2019届江西省、临川一中高三1月联考数学(理)试卷【含答案及解析】

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设{|{|ln(1)}A x y B y y x ====+，则AB =（ ）A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x ≤C ．{|11}x x -<≤D ．∅ 【答案】B 【解析】试题分析：根据题意，可知(,1]A =-∞，B R =，所以A B ={|1}x x ≤，故选B.考点：集合的运算.2.已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域（ ） A ．[]-37，B ．[]-14，C ．[]-55，D ． []052， 【答案】D 【解析】试题分析：由[2,3]x ∈-得1[1,4]x +∈-，由21[1,4]x -∈-，解得5[0,]2x ∈，故选D. 考点：函数的定义域.3.命题“存有04,2<-+∈a ax x R x 使，为假命题”是命题“016≤≤-a ”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：根据题意为240x ax a +-≥恒成立，即2160a a +≤，解得016≤≤-a ，所以为充要条件，故选A. 考点：充要条件的判断.4.若幂函数a mx x f =)(的图像经过点)21,41(A ，则它在点A 处的切线方程是（ ）A ．02=-y xB ．02=+y xC ．0144=+-y xD ．0144=++y x 【答案】C 【解析】试题分析：根据函数a mx x f =)(为幂函数，所以1m =，根据图像经过点)21,41(A ，则有12α=，所以12()f x x =，'()f x =，1'()14f =，根据直线方程的点斜式，求得切线方程是0144=+-y x ，故选C.考点：幂函数解析式的求解，导数的几何意义，函数图像的切线方程. 5.将函数sin(4)6y x π=-图象上各点的横坐标伸长到原的2倍，再向左平移4π个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ） A 12x π=B. 6x π=C 3x π=D12x π=-【答案】A 【解析】试题分析：根据题意，变换以后的函数解析式为sin(2)3y x π=+，根据函数的性质，可知函数图象的一条对称轴的方程是12x π=，故选A.考点：函数图像的变换. 6.函数xxy 24cos =的图象大致是（ ）【答案】A 【解析】试题分析：根据函数解析式可知函数是非奇非偶函数，所以图像不关于y 轴对称，所以C,D 不准确，当x 趋向于正无穷时，2x 趋向于正无穷，而余弦函数是有界的，所以y 趋向于0，故B 不对，只能选A. 考点：函数图像的选择.7.已知定义在R 上的偶函数，()f x 在0x ≥时，()ln(1)xf x e x =++，若()()1f a f a <-，则a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．1(,)2-∞C ．1(,1)2D ．()1,+∞ 【答案】B 【解析】试题分析：根据题中所给的函数解析式，可知函数在[0,)+∞上是增函数，根据偶函数图像的对称性，可知函数在(,0]-∞上是减函数，所以()()1f a f a <-等价于1a a <-，解得12a <，故选B. 考点：偶函数的性质. 8.下列四个命题： ○1∃x ∈(0, ＋∞), (12)x ＜(13)x ； ○2∃x ∈(0, 1), log 12x ＞log 13x ； ○3∀x ∈(0, ＋∞), (12)x＞log 12x ； ○4∀x ∈(0, 13), (12)x ＜log 13x. 其中真命题是（ ） A ．○1○3 B ．○2○3C ．○2○4D ．○3○4【答案】C考点：指对函数的图像和性质.9.已知符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,1,0,0,0,1)sgn(x x x x 则函数x x x f 2ln )sgn(ln )(-=的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】试题分析：根据题中所给的函数解析式，能够求得函数的零点为,1e ，所以函数的零点的个数为2个，故选B. 考点：函数的零点.10.设奇函数()x f 在[]1,1-上是增函数，且()11-=-f ，当[]1,1-∈a 时， ()122+-≤at t x f 对所有的[]1,1-∈x 恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．22t -≤≤B ．2t ≥或2t ≤-C ．2t >或2t <-或0t =D ． 2t ≥或2t ≤-或0t =【答案】D 【解析】试题分析：根据题意有2max ()21f x t at ≤-+，根据奇函数的性质，可知函数的最大值为(1)1f =，所以有220t at -≥对于[]1,1-∈a 恒成立，所以有2()20g a ta t =-+≥在[]1,1-∈a 恒成立，即22(1)20(1)20g t t g t t ⎧-=+≥⎨=-+≥⎩，解得2t ≥或2t ≤-或0t =，故选D. 考点：构造函数，恒成立问题.11.已知函数)(x f 满足)1(11)(+=+x f x f ，当]1,0[∈x 时x x f =)(，函数m mx x f x g --=)()(在]1,1(-内有2个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．]21,0(B ．]21,1(-C ．),21[+∞D ．]21,(-∞ 【答案】A 【解析】试题分析：根据题中所给的函数解析式，可知函数在(1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，函数m mx x f x g --=)()(在]1,1(-内有2个零点，相当于函数()f x 的图像与直线(1)y m x =+有两个交点，而图像过点(1,1)，此时12m =，结合函数的图像，可知m 的取值范围是]21,0(，故选A.考点：函数的零点，数形结合思想.12.定义一：对于一个函数()()f x x D ∈，若存有两条距离为d 的直线1m kx y +=和2m kx y +=，使得在D x ∈时，21)(m kx x f m kx +≤≤+ 恒成立，则称函数)(x f 在D 内有一个宽度为d的通道.定义二：若一个函数)(x f ，对于任意给定的正数ε，都存有一个实数0x ，使得函数)(x f 在),[0∞+x 内有一个宽度为ε的通道，则称)(x f 在正无穷处有永恒通道.下列函数①()ln f x x =,②sin ()x f x x=，③()f x =，④()x f x e -=， 其中在正无穷处有永恒通道的函数的个数为（ ） A. 1 B.2 C. 3 D.4 【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，结合函数图像，可知只有①没有，剩下三个都能够，所以选C. 考点：新定义.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若函数()xxk k x f 212⋅+-=在其定义域上为奇函数，则实数=k ．【答案】1± 【解析】试题分析：根据奇函数的条件，当函数在0点有定义时，可知1(0)01k f k-==+，解得1k =，当函数在0点没有定义时，求得10k +=，解得1k =-，经验证函数是奇函数，故=k 1±. 考点：奇函数的定义.14.定义在R 上的奇函数()f x 满足3()(),(2014)2,2f x f x f -=+=则(1)f -= ． 【答案】2-考点：利用函数的周期性及奇偶性求函数值.15.已知命题p ：关于x 的方程220x mx --=在[0,1]x ∈有解；命题221:()log (2)2q f x x mx =-+在[1,)x ∈+∞单调递增；若“p ⌝”为真命题，“p q ∨”是真命题，则实数m 的取值范围为 ． 【答案】3(1,)4- 【解析】试题分析：根据题意，关于x 的方程220x mx --=在[0,1]x ∈有解，可得120m --≥，从而求得1m ≤-；221()log (2)2f x x mx =-+在[1,)x ∈+∞单调递增，可得111202m m ≤⎧⎪⎨-+>⎪⎩，解得34m <，根据“p ⌝”为真命题，“p q ∨”是真命题，可知p 假q 真，所以实数m 的取值范围为3(1,)4-.考点：命题的真假判断，参数的取值范围.16.对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立； ②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式2()f x x≤恒成立． 则其中所有真命题的序号是 ． 【答案】①③④ 【解析】试题分析：根据题中所给的函数解析式，可知函数在[0,)+∞上的最大值和最小值分别是1和1-，所以①对，()2(2)k f x f x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立，故②错，根据图像可知函()ln(1)y f x x =--有3个零点，故③对，根据图像，能够判断④准确，故答案为①③④.考点：函数的性质，数形结合思想.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知集合}2733|{≤≤=xx A ，}1log |{B 2>=x x ． （1）分别求B A ，()R C B A ；（2）已知集合{}a x x C <<=1，若A C ⊆，求实数a 的取值集合． 【答案】（1）{}|23A B x x ⋂=<≤，{|3}R C B A x x ⋃=≤；（2）3a ≤. 【解析】试题分析：第一问结合指数函数和对数函数的单调性求解集合,A B ，再根据集合的交并补集中元素的特点，求得结果，第二问注意对集合C 是否为空集实行讨论，在非空的条件下，结合数轴来解决即可. 试题解析：（1）3327x ≤≤即13333x ≤≤，13x ∴≤≤，∴{}31≤≤=x x A ，2log 1x >，即22log log 2x >，2x ∴>∴{}2B x x =>，{}|23A B x x ∴⋂=<≤；{}2R C B x x =≤，{|3}R C B A x x ∴⋃=≤（2）由（1）知{}31≤≤=x x A ，当A C ⊆当C 为空集时，1a ≤当C 为非空集合时，可得 31≤<a 综上所述3a ≤考点：集合的运算，参数的取值范围，交并补集，子集.18.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点11()A x y ，在单位圆O 上，xOA α∠=，且 62ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．（1）若11cos()313πα+=-，求1x 的值； （2）若22()B x y ，也是单位圆O 上的点，且3AOB π∠=．过点A B 、分别做x 轴的垂线，垂足为C D 、，记AOC ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积为2S ．设()12f S S α=+，求函数()f α的最大值．【答案】（1）1126x =；（2）max ()3f παα==时， 【解析】试题分析：第一问根据题意可知1cos x α=，利用题中所给的条件，利用差角公式求得cos α的值，第二问利用三角函数的定义式，结合图形将三角形的面积用三角函数来表示，即将函数解析式转化为关于α的函数关系式，利用和差角公式，辅助角公式化简，结合自变量的取值范围，求得函数的最大值.试题解析：（1）由三角函数的定义有1cos x α=， ∵11cos()()31362πππαα+=-∈，，，∴sin()3πα+=， ∴ 1cos cos ()33x ππαα⎡⎤==+-⎢⎥⎣⎦cos()cossin()sin 3333ππππαα=+++ 111113226=-⋅+=． （2）由1sin y α=，得111111cos sin sin 2224S x y ααα===．由定义得2cos()3x πα=+，2sin()3y πα=+，又5()()62326πππππαα∈+∈由，，得，，于是，22211cos()sin()2233S x y ππαα=-=-++12sin(2)43πα=-+∴ 12112()sin 2sin(2)443f S S πααα=+=-+=1122sin 2(sin 2cos cos 2sin )4433ππααα-+=3sin 228αα-12cos 2)2αα-)6πα-，5()2()62666πππππαα∈-∈由，，可得，，262ππα-=于是当，即max ()3f παα==时， 考点：三角函数和差角公式，三角函数的定义式，辅助角公式，三角函数的最值问题.19.（本小题满分12分）已知函数()x af x x b+=+（a 、b 为常数）． （1）若1=b ，解不等式(1)0f x -<； （2）若1a =，当[]1,2x ∈-时，21()()f x x b ->+恒成立，求b 的取值范围．【答案】（1）1a <时，解集为：(0,1)a -， 1a =时，解集为：∅， 1>a 时，解集为：(1,0)a -，（2）1b >-. 【解析】试题分析：第一问不等式为10x ax-+<，将其转化为正式不等式(1)0x x a -+<，需要对1a -和0比较大小，从而求得结果，第二问式子为211()x x b x b +->++，等价于()(1)1x b x ++>-，能够发现x b ≠-，易知当1x =-时，不等式显然成立，所以式子转化为111(1)11b x x x x >--=-++++恒成立，转化为最值来处理，结合自变量的取值范围，利用基本不等式求得最值，从而求得结果. 试题解析：（1）∵()x a f x x b +=+，1=b ，∴()1x af x x +=+，∴()()11(1)11x a x a f x x x -+-+-==-+，∵(1)0f x -<，∴10x ax-+<，等价于()10x x a --<⎡⎤⎣⎦， ①10a ->，即1a <时，不等式的解集为：(0,1)a -， ②当10a -=，即1a =时，不等式的解集为：∅，③当01<-a ，即1>a 时，不等式的解集为：(1,0)a -，（2）∵1a =，21()()f x x b ->+， ∴211()(1)1()x x b x x b x b +->⇔++>-++ （※）显然x b ≠-，易知当1x =-时，不等式（※）显然成立； 由[]1,2x ∈-时不等式恒成立，当12x -<≤时，111(1)11b x x x x >--=-++++，∵10x +>，∴()1121x x ++≥=+， 故1b >-． 综上所述，1b >-．考点：解不等式，恒成立问题，基本不等式.20.（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点．（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,AB BC CF DE ⊥=，45BAC ∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．【答案】（Ⅰ）证明见解析； （Ⅱ）60. 【解析】试题分析：第一问连结相对应的线段，利用平行四边形的判定定理和性质定理，证得TH//DB ，利用线面平行的判定定理证得线面平行，第二问建立空间坐标系，求得平面的法向量，利用法向量所成的角的余弦求得二面角的余弦值.试题解析：（Ⅰ）证明：连接DG ，DC ，设DC 与GF 交于点T ．在三棱台DEF ABC -中，2,AB DE =则2,AC DF =而G 是AC 的中点，DF//AC ，则//DF GC ,所以四边形DGCF 是平行四边形,T 是DC 的中点，又在BDC ∆,H 是BC 的中点，则TH//DB ，又BD ⊄平面FGH ，TH ⊂平面FGH ，故//BD 平面FGH ；（Ⅱ）由CF ⊥平面ABC ,可得DG ⊥平面ABC 而,45,AB BC BAC ⊥∠=则GB AC ⊥,于是,,GB GA GD 两两垂直，以点G 为坐标原点，,,GA GB GD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =,则1,DE CF AC AG ====((B C F H ， 则平面ACFD 的一个法向量为1(0,1,0)n =u r ，设平面FGH 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r ，则2200n GH n GF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r uuu r u u r uuu r ,即222200x y z -=⎪+=⎩， 取21x =，则221,y z ==2n =u u r ，121cos ,2n n <>==u r u u r ，故平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60． 考点：线面平行的判定，二面角的余弦值.21.（本题满分12分）如图，O 为坐标原点，点F 为抛物线C 1：)0(22>=p py x 的焦点，且抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2：122=+y x 相切于点Q ．（Ⅰ）当直线PQ 的方程为02=--y x 时，求抛物线C 1的方程；（Ⅱ）当正数p 变化时，记S 1 ，S 2分别为△FPQ ，△FOQ 的面积，求21S S 的最小值．【答案】（Ⅰ）y x 242=； （Ⅱ）223+.【解析】试题分析：第一问要求抛物线的方程，任务就是求p 的值，根据导数的几何意义，设出切点坐标，从而求得10=px ，再根据切点在切线上，得022200=--p x x ，从而求得22=p ，进而得到抛物线的方程，第二问根据三角形的面积公式，利用题中的条件，将两个三角形的面积转化为关于p 和切点横坐标的关系式，从而有424200001242200(2)(2)82(4)x x x x S S p x x --==-2220002200(2)4432(4)24x x x x x --==++--，利用基本不等式求得最值.试题解析：（Ⅰ）设点)2,(200px x P ，由)0(22>=p py x 得，p x y 22=，求导p x y ='， ……2分 因为直线PQ 的斜率为1，所以10=px 且022200=--p x x ，解得22=p ， 所以抛物线C 1 的方程为y x 242=．（Ⅱ）因为点P 处的切线方程为：)(20020x x px p x y -=-，即022200=--x py x x ，根据切线又与圆相切，得r d =，即14422020=+-p x x ，化简得2204044p x x +=，由04420402>-=x x p ，得20>x ，由方程组200222201x x py x x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，解得)24,2(200p x x Q -，202)x --， 点)2,0(p F 到切线PQ的距离是204x d =， 所以32010||1(2)216x S PQ d x p=⋅=-， 02221x p x OF S Q ==， 所以424200001242200(2)(2)82(4)x x x x S S p x x --==-32234424)4(2)2(2020202020+≥+-+-=--=x x x x x ， 当且仅当44242020-=-x x 时取“＝”号，即22420+=x ，此时，222+=p ， 所以21S S 的最小值为223+． 考点：导数的几何意义，三角形的面积，基本不等式.22.（本小题满分12分）已知函数()()3221ln 2f x a x x a a x =+-+（R a ∈）， ()223ln 2g x x x x x =--．（Ⅰ）求证：()g x 在区间[]2,4上单调递增；（Ⅱ）若2a ≥，函数()f x 在区间[]2,4上的最大值为()G a ，求()G a 的解析式，并判断()G a 是否有最大值和最小值，请说明理由（参考数据：0.69ln 20.7<<）【答案】（Ⅰ）证明见解析； （Ⅱ）332321ln (24),()22ln 2448(4).a a a a a G a a a a a ⎧--≤≤⎪=⎨⎪--+>⎩，()G a 有最小值，没有最大值．试题解析：（Ⅰ）证明：∵22()3ln 2g x x x x x =--，∴()6ln 1g x x x x '=--， 设()6ln 1h x x x x =--，则()6ln 5h x x '=+，∴当24x <<时，()0h x '>，∴()h x 在区间(2,4)上单调递增．∵(2)3(4ln 21)0h =->，∴当24x <<时，()(2)0h x h >>．∴()g x 在区间[2,4]上单调递增． （Ⅱ）∵3221()ln ()2f x a x x a a x =+-+(a ∈R )， ∴()f x 的定义域是(0,)+∞，且32()()a f x x a a x '=+-+，即2()()()x a x a f x x--'=． ∵a ≥2，∴2a a <，当x 变化时，()f x 、()f x '变化情况如下表：∴当24a ≤≤时，24a ≥，()f x 在区间[2,4]上的最大值是3321()ln 2f a a a a a =--． 当4a >时，()f x 在区间[2,4]上的最大值为32(4)2ln 2448f a a a =--+． 即 332321ln (24),()22ln 2448(4).a a a a a G a a a a a ⎧--≤≤⎪=⎨⎪--+>⎩ （1）当24a <<时，22()3ln 2G a a a a a '=--．由（Ⅰ）知，()G a '在(2,4)上单调递增．又(2)2(6ln 25)0G '=-<，(4)12(8ln 23)0G '=->，∴存有唯一0(2,4)a ∈，使得0()0G a '=，且当02a a <<时，()0G a '<，()G a 单调递减，当04a a <<时()0G a '>，()G a 单调递增．∴当24a ≤≤时，()G a 有最小值0()G a ．（2）当4a >时，2228()6ln 2846ln 2()43ln 23ln 2G a a a a '=--=---， ∴()G a '在(4,)+∞单调递增．又(4)12(8ln 23)0G '=->，∴当4a >时，()0G a '>．∴()G a 在(4,)+∞上单调递增．综合（1）（2）及()G a 解析式可知，()G a 有最小值，没有最大值．考点：导数的应用.。

