二次函数与几何综合类存在问题39PPT课件

∴直线 AB 所对应的函数解析式为 y＝12x＋32. 设点 P 的坐标为(x，12x＋32)，则点 Q 的坐标为(x，－16x2＋56x ＋4)， PQ＝－16x2＋56x＋4－(12x＋32)＝－16(x－1)2＋83， 故当 x＝1 时，线段 PQ 的值最大，最大值为83.
第39课时┃ 二次函数与几何综合类存在性问题
第39课时┃ 二次函数与几何综合类存在性问题
∵∠BDG＝90°，BD＝5－52＝52，DG＝4－141＝54，
∴BG＝ BD2＋DG2＝
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（5）2＋（5）2＝5
2
4
4
5.
同理 AG＝11 4 5. ∵∠AGH＝∠MGB，∠AHG＝∠MBG＝90°， ∴△AGH∽△MGB，
11 5
∴MAGG＝GGHB，即
第39课时 二次函数与几何综合类 存在性问题
第39课时┃ 二次函数与几何综合类存在性问题
二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合 在一起考查，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数 ”与“形”结合起来，互相渗透．存在探索型问题是指在给 定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现 的问题，解决这类问题的一般思路是先假设结论存在，然后 在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设； 若推出合理，则可肯定假设．
【解题方法点析】 求四边形面积的函数解析式，一般是利用割补法把四边形的 面积转化为三角形面积的和或差．
第39课时┃ 二次函数与几何综合类存在性问题
【例题分层分析】
(1)根据CB∥x轴，且AB平分∠CAO等几何条件，能求出点B 的坐标吗？
(2)为了求抛物线所对应的函数解析式已具备了哪些条件？ (3)点P在哪儿，如何用x表示点P的坐标？事实上只要求出AB 所在直线所对应的函数解析式就可以了． (4)线段PQ的两个端点在哪两个函数图象上，怎样表示它们 的坐标，如何表示PQ的长？ (5)△ABM是以AB为直角边的直角三角形存在以∠MAB为直 角和以∠MBA为直角两种情况．
0＝9a－3b＋c，
a＝－16，
44＝＝c2，5a＋5b＋c，解得bc＝＝456，，
∴抛物线所对应的函数解析式为 y＝－16x2＋56x＋4.
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(2)设直线 AB 所对应的函数解析式为 y＝kx＋n，把 A(－3， 0)，B(5，4)代入，得04＝ ＝－ 5k3＋k＋ n，n，解得nk＝＝1232，，
(3)抛物线 y＝－16x2＋56x＋4 的对称轴是直线 x＝52. 要使△ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形，有两种情况： ①当点 B 为直角顶点时，如图①所示．
设抛物线的对称轴与 BC 交于点 D，与 AB 交于点 G，与 x 轴交于点 H.
由点 G 在直线 AB 和抛物线的对称轴上可知，点 G 的坐标 为(52，141)．
第39课时┃ 二次函数与几何综合类存在性问题
【解题方法点析】 以二次函数、三角形为背景的有关点的存在性的问题是以二 次函数的图象和解析式为背景，判断三角形满足某些关于点 的条件时，是否存在的问题，这类问题有关于点的对称点、 线段、三角形等类型之分．这类试题集代数、几何知识于一 体，数形结合，灵活多变．
探究二 二次函数与四边形的结合
例 2 [2013·枣庄] 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ x2＋bx＋C 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，点 B 的坐标为(3，0)， 与 y 轴交于点 C(0，－3)，点 P 是直线 BC 下方抛物线上的动点．
(1)求这个二次函数的解析式． (2)连接 PO，PC，并将△POC 沿 y 轴对折，得到四边形 POP′C， 那么是否存在点 P，使得四边形 POP′C 为菱形？若存在，求出此 时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大？求 出此时点 P 的坐标和四边形 ABPC 的最大面积．
考向互动探究
探究一 二次函数与三角形的结合 例 1 [2014·内江] 如图抛物线 y＝ax2＋bx＋C 经过点 A(－3，0)，C(0， 4)，点 B 在抛物线上，CB∥x 轴，且 AB 平分∠CAO.
(1)求抛物线所对应的函数解析式． (2)线段 AB 上有一动点 P，过点 P 作 y 轴的平行线，交拋物线于点 Q，求线段 PQ 的最大值． (3)抛物线的对称轴上是否存在点 M，使△ABM 是以 AB 为直角边 的直角三角形？如果存在，求出点 M 的坐标；如果不存在，说明理由．
4 MG
11
＝ 5
4
，解得 5
MG＝245，
4
∴MH＝MG＋GH＝245＋141＝9， 故点 M 的坐标为(52，9)．
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②当点 A 为直角顶点时，如图②所示．设抛物线的对称轴与 AB 交于点 G，与 x 轴交于点 H.
由①知 GH＝141.∵∠GHA＝∠BAM＝90°， ∴∠MAH＝90°－∠GAH＝∠AGM. ∵∠AHG＝∠MHA，∠AGH＝∠MAH， ∴△AGH∽△MAH，∴GAHH＝MAHH，即3＋14152＝3M＋H52， 解得 MH＝11，∴点 M 的坐标为(52，－11)． 综上所述，存在点 M，点 M 的坐标为(52，9)或(52，－11)．
第39课时┃ 二次函数与几何综合类存在性问题
解：(1)点 A 的坐标为(－3，0)，点 C 的坐标为(0，4)，∴AC ＝5.
∵AB 平分∠CAO，∴∠CAB＝∠BAO. ∵CB∥x 轴，∴∠CBA＝∠BAO， ∴∠CAB＝∠CBA，∴AC＝BC＝5， ∴点 B 的坐标为(5，4)． 将 A(－3，0)，C(0，4)，B(5，4)代入 y＝ax2＋bx＋c，得
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【例题分层分析】
(1)图中已知抛物线上几个点？将点B，C的坐标代入二次函 数的解析式．
(2)画出四边形POP′C，若四边形POP′C为菱形，那么点P必 在OC的垂直平分线上，由此能求出点P的坐标吗？
(3)由于△ABC的面积为定值，求四边形ABPC的最大面积 ，即求△BPC的最大面积．