两圆的公共弦的简易求法
作者：魏道勇
来源：《新一代》2011年第04期
摘要：圆锥曲线中求两圆的公共弦，寻求更有效解题方法。避免了大量的，繁琐的代数运算，节省了做题时间，提高了准确率。
关键词：圆锥曲线；公共弦；简易求法
中图分类号：G630文献标识码：A文章编号：1003-2851（2011）04-0141-01
圆锥曲线中求两圆的公共弦常用联立两圆的方程，消去x2与y2项后得关于x,y的一次方程，即公共弦所在的直线方程的方法解之。
例如：求圆x2+y2=4与圆x2+y2+4x-4y-1=0公共弦所在的直线的方程
同学们易联立两个方程，解出两个交点坐标，然后根据两点求出所要的公共弦的方程，显然这样做需要花费大量的运算时间，虽然做出来了，可以说是事倍功半。实际上两个方程联立相减消去x2与y2项，即(x2+y2-4)-(x2+y2+4x-4y-1)=0化简即得公共弦的方程为：4x-4y+3=0。
另外，我们在圆锥曲线中常遇到有关中点弦所在的直线方程的问题，学生习惯用设斜率k，写出直线方程与圆锥曲线方程联立，表示中点，求出k，再写出直线方程，这样虽可行，但运算量太大，易出错，现在让我们大胆联想用圆中的方法可否解决。
若圆锥曲线C的方程为：f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0点M(m,n)是曲线C的弦PQ的中点，我们来求弦PQ所在的直线的方程。
分析：如何构造出两个相似的方程呢？我们知道弦的两个端点都在曲线上，且关于中点对称，端点的坐标满足方程，这样可构造两个方程。让我们试一试。
设P的坐标为(x,y)，则Q的坐标为(2m-x,2n-y)，PQ两点都满足曲线C的方程
即有f(x,y)=0f(2m-x,2n-y)=0
亦即Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0A(2m-x)2+B((2m-x)(2n-y)+C(2n-y)2+D(2m-x)+E(2n-y)+F=0
两式相减得:f(x,y)-f(2m-x,2n-y)=0，即得：
(2mA+nB+D)x+(mB+2nC+E)y-(2m2A+2mnB+2n2C+Dm+En)=0*
当2mA+nB+D与mB+2nC+E不同时为零时，上式方程表示是直线，它是不是弦PQ所在直线的方程呢？
显然P的坐标满足*式，也易验证点M(m,n)满足*式方程，又两点确定一条直线，故*式方程可看作是P,M确定的直线方程，也就是弦PQ所在直线的方程。简记为：f(x,y)-(2m-x,2n-y)=0，
即得F(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.
下面我们用此定理来解题：
例1.已知双曲线x2-y2=2，求以M(3,1)为中点的弦所在的直线方程。
解：双曲线的方程记为f(x,y)=x2-y2-2=0，根据定理可得所求的直线方程为f(x,y)-f(6-x,2-y)=(x2-y2-2)-[(6-x)2-(2-y)2-2]=0化简为：3x-y-8=0。
例2.（2004。辽宁卷）设椭圆方程为x2+=1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A,B两点，O 是坐标原点，点P满足=(+)，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程。
解：由向量的加法易得：点P是弦AB的中点。可设P的坐标为(x0,y0)则弦AB所在的直线方程为：(x2+-1)-[(2x0-x)2+-1=0]化简得：x0(x-x0)+=0又点M(0,1)在弦AB上，把其坐标代入方程可得x0(x-x0)+=0即：4x02+y02-y0=0故动点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0。
例3.长度为l(l≥1)的线段AB，其两端在抛物线y=x2上移动，设线段AB的中点为M，求点M到x轴的最短距离及取最短距离时的点M的坐标。
解：设点M的坐标为(m,n)，则易得直线AB的方程为：
(y-x2)-[(2n-y)-(2m-x)2]=0即：y=2mx-2m2+n。与y=x2联立得：
x2-2mx+2m2-n=0，由弦长公式l=可得：
l=。又点M到轴x的距离就等于其纵坐标。
由弦长等式可解得：
n=+m2=+(1+4m2)-≥2-=
上式取等号的条件是：=(1+4m2)，解得：m=?芄即点M的坐标为：(?芄,)。
通过以上例题可看到用此法可避免了大量的，繁琐的代数运算，大大节省了做题时间，提高了准确率。让我们在以后的学习与教学中大胆的联想，寻求更有效解题方法，力求达到事半功倍的效果。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
