高三数学文科模拟试题

第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页…………外………………内……………○……在※※装※※订※※线………○……第II卷（非选择题）二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．若(x2+a)(x+x)8的展开式中x8的系数为9,则a的值为.14．北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出一个有趣的问题,大意是:酒店把酒坛层层堆积,底层摆成长方形,以后每上一层,长和宽两边的坛子各少一个,堆成一个棱台的形状(如图1),那么总共堆放了多少个酒坛?沈括给出了一个计算酒坛数量的方法——隙积术,设底层长和宽两边分别摆放a,b个坛子,一共堆了n层,则酒坛的总数S=ab+(a-1)(b-1)+(a-2)(b-2)+…+(a-n+1)(b-n+1).现在将长方形垛改为三角形垛,即底层摆成一个等边三角形,向上逐层等边三角形的每边少1个酒坛(如图2),若底层等边三角形的边上摆放10个酒坛,顶层摆放1个酒坛,那么酒坛的总数为.15．定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)满足f'(x1)=f'(x2)=f(b)-f(a)b-a,则称函数f(x)是[a,b]上的“中值函数”.已知函数f(x)=13x3-12x2+m是[0,m]上的“中值函数”,则实数m的取值范围是.16．设函数f(x)=exx+a(x-1)+b(a,b∈R)在区间[1,3]上总存在零点,则a2+b2的最小值为.三、解答题(共6题，共70分)17．已知数列{a n}的各项均为正数,S n为其前n项和,且4S n=a n2+2a n-3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若T n=a1+1S1−a3+1S3+a5+1S5-…+(-1)n+1a2n-1+1S2n-1,比较T n与1的大小.18．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a sin(C+π6)=b+c.(1)求角A的大小;(2)若a=√7,BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =-3,角A的平分线交边BC于点T,求AT的长.19．垃圾是人类生产和生活中产生的废弃物,由于排出量大,成分复杂多样,且具有污染性,因此需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量,采用简单随机抽样的方法抽取20个镇进行分析,得到样本数据(x i,y i)(i=1,2,…,20),其中x i和y i分别表示第i个镇的人口(单位:万人)和该镇年垃圾产生总量(单位:吨),并计算得∑i=120x i=80,∑i=120y i=4 000,∑i=120(x i-x¯)2=80,∑i=120(y i-y¯)2=8 000,∑i=120(x i-x¯)(y i-y¯)=700.(1)请用相关系数说明该组数据中y与x之间的线性相关程度;(2)求y关于x的线性回归方程;(3)某机构有两款垃圾处理机器,其中甲款机器每台售价100万元,乙款机器每台售价80万元,下表是这两款垃圾处理机器的使用年限(整年)统计表:根据以往经验可知,某镇每年可获得政府支持的垃圾处理费用为50万元,若仅考虑购买机器的成本和每台机器的使用年限(使用年限均为整年),以频率估计概率,该镇选择购买哪一款垃圾处理机器更划算?参考公式:相关系数r=∑i=1n(x i-x¯)(y i-y¯)√∑i=1(x i-x¯)2∑i=1(y i-y¯)2,对于一组具有线性相关关系的数据(x i,y i)(i=1,2,…,n),其回归直线y^=b^x+a^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^=∑i=1nx i y i−nx-y-∑i=1nx i2−nx-2，a^=y-−b^x-.20．如图,已知各棱长均为2的直三棱柱ABC-A1B1C1中,E为AB的中点.(1)求证:BC1∥平面A1EC;(2)求点B1到平面A1EC的距离.21．已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2√2.(1)求椭圆C的标准方程.(2)过点S(-13,0)的动直线l交椭圆C于A,B两点,试问:在x轴上是否存在一个定点T,使得无论直线l如何转动,以AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.22．已知函数f(x)=lnx,g(x)=-12x.(1)令F(x)=ax·f(x)-2x2·g(x),讨论F(x)的单调性;(2)设φ(x)=f(x)x-g(x),若在(√e,+∞)上存在x1,x2(x1≠x2)使不等式|φ(x1)-φ(x2)|≥k|lnx1-lnx2|成立,求k的取值范围.第3页共4页◎第4页共4页参考答案1.D【解析】解法一 因为A ={x ||x |≤3}={x |-3≤x ≤3},(题眼)(方法点拨:含有一个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边,小于在中间”,即|x |≤a 的解集是{x |-a ≤x ≤a },|x |≥a 的解集是{x |x ≤-a 或x ≥a })B ={x |x ≤2},所以A ∩B ={x |-3≤x ≤2},故选D.解法二 因为3∉B ,所以3∉(A ∩B ),故排除A,B;因为-3∈A 且-3∈B ,所以-3∈(A ∩B ),故排除C.故选D. 【备注】无 2.B【解析】解法一 z =4-3i 2-i=(4-3i)(2+i)(2-i)(2+i)=11-2i 5=115−25i,所以|z |=√(115)2+(-25)2=√5,(题眼)故选B.解法二 |z |=|4-3i2-i |=|4-3i||2-i|=√42+(-3)2√22+(-1)2=√5=√5,故选B.(方法总结:若z 1,z 2∈C ,则|z 1z 2|=|z 1|·|z 2|,|z1z 2|=|z 1||z 2|(|z 2|≠0)) 【备注】无3.A【解析】解法一 由sin x =1,得x =2k π+π2(k ∈Z ),则cos (2k π+π2)=cos π2=0,故充分性成立;又由cosx =0,得x =k π+π2(k ∈Z ),而sin(k π+π2)=1或-1,故必要性不成立.所以“sin x =1”是“cos x =0”的充分不必要条件,(判断充分、必要条件应分三步:(1)确定条件是什么,结论是什么;(2)尝试从条件推结论(充分性),从结论推条件(必要性);(3)确定条件和结论是什么关系)故选A.解法二 由sin x =1,得x =2k π+π2 (k ∈Z ),则cos(2k π+π2)=cos π2=0,故充分性成立;又cos 3π2=0,sin 3π2=-1,故必要性不成立.所以“sin x =1”是“cos x =0”的充分不必要条件,故选A. 【备注】无 4.A【解析】由题可知,数列{a n }是首项为29、公比为12的等比数列,所以S n =29[1-(12)n ]1-12=210-210-n,T n =29×28×…×210-n=29+8+…+(10-n )=2n(19-n)2,由T n >S n ,得2n(19-n)2>210-210-n,由n(19-n)2≥10,可得n 2-19n +20≤0,结合n ∈N *,可得2≤n ≤17,n ∈N *.当n =1时,S 1=T 1,不满足题意;当n ≥18时,n(19-n)2≤9,T n ≤29,S n =210-210-n>210-1>29,所以T n <S n ,不满足题意.综上,使得T n >S n 成立的n 的最大正整数值为17. 【备注】无 5.B【解析】依题意,1=a 2+b 2-2a ·b =1+1-2a ·b ,故a ·b =12,所以(a -b )·(b -c )=a ·b -b 2-(a -b )·c =(b -a )·c -12=|b -a ||c |·cos<b -a ,c >-12≤1-12=12,当且仅当b -a 与c 同向时取等号.所以(a -b )·(b -c )的最大值为12.故选B.【备注】无 6.D【解析】由已知可得∠xOP =∠P 0OP -∠P 0Ox =π2t -π3,所以由三角函数的定义可得y =3sin∠xOP =3sin(π2t -π3),故选D.【备注】无 7.B【解析】本题主要考查古典概型、排列与组合等知识,考查的学科素养是理性思维、数学应用. “礼、乐、射、御、书、数”六节课程不考虑限制因素有A 66=720(种)排法,其中“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的排课方法可以分两类:①“数”排在第一节,“礼”和“乐”两门课程相邻排课,则有C 41A 22A 33=48(种)排法;②“数”排在第二节,“礼”和“乐”两门课程相邻排课,则有C 31A 22A 33=36(种)排法.(方法总结:解决排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置))故“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的排法共有48+36=84(种),所以“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的概率P =84720=760,故选B. 【备注】无 8.C【解析】解法一 由已知可得AA 1⊥底面ABC ,且AC ⊥BC ,所以V A -PBC =V P -ABC =13×S △ABC ×PA =13×12×3×4×PA =4,解得PA =2.在平面ACC 1A 1内,过点C 1作C 1H ⊥PC ,垂足为H ,如图.由CC 1⊥底面ABC ,可得CC 1⊥BC ,因为AC ⊥BC ,AC ∩CC 1=C ,所以BC ⊥平面ACC 1A 1,所以BC ⊥C 1H ,又C 1H ⊥PC ,PC ∩BC =C ,所以C 1H ⊥平面PBC ,连接BH ,故∠C 1BH 就是直线BC 1与平面PBC 所成的角.在矩形ACC 1A 1中,CP =√CA 2+AP 2=√42+22=2√5,sin∠C 1CH =cos∠PCA =AC CP =2√5=√5=C 1H CC 1=C 1H 3,故C 1H =3×√5=√5.故在△BC 1H中,sin∠C 1BH =C 1HBC 1=√53√2=√105,所以直线BC 1与平面PBC 所成角的正弦值等于√105.故选C.解法二 由已知得AA 1⊥底面ABC ,且AC ⊥BC ,所以V A -PBC =V P -ABC =13×S △ABC ×PA =13×12×3×4×PA =4,解得PA =2.如图,以C 为坐标原点,分别以CB⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,C C_1的方向为x ,y ,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则C (0,0,0),P (0,4,2),B (3,0,0),C 1(0,0,3),则CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,2),B ⃗ C_1=(-3,0,3).