6)(4)'-=0通过以上运算我们能得到什么结论?公式一: 0C '= (C 为常数) (kx +b )/=k问题引入2：(1)x '=1 2(2)()x '=2x 2(3)(3)x '=6x 1(4)()x '=21x- 通过以上运算我们能得到什么结论?公式二:'1()x x ααα-= ()α是常数【知识应用】例1 求下列函数的导数：（1）()'3x （2）'21x ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）'解：（1）()'3x 31233x x -==（2）'21x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()'2x -=212x --=-32x -=-32x =-（3）'1'2x ⎛⎫= ⎪⎝⎭11212x -=1212x -==例2 求下列函数的导数：4(1)y x = 3(2)y x -= 1(3)y x =(4)y ==0(5)sin 45y =(6)cos u v解：44131(1)()44y x x x n -''===3314(2)()33y x x x ----''==-=-1112211(3)()()1x x x x x ----''==-=-=-12(4)y x x ==111221()2y x x -''∴===(5)(sin 45)0o y '''=== (6)(cos )sin u v v ''==-例3（1）已知3y x =，求(2)f '. （2）已知21y x=，求(3)f '. 解：3312()33y x x x -''=== 2213()22y x x x ----''==-=- 2(2)3(2)12f '∴=⨯= 312(3)2(3)22727f -'∴=-⨯=-⨯=- 拓展【例题讲解】1.求过曲线y =cos x 上点P (1,32π) 的切线的直线方程. ()cos ,()sin ,()sin 332f x x f x x f ππ'=∴=-'∴=-=-解： 1(,)32P π故曲线在点处的切线斜率为 1(),2233210.3y x y ππ∴-=--+--=所求的直线方程为2:若直线y =4x +b 是函数y =x 2图象的切线,求b 以及切点坐标. 0022000:(,)()()224,2,24(2,4),4442,4P x y f x x xx x y y x b b b ''====∴===+∴=⋅+=-解设切点即切点坐标由题意得此点也在直线上【归纳总结】切线相关问题的处理方法设出切点坐标（如果没有交待切点坐标）求出切点处的导数得切线的斜率切点在切线上，代入切线方程切点在曲线上，代入曲线方程【拓展研究】若直线y =3x +1是曲线y =ax 3的切线,试求a 的值.解:设直线y =3x +1与曲线y =ax 3相切于点P (x 0,y 0),则有:y 0=3x 0+1 ①, y 0=ax 03 ②, 3ax 02=3. ③ 由①,②得3x 0+1=ax 03, 由③得ax 02=1,代入上式可得: 3x 0+1=x 0, x 0=-1/2.所以a •(-1/2)2=1，,a =4.【课堂小结】0()C C '=为常数1()x x αααα-=为常数(sin )cos x x '=【课堂练习】见学案。

常见函数的导数教学案课题 常见函数的导数（1）编制人 宋振苏班级 姓名 第 小组教学目标：把握初等函数的求导公式； 教学重难点：用定义推导常见函数的导数公式． 一、复习1、导数的定义；2、导数的几何意义；3、导函数的定义；4、求函数的导数的流程图。

（1）求函数的转变量)()(x f x x f y -∆+=∆ （2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( （3）当0→∆x 得函数的导数/y ＝()f x '=xyx ∆∆→∆0lim本节课我们将学习常见函数的导数。

首先我们来求下面几个函数的导数。

（1）、y=x （2）、y=x 2 （3）、y=x 3问题：1-=x y ，2-=x y ，3-=x y 呢？问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发觉有什么规律吗？二、新授1、基本初等函数的求导公式：⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数) ⑶ ()1x '= ⑷ 2()2x x '= ⑸ 32()3x x '= ⑹ 211()x x '=- ⑺'= 由⑶~⑹你能发觉什么规律?⑻ 1()x x ααα-'= （α为常数） ⑼ ()ln (01)x x a a a a a '=>≠，⑽ a a 11(log x)log e (01)x xlnaa a '==>≠，且⑾x x e )(e =' ⑿ x1)(lnx ='⒀cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －='从上面这一组公式来看，我们只要把握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。

例1、求下列函数导数。

（1）5-=x y ( 2）xy 4= （3）x x x y =(4)x y 3log = （5）y=sin(2π+x) (6) y=sin 3π（7）y=cos(2π－x)例2.若直线y x b =-+为函数1y x=图象的切线,求b 的值和切点坐标。