2019届江西省重点中学高三下学期第一次联考高三数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是虚数单位，则( )A. 2B.C. 4D.【答案】B2.集合，，则 ( )A. B. C. D.【答案】C3.已知向量，，，则与的夹角为( )A. B. C. D.【答案】B4.如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是 ( )A. B. C. D.【答案】B5.已知圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边形是矩形，则等于 ( )A. B. C. D.【答案】C6.函数的图象大致为 ( )A. B.C. D.【答案】A7.若，，则下列不等式正确的是 ( )A. B. C. D.【答案】D8.已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为( )A. B. C. D.【答案】B9.函数的定义域为，且，当时，；当时，，则( )A. 671B. 673C. 1343D. 1345【答案】D10.如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A. B. C. D.11.函数与函数的图像关于点对称，且，则的最小值等于 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D12.已知函数，若关于的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.若x，y满足，则的最小值为____【答案】214.在的展开式中常数项等于___【答案】915.已知双曲线的左右焦点分别为、，点在双曲线上，点的坐标为，且到直线，的距离相等，则 ___【答案】416.在中，内角所对的边分别为，是的中点，若且，则面积的最大值是___【答案】三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列满足，（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。

2019-2020学年临川一中高一(下)第一次月考数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知△ABC中，a=2√2，b=2√3，B=60°，那么角sin A等于()A. −√22B. 1 C. √22D. 122.在△ABC中，若AB=√13，BC=3，C=120°，则AC的值为()A. 1B. 2C. √2D. √33.在等比数列{a n}中，a2a3a4=8，a7=32，则a2=()．A. −1B. 1C. ±1D. 24.等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n和T n，若S nT n =2n+13n+2，则a3+a11+a19b7+b15=()A. 6970B. 129130C. 123124D. 1351365.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，S5=35，则a3=A. 5B. 7C. 9D. 116.已知数列{a n}满足2a n−a n a n+1=1，a1=32，则a2021=()A. 20202019B. 20212020C. 20222021D. 202320227.在△ABC中，A=60°，a=5，b=6，那么满足条件的△ABC()A. 有一个解B. 有两个解C. 无解D. 不能确定8.已知等差数列{a n}的前17项之和S17>0，则下列一定成立的是()A. a17>0B. a16>0C. a9>0D. a8>09.在等比数列{a n}中，a1=2，若数列{a n+1}也是等比数列，则{a n}的前n项和S n等于()A. 2n+1−2B. 3nC. 2nD. 3n−110.已知数列{a n}的各项均为正数，且满足a n+12−a n2−2(a n+1+a n)=0，且a2,a4,a8成等比数列，则数列{1a n a n+1}的前2019项和为()A. 20192020B. 10098080C. 20198080D. 2018202111.已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=n√3√3a+1∈N∗)，则a2016等于()A. 0B. −√3C. √3D. √3212.已知数列a1=1，a2=2，且a n+2−a n=2−2(−1)n，n∈N∗，则S2017的值为()A. 2016×1010−1B. 1009×2017C. 2017×1010−1D. 1009×2016二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在△ABC中，a=√3b，A=120°，则角B的大小为______ ．14.若一个三角形的三边是连续的正整数，且最大角是最小角的2倍，则这个三角形最大角的余弦值为______．15.已知数列{a n}满足对n∈N∗，有a n+1=11−a n ，若a1=12，则a2015=______ ．16.已知数列{a n}满足a n+1=a n2−a n+1(n∈N∗)，且a1=43，则1a1+1a2+⋯+1a2019的值的整数部分为．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，∠A，∠B，∠C，所对边分别为a，b，c.已知n⃗=(b,2c)，m⃗⃗⃗ =(sinC,sinB⋅cosA)，且m⃗⃗⃗ ⊥n⃗．(1)求∠A的值；(2)若a=2√3，c=2，求△ABC的面积．18.在数列{a n}中，a1=1，a2=2，且a n+1=(1+q)a n−qa n−1(n≥2,q≠0)(Ⅰ)设b n=a n+1−a n(n∈N∗)，证明{b n}是等比数列；(Ⅱ)当q=2时，求数列{a n}的通项公式．19.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m⃗⃗⃗ =(cos A−2cos C,2c−a)，n⃗=(cos B,b)平行．(1)求sin C的值；sin A(2)若bcos C+ccos B=1，△ABC的周长为5，求b的长．20.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，满足AD⊥AC，cos∠BAC=−1，AB=3√2，BD=√3．3(1)求AD的长；(2)求△ABC的面积．21. 设等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，且S 4=−62，S 6=−75，求：(1){a n }的通项公式a n 及前n 项的和S n ；(2)|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯+|a 14|.22. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=12，a n+1=n+12na n ．(Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =n(2−S n )，n ∈N ∗，若集合M ={n|b n ≥λ,n ∈N ∗}恰有5个元素，求实数λ的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．利用正弦定理即可得解．解：由正弦定理可得：sinA=asinBb =2√2×sin60°2√3=√22．故选：C．2.答案：A解析：本题主要考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.直接利用余弦定理计算即可求解．解：在△ABC中，若AB=√13，BC=3，∠C=120∘，，可得：13=9+AC2+3AC，解得AC=1或AC=−4(舍去)．故选A．3.答案：C解析：本题考查等比数列的定义和性质考查了计算能力，属于基础题．根据等比数列的性质可求出a3=2，再求出公比，即可求出a2.解：等比数列{a n}中，a2a3a4=8，则a33=8，则a3=2，∵a7=32，∴q4=a7a3=16，解得q=±2，则a 1=a 3q 2=24=12，∴a 2=a 1q =±1， 故选C ．4.答案：B解析：本题主要考查等差数列性质的应用，结合等差数列的前n 项和公式以及性质是解决本题的关键． 根据等差数列的性质，结合等差数列的前n 项和公式进行转化即可． 解：在等差数列中a 3+a 11+a 19b 7+b 15=3a 112b 11，=32⋅2a 112b 11=32⋅a 1+a 21b 1+b 21=32⋅a 1+a 212×21b 1+b 212×21=32⋅S 21T 21=32×2×21+13×21+2=32×4365=129130， 故选B ．5.答案：B解析：本题考查了等差数列的前n 项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等差数列{a n }的前n 项和公式及其性质即可得出．解：由等差数列{a n }的前n 项和公式及其性质由S 5=35， ∴5(a 1+a 5)2=35，∴a 3=7． 故选B ．6.答案：D解析： 【试题解析】本题考查了通过数列的递推关系求通项公式，考查了利用规律对通项公式的猜想和验算，属于中档题.根据题意可得a n+1=2−1a n，先求a 1=32，a 2=2−1a 1=43，a 3=2−1a 2=54，a 4=2−1a 3=65，…，所以猜测a n =n+2n+1，经验证即可得解．解：因为2a n −a n a n+1=1，所以a n+1=2−1a n，因为a 1=32，所以a 2=2−1a 1=43，a 3=2−1a 2=54，a 4=2−1a 3=65，…，所以猜测a n =n+2n+1， 代入2a n −a n a n+1=2n+4n+1−n+2n+1×n+3n+2=n+1n+1=1，所以a n =n+2n+1满足题意，所以a 2021=20232022， 故选D ．7.答案：C解析：本题考查正弦定理，属于基础题．由正弦定理求出sin B ，然后利用大边对大角和正弦函数的性质即可求解． 解：已知△ABC 中，∠A =60°，a =5，b =6， 所以由正弦定理可得5sin60°=6sinB ，解得sinB =3√35>1，故B 不存在，所以满足条件的△ABC 不存在． 故选C ．8.答案：C解析：S17=17(a1+a17)2=17⋅a9>0，∴a9>0．9.答案：C解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，则可得a n=2⋅q n−1，故a n+1=2⋅q n−1+1，可得a1+1=3，a2+1=2q+1，a3+1=2q2+1，由于数列{a n+1}也是等比数列，故(2q+1)2=3(2q2+1)，解之可得q=1，故{a n}的前n项和S n=na1=2n故选C设等比数列{a n}的公比为q，可得数列{a n+1}的前3项，由等比中项可得关于q的方程，解之可得q=1，故等比数列{a n}为常数列，易得答案．本题考查等比数列的通项公式和求和公式，涉及公比的求解，属中档题．10.答案：C解析：本题考查由递推关系判断等差数列，及裂项相消法求和，考查模型应用及运算能力，属于中档题．由a n+12−a n2−2(a n+1+a n)=0推导出{a n}，再结合a2,a4,a8成等比数列求出通项公式，最后利用裂项相消法求{1a n a n+1}的前2019项和．解析：解：由于数列{a n}的各项均为正数，所以a n+1−a n=2所以{a n}为等差数列，且公差为2，由题意易得(4+a2)2=a2(a2+12)解得a2=4所以a n=2n所以1a n a n+1=12n(2n+2)=14(1n−1n+1)所以数列{1a n a n+1}的前2019项和为14(1−12)+14(12−13)+14(13−14)+⋯+14(12019−12020)=14(1−1 2020)=20198080．故选C．11.答案：C解析：本题考查数列的周期性，考查运算能力，属于中档题．通过计算数列的前几项，可得数列{a n}为最小正周期为3的数列，计算即可得到所求值．解：满足a1=0，a n+1=n√3√3a+1∈N∗)，a2=1√3√3a+1=−√3，a3=2√3√3a+1=−2√3−3+1=√3，a4=3√3√3a+1=√3−√33+1=0，a5=4√33a+1=−√3，…，可得数列{a n}为最小正周期为3的数列，可得a2016=a3×672=a3=√3，故选C．12.答案：C解析：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．a n+2−a n=2−2(−1)n，n∈N∗，可得a2k+1−a2k−1=2+2=4，k∈N∗，a2k+2−a2k=2−2=0，k∈N∗，可得数列{a n}的奇数项成等差数列，公差为4，偶数项满足：a2k=a2=2．解：∵a n+2−a n=2−2(−1)n，n∈N∗，∴a2k+1−a2k−1=2+2=4，k∈N∗，a2k+2−a2k=2−2=0.k∈N∗，∴数列{a n}的奇数项成等差数列，公差为4，偶数项满足：a2k=a2=2．∴S2017=(a1+a3+⋯+a2017)+(a2+a4+⋯+a2016)=1×1009+1009×10082×4+2×1008=2017×1010−1． 故选：C ．13.答案：30°解析：本题考查了正弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用正弦定理即可得出．解：∵△ABC 中a =√3b ，A =120°， ∴sin120°=√3sinB ，B 为锐角． ∴sinB =12，可得B =30°．故答案为30°．14.答案：18解析：本题考查解三角形，涉及正余弦定理和三角形的边角关系，属中档题．设三角形的三边分别为n −1，n ，n +1，对应的角分别为A 、B 、C ，由题意和正弦定理可得cosA =n+12(n−1)，再由由余弦定理可得cosA =n+42(n+1)，可得n+12(n−1)=n+42(n+1)，解方程可得a 值，可得三边长，由余弦定理可得．解：设三角形的三边分别为n −1，n ，n +1，对应的角分别为A 、B 、C ， 则A <B <C ，由题意可得C =2A ， 由正弦定理可得n−1sinA =n+1sinC =n+12sinAcosA ， ∴cosA =n+12(n−1)，又由余弦定理可得cosA =n 2+(n+1)2−(n−1)22n(n+1)=n+42(n+1)，∴n+12(n−1)=n+42(n+1)，解得n =5， ∴三角形的三边分别为4，5，6， ∴三角形的最大边所对角的余弦值cosC =42+52−622×4×5=18．故答案为：18． 15.答案：2解析：本题考查了递推式的应用、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由a n+1=11−a n ，a 1=12，可得a 2=2，a 3=−1，a 4=12，…，因此a n+3=a n .即可得出． 解：∵a n+1=11−a n ，a 1=12，∴a 2=2，a 3=−1，a 4=12，…， ∴a n+3=a n ．∴a 2015=a 3×671+2=a 2=2．故答案为2．16.答案：2解析：本题考查数列的递推公式，利用题中的等式和累加法进行求解即可得数列的通项公式，然后求出数列{1a n }的通项公式，再进行后面的求解即可得，是个中档题． 解：因为a n+1=a n 2−a n +1，即a n+1−1=a n (a n −1)，所以1an+1−1=1a n (a n −1)=1a n −1−1a n ， 所以1an −1−1a n+1−1=1a n ． 所以1a1−1−1a 2−1=1a 1， 1a 2−1−1a 3−1=1a 2， 1a 3−1−1a 4−1=1a 3，⋯，1a 2019−1−1a 2020−1=1a 2019，将上述各式两边分别相加可得1a 1−1−1a 2020−1=1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a 2019，因为a 1=43，所以1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a 2019=3−1a 2020−1．因为a n+1−a n=a n2−2a n+1=(a n−1)2>0，所以a n+1>a n，所以数列{a n}为递增数列．而a2=a1(a1−1)+1=43×13+1=139，a3=a2(a2−1)+1=139×49+1=13381，a4=a3(a3−1)+1=13381×5281+1=69166561+1>2，所以a2020>a2019>⋯>a4>2，所以0<1a2020−1<1，所以2<3−1a2020−1<3，所以1a1+1a2+⋯+1a2019的值的整数部分为2．17.答案：解：(1)∵m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，∴bsinC+2csinBcosA=0，由正弦定理可知，bsinB =csinC，∴bc+2bccosA=0，∵b≠0，c≠0，∴1+2cosA=0，∴cosA=−1 2∵0<A<π，∴A=2π3；(2)△ABC由余弦定理可知，a2=b2+c2−2bccosA，∴b2+4−4bccos120°=12，∴b2+2b−8=0，∵b>0，∴b=2，s△ABC=12bcsinA=12×2×2×√32=√3．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式的综合应用，属于中档试题(1)由m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，结合向量数量积的性质及正弦定理可求A，(2)△ABC由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，结合已知可求b，然后代入s△ABC=12bcsinA即可求18.答案：证明：(Ⅰ)∵数列{a n}中，a1=1，a2=2，且a n+1=(1+q)a n−qa n−1(n≥2,q≠0)，∴a n+1−a n=q(a n−a n−1)，即b n=a n+1−a n=qb n−1，n≥2，又b1=a2−a1=1，q≠0，∴{b n}是首项为1，公比为q的等比数列．解：(Ⅱ)由(Ⅰ)得a2−a1=1，a3−a2=q，…，a n−a n−1=q n−2，将以上各式相加，得：a n−a1=1+q+⋯+q n−1=1+2+⋯+2n−2=1−2n−11−2=2n−1−1．∴a n=2n−1．n=1时，上式也成立，∴数列{a n}的通项公式a n=2n−1．解析：(Ⅰ)推导出b n=a n+1−a n=qb n−1，n≥2，b1=a2−a1=1，q≠0，由此能证明{b n}是首项为1，公比为q的等比数列．(Ⅱ)由a2−a1=1，a3−a2=q，…，a n−a n−1=q n−2，利用累加法能求出数列{a n}的通项公式．本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．19.答案：解：(1)由已知向量m⃗⃗⃗ =(cosA−2cosC,2c−a)与n⃗=(cosB,b)平行∴b(cosA−2cosC)=(2c−a)cosB，由正弦定理得(cosA−2cosC)sinB=(2sinC−sinA)cosB，化简可得sin(A+B)=2sin(B+C)，又A+B+C=π，所以sinC=2sinA，因此sinCsinA=2.…(6分)(2)bcosC+ccosB=b⋅a2+b2−c22ab +c a2+c2−b22ac=2a22a=a=1，由(1)知ca =sinCsinA=2，∴c=2，…(10分)由a+b+c=5，得b=2．解析：本题考查向量知识的运用，考查正弦定理、余弦定理，解题的关键是边角互化，属于中档题．(1)利用向量共线的条件，建立等式，利用正弦定理，将边转化为角，利用和角公式，即可得到结论；(2)由bcosC +ccosB =1利用余弦定理，求得a ，再由(1)计算c ，利用△ABC 周长为5，即可求b 的长．20.答案：解：(1)因为AD ⊥AC ，cos∠BAC =−13，且∠BAC ∈(0,π)，所以sin∠BAC =2√23． 又sin∠BAC =sin(π2+∠BAD)=cos∠BAD =2√23， 在△ABD 中，由余弦定理得， 即AD 2−8AD +15=0，解得AD =5或AD =3， 因为AB >AD ，所以AD =3．(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin∠BAD =AB sin∠ADB ， 又由cos∠BAD =2√23，得sin∠BAD =13， 所以sin∠ADB =√63． 因为∠ADB =∠DAC +∠C =π2+∠C ， 所以cosC =√63． 在Rt △ADC 中，cosC =√63，则tanC =√22=AD AC=3AC ， 所以AC =3√2，所以△ABC 的面积S =12AB ·AC ·sin∠BAC=12×3√2×3√2×2√23=6√2．解析：本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．(1)由诱导公式求得sin∠BAC =sin(π2+∠BAD)=cos∠BAD =2√23，在△ABD 中，由余弦定理可求得； (2)由正弦定理求得sin∠ADB =√63，cosC =√63，AC =3√2，由三角形面积公式可求得．21.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得{4a 1+4×32d =−626a 1+6×52d =−75，解得a 1=−20，d =3． ∴a n =−20+(n −1)×3=3n −23；S n =(−20+3n−23)n 2=32n 2−432n.(2)∵a n =3n −23，∴由a n <0得n <8，∴|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯+|a 14|=−a 1−a 2−⋯−a 7+a 8+⋯+a 14=S 14−2S 7=32×142−432×14−2(32×72−432×7)=7(42−43)−7(21−43)=−7−7×(−22)=147．解析：(1)由S 4=−62，S 6=−75，可得到等差数列{a n }的首项a 1与公差d 的方程组，解之即可求得{a n }的通项公式a n 及前n 项的和S n ；由(1)可知a n ，由a n <0得n <8，从而|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯+|a 14|=S 14−2S 7，计算即可． 本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查解方程组的能力，求得a n 是关键，属于中档题．22.答案：解：(I)由已知得a n+1n+1=12a n n，其中n ∈N ∗ ∴数列{a n n }是公比为12的等比数列，首项a 1=12 ∴a n n =(12)n∴a n =n 2n(2)由(1)知S n =12+222+323+⋯+n 2n ，12S n=122+223+324…+n 2n+1， 两式相减可得，12S n =12+122+123+⋯+12n −n 2n+1，=12(1−12n )1−12−n 2n+1=1−n+22n+1∴s n =2−n+22因此，b n =n(n+2)2n ，b n+1−b n =(n+1)(n+3)2n+1−n(n+2)2n =−n 2+32n+1所以，当n =1，b 2−b 1>0即b 2>b 1，n >2时，b n+1−b n <0即b n+1−b n <0b 1=32,b 2=2,b 3=158,b 4=32,b 5=3532,b 6=34 要使得集合M 有5个元素，实数λ的取值范围为34<λ≤3532．解析：(I)由已知得a n+1n+1=12a n n，结合等比数列的通项公式可求a n n ，进而可求a n (2)由(1)知S n =12+222+323+⋯+n 2n ，利用错位相减可求s n ，然后利用数列的单调性可求b n 的最大值与最小值，进而可求实数λ的取值范围本题主要考查了等比数列的定义及通项公式求解的应用，数列的错位相减求和方法的应用，及数列单调性在求解数列的最值求解中的应用，试题具有一定的综合性。