设平面BCP 的法向量为n =(x ,y ,z ),则由{n ⊥CB⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥CP⃗⃗⃗⃗ 可得{n·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x =0,n·CP ⃗⃗⃗⃗ =4y +2z =0,即{x =0,2y +z =0,得x =0,令y =1,得z =-2,所以n =(0,1,-2)为平面BCP 的一个法向量.设直线BC 1与平面PBC 所成的角为θ,则sin θ=|cos<n ,B ⃗ C_1>|=|n·B⃗⃗ C_1||n||B⃗⃗ C_1|=√(-3)2+32×√12+(-2)2=√105.故选C.【备注】求直线与平面所成角的方法:(1)定义法,①作,在直线上选取恰当的点向平面引垂线,确定垂足的位置是关键;②证,证明所作的角为直线与平面所成的角,证明的主要依据是直线与平面所成角的概念;③求,利用解三角形的知识求角.(2)向量法,sin θ=|cos<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n|(其中AB 为平面α的斜线,n 为平面α的法向量,θ为斜线AB 与平面α所成的角).9.B【解析】本题主要考查集合以及自定义问题的解题方法；G =N,⊕为整数的加法时，对任意a,b ∈N ，都有a ⊕b ∈N ，取c =0，对一切a ∈G ，都有a ⊕c =c ⊕a =a ，G 关于运算⊕为“融洽集”. 【备注】无 10.D【解析】对于A,甲街道的测评分数的极差为98-75=23,乙街道的测评分数的极差为99-73=26,所以A 错误;对于B,甲街道的测评分数的平均数为75+79+82+84+86+87+90+91+93+9810=86.5,乙街道的测评分数的平均数为73+81+81+83+87+88+95+96+97+9910=88,所以B 错误;对于C,由题中表可知乙街道测评分数的众数为81,所以C 错误;对于D,甲街道的测评分数的中位数为86+872=86.5,乙街道的测评分数的中位数为87+882=87.5,所以乙的中位数大,所以D 正确. 故选D. 【备注】无 11.A【解析】本题考查函数的图象与性质,数形结合思想的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力. 解法一 易知x =0是方程|x |-a (x 3+3x 2)=0的一个根,显然x ≠-3,当x ≠0且x ≠−3时,由|x |-a (x 3+3x 2)=0,得a =|x|x 3+3x 2,设g (x )=|x|x 3+3x 2,则g (x )的图象与直线y =a 有3个不同的交点.当x >0时,g (x )=1x 2+3x ,易知g (x )在(0,+∞)上单调递减,且g (x )∈(0,+∞).当x <0且x ≠-3时,g (x )=-1x 2+3x,g'(x )=2x+3(x 2+3x)2,令g'(x )>0,得-32<x <0,令g'(x )<0,得−3<x <−32或x <−3,所以函数g (x )在(−∞,−3)和(−3,−32)上单调递减,在(−32,0)上单调递增,且当x 从左边趋近于0和从右边趋近于−3时,g (x )→+∞,当x 从左边趋近于-3时,g (x )→−∞,当x →−∞时,g (x )→0,可作出函数g (x )的大致图象,如图所示,由图可知,a >49.综上,实数a 的取值范围是(49,+∞).解法二 易知x =0是方程|x |-a (x 3+3x 2)=0的一个根,当x ≠0时,由|x |-a (x 3+3x 2)=0,得1|x|=a (x +3),则该方程有3个不同的根.在同一坐标系内作出函数y =1|x|和y =a (x +3)的图象,如图所示.易知a >0,当y =a (x +3)与曲线y =1|x|的左支相切时,由-1x=a (x +3)得ax 2+3ax +1=0,Δ=(3a )2-4a =0,得a =49.由图可知,当a >49时,直线y =a (x +3)与曲线y =1|x|有3个不同的交点,即方程1|x|=a (x +3)有3个不同的根.综上,实数a 的取值范围是(49,+∞).【备注】【方法点拨】利用方程的根或函数零点求参数范围的方法及步骤:(1)常规思路:已知方程的根或函数的零点个数,一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数,这时图象一定要准确,这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题.(2)常用方法:①直接法——直接根据题设条件构建关于参数的不等式,通过解不等式确定参数范围;②分离参数法——先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;③数形结合法——先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.(3)一般步骤:①转化——把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况;②列式——根据零点存在性定理或结合函数图象列式;③结论——求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围 12.B【解析】因为圆x 2+y 2=a 2与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ,所以∠A 1MA 2=90°,tan∠MOA 2=ba,所以∠PMA 2=90°.因为△MPA 2是等腰三角形,所以∠MA 2P =45°.因为∠PA 2M 的平分线与y 轴平行,所以∠OA 2M =∠PA 2x ,又∠OA 2M +∠A 2MO +∠MOA 2=180°,∠OA 2M =∠A 2MO ,所以∠MOA 2=∠MA 2P =45°,(题眼)所以b a=tan∠MOA 2=1,所以C 的离心率e =c a =√a 2+b 2a 2=√1+b 2a 2=√2.故选B.【备注】无 13.1【解析】二项式(x +1x )8的展开式中,含x 6的项为C 81x 7(1x )1=8x 6,含x 8的项为C 80x 8(1x )0=x 8,所以(x 2+a )(x +1x)8的展开式中,x 8的系数为8+a =9,解得a =1.【备注】无 14.220【解析】根据题目中已给模型类比和联想,得出第一层、第二层、第三层、…、第十层的酒坛数,然后即可求解.每一层酒坛按照正三角形排列,从上往下数,最上面一层的酒坛数为1,第二层的酒坛数为1+2,第三层的酒坛数为1+2+3,第四层的酒坛数为1+2+3+4,…,由此规律,最下面一层的酒坛数为1+2+3+…+10,所以酒坛的总数为1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+10)=1+3+6+…+55=220. 【备注】无 15.(34,32)【解析】由题意,知f '(x )=x 2-x 在[0,m ]上存在x 1,x 2(0<x 1<x 2<m ),满足f '(x 1)=f '(x 2)=f(m)-f(0)m=13m 2-12m ,所以方程x 2-x =13m 2-12m 在(0,m )上有两个不相等的解.令g (x )=x 2-x-13m 2+12m (0<x <m ),则{Δ=1+43m 2-2m >0,g(0)=-13m 2+12m >0,g(m)=23m 2-12m >0,解得34<m <32.【备注】无16.e 48 【解析】设x 0为函数f (x )在区间[1,3]上的零点,则e x 0x 0+a (x 0-1)+b =0,所以点(a ,b )在直线(x 0-1)x +y +e x 0x 0=0上,(题眼)而a 2+b 2表示坐标原点到点(a ,b )的距离的平方,其值不小于坐标原点到直线(x 0-1)x +y +e x 0x 0=0的距离的平方,(名师点拨:直线外一点到直线上的点的距离大于等于该点到直线的距离)即a 2+b 2≥e 2x 0x 02(x 0-1)2+12=e 2x 0x 04-2x 03+2x 02.令g (x )=e 2xx 4-2x 3+2x 2,x ∈[1,3],则g'(x )=2e 2x (x 4-2x 3+2x 2)-e 2x (4x 3-6x 2+4x)(x 4-2x 3+x 2)2=2x(x-1)2(x-2)e 2x (x 4-2x 3+x 2)2,则当1≤x <2时,g'(x )<0,当2<x ≤3时,g'(x )>0,所以函数g (x )在区间[1,2)上单调递减,在区间(2,3]上单调递增,所以g (x )min =g (2)=e 48,所以a 2+b 2≥e 48,所以a 2+b 2的最小值为e 48. 【备注】无17.解:(1)令n =1,则4a 1=a 12+2a 1-3,即a 12-2a 1-3=0,解得a 1=-1(舍去)或a 1=3.因为4S n =a n 2+2a n -3 ①,所以4S n +1=a n+12+2a n +1-3 ②,②-①,得4a n +1=a n+12+2a n +1-a n 2-2a n ,整理得(a n +1+a n )(a n +1-a n -2)=0, 因为a n >0,所以a n +1-a n =2,所以数列{a n }是首项为3、公差为2的等差数列,所以a n =3+(n -1)×2=2n +1.(2)由(1)可得,S n =(n +2)n ,a 2n -1=4n -1,S 2n -1=(2n +1)(2n -1), 所以a 2n-1+1S 2n-1=4n (2n+1)(2n-1)=12n-1+12n+1.当n 为偶数时,a 1+1S 1−a 3+1S 3+a 5+1S 5-…+(-1)n+1a 2n-1+1S 2n-1=(1+13)-(13+15)+(15+17)-…-(12n-1+12n+1) =1-12n+1<1; 当n 为奇数时,a 1+1S 1−a 3+1S 3+a 5+1S 5-…+(-1)n+1a 2n-1+1S 2n-1=(1+13)-(13+15)+(15+17)-…+(12n-1+12n+1)=1+12n+1>1.综上,当n 为偶数时,T n <1;当n 为奇数时,T n >1. 【解析】无 【备注】无 18.无【解析】(1)由已知及正弦定理,得2sin A sin(C +π6)=sin B +sin C ,所以sin A cos C +√3sin A sin C =sinB +sin C.(有两角和或差的正弦(余弦)形式,并且其中有一个角是特殊角时,常常将其展开) 因为A +B +C =π,所以sin B =sin(A +C ),所以sin A cos C +√3sin A sin C =sin(A +C )+sin C ,则sin A cos C +√3sin A sin C =sin A cos C +cos A sin C +sin C ,即√3sin A sin C =sin C cos A +sin C.