第16课时本章复习教学过程一、数学运用【例1】求下列函数的导数:(1)y=(2x-1)2;(2)y=x ln x+cos x;(3)y=3x e x-2x+e;(4)y=.(见学生用书P32)[处理建议]由4个学生板演.[规范板书]解(1)y'=8x-4.(2)y'=1+ln x-sin x.(3)y'=(ln 3+1)·3x e x-2x ln 2.(4)y'=.变式求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=;(3)y=(x+1)(x+2)(x+3);(4)y=+.[处理建议]由学生分组完成后汇总给出答案,讲解时侧重求导方法.[规范板书]解(1)y'=.(2)y'=-x-+3x2-2x-3sin x+x-2cos x.(3)y'=3x2+12x+11.(4)y'=.【例2】(1)若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,求a,b的值.(见学生用书P32)(2)已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过点P(2,0),且在点P处有公切线,求f(x),g(x)的解析式.[处理建议]学生口答,教师板书.[规范板书]解(1)由题意知点(0,b)在曲线f(x)=y=x2+ax+b上,又因为y'=2x+a,所以f'(0)=a=k=1,又(0,b)在x-y+1=0上,所以b=1,所以a=1,b=1.(2)f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.【例3】设函数f(x)=ax+(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.(1)求y=f(x)的解析式;(2)求证:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=1、直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值.[1](见学生用书P32)[规范板书]解(1)f'(x)=a-,依题意知所以由②得=3-2a,代入①化为4a2-13a+9=0,所以a=1或a=.又因为a∈Z,所以a=1,所以b=-1,所以f(x)=x+.(2)设y=f(x)上任意一点为P(x0,f(x0)),则P点处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0),又f(x0)=x0+,f'(x0)=1-,所以y-x0-=(x-x0).令x=1,则y=1+,故一个交点为1,1+.令y=x,则交点为(2x0-1,2x0-1),另一个交点为(1,1).所以S=×·|2x0-1-1|=2.二、课堂练习1.若曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=-2.提示y'=,所以=,所以a=-2.2.若f(x)=ax4+bx2+c满足f'(1)=2,则f'(-1)=-2.3.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是.4.已知f1(x)=sin x+cos x,记f2(x)=f'1(x),f3(x)=f'2(x),…,f n(x)=f'n-1(x)(n∈N*且n≥2),则f1+f2+…+f2012=0.提示T=4,f 1+f2+f3+f4=0,则f1+f2+…+f2 012=0.三、课堂小结1.函数f(x)在点(x0,f(x0))处的导数f'(x0)即为曲线y=f(x)在(x0,f(x0))处的切线的斜率.2.导数的物理意义为:位移S(t)的导数S'(t)即为瞬时速度,速度v(t)的导数v'(t)即为瞬时加速度.3.常见函数的求导公式及导数运算法则公式在知识梳理部分已经复习,希望同学们熟记.。

§1.2导数的运算§1.2.1常见函数的导数目的要求：（1）了解求函数的导数的流程图，会求函数的导函数 （2）掌握基本初等函数的运算法则 教学内容一．回顾 函数在某点处的导数、导函数思考：求函数导函数的流程图新授；求下列函数的导数（1）y kx b =+ （2）2()f x x =（3）3()f x x = （4）1()f x x=（5）()f x =思考：你能根据上述（2）～（5）发现什么结论？ 几个常用函数的导数：基本初等函数的导数： （7）1()'(x x αααα-=为常数） （8）'()ln (0,x x a a a a =>且1)a ≠（7）11(log )'log (0,ln a a x e a x x a==>且1)a ≠ （8）()'x x e e = （9）1(ln )'x x=（10）(sin )'cos x x = （11）(cos )'sin x x =- 例1．若直线y x b =-+ 为函数1y x=图像的切线，求b 及切点坐标。

例2．直线132y x =+能作为下列函数()y f x =图像的切线吗？若能，求出切点坐标；若不能，简述理由 （1）1()f x x = （2）1()f x x=-（3）()sin f x x = （4）()xf x e =小结：（1）求函数导数的方法（2）掌握几个常见函数的导数和基本初等函数的导数公式作业：（1） 在曲线24y x=上一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135。

