解：（1）令2121=-x ，则4
1
=
x ， 1715
)21(=
=∴Λf
法二：令t x =-21，则
21t
x -=
，
22
2523)()]([t t t t t f x g f +--+=
==∴Λ， 1715)21(=
=∴Λf
1)]}1([{)0(;0)1(;2)1()2(+=-==-=ππf f f f f f
例5. 己知)
1(2log )(+=x x f ，当点（x ，y ）在)(x f y =的图象上运动，点)3,2(x
y 在)
(x g y =的图象上运动，求)(x g y =的解析。
解：P （x ，y ）是)(x g y =的图象上任一点，则（3 y ，2 x ）在)(x f y =的图象上，即
)13(2log 2+=y x
故
314-=
x y 因此，)(x g 的解析式是=)(x g 314-x 。
例6. 求下列各函数的值域
2234)1(x x y -+-=
x x y -+-=
53)2(
3221
)3(2
2+-+-=x x x x y
23
4
18
12
3
)4(2
2-
-
+
-
=x
x
x
x
y
]1,0[
1
2
2
)5(∈
-
-
+
=x
x
x
y
1
2
3
)6(2
2
-
+
=x
x
y
2
)2
(
|1
|
)7(-
+
+
=x
x
y
解：
.4
2
4
4
)1
(
4
2
2
4
)1
(
4
4
)1
(
4
)1
(
4
)1(
2
2
2
2
≤
≤
∴
≤
+
-
-
-
≤
∴
≤
+
-
-
≤
∴
≤
+
-
-
≤
+
-
-
-
=
y
x
x
x
x
y
（2）
5
3
5
3
≤
≤
?
?
?
≥
-
≥
-
x
x
x
得
由
∴函数定义域为[3,5]
2
2
4
2
)4
(
1
2
2
)
5
)(
3
(
2
2
2
2
2
≤
≤
∴
>
≤
≤
∴
-
-
+
=
-
-
+
=
y
y
y
x
x
x
y
Θ
Θ
又
]2,
2
[
函数的值域为
∴
（3）由已知得(2y-1)x2-(2y-1)x+(3y-1)=0 (*)
若2y-1≠0，则∵x∈R
∴Δ=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)≥0 即(2y-1)(10y-3)≤0
2
1
10
3
2
1
10
3
<
≤
∴
≤
≤
∴
y
y
值域
说明：
分母”的方法，化成
的值域，常可利用“去
求形如
f
ex
dx
c
bx
ax
y
+
+
+
+
=
2
2
m(y)x 2+n(y)x+p(y)=0的形式，再利用x ∈R ，由Δ≥0求出y 的取值范围，但需注意两点：1. 要分m(y)=0和m(y)≠0两种情况讨论，只有m(y)≠0时，才可利用判别式； 2. 在求出y 的取值范围后，要注意“=”能否取到。 （4）
2044)2(44)3(3231834423418)4(3222222222≤≤≤+--=-+--=-+-=∴=-=---+--=t x x x t t t y t x x t x x x x x x y ，知由，则令
∴y max =1，y min =-23 ∴原函数值域 -23≤y ≤1 （5）在定义域范围内单增，在定义域范围内单调递x y x y -=+=
12221调递减
2
12)
1(202)0(12]1,0[122max min ≤≤-∴==-==-=∴∈--+=∴y x y x y x x x y 原函数值域时当时当内单调递增在
说明：在利用函数的单调性求值域时，应注意如下结论：在共同定义域上，设“f 型”是增函数，“g 型”是减函数，则①f 1(x)+f 2(x)是增函数；②g 1(x)+g 2(x)是减函数；③f(x)-g(x)是增函数；④g(x)-f(x)是减函数．但当两个单调函数之间的运算符号为“x ”、“÷”时，则不具有这种规律． （6）
}162|{2
24
2623231
62123
62232234
2422222
222-≥∴±
=∴=
==-≥-+=∴=?≥+y y x x x x x
x x y x x
x x 值域是有得得又由由
（7）
?????>-≤≤--<+-=-++=)2(12)21(3)
1(12|2||1|x x x x x x x y
由图象知：值域为y ≥3
【模拟试题】
1. 已知
,
141
)4(2
2--=
-x x f 则)(x f 的定义域是
（ ）
（A ）[－2，2] （B ）[0，2] （C ）]2,1()1,0[U
（D ）]2,3()3,2[---U
]2,1[)(]
3,1[)(]
2,1[)(]
2,0[)()
(1.2D C B A x x y 的值域为函数-+=
3. 已知
210)(1
-=-x x f ，则=-)8(1
f
（ ） （A ）12 （B ）8
（C ）4
（D ）2
]3,()()
,3[]3,()(]0,()(]
,0[)()
()2(1)(.42--∞∞+--∞-∞∞+-≤--=D C B A x x x f Y 的反函数的定义域为函数
5. 函数2
1x x y -+=的最大值和最小值分别是 （ ） （A ）0,2
（B ）1，－1
（C ）1,2-
（D ）2,2-
6. 设),()(+∞-∞是x f 上的奇函数，)5.7(,)(,10),()2(f x x f x x f x f 则时当=≤≤-=+=（ ） （A ）0.5 （B ）－0.5
（C ）1.5
（D ）－1.5
7. 下列五组函数
①