因为sin C ≠0,所以√3sin A =cos A +1,即sin(A -π6)=12. 因为0<A <π,所以A =π3.(2)由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3可知cb cos 2π3=-3,因此bc =6. 由a 2=b 2+c 2-2bc cos∠BAC =(b +c )2-2bc -bc =7,可得b +c =√7+3×6=5. 由S △ABC =S △ABT +S △ACT 得,12bc sin π3=12c ·AT ·sin π6+12b ·AT ·sin π6,(与角平分线相关的问题,常常利用三角形的面积来解决)因此AT =bcsinπ3(b+c)sinπ6=6×√325×12=6√35. 【备注】无19.解:(1)由题意知,相关系数r =∑i=120(x i -x ¯)(y i -y ¯)√∑i=1(x i -x ¯)2∑i=1(y i -y ¯)2=√80×8 000=78=0.875, 因为y 与x 的相关系数接近于1,所以y 与x 之间具有较强的线性相关关系.(2)由题意可得,b ^=∑i=120(x i -x ¯)(y i -y ¯)∑i=120(x i-x ¯)2=70080=8.75,a ^=y -−b ^x -=4 00020-8.75×8020=200-8.75×4=165,所以y ^=8.75x +165.(将变量x ,y 的平均值代入线性回归方程,求得a ^)(3)以频率估计概率,购买一台甲款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用X (单位:万元)的分布列为E (X )=-50×0.1+0×0.4+50×0.3+100×0.2=30(万元).购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用Y (单位:万元)的分布列为E (Y )=-30×0.3+20×0.4+70×0.2+120×0.1=25(万元).因为E (X )>E (Y ),所以该镇选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算.(根据已知数据,分别计算随机变量X 和Y 的分布列、期望,期望越大,说明节约费用的平均值越大,也就越划算)【解析】本题主要考查变量相关性分析、线性回归方程的求解、概率的计算以及随机变量期望的意义和求法,考查的学科素养是理性思维、数学应用.第(1)问,由已知数据,代入相关系数公式,求得相关系数r 即可判断x 和y 的相关程度;第(2)问,根据最小二乘估计公式,求得b ^,a ＾的值,从而确定y 关于x 的线性回归方程;第(3)问,根据统计数据计算随机变量X 和Y 的分布列,并分别求期望,由期望的意义可知,数值越大表示节约的垃圾处理费用的平均值越大,从而确定购买哪一款垃圾处理机器. 【备注】无20.(1)如图,连接AC 1交A 1C 于点O ,连接OE ,则BC 1∥OE.(题眼)BC 1∥OEOE ⊂平面A 1EC BC 1⊄平面A 1EC }⇒BC 1∥平面A 1EC.(运用直线与平面平行的判定定理时,关键是找到平面内与已知直线平行的直线)(2)如图,连接A 1B ,则V A 1-ACE =12V A 1-ABC =12×13V ABC-A 1B 1C 1=12×13×√34×22×2=√33.(题眼) 根据直三棱柱的性质,易得A 1A ⊥平面ABC ,因为CE ⊂平面ABC ,所以AA 1⊥CE .因为E 为AB 的中点,△ABC 为正三角形,所以CE ⊥AB. 又AA 1∩AB =A ,AA 1,AB ⊂平面ABB 1A 1,所以CE ⊥平面ABB 1A 1, 因为A 1E ⊂平面ABB 1A 1,所以A 1E ⊥CE .在Rt△A 1CE 中,A 1E ⊥CE ,A 1C =2√2,A 1E =√5,EC =√3,所以S △A 1CE =12×√5×√3=√152. 设点A 到平面A 1EC 的距离为h ,则点B 1到平面A 1EC 的距离为2h .因为V A 1-ACE =V A-A 1CE =13×S △A 1CE ×h ,(点到平面的距离可转化为几何体的体积问题,借助等体积法来解决.等体积法:轮换三棱锥的顶点,体积不变;利用此特性,把三棱锥的顶点转换到易于求出底面积和高的位置是常用方法) 所以h =2√55,即点A 到平面A 1EC 的距离为2√55, 因此点B 1到平面A 1EC的距离为4√55.【解析】无【备注】高考文科数学对立体几何解答题的考查主要设置两小问:第(1)问通常考查空间直线、平面间的位置关系的证明;第(2)问通常考查几何体体积的计算,或利用等体积法求点到平面的距离.21.解:(1)由椭圆的定义可得2a =2√2,则a =√2, ∵椭圆C 的离心率e =ca =√22,∴c =1,则b =√a 2-c 2=1,∴椭圆C 的标准方程为y 22+x 2=1.(2)当直线l 不与x 轴重合时,设直线l 的方程为x =my -13,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),T (t ,0),(由于存在直线l 与x 轴重合的情形,故需进行分类讨论) 由{x =my-13y 22+x 2=1消去x 并整理,得(18m 2+9)y 2-12my -16=0,Δ=144m 2+64(18m 2+9)=144(9m 2+4)>0恒成立,则y 1+y 2=12m 18m 2+9=4m 6m 2+3,y 1y 2=-1618m 2+9. 由于以AB 为直径的圆恒过点T ,则TA ⊥TB ,TA⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1-t -13,y 1),TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 2-t -13,y 2), 则TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1-t -13)(my 2-t -13)+y 1y 2 =(m 2+1)y 1y 2-m (t +13)(y 1+y 2)+(t +13)2=-16(m 2+1)-m(t+13)×12m18m 2+9+(t +13)2=(t +13)2-(12t+20)m 2+1618m 2+9=0,∵点T 为定点,∴t 为定值,∴12t+2018=169,(分析式子结构,要使此式子的取值与m 无关,必须要将含有m 的相关代数式约去,通常采用分子与分母的对应项成比例即可解决) 解得t =1,此时TA⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43)2-169=0,符合题意. 当直线l 与x 轴重合时,AB 为椭圆C 的短轴,易知以AB 为直径的圆过点(1,0).综上所述,存在定点T (1,0),使得无论直线l 如何转动,以AB 为直径的圆恒过定点T .【解析】本题主要考查椭圆的定义及几何性质、直线与椭圆的位置关系,考查的学科素养是理性思维、数学探索.(1)首先由椭圆的定义求得a 的值,然后根据离心率的公式求得c 的值,从而求得b 的值,进而得到椭圆C 的标准方程;(2)当直线l 不与x 轴重合时,设直线l 的方程为x =my -13,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),T (t ,0),与椭圆方程联立,得到y 1+y 2,y 1y 2,由题意得出TA⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,然后根据平面向量数量积的坐标运算及T 为定点求得t 的值,当直线l 与x 轴重合时,验证即可,最后可得出结论. 【备注】无22.(1)∵F (x )=ax ·f (x )-2x 2·g (x ),∴F (x )=x +ax ·ln x , ∴F'(x )=1+a +a ln x .①当a =0时,F (x )=x ,函数F (x )在(0,+∞)上单调递增;②当a >0时,函数F'(x )=1+a +a ln x 在(0,+∞)上单调递增,令F'(x )=1+a +a ln x =0,得x =e-1-1a>0,∴当x ∈(0,e -1-1a )时,F'(x )<0,当x ∈(e -1-1a ,+∞)时,F'(x )>0,所以当a >0时,F (x )在(0,e -1-1a )上单调递减,在(e-1-1a,+∞)上单调递增;③当a <0时,函数F'(x )=1+a +a ln x 在(0,+∞)上单调递减,令F'(x )=1+a +a ln x =0,得x =e-1-1a>0,∴当x ∈(0,e -1-1a )时,F'(x )>0,当x ∈(e -1-1a ,+∞)时,F'(x )<0,∴F (x )在(0,e -1-1a )上单调递增,在(e -1-1a ,+∞)上单调递减. (2)由题意知,φ(x )=lnx x+12x,∴φ'(x )=1-lnx x 2−12x 2=1-2lnx 2x 2,令φ'(x )=0,得x =√e ,∴x >√e时,φ'(x )<0,∴φ(x )在(√e ,+∞)上单调递减.不妨设x 2>x 1>√e ,则φ(x 1)>φ(x 2),则不等式|φ(x 1)-φ(x 2)|≥k |ln x 1-ln x 2|等价于φ(x 1)-φ(x 2)≥k (ln x 2-ln x 1),即φ(x 1)+k ln x 1≥φ(x 2)+k ln x 2.令m (x )=φ(x )+k ln x ,则m (x )在(√e ,+∞)上存在单调递减区间, 即m'(x )=φ'(x )+kx=-2lnx+2kx+12x 2<0在(√e ,+∞)上有解,即-2ln x +2kx +1<0在(√e ,+∞)上有解,即在(√e ,+∞)上,k <(2lnx-12x)max .令n (x )=2lnx-12x(x >√e ),则n'(x )=3-2lnx 2x 2(x >√e ),由 n'(x )=0得x =e 32, ∴函数n (x )=2lnx-12x在(√e ,e 32)上单调递增,在(e 32,+∞)上单调递减.∴n (x )max =n (e 32)=2ln e 32-12e 32=e -32,∴k <e -32.故k 的取值范围为(-∞,e -32).【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值,考查分类讨论思想、化归与转化思想的灵活应用,考查考生的运算求解能力以及运用所学知识分析问题和解决问题的能力.(1)通过对函数求导,对参数进行分类讨论,来讨论函数的单调性;(2)依据函数的单调性将不等式转化为函数存在单调递减区间,最后转化为函数的最值问题来解决.【备注】【素养落地】本题将函数、不等式等知识融合起来,借助导数研究函数的性质,考查逻辑推理、数学运算等核心素养.【技巧点拨】解决本题第(2)问的关键是化归与转化思想的应用,先利用函数的单调性将不等式转化为φ(x1)+k ln x1≥φ(x2)+k ln x2,然后根据式子的结构特征构造函数m(x)=φ(x)+k ln x,将m(x)在(√e,+∞))max.上存在单调递减区间转化为m'(x)<0在(√e,+∞)上有解,进而转化为k<(2lnx-12x。