江西省莲塘一中、临川二中2019届高三上学期第一次联考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合11{|22},{|ln()0}22x A x B x x =<≤=-≤，则()R A C B = （ ） A ．φ B ．1(1,]2- C ．1[,1)2D ．(1,1]-1.（ ）A ．111111B ．111111C ．111111D ．1111112. 设R α∈，则“α是第一象限角”是“sin cos 1αα+> ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 中国古代数学家赵爽涉及的弦图是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成如图所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为100，小正方形的面积为4，则图中菱形的一个锐角的正弦值为（ ） A ．2425 B ．35 C ．45 D ．7254. 已知数列{}n a 中，111,1n n a a a n +==++，则数列{}na n的前n 项和为（ ） A ．252n n + B ．254n n + C ．232n n + D ．234n n +5. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且当(,0]x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，若0.10.12211(2)(2),(ln 2)(ln 2),(log )(log )88a fb fc f ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a c b >>6. 若0,0a b >>，函数()32422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则ab 的最大值是（ ） A ．9 B ．6 C ．3 D ．27.已知(2,1),(0,0)A O ，点(,)M x y 满足12222x y x y ≤≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则z OA AM =⋅的最大值为 （ ）A ．5-B ．1-C ．0D ．18. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．2 B ．4 C ．23 D ．449.函数()2sin f x x x x =-在区间[,]ππ-上的图象大致为 （ ）10. 在ABC ∆中，若,2,3,,AB AC AB AC AB AC E F +=-==分别BC 为边上的三等分点， 则AE AF ⋅= （ ）A ．269 B ．83 C ．2 D ．10911. 设定义在R 上的函数()y f x =满足任意t R ∈都有()1(2)f t f t +=，且(0,4]x ∈时，()()f x f x x'>，则(2016),4(2017),2(2018)f f f 的大小关系（ ）A ．2(2018)(2016)4(2017)f f f <<B ．2(2018)(2016)4(2017)f f f >>C ．4(2017)2(2018)(2016)f f f <<D ．4(2017)2(2018)(2016)f f f >>12. 不等式2ln (1)0x x a x +-≤的解集为A ，若[1,)A +∞⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[,)e +∞B ．1[,)2+∞C ．1[,]2e D ．[1,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设点P 在圆22(2)1x y ++=上移动，点Q 满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则PQ 的最大值是 ．14已知()11221x x f x ee--=-+，数列{}n a 满足121(0)()()()1n n a f f f f n nn-=+++++， 则2017a =. ．15.如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1,P为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点,,A P Q 的平面截正方体所得的截面为S ，当1CQ =时，S 的面积为 ．16.设e 表示自然对数的底数，函数()22252424x x e ae f x x ax a =+--+，当()f x 取得最小值时， 则实数a 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知:p 对[2,2]x ∀∈-函数()2lg(3)f x a ax x =--总有意义，:q 函数()321433f x x ax x =-++在[1,)+∞上是增函数；若命题“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求a 的取值范围.18. 已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知向量2(cos ,2cos1),(,2)2Cm B n c b a =-=-且0m n ⋅=.（1）求角C 大大小；（2）若ABC ∆的面积为6a b +=，求c .19.各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足122nnn nS S -=+（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n n a b S S ++=，若数列{}n a 的前n 项和为n T ，求1()n nT n N T +-∈的最小值.20. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面,//,PAD AB CD E 是PB 的中点,2,3,2AHPD PA AB AD HD===== . （1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若F 是CD 上的点，且23FC FD ==，求二面角B EF C --的正弦值.21.已知圆心在原点的圆被直线1y x =+（1）求圆的方程；（2）设动直线(1)(0)y k x k =-≠与圆C 交于,A B 两点，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得直线AN 与直线BN 关于x 轴对称？若存在，请求出N 的坐标；若不存在，请说明理由.22.已知函数()(ln 1)(0)xf x e a x a =-+> .（1）()f x 在区间(0,2)上的极小值等于，求；（2）令()2112x g x mx x =-+-，设1212,()x x x x <是函数()()()()f x f x h x g x a'-=+的两个极值点，若3m ≥，求12()()h x h x -的最小值.江西省莲塘一中、临川二中2019届高三上学期第一次联考数学（理）试题答案一、选择题1-5:BCADB 6-10: ADCCA 11、C 12：B二、填空题13. 12018 15.215a =三、解答题17.解：当p 为真时，223(2)(2)03220a a a a ⎧-⋅--->⎪⎨-⋅->⎪⎩，解得4a >， 当q 为真时，()2240f x x ax '=-+≥在[1,)+∞上恒成立，即42x a x+≥对[1,)x ∈+∞恒成立，所以2a ≤， 当p 真q 假442a a a >⎧⇒>⎨>⎩ ：当q 假p 真：422a a a ≤⎧⇒≤⎨≤⎩，综上，或4a >或2a ≤.18.解：（1）因为向量(cos ,cos ),(,2)m B C n c b a ==-且0m n ⋅=， 所以cos (2)cos 0c B b a C +-=，所以sin cos (sin 2sin )cos 0C B B A C +-=, 即sin 2sin cos A A C =，又sin 0A ≠，所以1cos 2C =， 又因为(0,)C π∈，所以3C π=.（2）因为1sin 2ABC S ab C ∆==8ab =， 又222222cos ()3c a b ab C a b ab c =+-⇒+-=，所以212c =，故c =19.解：（1）21222210nnn n n n n nS S S S -=+⇒-+-=，所以21n n S =-或1n S =（舍去）当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，111a S ==，所以12n n a -=.（2）1111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a b S S ++++===-----，故11121n n T +=--， 因为11121n n T +=--是递增的，所以1n T T >令()1,0f x x x x =->，则()2110f x x =+>，故()f x 在0x >上是增函数，所以1{}n n T T -是递增的，则有111156n n T T T T ->-=-， 所以1n nT T -的最小值为56-.20.解：（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ，所以PH AB ⊥， 因为3,2AHAD HD==，所以2,1AH HD ==， 设PH x =，由余弦定可得，22221cos 22x HD PH x PHD x HD x +--∠==⋅ 22221cos 24x HA PH x PHA x HA x+--∠==⋅因为cos cos PHD PHA ∠=-∠，故1PH x ==， 所以PH AD ⊥，因为ADAB A =，故PH ⊥平面ABCD .（2）以H 为原点，以,,HA HP HP 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 则3139(2,3,0),(0,0,1),(1,,),(1,,0),(1,,0)2222B P E FC --， 所以可得，3311(3,,0),(1,,),(2,0,),(0,3,0)2222BF BE EF FC =--=--=-=， 设平面BEF 的法向量(,,)n x y z =，则有：33002(1,2,4)30022x y BF n n z BE n x y ⎧--=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨⋅=⎪⎪⎩--+=⎪⎩， 设平面EFC 的法向量(,,)m x y z =，则有：020(1,0,4)2030z EF m x m FC m y ⎧⎧⋅=--=⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨⋅=⎪⎪⎩=⎩，故cos ,21n m n m n m⋅===⋅设二面角B EF C --的平面角为θ ，则sin 21θ=. 21.解：（1）圆心(0,0)到直线1y x =+的距离d =， 由圆的性质可得，2224r d =+=，所以圆的方程为224x y +=. （2）设1122(,0),(,),(,)N t A x y B x y ，由224(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得，2222(1)240k x k x k +-+-= ，所以2212122224,11k k x x x x k k -+==++， 若直线AN 与直线BN 关于x 轴对称，则12120AN BN y yK K x t x t=-⇒+=--， 即12121212(1)(1)02(1)()20k x k x x x t x x t x t x t--+=⇒-+++=--22222(4)2(1)20411k k t t t k k -+⇒-+=⇒=++， 所以当N 为(4,0)时，直线AN 与直线BN 关于x 轴对称.22.解：（1）因为0a >，所以()xaf x e x'=-在区间(0,2)上单调递增， 因为()0,0x f x '→<，由题意()f x 在区间(0,2)上有极小值，故()20f '>， 所以22022ae a e ->⇒<，设0x 为在区间(0,2)上的极小值点， 故000x a e x -=，所以000001()(ln 1)(ln 1)x f x e a x a x x =-+=--， 设()1(ln 1),(0,2)g x a x x x=--∈，则()2211(1)()a x g x a x x x+'=--=-， 所以()0g x '<，即()g x 在(0,2)上单调递减，易得出()10g =，故00()01f x x =⇒=， 代入000xae x -=，可得a e =，满足22a e <，故a e =.（2）()()()()2ln 2f x f x x h x g x mx x a '-=+=-+，因为()21x mx h x x -+'=，令()0h x '=，即210x mx -+=，两根分别为12,x x ，则12121x x mx x +=⎧⎨=⎩，又因为221211122211()()ln ln 22h x h x x mx x x mx x -=-+-+- 22222211121212122211()()ln ()()ln 22x x x x m x x x x x x x x =---+=---+ 2222111211212221222111ln ()ln ()n ()222x x x x x x x x x x x x x x x x-=+-=-=--，令12x t x =，由于12x x <，所以01t <<，又因为m ≥，2221216()3x x m -=>， 即212121221()2x x x xx x x x +=++，即11623t t ++≥，所以231030t t -+≥，解得3t ≥或13t ≤，即103t <≤， 令111()ln ()(0)23h t t t t t =--<≤，2222211121(1)()02222t t t h t t t t t t ----'=--==< 所以1()(0,]3h t =上单调递减，min 11114()()ln (3)ln 332233h t h ==--=-+，所以12()()h x h x -的最小值4ln 33-+.。

