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◦ 研究证明在交易所开盘交易时的波动率比交易所关闭时的 波动率要大很多； ◦ 因此，当由历史数据估计波动率时，分析员常常忽略交易 所关闭的天数。
在计算时通常假定每年有252个交易日，因此年波 动率是日波动率的 252 倍。
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波动率的定义 金融资产的收益率是否服从正态分布 从期权价格反推波动率：隐含波动率 采用历史数据来估算波动率 检测日波动率 波动率模型的参数估计 波动率预测
s (u n 1
i 1 i
u)
或
s
n 1 n 2 1 2 u ( u ) i n(n 1) i n 1 i 1 i 1
1.当x>3时，汇率的日收益率大于x 个标准差的概率的对数与lnx近似呈 线性关系； 2.这说明可以借助幂率分析汇率的 日收益率的分布特征。
提问：如何得到常数 K 及 a ？
？
提问：如何得到常数 K 及 a ？ 线性回归。 以上面汇率日收益率的例子为例：
◦ 利用上表中x=3,4,5,6的数据对以下多元线性回归模型进 行回归 ◦ ◦ ln[Prob(v > x)] = ln K-a ln x+ε ◦ 从而得到 lnK=1.06, a5.51
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波动率的定义 金融资产的收益率是否服从正态分布 从期权价格反推波动率：隐含波动率 采用历史数据来估算波动率 检测日波动率 波动率模型的参数估计 波动率预测
期权公式中唯一不能直接观察到的一个参数就是股 票价格的波动率。
c S(d1 ) Xer (T t )(d2 )
现实当中，股票收益率一般不服从正态分布，而是 具有尖峰厚尾的特征：
◦ 其尾部比（同期望同方差的）正态分布的尾部要肥大 ◦ 其峰值比（同期望同方差的）正态分布的峰值要高
厚尾分布所对应的极大及极小变化数量事件比在正 态分布中相应数量要多。 很多市场变量都有这种被称为厚尾的特性。
百度文库
峰度系数（Kurtosis ）是对数据分布平峰或尖峰程 度的测度。
期权公式中唯一不能直接观察到得一个参数就是股 票价格的波动率。
c S(d1 ) Xer (T t )(d2 )
ln(S / X ) (r 2 2)(T t ) , d2 d1 T t 其中， d1 T t
隐含波动率是从期权价格隐含反推计算出的波动率。
可以采用数值方法求解隐含波动率，也可以采用计 量方法估计隐含波动率。
VIX指数是S&P500指数的波动率指数
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波动率的定义 金融资产的收益率是否服从正态分布 从期权价格反推波动率：隐含波动率 采用历史数据来估算波动率 检测日波动率 波动率模型的参数估计 波动率预测
在分析很多市场变量的收益行为时，利用幂律似乎 要比利用正态分布更好。
◦ 比如估计波动率、计算VaR。
将幂率公式变形为： ln[Prob(v > x)] = ln K-a ln x 可以通过画ln[Prob(v > x)]与 ln x 的关系曲线来验 证幂率的准确性（即是否适用于特定研究对象）。 见下面的例子。
ui 的波动率用其标准差 衡量。
假设日对数收益率 ui 服从正态分布，则可以根据日 波动率 计算该资产的T日波动率：
T
提问：年波动率如何计算？
假设Si为金融资产在第i日的价格，该资产的对数收 益率为：
ui ln( Si Si 1 )
ui 的波动率用其标准差 衡量。
假设日对数收益率 ui 服从正态分布，则可以根据日 波动率 计算该资产的T日波动率：
ln(S / X ) (r 2 2)(T t ) , d2 d1 T t 其中， d1 T t
c 表示期权的价格，S表示标的资产的价格、r表示 无风险利率、T表示到期时间、t表示第t期，X 表示 () 期权的执行价格，σ 表示标的资产价格的波动率， 表示标准正态分布的分布函数。
T
提问：年波动率如何计算？
假设Si为金融资产在第i日的价格，该资产的对数收 益率为：
ui ln( Si Si 1 )
ui 的波动率用其标准差 衡量。
假设日对数收益率 ui 服从正态分布，则可以根据日 波动率 计算该资产的T日波动率：
T
提问：年波动率如何计算？
在计算波动率时，我们应当采用日历天数还是交易 天数？
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波动率的定义 金融资产的收益率是否服从正态分布 从期权价格反推波动率：隐含波动率 采用历史数据来估算波动率 检测日波动率 波动率模型的参数估计 波动率预测
假设Si为金融资产在第i日的价格，该资产的对数收 益率为：
ui ln( Si Si 1 )
1 Skewness ( xi x ) / 4 n 1 i 1
◦ 若峰度系数为3，称为正态分布； ◦ 若峰度系数大于3，称为尖峰分布； ◦ 若峰度系数小于3，称为扁平分布。
n 4
幂律（power law）：对于许多变量 v 而言，存在 常数 K 及 a ，使得当 x 很大时，下式成立： Prob(v > x) = Kx-a
假设S是某股票的价格； 取过去的n+1个观测值； 单位时间间隔的长度为 τ ； S表示第i个时间段结束时的观测值，i=0,1,…,n； 第i个区间的收益率为：
ui ln( Si Si 1 )
ui
的波动率如何估计？
假设S是某股票的价格； 取过去的n+1个观测值； 单位时间间隔的长度为 τ ； S表示第i个时间段结束时的观测值，i=0,1,…,n； 第i个区间的收益率为： ui ln( Si Si 1 ) ui 的波动率如何估计？ 无偏估计： _ 1 n 2