高三文科数学模拟试题含答案高三文科数学模拟试题本试卷共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1.复数3+ i的虚部是（）。

A。

2.B。

-1.C。

2i。

D。

-i2.已知集合A={-3,-2,0,1,2}，集合B={x|x+2<0}，则A∩(CRB) =（）。

A。

{-3,-2,0}。

B。

{0,1,2}。

C。

{-2,0,1,2}。

D。

{-3,-2,0,1,2}3.已知向量a=(2,1)，b=(1,x)，若2a-b与a+3b共线，则x=（）。

A。

2.B。

11/22.C。

-1.D。

-24.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（）。

A。

4π/3.B。

π。

C。

3π/2.D。

2π5.将函数f(x)=sin2x的图像向右平移π/6个单位，得到函数g(x)的图像，则它的一个对称中心是（）。

A。

(π/6,0)。

B。

(π/3,0)。

C。

(π/2,0)。

D。

(π,0)6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）。

开始是否输出结束A。

-10.B。

-3.C。

4.D。

57.已知圆C:x^2+2x+y^2=1的一条斜率为1的切线l1，若与l1垂直的直线l2平分该圆，则直线l2的方程为（）。

A。

x-y+1=0.B。

x-y-1=0.C。

x+y-1=0.D。

x+y+1=08.在等差数列{an}中，an>0，且a1+a2+⋯+a10=30，则a5⋅a6的最大值是（）。

A。

4.B。

6.C。

9.D。

369.已知变量x,y满足约束条件2x-y≤2，x-y+1≥0，设z=x^2+y^2，则z的最小值是（）。

A。

1.B。

2.C。

11.D。

3210.定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=2，当x<0时，f(x)=1-|x-3|，则函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为（）。