江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体2019届高三第一次联考数学（理）试题满分：150分时间：120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，，其中，则（）A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】，其中，解得，，故选2.已知命题，命题，若命题是命题的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意化简A，B，将条件转化为A B，列出不等关系解得a的范围即可.【详解】∵，，又命题是命题的必要不充分条件，∴B A，由数轴可得： a，故选D.【点睛】本题考查了必要不充分条件的概念，涉及解一元二次不等式，以及子集的应用，属于基础题.3.两个正数，的等差中项是5，等比中项是，则双曲线的离心率等于（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由题设条件结合数列的性质解得a，b，再由双曲线的性质求得，可得答案．【详解】由题设知，解得a＝6，b＝4，∴，∴．故选：C．【点睛】本题借助数列的性质考查双曲线的简单性质，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．4.已知实数，满足线性约束条件，则其表示的平面区域外接圆的面积为（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二元一次不等式组表示平面区域进行作图，根据三角形的形状确定外接圆的直径，求外接圆的半径，即可得到结论．【详解】由线性约束条件，画出可行域如图（及内部，又与y=x垂直，∴为直角，即三角形ABC为直角三角形，∴外接圆的直径为AC，又A(-1,3),C(-1,-1),AC=4, ∴外接圆的半径r=2，∴外接圆的面积为=4，故选C.【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及三角形的外接圆问题，利用数形结合是解决本题的关键．5.为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，.该班某学生的脚长为23，据此估计其身高为（）.A. 160B. 166C. 170D. 172【答案】B【解析】【分析】计算、，求出b，的值，写出回归方程，利用回归方程计算所求的值．【详解】根据题意，计算x i＝25，y i＝174，；∴174﹣4×25＝74，∴4x+74，当x＝24时，计算4×23+74＝166，据此估计其身高为166（厘米）．故选：B．【点睛】本题考查了线性回归方程的求法及应用问题，是基础题．6.函数图像向左平移个单位后图像关于轴对称，则的值可能为（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简f(x)，再根据函数图象平移变换法则，求出平移后的函数解析式，根据对称性求出满足条件的a的值．【详解】函数,将其图象向左平移a个单位（a＞0），所得图象的解析式为：y＝2sin[2（x+a）﹣]，由平移后所得图象关于y轴对称，则2a﹣＝kπ，即a＝，又，当k＝0时，a．故选：B．【点睛】本题考查的知识点是函数图象的平移变换及正弦型函数的对称性，其中根据已知函数的解析式，求出平移后图象对应的函数解析式是解答本题的关键，属于基础题．7.已知，则（）A. 18B. 24C. 36D. 56【答案】B【解析】，故，.8.《九章算术》是中国古代数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”翻译成现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，执行第二步：第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，知道所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.现给出更相减损术的程序图如图所示，如果输入的，，则输出的为（）.A. 3B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【详解】∵，，满足a，b都是偶数，则a＝＝57，b＝＝15,k=2；不满足a，b都是偶数，且不满足a=b，满足a>b，则a=57-15=42，n=1,不满足a=b，满足a>b，则a=42-15=27，n=2,不满足a=b，满足a>b，则a=27-15=12，n=3,不满足a=b，不满足a>b，则c=12,a=15,b=12,则a=15-12=3，n=4,不满足a=b，不满足a>b，则c=3,a=12,b=3,则a=12-3=9，n=5,不满足a=b，满足a>b，则a=9-3=6，n=6,不满足a=b，满足a>b，则a=6-3=3，n=7,满足a=b，结束循环,输出n=7,故选：C．【点睛】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9.已知扇形，，扇形半径为，是弧上一点，若，则（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将已知等式两边同时平方，利用数量积的运算法则计算，可得到cos，即可求得结果.【详解】由，两边同时平方得=，则有3=4+1+2=5+22cos，∴cos，，故选D.【点睛】本题考查了向量数量积的运算，考查了夹角的求法，属于基础题.10.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）.A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由三视图还原该几何体得到三棱锥，将三棱锥放在对应的正方体中，结合正弦定理求出三棱锥A﹣BCD的四个面的面积，求和即可．【详解】由三视图知该几何体是如图所示的三棱锥A﹣BCD，将该三棱锥是放在棱长为4的正方体中，A 是棱的中点，在△ADC中，AC＝2，且CD∴AD=，2=4；在△ABD中，AB＝2，BD=4，由余弦定理得，cos∠DAB，∴sin∠DAB，∴2,又与均为边长为4的正方形面积的一半，即为8，∴三棱锥A﹣BCD的表面积为12+2=，故选：A．【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，解题关键是由三视图还原为几何体，是中档题．11.已知以圆的圆心为焦点的抛物线与圆在第一象限交于点，电商抛物线上任意一点与直线垂直，垂足为，则的最大值为（）.A. -1B. 2C. 1D. 8【答案】C【解析】试题分析：求得圆心，可得抛物线C1方程，与圆C的交点A，运用抛物线的定义和三点共线，即可得到所求最大值．详解：圆C：（x﹣1）2+y2=4的圆心为焦点（1，0）的抛物线方程为y2=4x，由，解得A（1，2），抛物线C2：x2=8y的焦点为F（0，2），准线方程为y=﹣2，即有|BM|﹣|AB|=|BF|﹣|AB|≤|AF|=1，当且仅当A，B，F（A在B，F之间）三点共线，可得最大值1，故选：C.点睛：本题考查圆方程和抛物线的定义和方程的运用，考查方程思想和定义法解题，以及三点共线取得最值，属于中档题，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。

