苏教版数学高二- 选修2-2导学案 《常见函数的导数》

1.2.1 常见函数的导数 导学案

一、学习目标 掌握初等函数的求导公式；

二、学习重难点 用定义推导常见函数的导数公式．

三、学习过程

【复习准备】

1.导数的相关知识

①导数的定义；②导数的几何意义；③导函数的定义；④求函数的导数的流程图.

（1）求函数的改变量

（2）求平均变化率

（3）取极限，得导数/

y ＝()f x '= 2.如何求切线的斜率?

(0)PQ x k P ∆→当时，无限趋近于点处切线的斜率

3.导数：函数在某点处的瞬时变化率

设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x0∈(a ，b)，若△x 无限趋近于零时，比值 00()()f x x f x y x x

+∆-∆=∆∆.无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在x ＝x 0处可导，并称

该常数A 为函数f(x)在x ＝x0处的导数，记作f/(x 0)．

4.由定义求导数（三步法）

①求函数的增量：=∆y

②算比值（平均变化率）：

=∆∆x y ③取极限，得导数：0

x x y ='= 【情境引入】

本节课我们将学习常见函数的导数.首先我们来求下面几个函数的导数.

（1）y=x; （2）y=x 2 ; （3）y=x 3 .

问题：1-=x y ，2-=x

y ，3-=x y 呢？

问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？ 【数学建构】

1.几种常见函数的导数:

问题引入1：

(1)(23)x '-+= (4)x '=

(2)(2)x '-= (5)(5)x '+=

(3)3'= (6)(4)'-=

通过以上运算我们能得到什么结论?

公式一:

问题引入2：

(1)x '= 2(2)()x '= 2(3)(3)x '= 1(4)()x

'= 通过以上运算我们能得到什么结论?

公式二:

【知识应用】

例1 求下列函数的导数：

（1）()'3x ;（2）'21x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ;（3

）'

. 解：

拓展

例2 求下列函数的导数： 4(1)y x =; 3(2)y x -=; 1(3)y x

=;

(4)y = =0(5)sin 45y ; =(6)cos u v .

解：

例3

（1）已知3y x =，求(2)f '. （2）已知21y x =，求(3)f '. 解：

拓展

【例题讲解】

1.求过曲线y=cosx 上点P(

1,32

π) 的切线的直线方程.

2:若直线y=4x+b 是函数y=x 2图象的切线,求b 以及切点坐标.

【归纳总结】

切线相关问题的处理方法

设出切点坐标（如果没有交待切点坐标）

求出切点处的导数得切线的斜率

切点在切线上，代入切线方程

切点在曲线上，代入曲线方程

【拓展研究】

若直线y=3x+1是曲线y=ax 3的切线,试求a 的值.

【课堂小结】

0()C C '=为常数

1()x x αααα-=为常数

(sin )cos x x '=

【课堂练习】见学案