一、单选题二、多选题1. 假设一个蜂巢里只有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了2个伙伴：第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，则到第4天所有蜜蜂都归巢后，蜂巢中全部蜜蜂的只数是（ ）．A ．1B ．3C ．9D ．812. 钝角中，，则（ ）A ．1B．C．D ．03. 设数列满足，，，数列前n 项和为，且（且）.若表示不超过x 的最大整数，，数列的前n项和为，则（ ）A ．2019B ．2020C ．2021D ．20224. 已知平面向量，若与垂直，则（ ）A．B．C．D．5. 已知是边长为3的正三角形，点是的中点，点在边上，且，则（ ）.A．B．C．D．6. 已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，，且满足，，是它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C ．2D．7.已知，则=A．B．C．D．8. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别在AB 1、BC 1上，且AM=AB 1，BN=BC 1，则下列结论：①AA 1⊥MN ；②A 1C 1// MN ；③MN//平面A 1B 1C 1D 1；④B 1D 1⊥MN ，其中，正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．49.记，其中，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则四川省绵阳南山中学2023-2024学年高三一诊模拟考试文科数学试题四川省绵阳南山中学2023-2024学年高三一诊模拟考试文科数学试题三、填空题四、解答题C ．若，，且恒成立，则D ．若，则10.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调增函数，则实数可能的取值为（ ）A．B ．1C．D ．211.已知函数的图象上相邻最低点和最高点的距离为，且在上有最大值，则（ ）A．B ．的取值范围为C．在区间上无零点D ．在区间上单调递减12. 已知m ，n 是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是（ ）A ．若，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则13. 已知函数的图象与的图象关于直线对称，令，则关于函数有下列命题：①的图象关于原点对称；②的图象关于轴对称；③的最大值为；④在区间上单调递增.其中正确命题的序号为___________（写出所有正确命题的序号）.14. 已知集合，则________．15. “南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一.已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲乙两人相差10分钟坐上摩天轮，那么在摩天轮上，他们离地面高度差的绝对值的取值范围是__________.16.已知数列的前n项和为，___________，.(1)求数列的通项公式；(2)已知数列，当时，，.记数列的前n 项和为，求.在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.①；②；③.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17. 已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 在第一象限且为抛物线C 上一点，点N （5，0）在点F 右侧，且△MNF 恰为等边三角形．（1）求C 的方程；（2）若直线l ：x ＝ky +m 与C 交于A ，B 两点，∠AOB ＝120°（其中O 为坐标原点），求实数m 的取值范围．18. 已知函数.（1）若，画出函数的图象，并求出的最值；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.19. 若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且．(1)求的解析式；(2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围．20. 某校高三年级50名学生参加数学竞赛，根据他们的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，已知分数在的矩形面积为，求：(1)分数在的学生人数；(2)这50名学生成绩的中位数（精确到）；(3)若分数高于60分就能进入复赛，从不能进入复赛的学生中随机抽取两名，求两人来自不同组的概率．21. 已知函数，且在处切线垂直于y轴．（1）求m的值；（2）求函数在上的最小值；（3）若恒成立，求满足条件的整数a的最大值．（参考数据，）。

高三数学模拟试题（二十）一、选择题（5×10=50分）1．已知0,0a b >>，且12(2)y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为( )A ．18 B ．14 C ．12 D ．342．有60件产品，编号为01至60，现从中抽取5件检验，用系统抽样的方法所确定的抽样编号是（ ）A ．5,10,15,20,25B ．5,12,31,39,57C ．5,15,25,35,45D ．5,17,29,41,53 3．已知复数1i z =-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）A ．1i z =--B ．1+i z =-C ．2z =D．z =4．已知向量()2,1p =-,(),4q x =,且p q ⊥，则p q +的值为（ ）AB ．5 CD ．135．已知()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f ，为了得到()x x g 2sin =的图象，则只要将()x f 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π 个单位长度6．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E 是棱11B C 的 中点，动点P 在底面ABCD 内，且11PA A E =，则 点P 运动形成的图形是（ ）A ．线段B ．圆弧C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分7．已知x 、y 满足约束条件2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =-的取值范围为( )A ．[]2,1--B ．[]2,1-C ．[]1,2-D ．[]1,28．直线022=+-y x 经过椭圆(a by a x 12222=+＞b ＞)0的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）A ．552 B ．21 C ．55 D ．329．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22-=n n a S ，则4a =（ ）A ．64B ．32C ．16D ．8 10．设函数3x y =与2)21(-=x y 的图像的交点为),(00y x ，则0x 所在的区间是（ ）A ．)1,0(B ．)2,1(C ．)3,2(D ．)4,3(（选做）已知S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题，假命题．．．的是( ) A ．公差d <0 B ．在所有S n <0中，S 13最大 C ．满足S n >0的n 的个数有11个 D ．a 6>a 7 二、填空题（5×5=25分）12．已知函数()f x 是以5为周期的奇函数，且(3)2f -=，则(2)f -=13．执行框图，会打印出一列数，这个数列的第3项是 .14．已知ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为,,a b c ，且2a =，3b =，4cos 5B =． 则sin A 的值为 15．观察下列等式：12133+=； 781011123333+++=； 16171920222339333333+++++=； …则当m n <且,m n ∈N 表示最后结果.313232313333n n m m ++--++++= （最后结果用,m n 表示最后结果） 三、解答题（75分）16．（本题满分13分）已知向量)0)(1,cos sin 3(),1,cos 2(>+=-=ωωωωx x x ，函数x f ⋅=)(的最小正周期为π．（1）求函数)(x f 的表达式及最大值； （2）若在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上a x f ≥)(恒成立，求实数a 的取值范围17．（本小题满分13分）设等差数列{}n a 满足246=S ，109a =-。

高三数学模拟试题（七）一、选择题（5×10=50分）1．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，则a ＋b ＝（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．32．如果命题“非p 或非q ”是假命题，则在下列各结论中正确的是（ ） ① 命题“p 且q ”是真命题； ② 命题“p 且q ”是假命题；③ 命题“p 或q ”是真命题； ④ 命题“p 或q ”是假命题；A ．① ③B ．② ④C ．② ③D ．① ④3．在等比数列{}n a 中，5113133,4a a a a ⋅=+=，则155aa =（ ）A ．3B ．13C ．3或13D ．133--或4．若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，则双曲线12222=-by a x 的渐近线方程为（ ） A ．x y 2±= B ．x y 41±= C ．x y 4±= D ． x y 21±=5．若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20πα，，且412cos sin 2=+αα，则αtan 的值等于（ ）A ．22 B ．33 C ．2 D ．36．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0.那么下列选项中一定成立的是（ ） A ．cb 2＜ab 2 B ．c (b －a )＜0 C ．ab ＞ac D ．ac (a －c )＞07．函数⎪⎭⎫⎝⎛+=34cos πx y 的图象的两条相邻对称轴间的距离为（ ） A ．8π B ．4π C ．2πD ．π 8．直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点(1,3),A 则b 的值为（ ）A ．3B ．3-C ．5D ．5-9．在正方体1111ABCD A BC D -中，1A B 与平面11BB D D 所成的角的大小是（ ）A ．90°B ．30°C ．45°D ．60°10． 已知y x 、满足约束条件500,3x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则23x y z x ++=+的最小值为（ ）A ．13 B ．136 C ．4 D ．23- 二、填空题（5×5=25分）11．已知平面向量(1,2),(1,)//,23a b m a b a b ==-+=且则 12．已知()x f 是定义在[]2,2-上的函数，且对任意实数)(,2121x x x x ≠，恒有1212()()0f x f x x x -<-，且()x f 的最大值为1，则满足()1log 2<x f 的解集为 13．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 14．已知直线:30l x y +-=与圆22:(1)(2)2,C x y -++= 则圆C 上各点到l 距离的最大值为____ 15．设562)(sin ),2,0(+-=∈x xy θπθ且函数 的最大值为16,则=θ三、解答题（75分）16．（本题满分13分）春节期间，小乐对家庭中的六个成员收到的祝福短信数量进行了统计：（1）若,138=x 求a（2）在六位家庭成员中任取两位，收到的短信数均超过100的概率为多少？(第13题图)17．（本小题满分13分）已知三次函数()c bx ax x x f +++=23在1=x 和1-=x 时取极值， 且()42-=-f（1）求函数()x f y =的表达式 （2）求函数()x f y =的单调区间和极值18．（本小题满分13分）在ABC ∆中，已知点(5,2),(7,3)A B -，且边AC 的中点M 在y 轴上，边BC 的中点N 在x 轴上． （1）求点C 的坐标；（2）求直线MN 的方程．19．（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且.62,546-=-=S a（1）求}{n a 通项公式；（2）求数列|}{|n a 的前n 项和.n T20．（本小题满分12分）已知四边形ABCD 为直角梯形，090,//,2,1ABC AD BC AD AB BC ∠====．沿AC 将ABC ∆折起，使点B 到点P 的位置，且平面PAC ⊥平面ACD ．（1）证明：DC ⊥平面APC ；（2）求棱锥A PBC -的高．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>1F ，2F 是它的左，右焦点．（1）若P C ∈，且021=⋅PF PF ，12||||4PFPF ⋅=，求1F 、2F 的坐标； （2）在（1）的条件下，过动点Q 作以2F 为圆心、以1为半径的圆的切线QM （M 是切点），且使1QF =，求动点Q 的轨迹方程高三数学模拟试题（七）参考答案BACDD CBABA 11．(1,2)-- 12．⎥⎦⎤⎝⎛4,41 13．910 14．15．6π16．(1)60 (2)1517．（1）()232--=x x x f （2）增区间：(]1,-∞-，[)+∞,1；减区间：[]1,1-。