2019届江西省名校（临川一中、南昌二中）高三下学期联合数学（理）试题一、单选题1．已知集合1121A x R x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，()(){}2210B x R x a x a =∈---<，若()RA B =∅Ið，则实数a 的取值范围是( )A ．[)1,+∞ B ．[)0,+∞C ．()0,∞+D ．()1,+∞【答案】B【解析】解分式不等式求得集合A ，对a 进行分类讨论，结合()R A B =∅I ð，求得实数a 的取值范围. 【详解】由1121210,021212121x x x x x x +--≤-=≤++++()2210210x x x ⎧-+≤⇔⎨+≠⎩12x ⇔<-或0x ≥.所以{1|2A x x =<-或}0x ≥，所以1|02R A x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭ð.由()()2210x a x a ---=，解得2x a =或21x a =+.2122a a a +≥=≥，当1a =时，221a a =+，此时B =∅，满足()R A B =∅I ð；当1a ≠时，{}2|21B x a x a =<<+，由()R A B =∅I ð得201a a ≥⎧⎨≠⎩，即0a ≥且1a ≠.综上所述，实数a 的取值范围是[)0,+∞. 故选：B 【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查根据交集、补集的运算结果求参数的取值范围，属于中档题.2．已知复数z 满足：（2＋i ）z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为（ ）A ．15－35i B ．15＋35i C ．13i -D ．13i +【答案】B【解析】把等式变形，根据复数的运算先求出z ，再根据共轭复数的定义得出答案. 【详解】由（2＋i ）z ＝1－i ，得z ＝12i i-+＝(1)(2)(2)(2)i i i i --+-＝15－35i ∴z ＝15＋35i . 故选：B. 【点睛】本题考查复数的运算法则、共轭复数的定义.3．已知等比数列{}n a ，若1231a a a ⋅⋅=，7894a a a ⋅⋅=，则129a a a ⋅=L ( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．8±【答案】D【解析】根据等比数列的性质求得5a ，由此求得129a a a ⋅L 的值. 【详解】由于等比数列{}n a 满足1231a a a ⋅⋅=，7894a a a ⋅⋅=，故312321a a a a ⋅⋅==，所以21a =378984a a a a ⋅⋅==，所以2382a =，所以2235282a a a =⋅=，1352a =±所以129a a a ⋅L 919335228a ⎛⎫==±=±=± ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，属于基础题.4．点()1,1M 到抛物线22y ax =准线的距离为2，则a 的值为( )A ．1B ．1或3C ．18或124- D ．14-或112【答案】C【解析】对a 分成0a <和0a >两种情况进行分类讨论，结合抛物线的定义求得a 的值. 【详解】依题意可知0a ≠，抛物线的标准方程为212x y a= 当0a <时，抛物线的准线方程为18y a =-，点()1,1M 到18y a=-的距离为1111288a a ⎛⎫--=+= ⎪⎝⎭，解得124a =-.当0a >时，抛物线的准线方程为18y a =-，点()1,1M 到18y a=-的距离为1111288a a ⎛⎫--=+= ⎪⎝⎭，解得18a =.所以a 的值为18或124-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义和准线方程，属于基础题.5．如图所示的程序框图，若输出的结果为4，则输入的实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】，，否，； ，否，； ，否，；，，是，即；解不等式，，且满足，，综上所述，若输出的结果为4，则输入的实数的取值范围是，故选．点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 6．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若2a b c +=，则cos C 的最小值为( )A ．12-B ．12C．2D【答案】B【解析】利用余弦定理表示cos C ，再利用基本不等式求得cos C 的最小值. 【详解】由余弦定理得2222222cos 22a b a b a b c C ab ab+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==()22323221882a b abab ab abab +-⨯-=≥=，当且仅当a b =时等号成立.故选：B 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，属于基础题.7．已知两点()2,0A -，()2,0B 以及圆C ：()()22243x y r ++-=（0r >），若圆C上存在点P ，满足0PA PB ⋅=u u u r u u u r，则r 的取值范围是( ) A ．[]3,6 B ．[]3,7 C ．[]4,7 D ．[]4,6【答案】B【解析】求得以AB 为直径的圆O 的圆心和半径，根据圆O 与圆C 有公共点列不等式，解不等式求得r 的取值范围. 【详解】由于圆C 上存在点P ，满足0PA PB ⋅=u u u r u u u r，故以AB 为直径的圆O 与圆C 有公共点.圆O 的圆心为()0,0，半径为2.圆C 的圆心为()4,3-，半径为r 所以22r OC r -≤≤+，而5OC ==，所以252r r -≤≤+，解得37r ≤≤.故选：B 【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查向量数量积为零的几何意义，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.8．给出下列说法：①设0x >，y R ∈，则“x y >”是“x y >”的充分不必要条件；②若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，使得()01f x =；③{}n a 为等比数列，则“123a a a <<”是“45a a <”的充分不必要条件；④命题“x ∀∈R ，x *∃∈N ，使得2n x >”的否定形式是“x ∀∈R ，n *∀∈N ，使得2n x ≤” .其中正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】将“x y >”与“x y >”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件，由此判断①的正确性.利用基本不等式等号成立的条件，判断②的正确性. 将“123a a a <<”与“45a a <”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件，由此判断③的正确性.根据命题的否定的知识，判断④的正确性. 【详解】对于①，当“x y >”时，如12>-，结论12>-错误，“x y >”不是“x y >”的充分条件，故①错误.对于②，当0x >时，()111111f x x x =++-≥=+，当且仅当11,01x x x +==+时等号成立，所以()1f x >，故②错误. 对于③，在等比数列{}n a 中，当“123a a a <<”时，所以等比数列{}n a 是单调递增数列，所以“45a a <”.当“45a a <”时，如1,2,4,8,16,--L ，不能推出“123a a a <<”.所以③正确.对于④，命题“x ∀∈R ，x *∃∈N ，使得2n x >”的否定形式是“x ∃∈R ，n *∀∈N ，使得2n x ≤”，故④错误.综上所述，正确说法个数为1个. 故选：B 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查命题的否定，考查基本不等式等号成立的条件，属于基础题.9．已知某几何体是两个正四棱锥的组合体，其三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )A ．8πB ．4πC ．22πD ．2π【答案】A【解析】判断出球心和半径，由此计算出外接球的表面积. 【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为两个正四棱锥的组合体，由于正四棱锥的底面是正方形，由三视图可知，正方形的中心即外接球的球心，且正方2.所以外接球的表面积为2428ππ⨯=.故选：A 【点睛】本小题主要考查三视图，考查几何体外接球的表面积的求法，属于基础题.10．不等式组10200x x y y +≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的点集记为A ，不等式组21020x x y y x +≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P B ∈的概率为( ) A ．49B ．23C ．2027D ．716【答案】C【解析】画出点集,A B 的图像，用阴影部分的面积除以三角形ABC 的面积，由此求得所求的概率. 【详解】点集A表示的图像为如图所示三角形ABC，点集B表示的图像为如图所示阴影部分.由于三角形ABC的面积为193322⨯⨯=，阴影部分的面积为()1212x x dx--+-⎰23112|23x xx-⎛⎫=-+-⎪⎝⎭=71310663⎛⎫--=⎪⎝⎭.所以所求的概率为920210273=.故选：C【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查定积分，考查不等式组表示区域的画法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.11．设直线l与抛物线214y x=相交于,A B两点,与圆C：()()22250x y r r+-=>相切于点M,且M为线段AB中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是A．()1,3B．()1,4C．()2,3D．()2,4【答案】D【解析】假设A、B两点的坐标，圆心为C，求出点M的坐标，由垂直关系，利用斜率之积为-1列式，得到A 、B 横坐标的关系，由C 、M 两点间距离为半径也可列式，得到A 、B 横坐标间关系，由韦达定理逆推解为A 、B 横坐标的方程，有两个根，由判别式求出半径的范围，当斜率不存在时，也有两条直线，故共四条直线，即已求出半径范围. 【详解】设A 、B 两点的坐标分别为：2111,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2221,4x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则点M 的坐标为：221212,28x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 圆心坐标为：C ()0,5，由于相切，所以·1AB CM k k =-， 即：()2212121240·144x x x x x x ++-=-+，化简得：221224x x +=，所以12,32x x M +⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由22CMr =可得：212102x x r +=，化简得：()222212220x x r =-， 所以()222242200t t r -+-=的两根分别为：21x 、22x ，所以：()()2222442200r ∆=--->，解得：24r <<，此时有两条直线，当斜率为0时，已知存在两条直线满足题意，共四条. 故选D. 【点睛】本题考查直线与圆和抛物线之间的关系，计算量较大，利用设而不求的方式解题，根据相切时的垂直与距离等于半径两条件列式，由直线只有四条作为限制条件，根据根的判别式求出范围.12．已知函数()()224,0ln 13,0x x x f x x x ⎧-+≥⎪=⎨--<⎪⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为( ) A ．()3,+∞ B ．()2,3C ．[)2,3D ．{}[)23,⋃+∞【答案】D【解析】画出()f x 的图像和y kx =的图像，根据两个函数图像有两个交点，求得k 的取值范围. 【详解】令()()0F x f x kx =-=，得()f x kx =，画出()f x 的图像和y kx =的图像如下图所示.由图可知，要使两个函数图像有两个交点，则需0k >. 当y kx =与224y x x =-+的图像相切时，由224y kxy x x =⎧⎨=-+⎩消去y 并化简得()2240x k x -++=，其判别式()22160k ∆=+-=，解得2k =，由>0∆解得0k >.由()ln 13y x =--，'313y x =-，则'03|3130x y ===-⨯.所以当2k =或3k ≥时，()f x 的图像和y kx =的图像有两个交点，也即()F x 有两个零点.故选：D【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．将函数()()sin 2f x x ϕ=+（0ϕ>）的图像向右平移3π个单位，再将图像上每一点横坐标伸长到原来的2倍，所得图像关于直线4x π=对称，则ϕ的最小正值为______.【答案】1112π【解析】先求得函数()f x 变换后的解析式，根据所得解析式对应的图像关于直线4x π=对称，求得ϕ的最小正值.【详解】将函数()()sin 2f x x ϕ=+（0ϕ>）的图像向右平移3π个单位，得到sin 23x πϕ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin 23x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再将图像上每一点横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin 3x πϕ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，依题意2sin 3x πϕ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的图像关于直线4x π=对称，即25sin sin 14312πππϕϕ⎛⎫⎛⎫-+=-=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故5122k ππϕπ-=+，()1112k k Z πϕπ=+∈，所以当0k =时，ϕ取得最小正值为1112π. 故答案为：1112π【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数对称性，属于中档题.14．如果1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为128，则展开式中41x 的系数是______ . 【答案】-189【解析】令1x =，得展开式中各项系数之和为2n .由2128n =，得7n =，所以展开式的通项为737217(1)3r r rrr T C x--+=-⋅⋅.由7342r -=-，得=5r ，展开式中41x的系数是57557(1)3189C --⨯⨯=-. 15．已知ABC ∆中，3AC =，4BC =，2C π∠=，点P 为ABC ∆外接圆上任意一点，则()CP AB AC ⋅-u u u r u u u r u u u r的最大值为______.【答案】18【解析】建立平面直角坐标系，求得ABC ∆外接圆的方程，设出点P 的坐标，利用向量数量积的坐标运算，求得()CP AB AC ⋅-u u u r u u u r u u u r 的表达式，并由此求得()CP AB AC ⋅-u u u r u u u r u u u r的最大值. 【详解】以C 为坐标原点建立平面直角坐标系，依题意()()3,0,0,4A B ，()()3,4,3,0AB AC =-=-u u u r u u u r ，()0,4AB AC -=u u u r u u u r .ABC ∆外接圆的圆心3,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为52，所以外接圆的方程为()22235222x y⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设[)()355cos,2sin,0,2222Pθθθπ⎛⎫++∈⎪⎝⎭，则()CP AB AC⋅-u u u r u u u r u u u r()355cos,2sin0,4222θθ⎛⎫=++⋅⎪⎝⎭810sinθ=+，故当2πθ=时，()CP AB AC⋅-u u u r u u u r u u u r的最大值为81018+=.故答案为：18【点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 16．在数列{}n a中，113a=，()1133n n na a a+=+，Nn+∈，且13nnba=+.记12n nP b b b=⨯⨯⨯L，12n nS b b b=+++L，则13nn nP S++=______.【答案】3【解析】利用累乘法求得n P，利用裂项求和法求得n S，由此求得13nn nP S++.【详解】由于()1133n n na a a+=+，13nnba=+，所以13nnnaba+=，12n nP b b b=⨯⨯⨯L31212341133333nnn na aa a aa a a a a++=⋅⋅⋅⋅=L，.又()1131133n n n n na a a a a+==-++，∴111nn nba a+=-，所以12n n S b b b =+++L 12231111111n n a a a a a a +=-+-++-L 113n a +=-.所以13n n n P S ++=111113333n nn n a a a +++⋅+-=. 故答案为：3 【点睛】本小题主要考查累乘法、裂项求和法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B -+=-.（1）求角C 的大小；（2）求22cos cos A B +的取值范围． 【答案】（1）3π；（2）13[,)24． 【解析】试题分析：（1）由正弦定理转化为关于边的条件，再由余弦定理，求角即可； （2）利用二倍角公式化简，得到正弦型三角函数，分析角的取值范围，即可求出三角函数的取值范围.试题解析：（1）因为()()()sin sin sin sin a c A C b A B -+=-，由正弦定理得()()()a c a c b a b -+=-，即222a b c ab +-=，则222122a b c ab +-=根据余弦定理得1cos 2C =又因为0C π<<，所以3C π=（2）因为3C π=，所以4223B A π=-则()221cos21cos21cos cos 1cos2cos2222A B A B A B +++=+=++ 141cos2cos 223A A π⎡⎤⎛⎫=++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦111cos222A A ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭11cos 223A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为三角形ABC 为锐角三角形且3C π=，所以62A ππ<<则242333A πππ<+<所以11cos 262A π⎛⎫-≤+<- ⎪⎝⎭， 所以2213cos cos 24A B ≤+< 即22cos cos A B +的取值范围为1324，⎡⎫⎪⎢⎣⎭点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.18．如图，在矩形ABCD 中，点E 为边AD 上的点，点F 为边CD 的中点，23AB AE AD ==，现将ABE ∆沿BE 边折至PBE ∆位置，且平面PBE ⊥平面BCDE .(1) 求证：平面平面；(2) 求二面角的大小.【答案】（1）详见解析；（2）150︒.【解析】【详解】试题分析：(1) 利用直角三角形，先证明折前有,折后这个垂直关系没有改变，然后由平面PBE ⊥平面BCDE 的性质证明平面,最后由面面垂直的判定定理即可证明平面PBE ⊥平面PEF ；（2）为方便计算，不妨设3AD =，先以D 为原点，以DC 方向为x 轴，以ED 方向为y 轴，以与平面EBCD 向上的法向量同方向为z 轴，建立空间直角坐标系，写给相应点的坐标，然后分别求出平面PEF 和平面PCF 的一个法向量，接着计算出这两个法向量夹角的余弦值，根据二面角的图形与计算出的余弦值，确定二面角的大小即可. 试题解析：(1) 证明:由题可知：折前，这个垂直关系，折后没有改变 故折后有（2）不妨设3AD =，以D 为原点，以DC 方向为x 轴，以ED 方向为y 轴，以与平面EBCD 向上的法向量同方向为z 轴，建立空间直角坐标系 7分则设平面PEF 和平面PCF 的法向量分别为，由10n FP ⋅=u u ur r 及可得到即，不妨取又由20n FP ⋅=u u r u u u r及可得到即不妨取9分11分综上所述，二面角大小为12分.【考点】1.线线垂直的证明；2. 线面垂直、面面垂直的判定与性质；3.空间向量在解决空间角中的运用问题.19．为推行“高中新课程改革”，某数学老师分别用“传统教学”和“新课程”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果.期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于120分者为“成绩优良”.（1）从以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断能否犯错误的频率不超过0.01的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.临界值表如上表：（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望.【答案】（1）能；（2）分布列见解析，273 455.【解析】（1）根据题目所给数据填写22⨯列联表，计算2K的数值，由此判断出能在犯错概率不超过0.01的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.（2）利用超几何分布的分布列计算方法，计算出X的分布列，进而计算出数学期望. 【详解】（1）由统计数据得22⨯列联表：根据22⨯列联表中的数据，得2K 的观测值为()22408312178.64 6.63520202515K ⨯-⨯==⨯⨯⨯f ,所以能在犯错概率不超过0.01的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”（2）由表可知在8人中成绩不优良的人数为83⨯=，则X 的可能取值为0，1，2，3.()312315C 440C 91P X ===；()21123315C C 1981C 455P X === ()12123315C C 362C 455P X ===；()33315C 13C 455P X ===所以X 的分布列为：所以()44198361273012391455455455455E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本小题主要考查22⨯列联表、独立性检验，考查超几何分布的分布列和数学期望的计算，属于中档题.20．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为()11,0F -，()21,0F 且椭圆上存在一点P ，满足.172PF =，122cos 3F F P ∠=（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点，过1F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，记直线AM ，BN 的交点为T ，是否存在一条定直线l ，使点T 恒在直线l 上？【答案】（1）2211615x y +=；（2）存在. 【解析】（1）在12F F P ∆内利用余弦定理求得2F P ，根据椭圆的定义求得a ，由此求得b ，从而求得椭圆C 的标准方程.（2）设(),T x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，利用AT AM k k =、BT BN k k =求得1122,,,,x x y x y 的关系式，设MN 的方程为1x my =-与椭圆C 的方程联立，并写出韦达定理，并代入上述求得的1122,,,,x x y x y 的关系式，由此判断出T 横在直线16x =-上. 【详解】（1）设2F P x =，12F F P ∆内，由余弦定理得222127222cos 2x x F F P ⎛⎫+-⋅⋅⋅∠= ⎪⎝⎭，化简得()()296110x x -+=，解得92x =， 故1228a PF PF =+=，∴4a =，22215b a c =-=所以椭圆C 的标准方程为2211615x y +=（2）已知()4,0A -，()4,0B ，设(),T x y ，()11,M x y ，()22,N x y 由1144AT AM y yk k x x =⇒=++，① 2244BT BN y y k k x x =⇒=--，② 两式相除得12124444y x x x x y --=⋅++.又21112111415151616416y y x x x y -=-⇒=-⋅-+， 故()121244415416x x x x y y ---=-⋅⋅+，③ 设MN 的方程为1x my =-，代入2211615x y +=整理，得()221516302250m y my +--=，>0∆恒成立.把122301516m y y m +=+，1222251516y y m =-+代入③， ()()()1122121245544151541616x my my x x x y y y y -----=-⋅⋅=-⋅+得()212121252541554163m y y m y y x x y y -++-=-⋅=+，得到16x =-，故点T 在定直线16x =-上. 【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查余弦定理解三角形，考查直线和椭圆的位置关系，考查定直线问题，考查运算求解能力，属于中档题. 21．已知函数()()13ln 3f x a x ax x=++-（0a >）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若对任意的()3,4a ∈，1x ，[]21,2x ∈恒有()()()12ln 23ln 2m a f x f x -->-成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）196m ≥. 【解析】（1）求得函数()f x 的定义域和导函数，对a 分成0<<3a 、3a =、3a >三种情况，讨论()f x 的单调区间.（2）先求得()()12f x f x -的最大值，由此化简不等式()()()12ln 23ln 2m a f x f x -->-，得到()132m a ->，构造函数()()132h a m a =--，利用一次函数的性质列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围. 【详解】 （1）由()()()22311313x ax a f x a x x x --+'=--=-（0x >） ①当0<<3a 时，()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在11,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数； ②当3a =时，()f x 在()0,+?上是减函数；③当3a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在11,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数（2）当34a <<时，由（1）可知()f x 在[]1,2上是减函数， ∴()()()()()121123ln 232f x f x f f a a -≤-=-+++ 由()()()12ln 23ln 2m a f x f x -->-对任意的()3,4a ∈，[]121,2x x ∈恒成立， ∴()()()12maxln 23ln 2m a f x f x -->-即()()1ln 23ln 23ln 232m a a a -->-+++对任意34a <<恒成立， 即()132m a ->对任意34a <<恒成立， 设()()132h a m a =--，则()()1913306212519340286m m m m m ⎧⎧≥--≥⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪--≥≥⇒≥⎪⎪⎩⎩. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查不等式恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为12x m t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t 为参数，m 为常数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，直线l 与曲线C 交于点,A B 两点.（1）若||2AB =，求实数m 的值； （2）若1m =，点P 坐标为(1,0)，求11||||PA PB +的值. 【答案】（1）m =或6；（2）1【解析】试题分析：⑴将极坐标方程化为普通方程，根据题目条件计算出弦长的表达式，从而求出实数m 的值⑵将当1m =时代入即可求出结果解析：（1）曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ=，转化为普通方程可得222x y y +=，即()2211x y +-=.把12x m t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入()2211x y +-=并整理可得(()220*t m t m -++=，由条件可得(2240m m ∆=+->，解之得m <<设,A B 对应的参数分别为12,t t，则12t t m +=2120t t m =≥，12AB t t =-=2==，解之得m =（2）当1m =时，()*式变为(2110t t -++=，121t t +=121t t =，由点P 的坐标为()1,0可得11PA PB +=1212121212111t t t t t t t t t t +++===点睛：本题考查了极坐标方程方程的一些计算，这里需要注意极坐标方程与普通方程之间的互化，将其转化为一般方程，然后借助于解析几何的知识点来解题；第二问结合了上一问的解答结果，注意需求简答的计算 23．已知函数()21f x x x =++. （1）解关于x 不等式()5f x ≥；（2）对任意正数a ，b 满足21a b +=，求使得不等式()12f x a b<+恒成立的x 的取值集合M ．【答案】（1）{|2x x ≤-或43x ⎫≥⎬⎭；（2）733M x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭.【解析】（1）利用零点分段法求得不等式的解集. （2）利用基本不等式求得12a b+的最小值为8，由()8f x <求得使得不等式()12f x a b<+恒成立的x 的取值集合M ． 【详解】由()5f x ≥得215x x ++≥第 21 页 共 21 页 当0x ≥时，不等式等价于215x x ++≥，解得43x ≥，所以43x ≥， 当102x -≤<时，不等式等价于215x x -++≥，即4x ≥，所以解集为空集； 当21x <-时，不等式等价于215x x ---≥，解得2x -≤，所以2x -≤ 故原不等式的解集为{|2x x ≤-或43x ⎫≥⎬⎭； （2）21a b += ()12124424428b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫∴+=+⋅+=++≥+⋅= ⎪⎝⎭ 不等式等价于()8f x <218x x ++<解之得733x -<<，故733M x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】 本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查基本不等式求最值，考查不等式恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.。

