2018年安徽省合肥168中自主招生数学试卷

2018年安徽省合肥168中自主招生数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．（5分）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①＝，②＝1，③＝﹣b，正确的个数是（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

2．（5分）把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（）

A．B．C．D．

3．（5分）有一根40cm的金属棒，欲将其截成x根7cm的小段和y根9cm的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x，y应分别为（）

A．x＝1，y＝3B．x＝4，y＝1C．x＝3，y＝2D．x＝2，y＝3 4．（5分）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（）

A．90°B．180°C．210°D．270°

5．（5分）已知m2+n2＝n﹣m﹣2，则﹣的值等于（）

A．1B．0C．﹣1D．﹣

6．（5分）如图所示，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tan B＝，则tan∠CAD的值为（）

A．B．C．D．

7．（5分）（非课改）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足+＝﹣1，则m的值是（）

A．3B．1C．3或﹣1D．﹣3或1

8．（5分）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB＝4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（）

A．（0，0）B．（1，）C．（，）D．（，）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9．（5分）在形状、大小、颜色都一样的卡片上，分别画有线段、等腰直角三角形、等边三角形、平行四边形、菱形、等腰梯形、正五边形、正六边形、圆等9个图形，小明随机抽取一张卡片，抽得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是．10．（5分）直线y＝kx+b经过A（2，1）、B（﹣1，2）两点，则不等式＞kx+b＞﹣2的解集为．

11．（5分）因式分解：x3﹣6x2+11x﹣6＝．

12．（5分）当两个圆有两个公共点，且其中一个圆的圆心在另一圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．如果⊙O1、⊙O2半径分别3和1，且两圆“内相交”，那么两圆的圆心距d的取值范围是．

13．（5分）把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二）．已知∠MPN＝90°，PM＝3，PN＝4，那么矩形纸片ABCD的面积为．

14．（5分）如图，抛物线y＝x2﹣x﹣6交x轴于A、C两点，交y轴于点B；将抛物线y ＝x2﹣x﹣6向上平移个单位长度、再向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新抛物线；若新抛物线的顶点P在△ABC内，则m的取值范围是．

三、解答题（本大题共3小題，共40分）

15．（12分）在同一平面内有n条直线，任何两条不平行，任何三条不共点．当n＝1时，如图（1），一条直线将一个平面分成两个部分；当n＝2时，如图（2），两条直线将一个平面分成四个部分；则：当n＝3时，三条直线将一个平面分成部分；当n＝4时，四条直线将一个平面分成部分；若n条直线将一个平面分成a n个部分，n+1条直线将一个平面分成a n+1个部分．试探索a n、a n+1、n之间的关系．

16．（14分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），与y轴交于点C（0，﹣3），且OA＝2OC．

（1）求这条抛物线的表达式及顶点M的坐标；

（2）求tan∠MAC的值；

（3）如果点D在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD＝45°，求点D的坐标．

17．（14分）如图，△ABC中，AC＝16，∠BAC＝60°，AB＝10，⊙P分别与边AB、AC 相切于D、E（切点D、E不在边AB、AC的端点），ED的延长线与CB的延长线相交于点F．

（1）求BC边的长和△ABC的面积；

（2）设AE＝x，DF＝y，写出y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（3）探索△ADC与△DBF能否相似？若能相似，请求出x的值，同吋判断此吋⊙P与边BC的位置关系，并证明之；若不能相似，请说明理由．