高三期中模拟试题 文科数学（满分150分，时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的选项的代号涂在答题卡上或填在答题纸相应空格里.1．设集合2{|0},{|||2},M x x x N x x =-<=<则A ．M N φ=B ．M N N =C ．M N M =D ．M N =R2．已知向量,m n 的夹角为6π，且|||2,==m n 在△ABC 中，,3,AB AC =+=-m n m n D为BC 边的中点，则||AD等于A ．1B ．2C ．3D ．4 3．设曲线2cos sin x y x -=在点(,2)2π处的切线与直线10x ay ++=垂直，则a 等于 A ．2 B ．-2 C ．-1 D ．1 4．不等式21log 1x x-≥的解集为 A ．(,1]-∞- B ．[1,)-+∞ C ．[-1，0） D ．(,1)(0,)-∞-+∞5．函数()sin f x x x =-的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．无数个 6．函数log (||1)(1)a y x a =+>的大致图像是7．已知函数1x y a -=（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n=+的图象上，其中,0m n >，则11m n+的最小值为 A ．1 B．2 D ．4 8．函数()y f x =的导函数图象如图所示，则下面判断正确的是A ．在（-3，1）上()f x 是增函数B ．在1x =处()f x 有极大值C ．在2x =处()f x 取极大值D ．在（1，3）上()f x 为减函数9．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且1,45,2ABC a B S ∆=∠=︒=，则b 等于A．．3 C ．5 D10．若函数()f x 满足：“对于区间（1，2）上的任意实数12122121,(),|()()|||x x x x f x f x x x ≠-<-恒成立”，则称()f x 为完美函数.在下列四个函数中，完美函数是A ．1()f x x= B ．()||f x x = C ．()23f x x =- D ．2()f x x =11．若0,0a b >>且4a b +=，则下列不等式恒成立的是A ．112ab >B ．111a b +≤ C2≥ D ．22118a b ≤+12．函数()sin()f x A x b ωϕ=++的图象如下，则(0)(1)(2011)S f f f =+++ 等于A ．0B ．503C ．1006D ．2012二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.把答案填在答题纸相应题目的横线上.13．已知,,a b c 分别是△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边，若1,2,a b A C B ==+=则sin C =____________14．已知||2,||4==a b ，且（+a b ）与a 垂直，则a 与b 的夹角是______________15．若20.30.30.3,2,log 2a b c ===，则,,a b c 由大到小的关系是______________16．设01a <≤，函数2(),()ln a f x x g x x x x =+=-，若对任意的12,[1,]x x e ∈，都有12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围为__________三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.17．（本题满分12分）已知点(,)P x y 在由不等式组301010x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩确定的平面区域内，O 为坐标原点，(1,2)A -，试求OP OA ⋅的最大值.18．（本题满分12分）已知函数()sin(2)sin(2)cos266f x x x x a ππ=++--+（,a R a ∈为常数）.（1）求函数()f x 的单调增区间； （2）若函数()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位后，得到函数()g x 的图像关于y 轴对称，求实数m 的最小值.19．（本题满分12分）已知(cos ,sin ),(cos ,sin )ααββ==a b ，其中0αβπ<<<. （1）求证：+a b 与-a b 互相垂直；（2）若k +a b 与(0)k k -≠a b 的长度相等，求βα-. 20．（本题满分12分） 奇函数()()1()m g x f x g x -=+的定义域为R ，其中()y g x =为指数函数且过点（2，9）.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若对任意的[0,5]t ∈，不等式22(2)(225)0f t t k f t t +++-+->恒成立，求实数k 的取值范围.21．（本题满分12分）在一条笔直的工艺流水线上有三个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为1,23,x x x ，每个工作台上有若干名工人.现要在1x 与3x 之间修建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短.（1）若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；（2）设三个工作台从左到右的人数依次为2，1，3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值.22．（本题满分14分）已知函数2()ln(1)().f x x ax a x a =---∈R （1）求函数()f x 的单调区间；（2）试判断是否存在实数(1)a a ≥，使()y f x =的图像与直线1y =+无公共点（其中自然对数的底数e 为无理数且e =2.71828…）.高三期中模拟试题 文科数学 参考答案一、BADCA BDCCA DD二、13．1 14．23π 15．b a c >> 161a ≤18．解：（1）()sin(2)sin(2)cos266f x x x x a ππ=++--+2cos22sin(2).6x x a x a π=-+=-+…………………………………3分当222()262k x k k πππππ-≤-≤+∈Z ，即()63k x k k ππππ-≤≤+∈Z 时，函数()f x 单调递增，故所求区间为[,]().63k k k ππππ-+∈Z …………………………6分（2）函数()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位后得()2sin[2()]6g x x m a π=+-+，要使()g x 的图像关于y 轴对称，只需2()62m k K Z πππ-=+∈…………………………9分即()23k m k Z ππ=+∈，所以m 的最小值为3π.………………………………12分 19．解：（1）22()()+⋅-=-a b a b a b 222222||||(cos sin )(cos sin )ααββ=-=+-+a b =1-1=0∴+a b 与-a b 互相垂直.……………………………………5分（2）+(cos cos ,sin sin ),k k k αβαβ=++a b -(cos cos ,sin sin ),k k k αβαβ=--ab |+||k k ∴=-=a b a b22|+|||,2cos()12cos()1,k k k k k k βαβα=-∴+-+=--+a b a b ……………9分2cos()2cos(),k k βαβα-=--0k ≠ ，故cos()0βα-=，又0,0,αβπβαπ<<<∴<-<.2πβα∴-=………………………12分20．解：（1）设()(0,1),x g x a a a =>≠则29,3a a =∴=或3a =-（舍），3()3,().13x xxm g x f x -∴==+……………………2分 又()f x 为奇函数，33()(),1313x xx x m m f x f x ----∴-=-∴=-++， 整理得(31)31x xm +=+ 1m ∴=13().13x xf x -∴=+ …………………………6分 （2）22.3ln3()0,()(13)x x f x y f x -'=<∴=+ 在R 上单调递减.……………………7分要使对任意的22[0,5],(2)(225)0t f t t k f t t ∈+++-+->恒成立， 即对任意的22[0,5],(2)(225)t f t t k f t t ∈++>--+-恒成立.()f x 为奇函数，22(2)(225)f t t k f t t ∴++>-+恒成立，…………………………9分又()y f x = 在R 上单调递减，222225t t k t t ∴++<-+当[0,5]t ∈时恒成立，2245(2)1k t t t ∴<-+=-+当[0,5]t ∈时恒成立，而当[0,5]t ∈时，21(2)110t ≤-+≤， 1.k ∴<………………………………12分21．解：设供应站坐标为x ，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为().d x（1）由题设知，13x x x ≤≤，所以123312()()||()||.d x x x x x x x x x x x =-+-+-=-+-………3分 故当2x x =时，()d x 取最小值，此时供应站的位置为2.x x =……………5分 （2）由题设知，13x x x ≤≤，所以各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为132()2()3()||.d x x x x x x x =-+-+-……………………………………8分 ∴3211232123232,,()32,.x x x x x x x d x x x x x x x -++-≤<⎧=⎨--≤≤⎩…………………………10分 因此，函数()d x 在区间（12,x x ）上是减函数，在区间[23,x x ]上是常数.故供应站位置位于区间[23,x x ]上任意一点时，均能使函数()d x 取得最小值，且最小值为32132.x x x --………………12分22．解：（1）函数2()ln(1)()f x x ax a x a =---∈R 的定义域是(1,).+∞………1分22()2()211a x x a f x x a x x +-'=--=--，…………………3分 ①若0a ≤，则22()221,()021a x x a f x x +-+'≤=>-在(1,)+∞上恒成立， 0a ∴≤时，()f x 的增区间为(1,)+∞…………………………5分②若0a >，则212a +>，故当2(1,]2a x +∈时，22()2()01a x x f x x +-'=≤-； 当时2[,)2a x +∈+∞时，22()2()01a x x f x x +-'=≥-，…………………………7分 0a ∴>时，()f x 的减区间为2(1,],()2a f x +的增区间为2[,).2a ++∞…………………8分（2）1a ≥时，由（1）可知，()f x 在(1,)+∞上的最小值为22()1ln .242a a af a +=-+-…………………10分设22()()1ln ([1,)),242a a a g a f a a +==-+-∈+∞则113()ln 1(1)ln 1ln 20,22222a a g a g ''=---≤=---=-+<2()1ln 42a ag a a ∴=-+-在[1,)+∞上单调递减，max 3()(1)ln 24g a g ∴==+，……………………………12分max 314()1ln 21ln 0,44eg a --+-->∴存在实数(1)a a ≥使()f x的最小值大于1+故存在实数(1)a a ≥，使()y f x =的图像与直线1y =+无公共点.……………14分。