江西省重点中学协作体2019届高三第一次联考数学试卷（理）注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，()12i x yi +=+，其中x ，y 为实数，则x yi +=（ ）.A.C.2D.42.已知命题2:|01x p A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，命题{}:|0q B x x a =-<，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）. A.()2,+∞B.[)2,+∞C.(),1-∞D.(],1-∞3.两个正数a ，b 的等差中项是5，等比中项是，则双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的离心率等于（ ）.C.32D.24.已知实数x ，y 满足线性约束条件21x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩，则其表示的平面区域外接圆的面积为（ ）.A.πB.2πC.4πD.6π5.为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y a bx =+，已知101250ii x==∑，1011740i i y ==∑，4b =.该班某学生的脚长为23，据此估计其身高为（ ）.A.160B.166C.170D.1726.函数2()cos 2cos 1f x x x x =--+图像向左平移()0a a >个单位后图像关于y 轴对称，则a 的值可能为（ ）. A.6π B.3πC.2πD.23π 7.已知()()()()()423401234211111x a a x a x a x a x -=+-+-+-+-，则2a =（ ）. A.18B.24C.36D.568.《九章算术》是中国古代数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”翻译成现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，执行第二步：第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，知道所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.现给出更相减损术的程序图如图所示，如果输入的114a =，30b =，则输出的n 为（ ）.A.3B.6C.7D.89.已知扇形AOB ，AOB θ∠=，C 是弧AB 上一点，若OC =则θ=（ ）. A.6πB.3π C.2π D.23π 10.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）.A.B.C.D.11.已知以圆()22:14C x y -+=的圆心为焦点的抛物线1C 与圆C 在第一象限交于A 点，B 电商 抛物线22:8C x y =上任意一点BM 与直线2y =-垂直，垂足为M ，则BM AB -的最大值为（ ）.A.-1B.2C.1D.812.已知函数()()ln 133f x m x x =+--，若不等式()3x f x mx e >-在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）. A.03m ≤≤B.3m ≥C.3m ≤D.0m ≤二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()()()1,1001x x f x x +-≤≤⎧⎪=<≤，则()11f x dx -⎰的值为______.14.在平面几何中有如下结论，若正方形ABCD 的内切圆面积为1S 外接圆面积为2S 则1212S S =，推广到立体几何中可以得到类似结论：若正方体1111ABCD A B C D -的内切球体积为1V 外接球体积为2V ，则12=V V ______. 15.已知函数()()()lg ,02,0x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩.若函数()21y f x a =--存在5个零点，则实数a 的取值范围为______.16.已知平面四边形ABCD 中，3ABC π∠=，AC =23AB BC =，2BD AD =，BCD ∆的面积为AD =______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知递增的等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若116m a a ⋅=，420S =. 1.求数列{}n a 的通项公式.2.若()1211n n nn b S -+=-，且数列{}n b 前n 项和为n T ，求n T .18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，BC AD ，且222AD AB BC ===，90BAD ︒∠=，PAD ∆为等边三角形，平面ABCD ⊥平面PAD ，点E 、M 分别为PD 、PC 的中点.1.证明：CE平面PAB .2.求直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）今有9所省级示范学校参加联考，参加人数约5000人，考完后经计算得数学平均分为113分.已知本次联考的成绩服从正态分布，且标准差为12. 1.计算联考成绩在137分以上的人数.2.从所有试卷中任意抽取1份，已知分数不超过123分的概率为0.8. ①求分数低于103分的概率.②从所有试卷中任意抽取5份，由于试卷数量较大，可以把每份试卷被抽到的概率视为相同。

临川一中2018—2019学年度上学期期末考试高三理科数学试卷卷面满分：150 分 考试时间： 120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,0,1M =-，{}2,N x x a a M ==∈，则集合=⋃N M （ ） A.{}1,0,1-B. {}2,0,2-C. {}0D. {}2,1,0,1,2--2.已知某公司按照工作年限发放年终奖金并且进行年终表彰.若该公司有工作10年以上的员工100人，工作5~10年的员工400人，工作0~5年的员工200人，现按照工作年限进行分层抽样，在公司的所有员工中抽取28人作为员工代表上台接受表彰，则工作5~10年的员工代表有（ ） A ．8人B ．16人C ．4人D ．24人3.在ABC ∆中，,1CA CB CA CB ⊥==，D 为AB 的中点，将向量CD u u u r绕点C 按逆时针方向旋转90o得向量CM u u u u r ，则向量CM u u u u r在向量CA u u u r 方向上的投影为（ ）A.1-B.1C.12-D.124.已知复数(2i)i 5i(,)m n m n -=+∈R ，则复数i1im n z +=-的共轭复数z 虚部为（ ） A ．32B ．32-C ．72D ．72- 5.设,x y 满足约束条件330280440x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最大值是（ ）A ．9B ．8 C. 3 D ．4 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 2πB. 3πC. 5πD. 7π 7.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州（现四川省安岳县）人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图,给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入x 的值为2,则输出v 的值为（ ）A. 621-B. 62C. 631- D. 638.若20π<<x ，则1tan <x x 是1sin <x x 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9.如图，在由0x =， 0y =， 2x π=，及cos y x =围成区域内任取一点，则该点落在0x =， sin y x =及cos y x =围成的区域内（阴影部分）的概率为（ ）A. 212-B. 212- C. 322- D. 21- 10．在三棱锥S ABC -中，2AB BC ==， 2SA SC AC === ,二面角S AC B--的余弦值是 33，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ）A. 32π B. 2π C. 6π D. 6π11.已知函数ln ,0()ln(),0mx x x f x mx x x ->⎧=⎨+-<⎩.若函数()f x 有两个极值点12,x x ，记过点11(,())A x f x 和22(,())B x f x 的直线斜率为k ，若02k e <≤，则实数m 的取值范围为（ ） A.1(,2]e B.1(,]e e C.(,2]e e D.1(2,]e e + 12.已知抛物线C ：()022>=p py x 的焦点到准线的距离为2，直线1+=kx y 与抛物线C 交于N M 、两点，若存在点()1,0-x Q 使得QMN ∆为等边三角形，则=MN （ ）A. 8B. 10C. 12D. 14第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知菱形ABCD 中，2=CD ，060=∠ABC ，分别以A 、B 、C 、D 为圆心，1为半径作圆，得到的图形如下图所示，若往菱形内投掷10000个点，则落在阴影部分内的点约有________________个.（3取1.8）14.设⎰-=22cos ππxdx a ，则421⎪⎭⎫⎝⎛++x a x 的展开式中常数项为_________.15.已知数列{}n a 的首项21=a ，方程23cos sin 12019-=-⋅+⋅+n n a x a x x 有唯一实根，则数列{}n a 的前n 项和为_________.16.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1:22=+y x O ，直线a x y l +=:，过直线l 上点P 作圆O 的切线PB PA ,，切点分别为B A ,，若存在点P 使得→→→=+PO PB PA 23，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）已知ABC △中，2BC =，45B =︒，(01)AD AB λλ=<<u u u r u u u r.（I ）若1=∆BCD S ，求CD 的长；（II ）若30A =︒，31=λ，求sin sin ACDDCB ∠∠的值．18.(本小题满分12分)如图所示，四棱锥A BCDE -，已知平面BCDE ⊥平面ABC ，BE EC ⊥，6BC =，43AB =30ABC ∠=︒.（I ）求证：AC BE ⊥；（II ）若二面角B AC E --为45︒，求直线AB 与平面ACE 所成角的正弦值.19. (本小题满分12分)已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，且椭圆的离心率为63，过x 轴正半轴一点(),0m 且斜率为33-的直线l 交椭圆于,A B 两点. （I ）求椭圆的标准方程；（II ）是否存在实数m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，若存在，求出实数m 的值；若不存在说明理由.20.（本小题满分12分）大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如下表所示：并邀请这30名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如下表所示：表（1） 表（2）（I ）将表（1）补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？（II ）现从表（2）中成功完成时间在[0，10)内的10名男生中任意抽取3人对他们的盲拧情况进行视频记录，记成功完成时间在[0，10)内的甲、乙、丙3人中被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X .n a b c d =+++.21.（本小题满分12分）已知函数)(1ln )(R a x ax x f ∈--=. （I ）求)(x f 的单调区间； （II ）若0=a ，令223)1()(++++=x x tx f x g ，若1x ，2x 是)(x g 的两个极值点，且0)()(21>+x g x g ，求正实数t 的取值范围.选做题（本小题满分10分）：（以下两道选做题任选一道，若两道都做按第一道给分） 22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为5cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，（t 为参数，α为直线倾斜角）.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.（Ⅰ）当45α=o时，求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点C 的直角坐标为(2,0)C ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，当ABC ∆面积最大时，求直线l 的普通方程.23.已知函数()|2| f x x=-（I）解不等式：()(1)2f x f x++≤；（II）若0a<，求证：()(2)()f ax f a af x-≥.临川一中2018—2019学年度上学期期末考试答案一、选择题二、填空题13.1000 14. 22315. 2123-+n n 16.]22,22[-三、解答题17.解：（Ⅰ）由212245sin 210=⇒==⋅⋅=∆BD BD BD BC S BCD 在BCD ∆中，由余弦定理可得2242445cos 20222=⇒=-+=⋅⋅-+=CD BD BC BD BC CD ……………6分（II ）由AD BD AB AD 231=⇒=→→，在ADC ∆中，由正弦定理可知CDADCD A AD ACD ACD AD A CD 2sin sin sin sin =⋅=∠⇒∠= 在BDC ∆中，由正弦定理可知CDBDCD B BD BCD BCD BD B CD 22sin sin sin sin =⋅=∠⇒∠= 故422212222sin sin ====∠∠BD AD CDBD CD ADBCD ACD ……………12分18. 解（Ⅰ）ABC ∆中，应用余弦定理得222cos 2AB BC AC ABC AB BC+-∠=g 2=，解得AC =222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥.因为平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE I 平面ABC BC =，BC AC ⊥， 所以AC ⊥平面BCDE ，又因为BE ⊂平面BCDE ，所以AC BE ⊥. ……………6分 （2）由（1）AC ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ，所以AC CE ⊥.又因为BC AC ⊥，平面ACE I 平面ABC AC =，所以BCE ∠是平面EAC 与平面BAC 所成的二面角的平面角，即45BCE ∠=︒.因为BE EC ⊥，AC BE ⊥，所以BE ⊥平面ACE .所以BAE ∠是AB 与平面ACE 所成的角.因为在Rt ACE ∆中，sin 45BE BC =︒= 所以在Rt BAE ∆中，sin BE BAE AB ∠==. ……………12分 19.解：(Ⅰ)（1）Q 抛物线28y x =的焦点是()2,0()2,0F ∴，2c =∴，又Q即3c a=a =∴26a =，则2222b ac =-= 故椭圆的方程为22162x y +=. ……………4分 （2）由题意得直线l的方程为)()0y x m m =->由)22162x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去y 得222260x mx m -+-=. 由()224860m m ∆=-->，解得m <-<又0m >，0m <<∴设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x m +=，21262m x x -=.))()2121212121333m m y y x m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤=-•-=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴.()112,FA x y =-u u u r Q ，()222,FB x y =-u u u r，()()()()21212121223462243333m m m m FA FB x x y y x x x x -+•=--+=-+++=u u u r u u u r ∴ 若存在m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，则必有0FA FB •=u u u r u u u r ，即()2303m m -=， 解得0,3m =.又0m <<3m =∴.即存在3m =使以线段AB 为直径的圆经过点. ……………12分由表中数据可得024.5223.51832203097-11235022>=⨯⨯⨯⨯⨯=K ）（，故能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢盲拧与性别有关。

2019－2020届临川一中上学期第一次联合考试高三数学试题（理）命题人：曾冬平 唐梦静 审题人：张文军一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若21i z i-=+，则=⋅z z （ ） A.－2 B. 2 C. 52 D. －522．设集合{}{}2|2|3A x x a B x x a =>=<-，，若B A ⋂为空集，则实数a 的取值范围为（ ） A. (12)， B.(2)(1∞⋃+-∞，，） C. [12]， D. (1][2∞⋃+-∞，，） 3． 设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2＞0”是“a ＞b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．若函数x ax x f ln )(-=的图象上存在与直线042=-+y x 垂直的切线，则实数a 的取值范围是（ ）A.(),2-+∞B.),21(+∞ C.(),21-+∞ D.),2(+∞5．若00x y ><，，则下列不等式一定成立的是（ ）A. 222x y x ->B. 1222(1)x y log x ->+C. x y x +>-122D. x y x ->-122 6． 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.” 黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形). 例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，BC AC 根据这些信息，可得= 216cos （ ）A. 48+-B. 14-C. 38+-D.14- 7．若函数⎩⎨⎧>-≤+=1),1(log 1,22)(2x x x x f x ，在(]a -∞，上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ）A. (]17,1B. (]9,1C.[]17,1D. []9,18．将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是( )A.40B.60C.80D.1009．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是( )A ．(30，42]B ．(30，42)C ．(42，56]D ．(42，56)10．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点， BF 1―→·BF 2―→≥14F 1F 2―→2，则椭圆的离心率的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，22 C.⎝⎛⎦⎤0，33 D.⎝⎛⎭⎫12，111．设曲线y ＝cos x 与x 轴、y 轴、直线x ＝π6围成的封闭图形的面积为b ，若g (x )＝2ln x －2bx 2－kx 在[1，＋∞]上的单调递减，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[1，＋∞)D ． (1，＋∞)12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足221=+a a ，321+=+n n S a ，用][x 表示不超过x 的最大整数，设][n n a b =，数列{}n b 的前n 2项和为n T 2，则使20192>n T 成立的最小正整数n 是（ ）A.5B.6C.7D.8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．921⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中的常数项为 14．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且172a a -=，则=+7911a S S . 15．如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是16．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，，点A 是双曲线左支上的一点，若直线1AF 与直线x ab y =平行且21F AF △的周长为a 9，则双曲线的离心率为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17．△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知a cos B ＝(4c －b )cos A ．（1）求cos A 的值；（2）若b ＝4，点M 在线段BC 上，AB →＋AC →＝2AM →，|AM →|＝10，求△ABC 的面积．18．如图，在三棱锥P -ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，AB ＝6，BC ＝23，AC ＝26，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且AD ＝2DB ，CE ＝2EB ，PD ⊥AC ．(1)求证：PD ⊥平面ABC ；(2)若直线PA 与平面ABC 所成的角为45°，求平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角大小．19．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率23，一个长轴顶点在直线2+=x y 上，若直线l 与椭圆交于Q P ，两点，O为坐标原点，直线OP的斜率为1k，直线OQ的斜率为2k．（1）求该椭圆的方程.（2）若k1·k2＝－14，试问OPQ△的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请理说明由．20．抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点．每年来抚州参观旅游的人数不胜数．其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查．若不去梦岛记1分，若继续去梦岛记2分．每位游客去梦岛的概率均为23，且游客之间的选择意愿相互独立．（1）从游客中随机抽取3人,记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为A m，求数列{A m}的前6项和；（3）在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为B n，探讨B n与B n-1之间的关系，并求数列{B n}的通项公式．21. 已知函数2211()21)((2)42f x x lnx ax lnx x =----. （1）讨论f (x )的单调性.（2）试问是否存在(]a e ∈-∞，，使得1()3sin 44a f x π>+，对1)[x ∈+∞，恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程] (10分) 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos y x （[0,2),απα∈为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'2'x x y y=⎧⎨=⎩，得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ为极径，θ为极角）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线C 1的极坐标方程；（Ⅱ）若射线():0OA θβρ=>与曲线C 1交于点A ，射线():02OB πθβρ=+>与曲线C 1交于点B ，求2211OAOB +的值．23．[选修4—5：不等式选讲] (10分) 已知函数21()|||1|(0)a f x x x a a+=-+->，g()4|1|x x =-+．（Ⅰ）当1a =时，求不等式5)(≥x f 的解集； （Ⅱ）若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集包含[]1,2，求a 的取值集合．。