（2） 当常数k 为何值时，直线y x =才能与函数2y x k =+相切？并求出切点§1.2.2函数的和、差、积、商的导数目的要求：了解导数的四则运算法则，能利用导数的四则运算法则求函数的导数 重点难点：四则运算法则应用 教学内容：一．填写下列函数的导数：（1）()'kx b += （2）()'C =（3）()'nx = （n 为常数） （4）()'xa = （0a >且1a ≠） （5）(log )'a x = （0a >且1a ≠）（6）()xe = （7）(ln )x = （8）(sin )'x = （9）（cos )x = 二．新授：例1．求2y x x =+的导数思考：（1）已知'(),'()f x g x ，怎样求[()()]'f x g x +呢？（2）若'2y x =+，则y =导数的四则运算法则：（1） （2） （3） （4） （5）特别，当()u x c =(c 为常数)时，有 )()()(2x v x v c x v c '-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛． 例2．求下列函数的导数（1）2()sin f x x x =+ （2）323()622g x x x x =--+例3．求下列函数的导数：（1）()sin f x x x = （2）21()t S t t+=板演：1． 用两种方法求函数(21)(3)y x x =-+的导数2．求下列函数的导数 （1）21()f x x = （2）()23x f x x =+（3）2sin ()x f x x= （4）22y x x =•2． 已知函数()f x 的导数是'()f x ，求函数2[()]f x 的导数。

计 算 导 数孙疃中学高二数学组 周成刚 教学目标：1理解导数的概念，能根据导数的定义求几种常用函数的导数，并能熟练运用。

2 掌握基本初等函数的求导公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数。

教学过程：1. 导函数若一个函数f 在区间（a,b ）上的每一个点处都有导数，导数值记为f (x)'： 0()()f (x)=lim x f x f x ∆→+-'x x则f (x)'是关于的函数，称f (x)'为f 的导函数，简称导数。

一 利用导函数的定义求导数例1：一运动物体的位移（单位：m ）关于时间t （单位：）的函数关系式为：2().s t t t =+求(5)s '，并说明它的实际意义。

【思路点拨】 先求出t 的导函数，然后把t=5代入即可。

()x x x =计算函数y=f 在处的导数的步骤如下：00x x （1）通过自变量在处的改变量x 确定函数在在处的改变量：00()()y f x f x =+-x 0()y f x x =（2）确定函数在处的平均变化率：00()()=f x f x y +-x x x变式训练： 1．已知函数f ＝ ，求f ′1，f ′－2的值．2．求函数＝22＋4在＝3处的导数．二．导数公式表其中三角函数的自变量单位是弧度二，利用导数公式求导数例2，求下列函数的导数： 32(1)(2)log ;sin 3;2cos 12(4)5.x y y x x y x y ===-=（） 0（3）当x 趋向于时，得到导数：0000()()f (x )=lim x f x f x ∆→+-'x x2x思路点拨：先对函数式进行必要的化简，再选择导数公式进行求解。

[一点通] 求简单函数的导函数有两种基本方法：1用导数的定义求导，但运算比较繁杂；2用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．变式训练：求下列函数的导数：2(1)(1)(2)(3);(2)sin;313;(4)y x x x y y x y π=+++===（）课堂小结：1．熟记导数公式表，必要时先化简再求导．2．计算f ′0时，可先求f ′，再将＝0代入．课堂作业：习题 A 组 第2,3题。

常见函数的导数教学目的：知识与技能：掌握四个公式，理解公式的证明过程. 过程与方法：学会利用公式，求一些函数的导数.情感、态度与价值观：理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题教学重点：用定义推导常见函数的导数公式．教学难点：公式1)'(-=n n nx x )(Q n ∈的推导．教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。