高三数学模拟试题（一）一、选择题（5×10=50分）1. 设集合{}2|230A x x x =--<，{}|14B x x =≤≤,则AB =（ ）A ．{}|13x x ≤<B ．{}|13x x ≤≤C ．{}|34x x <≤D ． {}|34x x ≤≤ 2．若命题:|1|4p x +≤，命题2:56q x x <-，则p q ⌝⌝是的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知向量(1,),(1,),a n b n a b b ==--若2与垂直，则||a =（ ） A ．1B ．2C ．2D ．44．过点)2,1(与圆221x y +=相切的直线方程是（ ） A ．1x =B ．3450x y -+=C ．34501x y x -+==或D ．54301x y x -+==或5．已知函数⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2 00≤>x x ，则))41((f f = ( )A ．9B ．19C ．9-D ．91-6．ABC ∆中,三边之比4:3:2::=c b a ，则最大角的余弦值等于（ ） A ．41 B ．87 C ．21- D ．41-7．已知焦点在x 轴上的椭圆22219x y a +=的离心率是12e =，则a 的值为（ ） A ．23 B ．3 C ．32 D ．12 8．若不等式4)2(2)2(2<-+-x a x a 的解集为R ,则实数a 的取值范围是( ) A ．)2,2(- B ．]2,2(- C ．),2()2,(+∞--∞ D ．)2,(-∞9．函数236()(04)1x x f x x x ++=≤≤+的最小值为（ ） A ．2 B ．1 C ．6 D ．510． 已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0π)ωϕ><<的图象如图所示，则ω等于( )A ．13 B ．1 C ．32D ．2二、填空题（5×5=25分）11．若点(),9a 在函数3xy =的图象上，则tan6a π= 12．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是13．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+,1,1,1x y x y x 则y x z 2-=的最小值是_______14．已知数列{}n a 为等差数列，且28143,a a a ++=则()2313log a a +=_______ 15．若扇形的面积和弧长都是10，则这个扇形中心角的弧度数是____三、解答题（75分）16．（本题满分13分）已知集合{}|||2A x x a =-<，26|12x B x x +⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭. （1）求集合A 和集合B（2）若A B R =，求a 的取值范围17．（本小题满分13分）等比数列{}n a 中，已知142,16a a == （1）求数列{}n a 的通项公式（2）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S18．（本小题满分12分）已知向量a =(sin ,cos())x x π-，b =(2cos ,2cos )x x ，函数()1f x =⋅a b+.（1）求π()4f -的值；（2）求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并求出相应的x 的值.19．（本小题满分13分）如图所示，已知三棱锥BPC A -中，,,AP PC AC BC M ⊥⊥为AB 中点D 为PB 中点，且PMB ∆为正三角形。

绝密★启用前赤峰市高三年级4·20模拟考试试题文科数学注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =,{}1,3U A B = ,(){}2,4U A B = ,则集合B 为（ ） A ．{}1,3,5,6,7,8 B ．{}2,4,5,6,7,8 C ．{}5,6,7,8 D ．{}1,2,3,42、已知复数z z 对应向量的模长为2，则（ ）A ．1z =B ．1z =±+C ．1z =±D ．1z =−±3、在“万众创业”的大背景下，“直播电商”已经成为我国当前经济发展的新增长点，已知某电商平台的直播间经营化妆品和食品两大类商品，2022年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一个季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则（ ）A ．该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍；B ．该直播间第三季度化妆品收入是第一季度化妆品收入的6倍；C ．该直播间第三季度化妆品收入是第二季度化妆品收入的3倍；D ．该直播间第三季度食品收入低于前两个季度的食品收入之和.4、函数()21sin f x x x x=−在()(),00,ππ− 上的图像大致为（ ） A ． B ． C ． D ．5、九连环是中国杰出的益智游戏，九连环由9个相互连接的环组成，这9个环套在一个中空的长形柄中，九连环的玩法就是要将这9个环从柄上解下来(或套上)，规则如下:如果要解下(或套上)第n 环，则第1n −号环必须解下(或套上)，1n −往前的都要解下(或套上)才能实现.记解下n 连环所需的最少移动步数为n a ，已知()12121,2,213n n n a a a a a n −−===++≥，若要解下7环最少需要移动圆环步数为（ ） A ．42 B ．85C ．170D ．3416、下列选项中，命题p 是命题q 的充要条件的是（ ） A ．在ABC 中，:p A B >，:sin sin q A B >.B ．已知x ,y 是两个实数，2:230p x x −−≤，:02q x ≤≤.C ．对于两个实数x ,y ,:8p x y +≠，:3q x ≠或5y ≠.D ．两条直线方程分别是1:260l ax y ++=，()22:110l x a y a +−+−=,12:p l l ∥， :2q a =或1−.7、记函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ =+><< 的最小正周期为T .若()f T =,6x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．68、四叶草曲线是数学中的一种曲线，因形似花瓣，又被称为四叶玫瑰线(如右图)，其方程为()322228xy x y +=，玫瑰线在几何学、数学、物理学等领域中有广泛应用。

AB D C高三数学模拟试题（21）一、选择题（5×10=50分）1．已知集合{0,1}A=,{1,0,3}B a=-+，且A B⊆，则a等于（）A．1 B．0 C．2-D．3-2．已知z是复数，i是虚数单位，()z i-1在复平面中对应的点为P，若P对应的复数是模等于2的负实数，那么=z( )A．i--1B．i+-1C．i-1D．i-3．已知2sin cos9,tansin3cosααααα+=-则等于( )A．4-B．41-C．14D．44．下列命题的否定为假命题的是（）A．22,sin cos1x R x x∀∈+=B．任意一个四边形的四个顶点共圆C．所有能被3整除的整数都是奇数D．2,220x R x x∃∈++≤5．某雷达测速区规定：凡车速大于或等于hkm/70的汽车视为“超速”，并将受到惩罚。

如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得的结果的频率分布直方图，则从图中可以看出将被处罚的汽车大约有（）A．30辆B．40辆C．60辆D．80辆6．曲线xxy2313-=在1=x处的切线的倾斜角是（）A．43πB．6πC．4πD．3π7．已知m，n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A．若l m⊥,l n⊥,且,m nα⊂,则lα⊥. B．若α⊥nnm,//，则α⊥mC．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则βα//.D．若nmm⊥⊥,α，则α//n8．已知数列{}n a为等差数列，若2163,12a a a=+=，则789a a a++= （）A．27 B．36C．45 D．639．设函数3()f x x x=+，x R∈. 若当02πθ<<时，不等式0)1()sin(>-+mfmfθ恒成立，则实数m的取值范围是（）.A．(,1]-∞B．[1,)+∞C．1(,1)2D．1(,1]210．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．2 B．3 C．4D．5（选做）已知O是△ABC外接圆的圆心，A、B、C为△ABC的内角，若mBCCB⋅=+2sincossincos，则m的值为( )A．1 B．sin A C．cos A D．tan A二、填空题（5×5=25分）11．函数)2sin(sin)(xxxf-=π的最小正周期为12．2012年黄冈中学春季球类运动会的篮球决赛需要两名学生裁判，经过两轮筛选后有来自高二的3名同学和高三的3名同学入围。

