1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．
(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
2．线性规划相关概念
名称意义
约束条件由变量x，y组成的一次不等式
线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数欲求最大值或最小值的函数
线性目标函数关于x，y的一次解析式
可行解满足线性约束条件的解
可行域所有可行解组成的集合
最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
3.
(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：
①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；
②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．
(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于Ax ＋By ＋C >0或Ax ＋By ＋C <0，则有
①当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； ②当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． (3)最优解和可行解的关系：
最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个． 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( √ )
(3)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × ) (4)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( √ )
1．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．
答案 ⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0
解析 两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0
为所表示的可行域． 2．(教材改编)不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是________．
答案 ③
解析 用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为③. 3．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥－1，x ＋y ≥1，
3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是
________． 答案 2
解析 因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直， 所以如图所示的可行域为直角三角形，
易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)，故AB ＝2，AC ＝22， 其面积为1
2
×AB ×AC ＝2.
4．(2015·北京改编)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≤0，x ＋y ≤1，
x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为________．
答案 2
解析 可行域如图所示．目标函数化为y ＝－12x ＋1
2z ，
当直线y ＝－12x ＋1
2
z 过点A (0,1)时，z 取得最大值2.
5．(教材改编)投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)．
答案 ⎩⎪⎨⎪⎧
200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，
y ≥0
解析 用表格列出各数据
A B 总数 产品吨数 x y 资金 200x 300y 1 400 场地
200x
100y
900
所以不难看出，x ≥0，y ≥0,200x ＋300y ≤1 400,200x ＋100y ≤900.
题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
命题点1 不含参数的平面区域问题
例1 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的________．
(2)不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，x ＋3y ≥4，
3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于________．
答案 (1)③ (2)4
3