教学过程：学生探究过程：一、复习引入：1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim00 函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y =＝(0/x f 所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作(0/x f导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/x f 在点0x 的函数值4.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导5. 可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.6. 求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx y ∆=∆∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xyx ∆∆→∆0lim二、讲解新课：1. 0'=C (C 为常数)说明：此公式可以叙述为：常函数的导数为零．其几何解释是：函数C y =的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0.证明：()y f x ==C ，∴Δy =f (x +Δx )－f (x )=C －C =0∴x y∆∆=0，y '=C ′=xy x ∆∆→∆0lim =0，∴y '=0.2. 1)'(-=n n nx x (Q n ∈)说明：实际上，此公式对R n ∈都成立，但证明较复杂，所以课本只给出了*N n ∈证明：()y f x ==n x∴Δy =f (x +Δx )－f (x )=()n n x x x +∆-=n x +1C n 1n x -Δx +2C n 2n x -(Δx )2+…+n nC ()n x ∆－n x =1C n 1n x -Δx +2C n 2n x - (Δx )2+…+n nC ·()n x ∆ xy ∆∆=1C n 1n x -+2C n 2n x -Δx +…+n nC ·1()n x -∆ ∴y '=()n x '=xy x ∆∆→∆0lim=lim→∆x （1C n1n x -+2C n2n x -Δx +…+n n C ·1()n x -∆)=1C n1n x -=n 1n x - ∴y '=1)'(-=n n nx x 3. x x cos )'(sin =证明方法一：y =sin x ，Δy =sin(x +Δx )－sin x =sin x cos Δx +cos x sin Δx －sin x∴y '=xx x x x x x y x x ∆-∆+∆=∆∆→∆→∆sin sin cos cos sin lim lim00=－2sin x ·1·0+cos x =cos x ∴y '=cos x证明方法二：x y sin =，2)(sin 2)(cos 2sin )sin(xx x x x x x x x y -∆++∆+=-∆+=∆2sin2cos 2x x x ∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=， 22sin2cos x xx x x y ∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆∆， ∴ 0lim )'(sin '→∆==x x y 22sin2cos lim 0x xx x x y x ∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆∆→∆ x x xx x x x cos 22sinlim 2cos lim 00=∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=→∆→∆． 4. x x sin )'(cos -=证明方法一：y =cos x ，Δy =cos(x +Δx )－cos x =cos x cos Δx －sin x sin Δx －cos xy '=xx x x x x x y x x ∆-∆-∆=∆∆→∆→∆cos sin sin cos cos lim lim00∴y '=－sin x证明方法二：x y cos =，2sin2sin 2x x x ∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-=， 22sin2sin x xx x x y ∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-=∆∆， ∴ 0lim )'(cos '→∆==x x y 22sin2sin lim 0x xx x x y x ∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-=∆∆→∆ x x xx x x x sin 22sinlim 2sin lim 00-=∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-=→∆→∆． ∴y '=－sin x .第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.我们把上面四种函数的导数可以作为四个 三、讲解范例：例1 求 (1)(x 3)′ (2)(21x )′ (3)(x )′ 解：(1) (x 3)′=3x 3－1=3x 2； (2) (21x)′=(x －2)′=－2x －2－1=－2x －3(3) xx x x x 212121)()(2112121==='='--例2质点运动方程是51t s =, 求质点在2=t 时的速度．解：∵ 51ts =， ∴ 6555)()1(---='='='t t ts ,∴ 6452562-=⨯-='-=t s ．答：质点在2=t 时的速度是645-．例3求曲线x y sin =在点A )21,6(π的切线方程．解：∵ x y sin = ∴ x x y cos )(sin ='='∴ 236cos6=='=ππx y ∴ 所求切线的斜率23=k ∴ 所求切线的方程为 )6(2321π-=-x y ， 即 0361236=-+-πy x 答：曲线x y sin =在点A )21,6(π的切线方程为0361236=-+-πy x ．四、巩固练习：1． (口答)求下列函数的导数：(1)y =x 5 (2)y =x 6 (3)x =sin t (4)u =cos ϕ答案： (1)y ′=(x 5)′=5x 4； (2)y ′=(x 6)′=6x 5；(3)x ′=(sin t )′=cos t ； (4)u ′=(cos ϕ)′=－sin ϕ2.求下列函数的导数：(1)y =31x(2)y =3x 答案：(1) y ′=(31x)′=(x －3)′=－3x －3－1=－3x －4(2321313133131)()(--=='='='x x x x y3.质点的运动方程是s =t 3，(s 单位m ，t 单位s)，求质点在t =3时的速度.解：v =s ′=(t 3)′=3t 3－1=3t 2当t =3时，v =3×32=27 m/s ，∴质点在t =3时的速度为27 m/s 4.物体自由落体的运动方程是s =s (t )=21gt 2，(s 单位m ，t 单位s ，g =9.8 m/s 2)，求t =3时的速度.解：v =s ′(t )=(21gt 2)′=21g ·2t 2－1=gt .t =3时，v =g ·3=9.8·3=29.4 m/s ，∴t =3时的速度为29.4 m/s. 5.求曲线y =x 4在点P (2，16)处的切线方程. 解：y ′=(x 4)′=4x 4－1=4x 3.∴y ′|x =2=4·23=32 ∴点P (2，16)处的切线方程为y －16=32(x －2)，即32x －y －48=0 五、教学反思 ：这节课主要学习了四个公式:①C ′=0(C 是常数)，②(x n )′=nx n －1(n ∈R )，③(sin x )′=cos x ，④(cos x )′=－sin x。