3
)
5)(3(1+-+=
x x x y 52-=x y ；②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y ；
③x x f =)( 2)(x x g =
④x x f =)( 33)(x x F =
⑤2
1)52()(-=x x f 52)(2-=x x f 其中_____中的两个函数是同一函数
8. 若)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，且,
11)()(-=
+x x g x f 则)(x f = ．
9. 若)(x f =∑=-n
k k x 1
2
)
(，则)(x f 的最小值是 ．
10. 设y x u xy y x y x 4,,0,0+==+>>求且的取值范围．
11. 求函数
)(log )1(log 11
log )(222
x p x x x x f -+-+-+=的定义域和值域．
12. 如图，函数]
1,1[||.23
-∈=x x y 在的图象上有两点A ，B ，AB//O x 轴，点M （1，m ） （m 是已知实数，且
)
23>m 是△ABC 的BC 边的中点。 （Ⅰ）写出用B 点横坐标t 表示△ABC 面积S 的函数解析式S=f （t ）； （Ⅱ）求函数S=f （t ）的最大值，并求出相应的C 点坐标。
【试题答案】
1. C ：令].2,1()1,0[],2,1()1,0[,1.11
)(,20,42Y Y ∈∈≠∴-=
≤≤-=x u u u u f u x u 即
2. D
3. D ：由
.
2)8(,2,11,1010,82101
11===-∴==----f
x x x x 那么即
4. D
5. C ：令),
22
(sin π
θπ
θ≤
≤-
=x 则
).4
sin(2cos sin π
θθθ+
=+=y ,
434
4
ππθπ≤+≤-∴
.1,2,1)4sin(22min max -==∴≤+≤-
∴y y π
θ
6．B ：.5.0)5.0()5.0()5.02()5.1()5.16()5.7(-=-=-=--=-=+=f f f f f f 7. ④
8．,
11
)()(,11)()(:12
+-=+---=-+--x x g x f x x g x f x x 即与11)()(-=+x x g x f 联立，消去)(x g 得
.1)(2-=
x x
x f
9．)
21()321(2)()2()1()(:)(12122222223
n x n nx n x x x x f n n ++++++++-=-++-+-=-ΛΛΛ
).12)(1(61
)1(2+++
+-=n n n x n n nx
).
(1214)]1([)12)(1(61
4|)(32
min n n n n n n n n n x f -=+-++?=
10．)
1(1,0,0,>-=∴>>=+x x x
y y x xy y x Θ （*）
将（*）代入
).1(14,4>-+
=+=x x x
x u y x u 得
5
14)1(141)1(4,014,0+-+-=-+--+=∴>->x x x x x x u x x x Θ,951
4)1(2=+-?-≥x x
当且仅当
14
1-=
-x x 时，即x=3时等号成立．∴u 的取值范围是),9[+∞．
11．函数)(x f 的定义域由下列不等式组确定
.1,0,01,011p x x p x x x <<∴????
???>->->-+
).
1](4)1()21([log )])(1[(log )(2222p x p p x x p x x f <<++---=-+=Θ
令
,4
)1()21()(2
2++--
-==p p x x g u
.21,1->
∴>p p p Θ而抛物线)(x g u =的对称轴方程为
.
21-=p x 当
.2)1(log 24)1(log .4)1()21(,3),,1(2122
2max 2max -+=+=∴+=-=>∈-p p y p p g u p p p 时即
故函数的值域为];2)1(log 2,(2-+-∞p
当,
31,121
时即≤<≤-p p u 无最大值和最小值。
但),
1(24)1()211()1(2
2-=++---=
).1(log 1)]1(2[log 22-+=-<∴p p y
故函数)(x f 的值域为
)).
1(log 1,(2-+-∞p
12. （I ）依题意，设).
,(),0)(23
,(),23,(00y x C t t t A t t B >-
M Θ是BC 的中点．,223
,120
0m y t x t =+=+∴
.
23
2,200t m y t x -=-=∴ 在△ABC 中，|AB|=2t ，AB 边上的高.
322
3
0t m t y h AB -=-=
),
32(221
||21t m t h AB S AB -??=?=
∴ 即].1,0(,23)(2∈+-=t mt t t f
（Ⅱ）
].1,0(,3
)3(3232
22∈+-
-=+-=t m m t mt t S Θ若,323,2313
0≤
>≤当,3,32max m S m t ==时相应的C 点坐标是).23,32(m m -若)
(,3,13t f S m m
=>>即在区间]1,0(上是
增函数，
,32)1(max -==∴m f S 相应的C 点坐标是).32,1(-m