江西省临川第一中学2019届高三数学上学期期末考试试题 理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,0,1M =-，{}2,N x x a a M ==∈，则集合=⋃N M （ ） A.{}1,0,1-B. {}2,0,2-C. {}0D.{}2,1,0,1,2--2.已知某公司按照工作年限发放年终奖金并且进行年终表彰.若该公司有工作10年以上的员工100人，工作5~10年的员工400人，工作0~5年的员工200人，现按照工作年限进行分层抽样，在公司的所有员工中抽取28人作为员工代表上台接受表彰，则工作5~10年的员工代表有（ ） A ．8人B ．16人C ．4人D ．24人3.在ABC ∆中，,1CA CB CA CB ⊥==，D 为AB 的中点，将向量CD 绕点C 按逆时针方向旋转90得向量CM ，则向量CM 在向量CA 方向上的投影为（ ）A.1-B.1C.12-D.124.已知复数(2i)i 5i(,)m n m n -=+∈R ，则复数i1im n z +=-的共轭复数z 虚部为（ ） A ．32B ．32-C ．72D ．72- 5.设,x y 满足约束条件330280440x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最大值是（ ）A ．9B ．8 C. 3 D ．4 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 2πB. 3πC. 5πD. 7π7.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州（现四川省安岳县）人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图,给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入x 的值为2,则输出v 的值为（ ）A. 621-B. 62C. 631- D. 63 8.若20π<<x ，则1tan <x x 是1sin <x x 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.如图，在由0x =， 0y =， 2x π=，及c o s y x =围成区域内任取一点，则该点落在0x =， sin y x =及cos y x =围成的区域内（阴影部分）的概率为（ ）A. 12-B. 12C. 3-1 10．在三棱锥S ABC -中，AB BC ==， 2SA SC AC === ,二面角S AC B --的余弦值是，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ）A. 32π B. 2πD. 6π11.已知函数ln ,0()ln(),0mx x x f x mx x x ->⎧=⎨+-<⎩.若函数()f x 有两个极值点12,x x ，记过点11(,())A x f x 和22(,())B x f x 的直线斜率为k ，若02k e <≤，则实数m 的取值范围为（ ）A.1(,2]eB.1(,]e eC.(,2]e eD.1(2,]e e + 12.已知抛物线C ：()022>=p py x 的焦点到准线的距离为2，直线1+=kx y 与抛物线C交于N M 、两点，若存在点()1,0-x Q 使得QMN ∆为等边三角形，则=MN （ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知菱形ABCD 中，2=CD ，060=∠ABC ，分别以A 、B 、C 、D 为圆心，1为半径作圆，得到的图形如下图所示，若往菱形内投掷10000个点，则落在阴影部分内的点约有________________个.取1.8） 14.设⎰-=22cos ππxdx a ，则421⎪⎭⎫⎝⎛++x a x 的展开式中常数项为_________.15.已知数列{}n a 的首项21=a ，方程23cos sin 12019-=-⋅+⋅+n n a x a x x有唯一实根，则数列{}n a 的前n 项和为_________.16.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1:22=+y x O ，直线a x y l +=:，过直线l 上点P作圆O 的切线PB PA ,，切点分别为B A ,，若存在点P 使得→→→=+PO PB PA 23，则实数a的取值范围是 .三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）已知ABC △中，2BC =，45B =︒，(01)AD AB λλ=<<.（I ）若1=∆BCD S ，求CD 的长；（II ）若30A =︒，31=λ，求sin sin ACDDCB ∠∠的值．18.(本小题满分12分)如图所示，四棱锥A BCDE -，已知平面BCDE ⊥平面ABC ，BE EC ⊥，6BC =，AB =30ABC ∠=︒.（I ）求证：AC BE ⊥；（II ）若二面角B AC E --为45︒，求直线AB 与平面ACE 所成角的正弦值.19. (本小题满分12分)已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，且椭圆的离心率为3x 轴正半轴一点(),0m 且斜率为3-的直线l 交椭圆于,A B 两点.（I ）求椭圆的标准方程；（II ）是否存在实数m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，若存在，求出实数m 的值；若不存在说明理由.20.（本小题满分12分）大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如下表所示：并邀请这30名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如下表所示：表（1） 表（2）（I ）将表（1）补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？（II ）现从表（2）中成功完成时间在[0，10)内的10名男生中任意抽取3人对他们的盲拧情况进行视频记录，记成功完成时间在[0，10)内的甲、乙、丙3人中被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X .n a b c d =+++.21.（本小题满分12分）已知函数)(1ln )(R a x ax x f ∈--=. （I ）求)(x f 的单调区间；（II ）若0=a ，令223)1()(++++=x x tx f x g ，若1x ，2x 是)(x g 的两个极值点，且0)()(21>+x g x g ，求正实数t 的取值范围.选做题（本小题满分10分）：（以下两道选做题任选一道，若两道都做按第一道给分）22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为5cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，（t 为参数，α为直线倾斜角）.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.（Ⅰ）当45α=时，求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点C 的直角坐标为(2,0)C ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，当ABC ∆面积最大时，求直线l 的普通方程.23.已知函数()|2| f x x=-（I）解不等式：()(1)2f x f x++≤；（II）若0a<，求证：()(2)()f ax f a af x-≥.临川一中2018—2019学年度上学期期末考试答案一、选择题二、填空题13.1000 14. 22315. 2123-+n n 16.]22,22[-三、解答题17.解：（Ⅰ）由212245sin 210=⇒==⋅⋅=∆BD BD BD BC S BCD 在BCD ∆中，由余弦定理可得2242445cos 20222=⇒=-+=⋅⋅-+=CD BD BC BD BC CD ……………6分（II ）由AD BD AB AD 231=⇒=→→，在A D C ∆中，由正弦定理可知CDADCD A AD ACD ACD AD A CD 2sin sin sin sin =⋅=∠⇒∠= 在BDC ∆中，由正弦定理可知CDBDCD B BD BCD BCD BD B CD 22sin sin sin sin =⋅=∠⇒∠= 故422212222sin sin ====∠∠BD AD CDBD CD ADBCD ACD ……………12分 18. 解（Ⅰ）ABC ∆中，应用余弦定理得222cos 2AB BC AC ABC AB BC+-∠==解得AC =222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥.因为平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE 平面ABC BC =，BC AC ⊥，所以AC ⊥平面BCDE ，又因为BE ⊂平面BCDE ，所以AC BE ⊥. ……………6分 （2）由（1）AC ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ， 所以AC CE ⊥.又因为BC AC ⊥，平面ACE平面ABC AC =，所以BCE ∠是平面EAC 与平面BAC 所成的二面角的平面角，即45BCE ∠=︒. 因为BE EC ⊥，AC BE ⊥，所以BE ⊥平面ACE .所以BAE ∠是AB 与平面ACE 所成的角.因为在Rt ACE ∆中，sin 45BE BC =︒=所以在Rt BAE ∆中，sin BE BAE AB ∠==. ……………12分 19.解：(Ⅰ)（1）抛物线28y x =的焦点是()2,0()2,0F ∴，2c =∴，又椭圆的离心c a=a =∴，26a =，则2222b ac =-= 故椭圆的方程为22162x y +=. ……………4分 （2）由题意得直线l的方程为()()03y x m m =-->由()221623x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩消去y 得222260x mx m -+-=. 由()224860m m ∆=-->，解得m <-<又0m >，0m <<∴设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x m +=，21262m x x -=.))()2121212121333m m y y x m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤=-∙-=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴.()112,FA x y =-，()222,FB x y =-，()()()()21212121223462243333m m m m FA FB x x y y x x x x -+∙=--+=-+++=∴ 若存在m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，则必有0FA FB ∙=，即()2303m m -=，解得0,3m =.又0m <<3m =∴.即存在3m =使以线段AB 为直径的圆经过点. ……………12分由表中数据可得024.5223.51832203097-11235022>=⨯⨯⨯⨯⨯=K ）（，故能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢盲拧与性别有关。

2019－2020届临川一中上学期第一次联合考试高三数学试题（理）命题人：曾冬平 唐梦静 审题人：张文军一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若21i z i-=+，则=⋅z z （ ） A.－2 B. 2 C. 52 D. －522．设集合{}{}2|2|3A x x a B x x a =>=<-，，若B A ⋂为空集，则实数a 的取值范围为（ ） A. (12)， B.(2)(1∞⋃+-∞，，） C. [12]， D. (1][2∞⋃+-∞，，） 3． 设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2＞0”是“a ＞b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．若函数x ax x f ln )(-=的图象上存在与直线042=-+y x 垂直的切线，则实数a 的取值范围是（ ）A.(),2-+∞B.),21(+∞ C.(),21-+∞ D.),2(+∞5．若00x y ><，，则下列不等式一定成立的是（ ）A. 222x y x ->B. 1222(1)x y log x ->+C. x y x +>-122D. x y x ->-122 6． 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.” 黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形). 例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，BC AC 根据这些信息，可得= 216cos （ ）A. 48+-B. 14-C. 38+-D.14- 7．若函数⎩⎨⎧>-≤+=1),1(log 1,22)(2x x x x f x ，在(]a -∞，上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ）A. (]17,1B. (]9,1C.[]17,1D. []9,18．将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是( )A.40B.60C.80D.1009．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是( )A ．(30，42]B ．(30，42)C ．(42，56]D ．(42，56)10．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点， BF 1―→·BF 2―→≥14F 1F 2―→2，则椭圆的离心率的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，22 C.⎝⎛⎦⎤0，33 D.⎝⎛⎭⎫12，111．设曲线y ＝cos x 与x 轴、y 轴、直线x ＝π6围成的封闭图形的面积为b ，若g (x )＝2ln x －2bx 2－kx 在[1，＋∞]上的单调递减，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[1，＋∞)D ． (1，＋∞)12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足221=+a a ，321+=+n n S a ，用][x 表示不超过x 的最大整数，设][n n a b =，数列{}n b 的前n 2项和为n T 2，则使20192>n T 成立的最小正整数n 是（ ）A.5B.6C.7D.8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．921⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中的常数项为 14．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且172a a -=，则=+7911a S S . 15．如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是16．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，，点A 是双曲线左支上的一点，若直线1AF 与直线x ab y =平行且21F AF △的周长为a 9，则双曲线的离心率为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17．△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知a cos B ＝(4c －b )cos A ．（1）求cos A 的值；（2）若b ＝4，点M 在线段BC 上，AB →＋AC →＝2AM →，|AM →|＝10，求△ABC 的面积．18．如图，在三棱锥P -ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，AB ＝6，BC ＝23，AC ＝26，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且AD ＝2DB ，CE ＝2EB ，PD ⊥AC ．(1)求证：PD ⊥平面ABC ；(2)若直线PA 与平面ABC 所成的角为45°，求平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角大小．19．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率23，一个长轴顶点在直线2+=x y 上，若直线l 与椭圆交于Q P ，两点，O为坐标原点，直线OP的斜率为1k，直线OQ的斜率为2k．（1）求该椭圆的方程.（2）若k1·k2＝－14，试问OPQ△的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请理说明由．20．抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点．每年来抚州参观旅游的人数不胜数．其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查．若不去梦岛记1分，若继续去梦岛记2分．每位游客去梦岛的概率均为23，且游客之间的选择意愿相互独立．（1）从游客中随机抽取3人,记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为A m，求数列{A m}的前6项和；（3）在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为B n，探讨B n与B n-1之间的关系，并求数列{B n}的通项公式．21. 已知函数2211()21)((2)42f x x lnx ax lnx x =----. （1）讨论f (x )的单调性.（2）试问是否存在(]a e ∈-∞，，使得1()3sin 44a f x π>+，对1)[x ∈+∞，恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程] (10分) 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos y x （[0,2),απα∈为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'2'x x y y=⎧⎨=⎩，得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ为极径，θ为极角）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线C 1的极坐标方程；（Ⅱ）若射线():0OA θβρ=>与曲线C 1交于点A ，射线():02OB πθβρ=+>与曲线C 1交于点B ，求2211OAOB +的值．23．[选修4—5：不等式选讲] (10分) 已知函数21()|||1|(0)a f x x x a a+=-+->，g()4|1|x x =-+．（Ⅰ）当1a =时，求不等式5)(≥x f 的解集； （Ⅱ）若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集包含[]1,2，求a 的取值集合．。

俯视图正视图xx 高三第一次联考2019-2020年高三上学期第一次联考试题 数学（理） 含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意.）1．已知集合{|5},{|20}A x Z x B x x =∈<=-≥，则等于（ ）A ．（2，5）B ．C ．{2，3，4}D ．{3，4，5}2．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）A ．y ＝e xB ．y ＝ln x 2C ．y ＝xD ．y ＝sin x3．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为（ ）A ．－23B ．－13C ．13D ．234．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则（ ） A ．2B ．1C ．D ．5．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个函数的图像，则“是偶函数”是“φ＝π4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．右图是一个几何体的三视图，则该几何体体积是（ ）A ．14B ．15C ．16D ．188．已知是等差数列的前n 项和，且，给出下列五个命题： ①；②；③；④数列中的最大项为；⑤.其中正确命题的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．19．过双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 的左焦点F 作圆的切线，设切点为M ，延长FM 交双曲线于点N ，若点M 为线段FN 的中点，则双曲线C 1的离心率为（ ）A ．B ．C ．+1D ． 10．已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且，，则球面面积为（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知点C 为线段上一点，为直线外一点，PC 是角的平分线，为PC 上一点，满足)0||||(>+=λλAP AC ，，，则的值为（ ）A.B. 3C. 4D.12．已知函数，则函数的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．等比数列的各项均为正数，且，则＝________. 14．已知函数满足，函数关于点对称，，则_________.15．设满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则的取值范围是__________.16．对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称为函数的“反比点”.下列函数中具有“反比点”的是_________.①； ②； ③，；④； ⑤.三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分） 在中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，已知，. （1）求的值；（2）若，D 为的中点，求CD 的长.18．（本小题满分12分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17。