1.3.1 函数的单调性与导数 导学案一、教学目的1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点 利用导数判断函数单调性. 三、教学难点 利用导数判断函数单调性. 四、教学过程 【复习引入】1. 常见函数的导数公式：0'=C ； 1)'(-=n n nx x ； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=x x 1)'(ln =； e xx a a log 1)'(log =； x x e e =)'( ； a a a xx ln )'(= 2.法则1 '''[()()]()()f x g x f x g x ±=±．法则2 [()()]'()()()'()f x g x f x g x f x g x '=+, [()]'()cf x cf x '=法则3 '2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭【讲解新课】函数单调性：函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时: 1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是减函数.导数与函数的单调性有什么关系？【问题探究】1. 函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342+-=x x y 的图像可以看到：在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x 的增大而增大，即/y >0时，函数y=f(x) 在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/y <0时，函数y=f(x) 在区间（－∞，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数y=f(x)=x 2－4x+3切线的斜率 f′(x) (2，+∞)增函数正 ＞0 (－∞，2) 减函数负＜0321f x () = x 2-4⋅x ()+3xOyB A【构建数学】一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，f(x 1)<f(x 2)，那么f(x)在这个区间上是增函数.即x 1-x 2与f(x 1)-f(x 2)同号，即：1212()()00f x f x yx x x-∆>>-∆也即:增函数时有1212()()00f x f x yx x x -∆>>-∆也即:减函数时有1212()()00f x f x yx x x-∆<<-∆也即结论：一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导，则函数在该区间： 如果f′(x)>0，则f(x)为增函数； 如果f′(x)<0，则f(x)为减函数.【数学应用】例1 确定函数f(x)=x 2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(x 2－2x+4)′=2x －2. 令2x －2＞0，解得x ＞1.∴当x ∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数. 令2x －2＜0，解得x ＜1.∴当x ∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.例2 确定函数f(x)=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数. 解：f′(x)=(2x 3－6x 2+7)′=6x 2－12x 令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0∴当x ∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.当x ∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数. 令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2.∴当x ∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数. 例3 证明函数f(x)=x1在(0，+∞)上是减函数. 证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x 1，x 2∈(0，+∞)设x 1＜x 2. f(x 1)－f(x 2)=21122111x x x x x x -=- ∵x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＞0 ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0， ∴2112x x x x -＞0 ∴f(x 1)－f(x 2)＞0，即f(x 1)＞f(x 2) ∴f(x)=x1在(0，+∞)上是减函数. 证法二：(用导数方法证) ∵/()f x =(x 1)′=(－1)·x －2=－21x ，x ＞0， ∴x 2＞0，∴－21x＜0. ∴/()0f x <， ∴f(x)=21x在(0，+∞)上是减函数. 点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.例4 已知函数y=x+x1，试讨论出此函数的单调区间.解：y′=(x+x1)′ =1－1·x －2=222)1)(1(1xx x x x -+=- 令2)1)(1(xx x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1. ∴y=x+x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). 令2)1)(1(xx x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1. ∴y=x+x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1) 四、课堂练习1．确定下列函数的单调区间 (1)y=x 3－9x 2+24x (2)y=x －x 3(1)解：y′=(x 3－9x 2+24x)′=3x 2－18x+24=3(x －2)(x －4) 令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.∴y=x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4.∴y=x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4) (2)解：y′=(x －x 3)′=1－3x 2=－3(x 2－31)=－3(x+33)(x －33) 令－3(x+33)(x －33)＞0，解得－33＜x ＜33. ∴y=x －x 3的单调增区间是(－33，33).令－3(x+33)(x －33)＜0，解得x ＞33或x ＜－33. ∴y=x －x 3的单调减区间是(－∞，－33)和(33，+∞) 2.讨论二次函数y=ax 2+bx+c(a ＞0)的单调区间. 解：y′=(ax 2+bx+c)′=2ax+b, 令2ax+b ＞0，解得x ＞－ab2 ∴y=ax 2+bx+c(a ＞0)的单调增区间是(－ab2，+∞) 令2ax+b ＜0，解得x ＜－ab 2. ∴y=ax 2+bx+c(a ＞0)的单调减区间是(－∞，－ab 2) 3.求下列函数的单调区间(1)y=x x 2+ (2)y=92-x x(3)y=x +x (1)解：y′=(x x 2+)′=2222xx x x -=-- ∵当x≠0时，－22x＜0，∴y′＜0.∴y=xx 2+的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞) (2)解：y′=(92-x x )′222)9(29-⋅--=x x x x 222222)9(9)9(9-+-=---=x x x x 当x≠±3时，－222)9(9-+x x ＜0，∴y′＜0.∴y=92-x x的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞). (3)解：y′=(x +x)′12112121+=+=-xx .当x ＞0时x21+1＞0，∴y′＞0. ∴y=x +x 的单调增区间是(0，+∞)五、小结根据导数确定函数的单调性 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数.3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间；解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.六、课后作业。

1.2.2《函数的和、差、积、商的导数》教案一、学习目标1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数3.能够综合运用各种法则求函数的导数二、学习重点：用定义推导函数的和、差、积、商的求导法则三、学习难点：函数的积、商的求导法则的推导．四、学习过程：【复习回顾、引入】1.基本求导公式:0'=C ；()'kx b k +=(k ,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且 ()'x x e e =1(ln )'x x = 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a==>≠且 x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=注意：关于x a a x 和是两个不同的函数，例如:(1)(3)x '= 3ln 3x3(2)()x '= 23x2、由定义求导数（三步法）①求函数的增量：=∆y 00()();y f x x f x ∆=+∆- ②算比值（平均变化率）：00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆ ③取极限，得导数：0.0x x y y x x =∆'=∆→∆在时 巩固练习1：求2y x x =+的导数.解：2()f x x = ()g x x = 2()()f x g x x x +=+结论：22()()().x x x x '''+=+ 猜想：[()()]()()f x g x f x g x '''+=+【证明猜想】[]()()()().f x g x f x g x '''±=±证明：令()().y f x g x =+ [][]()()()()y f x x g x x f x g x ∆=+∆++∆-+[][]()()()()f x x f x g x x g x =+∆-++∆- [][]()()()()f x x f x g x x g x y x x+∆-++∆-∆=∆∆ [][]()()()()f x x f x g x x g x x x+∆-+∆-=+∆∆ ()()f x g x ''=+.【数学建构】法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即[]()()''()'()f x g x f x g x ±=±法则2 常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．[]()'()'cf x cf x =.【例题讲解】例1 求函数3()sin f x x x =+的导数. 解：例2 求函数323()622g x x x x =--+的导数. 解：法则3 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+.证明：令()()y f x g x =，则=∆y ()f x x +∆()g x x +∆-()()f x g x()f x x =+∆()g x x +∆-()f x ()g x x +∆+()f x ()g x x +∆-()()f x g x ，=∆∆x y ()()f x x f x x +∆-∆()g x x +∆+()f x ()()g x x g x x+∆-∆. 因为()g x 在点x 处可导，所以它在点x 处连续，于是当0→∆x 时，()()g x x g x +∆→， 从而0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x ()()f x x f x x +∆-∆()g x x +∆+()f x 0lim →∆x ()()g x x g x x+∆-∆ '()()()'()f x g x f x g x =+.【例题讲解】例2 （1）求函数()h x x=的导数;（2）求函数()2ln f x x x =的导数. 解：法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭.【例题讲解】例3 （1）求函数tan y x =的导数;（2）求函数()x x f x e=的导数. 解：【数学应用】1.求函数322354y x x x =-+-的导数.102. 5sin 9,'.y x x x y =--求23.sin x y x=的导数.234.33x y x x +==+求在点处的导数.【课堂小结】函数的和、差、积、商的导数：法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 []()()''()'()f x g x f x g x ±=±法则2 常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．[]()'()'cf x cf x =.法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+.法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭.【课后作业】课本 P26 习题1.2。