江西省临川重点中学2019届高三上学期第一次月考（理科）数学试题一．选择题（每小题5分，共60分）1.设全集I=R，集合A=｛y|y=>2｝,B=｛x|y=｝,则（）A.A∪B=AB.A⊆BC.A∩B=D.A∩(B)2.知f(x)=ax²+bx是定义在[a-1,3a]上的偶函数，那么a+b=（）A.14- B. C.12D.12-3.知M=｛（x,y）|=3｝，N=｛（x，y）|ax+2y+a=0｝，且M∩N=，则a=（）A.2或-6B.-6C.-6或-2D.-24.设命题P：函数y=1x在定义域上是减函数；命题q：a，b（0，+），当a+b=1时，=3，以下说法正确的是（）A.P∨q 为真B.P∧q为真C.P真q假D.P.q均为假5. 函数y=lg（x-2x+a）的值域不可能是（）A.(,0-∞] B.[0,+) C.[1,+） D.R6.设246(0)()6(0)x x xf xx x⎧++≤=⎨-+>⎩，则不等式f(x)f(-1)的解集是（）A.(-3,-1) (3,+)B.（-3，-1）（2，+）C.（-3，+）D.（-，-3）（-1，3）7.函数f（x）=的图象关于点（1，1）对称，g（x）=lg（10x+1）+bx是偶函数，则a+b=（）A. B.12- C.32D.32-8.知f（x）= ，则不等式f（x-2）+f（-4）的解集为（）A．（-1，6） B.（-6，1） C.（-2，3） D.（-3，2）9.若正数a，b满足，则的最小值为（）A. 16B. 25C. 36D. 4910.设集合A=｛x|x²+2x-3>0｝B=｛x|x²-2ax-10 a>0｝，若A B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是（）A.（0，）B.[ ,)C.[,+D.(1,+)11.设f（x）是定义在R上的偶函数，任意实数x都有f（2-x）=f(2+x)，且当x[0,2]时，f(x)=-2，若函数g(x)=f(x)-(a>0,a1)在区间（-1，9]内恰有三个不同零点，则a的取值范围是（）A.（0，），+B.(,))C. (,),)D.(,),)12.已知，方程有四个实数根，则t的取值范围为（）A、 B、 C、 D、二．填空题（每小题5分，共20分）13．若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是．14.已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是_______________。

江西省抚州市临川一中2019-2020届高三数学上学期第一次联合考试试题 文（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，在答题卷相应题目的答题区域内作答． 1.设集合{}26A x x =-<<，{}24B x x =>，则A B =I （） A. {}26x x <<B. {}26x x -<<C. {}22x x -<<D.{}6x x >【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合B ，再利用交集的运算即可求出。

【详解】因为{}{242B x x x x =>=>或}2x <-，{}26A x x =-<<，所以{}26A B x x ⋂=<<，故选A. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算.2.设,a b ∈R ，则“()20a b a ->”是“a b >”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分、必要条件定义即可判断。

【详解】()20a b a ->，因为0a ≠，可推出a b >；a b >时，若0a =，则无法推出()20a b a ->，所以“()20a b a ->”是“a b >”的充分不必要条件，故选A 。

【点睛】本题主要考查分、必要条件的定义的应用。

3.若a ＝12⎛⎫⎪⎝⎭23，b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23，c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. a ＜b ＜c B. c ＜a ＜b C. b ＜c ＜a D. b ＜a ＜c【答案】D 【解析】 【分析】根据y ＝23x (x >0)是增函数和y ＝12⎛⎫⎪⎝⎭x是减函数可求得结果. 【详解】∵y ＝x 23 (x >0)是增函数，∴a ＝12⎛⎫⎪⎝⎭23>b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23. ∵y ＝12⎛⎫⎪⎝⎭x 是减函数，∴a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23＜c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，∴b ＜a ＜c . 故本题答案为D.【点睛】本题考查幂函数和指数函数的性质，考查学生利用函数单调性进行比较大小，掌握幂函数和指数函数的基本知识是重点，属基础题.4.若复数z 满足342z i +-=，则z z ⋅的最大值为（） A. 9 B. 81C. 7D. 49【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可知，复数z 对应的点的轨迹是以（-3,4）为圆心，半径为2的圆，z z ⋅表示圆上的点到原点的距离的平方，由几何知识即可求出。

2019届江西省江西高三下学期第一次联考理数试题考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|0},{|ln }1xM x N y y x x -=≥==+，则.M N ⋂=（ ） A ．]2,0( B ．]2,1(- C ．),1(+∞- D ．R【答案】B 【解析】试题分析：R N x x M =≤<-=},21|{. (]1,2M N ∴=-.故B 正确.考点：集合的运算.【易错点晴】本题主要考查的是分式不等式和集合交集的运算，属于容易题．解分式不等式时一定要注意其分母不为0,且对数的真数大于0，否则很容易出现错误． 2．若复数()21+2aii -（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a =（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．1±【答案】B考点：复数的运算.【易错点晴】本题主要考查的是复数的乘法运算和i 的性质，属于容易题．解题时一定要注意21i =-和运算的准确性.当复数为纯虚数时一定要注意其实部等于0,虚部不等于0,否则极易出错. 3．式子)(sin 21cos 2122R ∈-+-θθθ的最小值为（ ） A.43B.23 C. 34 D. 32【答案】C考点：三角函数化简求最值.4．如图，在正方形OABC 内，阴影部分是由两曲线)10(,2≤≤==x x y x y 围成，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．61 B ．31 C ．21 D ．32【答案】B 【解析】试题分析：阴影部分面积dx x x S ⎰-=102)(3101|)3132(323=-=x x ,所以所求概率为113113P ==⨯.故B 正确..考点：1定积分;2几何概型概率.5．已知中心在原点的双曲线C 的离心率等于32,其中一条准线方程43x =-，则双曲线C 的方程是（ ）A . 2214x -=B ．22145x y -=C ．22125x y -=- D．2212x =- 【答案】B考点：双曲线的简单几何性质.6．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为5, 则输出s 的值为（ ）A ． 9B ．10C ．11D ．12 【答案】C 【解析】试题分析：第一次循环后:1,2s i ==； 第二次循环后:2,3s i ==； 第三次循环后:4,4s i ==； 第四次循环后:7,5s i ==；第五次循环后:6,11==i s ，所以输出11. 故C 正确. 考点：算法.【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“5i ≤”，否则很容易出现错误．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．7．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足95S S =，且01>a ，则n S 中最大的是（ ） A ．6S B ．7S C ．8S D ．15S 【答案】B考点：等差数列的性质.【思路点睛】本题主要考查等差数列的性质,难度一般.根据95S S =可得67890a a a a +++=.再根据等差数列的性质可得780a a +=,由首相为正可知0,087<>a a .从而可知所有正数相加可取得最大值.即可知前7项和最大.8．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ） A ．24种 B ．18种 C ．48种 D ．36种 【答案】A 【解析】试题分析：分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车 ，则有12121223=C C C . 孪生姐妹不乘坐甲车，则有12121213=C C C . 共有24种. 故A.正确.考点：排列组合. 9．5)21(-+xx 展开式中常数项为（ ） A ．252 B ．－252 C ．160 D ．－160 【答案】A【解析】 试题分析：105)1()21(x x x x -=-+. 展开式通项公式rr r r rr rr xC xxC T ---+-=-=51021)10(21101)1()1(令5r =当且仅当5=r 时，252-为常数项. 故A 正确.考点：二项式定理. 10．命题)40(sin 1tan tan 1sin :πθθθθθ<<-=-p 无实数解，命题 x x ex x e q 1ln ln 1:+=+无实数解. 则下列命题错误的是（ ） A ．p 或q B ．（¬p ）或()q ⌝ C ．p 且（¬q ） D ．p 且q 【答案】D考点：命题的真假.11．如图，网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（ ）A ．61 B ． 31 C ．21 D ．34【答案】D考点：三视图.【方法点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的体积，属于容易题．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体的体积即可．12．已知)(x f 是定义域，值域都为(0,)+∞的函数， 满足2()()0f x xf x '+>，则下列不等式正确的是（ ） A ．2016(2016)2015(2015)f f > B ．2016(2016)2015(2015)f f < C. 332015(2015)2016(2016)f f <D. 332015(2015)2016(2016)f f > 【答案】C 【解析】试题分析：构造函数0)()(2)(),()(22>'+='=x f x x xf x g x f x x g ，所以)(x g 在),0(+∞单调递增，所以)2016(2016)2015(201522f f <，结合不等式性质. 故C 正确. 考点：用导数研究函数的单调性.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知向量1(,(1,0)2a b ==r r ，则b r 在a r 上的投影等于______________.【答案】12考点：向量投影问题.14．x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的取值范围为____________.【答案】[]0,8 【解析】试题分析：作出可行域如图:22x y≤+≤.+表示可行域内的点与原点的距离的平方,由图可知2208x y考点：线性规划.【方法点晴】本题主要考查的是线性规划，属于中档题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．15．已知边长为的菱形ABCD中，60∠=，沿对角线BD折成二面角为120的四面体，则四面体BAD的外接球的表面积为________.28【答案】π考点：棱锥的外接球问题.16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，),3a cb A C π-=-=，则角B =______________.【答案】3B π=【解析】试题分析：2sin 2cos 2cos 2sin )22sin(sin CA C A C A C A C A C A A -++-+=-++=, 2sin 2cos 2cos 2sin )22sin(sin C A C A C A C A C A C A C -+-+=-+=－－, 两式相减得2sin 2cos2sin sin CA C A C A -+=-, 由正弦定理得BC A sin )sin (sin 3=-2cos 2sin 22sin 2cos3B B C A C A =-+⇒3232cos π=⇒=⇒B B . 考点：1正弦定理;2两角和差公式,二倍角公式.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知函数()21f x x =+，数列{},{}n n a b 分别满足1(),()n n n a f n b f b -==，且11b =. 定义[]()x x x =+，[]x 为实数x 的整数部分，()x 为小数部分，且0()1x ≤<. （1）分别求{},{}n n a b 的通项公式；（2）记n c =()1nn a b +，求数列{}n c 的前项n 和. 【答案】（1）12,12-=+=n n n b n a ;（2）1,12253,22n nn S n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪-≥⎪⎩.（2）依题意，11131,2 2a c b ==；22251,44a cb ==； 当3n ≥时，可以证明0212n n <+<，即21012nn +<<， 所以2121c ()3)22n n nn n n ++==≥（， 则112S =，2113244S =+=，117921...(3)248162n n n S n +=+++++≥． 令7921...(3)8162n n W n +=+++≥，117921...(3)216322n n W n ++=+++≥， 两式相减得291219253)42242n n nn n W n -++=---≥=（． ∴2533)2n nn S n +=-≥（，检验知，1n =不合，2n =适合，∴1,12253,22n nn S n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪-≥⎪⎩．考点：1构造法求数列的通项公式;2错位相减法求数列的和.【方法点睛】本题主要考查数列通项公式和前n 项和问题,难度一般.求数列通项公式的常用方法有:公式法(包括等差数列的通项公式,等比数列的通项公式, ()()11,1,2n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩),累加法,累乘法,构造法等.数列求和的常用方法有:公式法,分组求和法,倒序相加法,裂项相消法,错位相减法.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．（1）求证：AB ∥EF ；（2）若2PA PD AD ===，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析; （2）13.∵BG ⊥平面PAD ，∴)0,3,0(=是平面PAF 的一个法向量，∵cos ,39n GB<n GB >n GB ⋅===⋅，∴平面PAF 与平面AFE ． 考点：1线面平行,线面垂直;2用空间向量法解决立体几何问题.【方法点晴】本题主要考查的是线面平行、线面垂直、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面平行关键是证明线线平行,证明线明平行常用方法有:中位线,平行四边形,平行线分线段成比例逆定理等.19．某校课改实行选修走班制，现有甲，乙，丙，丁四位学生准备选修物理，化学，生物三个科目．每位学生只选修一个科目，且选修其中任何一个科目是等可能的．（1）恰有2人选修物理的概率；（2）选修科目个数ξ的分布列及期望．【答案】（1）827;（2）详见解析. （II ）ξ的所有可能值为1，2，3.又421322243244234431(1),273()(22)1414(2)((2))272733P C C C C C C P P ξξξ===+-======或 12123342434444(3)((3)).9933C C C C A P P ξξ======或 综上知，ξ有分布列从而有114465123.2727927E ξ=⨯+⨯+⨯=考点：1二项分布;2分布列,期望. 20．已知抛物线C 的标准方程为)0(22>=p px y ，M 为抛物线C 上一动点，)0)(0,(≠a a A 为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线C 的另一个交点为N ．当A 为抛物线C 的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，△MON 的面积为18．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）记ANAM t 11+=，若t 值与M 点位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．【答案】（1）212y x =;（2）0a <时，A 不是“稳定点”; 3a =时，t 与m 无关.（Ⅱ）设1122()()M x y N x y ，，，，设直线MN 的方程为x my a =+，联立212x my a y x=+⎧⎨=⎩得212120y my a --=，2144480m a ∆=+>， 1212y y m +=， 1212y y a =-， 由对称性，不妨设0m >，考点：直线与抛物线的位置关系问题.21. 已知函数()ln(1)x f x x =+. （1）当0x >时，证明：1()12f x x <+； （2）当1x >-，且0x ≠时，不等式(1)()1kx f x x +>+成立，求实数k 的值.【答案】（1）详见解析; （2）12k =. 【解析】试题分析：（1）当0x >时,11x +>,则()ln 10x +>,则原不等式等价于2ln(1)2xx x <++.令2()ln(1)2x h x x x =+-+．则只需其最小值大于0即可.先求导,讨论导数的正负,得函数()h x 的单调区间,可得()h x 的最小值. （2）原不等式可化为2(1)ln(1)0x x x kx x++--<．令2()(1)ln(1)g x x x x kx =++--．求导,将导数再一次求导,讨论k 的值可得()'g x 的正负,从而可得函数()g x 的单调性.根据单调性可得()g x 的最值.试题解析：证明：（1）0,ln(1)0x x >+>2ln(1)2x x x +⇔<+2ln(1)2x x x ⇔<++令2()ln(1)2x h x x x =+-+． 22()0(1)(2)x h x x x '=>++，则()h x 在(0,)+∞上是增函数． 故()(0)0h x h >=，即命题结论成立………………5分考点：用导数研究函数的性质.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =.（1）求证：CE AD ⊥;（2）求BC 的长.【答案】（1）详见解析; （2）BC =考点：1圆的切线;2相似三角形.23．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为x t y t⎧⎪⎨⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求l 的极坐标方程；（2）过点1(4M -任作一直线交曲线C 于,A B 两点，求||AB 的最小值.【答案】（1）sin +4πρθ⎛⎫= ⎪⎝⎭;（2）7||min =AB . 【解析】试题分析：（1）将曲线C 化为直角坐标方程,再求其在点()1,1处的切线方程.根据公式cos ,sin x y ρθρθ==可得其极坐标方程. （2）考点：1极坐标与直角坐标间的互化;2弦长问题.24．选修4-5：不等式选讲： 设函数)0(|||4|)(>++-=a a x ax x f . （I ）证明：4)(≥x f ；（II ）若5)2(<f ，求a 的取值范围.【答案】（I ）详见解析; （II ）21711+<<a . 【解析】 试题分析：（I ）根据公式a b a b ±≤+及基本不等式可证得. （II ）()25f <即4225a a -++<,根据找零点法取绝对值,转化为a 的一元二次不等式.试题解析：解：（I ）()()44444f x x x a x x a a a a a a a ⎛⎫=-++≥--+=+=+≥= ⎪⎝⎭. （II ）当2=a 时，5|2||42|<++-a a 显然满足； 当20≤<a 时，54<+⇒a a ，即41452<<⇒<+-aaa，，联立求解得21≤<a;考点：1绝对值公式;2基本不等式;3找零点法去绝对值.。