一、单选题二、多选题1.已知平面向量满足，，，则向量与向量的夹角为（ ）A．B．C．D．2. 双曲线的离心率是（ ）A．B．C．D．3. 已知函数（其中是自然对数的底数），若关于的方程恰有三个不等实根，且，则的最小值为（ ）A．B．C．D．4. 三位同学参加某项体育测试，每人要从跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个项目参加测试，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（ ）A．B．C．D．5.两个变量与其线性相关系数有下列说法①若，则增大时，也相应增大；②，则增大时，也相应增大；③若或，则与的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上.其中正确的有A ．①B ．②③C ．①③D ．①②③6. 设集合，，则（ ）A．B．C．D．7. 已知函数内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是A．B．C．D．8. 已知a =log 20.3，b =20.1，c =0.21.3，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A．B．C．D．9. 若数列是等比数列，则（ ）A．数列是等比数列B ．数列是等比数列C．数列是等比数列D ．数列是等比数列10. 已知函数，若，则下列结论正确的是A．B．C．D ．当时，11. 如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，以下结论正确的有（ ）四川省绵阳南山中学2023-2024学年高三一诊模拟考试文科数学试题(3)四川省绵阳南山中学2023-2024学年高三一诊模拟考试文科数学试题(3)三、填空题四、解答题A．B ．异面直线所成的角为定值C ．点到平面的距离为定值D．三棱锥的体积是定值12. 事件与互斥，若，则（ ）A．B．C．D．13. 已知定义域为R的函数，有且，，则的解集为___________．14.抛物线的焦点为，准线为，,是抛物线上的两个动点，且满足.设线段的中点在上的投影为，则的最大值是___________.15. 已知函数的图象关于点对称，且，若在上没有最大值，则实数t 的取值范围是__________.16. 已知数列为等比数列，正项数列满足，且，.(1)求和的通项公式；(2)若从中去掉与数列中相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列，设，求.17.已知在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中.(1)求A ；(2)已知直线为的平分线，且与BC 交于点M ，若求的周长.18. 的内角的对边分别为，已知.(1)求角的值；(2)若的面积为，求.19.已知等差数列的公差为2，且成等比数列．(1)求数列的前项和；(2)若数列的首项，求数列的通项公式．20. 已知椭圆，为其左右顶点，点坐标为，为椭圆的半焦距，且有.椭圆的离心率.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知为坐标原点，为椭圆上不重合两点，且的中点落在直线上，求面积的最大值.21.记为等比数列的前n 项和.已知，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.。

高三数学模拟试题（三）一、选择题（5×10=50分）1．设全集{}{}{}2,1,0,1,2,2,1,0,0,1,2U A B =--=--=则=B A C U )(( )A ．{}0B ．{}2,1--C ．{}0,1,2D ．{}1,22．等差数列}{n a 中，若39741=++a a a ，27963=++a a a ，则前9项的和9S 等于（ ） A ．99 B ．66 C ．144 D ．297 3．已知:1231,:(3)0p x q x x -<-<-<, 则p 是q 的什么条件（ ）A ．必要不充分B ．充分不必要C ．充要D ．既不充分也不必要4．已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，且在(]0,∞-上是减函数，若)2()(f b f ≥，则实数b 的取值范围是（ ）A ．2≤bB ．2-≤b 或2≥bC ．2-≥b bD ．22≤≤-b 5．已知4sin ,sin cos 0,5θθθ=<则θ2sin 的值为（ ）A ．2524-B ．2512-C ．54- D ．25246．函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于 ( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知点A （3,1）和B )6,4(-在直线023=+-a y x 的两侧，则的a 取值范围是（ ）A ．a ＜－7或 a ＞24B ．a ＜－24或 a ＞7C ．－7＜a ＜24D ．－24＜a ＜78．已知i 为虚数单位，复数121iz i +=-，则复数z 的虚部是 （ ）A ．i 23B ．23C ．i 21-D ．21-9．在ABC ∆中，c b a 、、分别为角C B A 、、的对边，若2cos ,a b C =则此三角形一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形10．圆心在曲线2(0)y x x=>上，且与直线210x y ++=相切的面积最小的圆的方程为（ ） A ．22(1)(2)5x y -+-= B ．22(2)(1)5x y -+-= C ．22(1)(2)25x y -+-= D ．22(2)(1)25x y -+-=二、填空题（5×5=25分）11．函数322-+=x x y 的单调减区间为12．某个容量为100的样本的频率分布直方 图见右图，则在区间[4,5)上的数据的频数．．为 ．13．如图，P 是椭圆192522=+y x 上的一点，F 是椭圆的左焦点，且)(21OF OP OQ +=，4||=则点P 到该椭圆左准线的距离为14．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,6a b c AB AC ⋅=，向量(cos ,sin )m A A =与向量(4,3)n =-相互垂直。

河南省安阳市2023届高三三模文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．83B ．8．已知0,0a b >>，则下列命题错误的是（A ．若1ab ≤，则112a b +≥B ．若4a b +=，则19a b+的最小值为C ．若224a b +=，则ab 的最大值为三、解答题(1)求直方图中t 的值；(2)根据频率分布直方图估计该市60%的居民年用水量不超过(3)已知该市有100万户居民，规定：每户居民年用水量不超过过50吨，则超出的部分每吨收1元水资源改善基金，请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为多少.（每组数据以所在区间的中点值为代表）18．已知数列{}n a 满足111,12nn n a a a a +==+.(1)证明：BC ME ⊥；(2)求点M 到平面PBE 的距离.20．已知函数()()()ln 1f x x x a a =-+∈R .(1)证明：曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过坐标原点；参考答案：故选：C.5．D【分析】根据一组数据同乘以一个数后的平均数以及方差的性质计算，即可得答案【详解】由题意知这些商品的价格如果按人民币计算，价格是按美元计算的价格的故按人民币计，则平均数和方差分别为易知该正方体的棱长为50故选：D. 11．B【分析】由椭圆离心率为6 3可得22233bm n+=，由AF⊥【详解】由椭圆离心率为612．A【分析】由12T f A ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ϕ，再根据ππ42f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的几何意义求出ω【详解】因为0ω>，【详解】2y +，得322z y x =-+，作出不等式组对应的可行域（阴影部分）322z y x =-+，由平移可知当直线y =时，直线322z y x =-+的截距最大，此时，解得(1,1)A ，）ABC 中，因为//,DE BC -DBCE 中，,DE PD DE ⊥平面PDB ，从而BC ⊥平面上取一点F ，使得2CF =（2）设00(,)P x y ，因为PF 又点P 在抛物线上，所以根据对称性，不妨设点P 设直线AB 的方程为x my =。

一、单选题1. 已知函数在区间的值域为，则（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82. 双曲函数是一类与常见三角函数类似的函数，在生活中有着广泛的应用，如悬链桥．常见的有双曲正弦函数，双曲余弦函数．下列结论不正确的是（）A．B．C ．双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数D ．若点P 在曲线上，α为曲线在点P处切线的倾斜角，则3.已知数列满足，若数列的前项和，对任意不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．4. 已知集合、满足，，若，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．5. 已知函数，，若，不等式恒成立，则正数t 的取值范围是（ ）A．B．C．D．6.平面直角坐标系中，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，向量，以下说法正确的是（ ）A．B．C．D．7. 若,则的值为A．B．C．D．8. 已知抛物线E :的准线交y 轴于点M ，过点M 作直线l 交E 于A ，B两点，且，则直线l 的斜率是（ ）A．B．C．D．9.已知，随机变量，的分布列如表所示.123123江西省吉安市第三中学2023届高三第一次模拟文科数学试题二、多选题三、填空题Pc b a 命题：，命题：，则A ．p 真q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假10.设，，，则（ ）A．B．C．D．11. 已知定义在R上的函数在上有且仅有个零点，其图像关于点和直线对称，则下列结论正确的有（ ）A．B．C ．是的一个增区间D．12.如图，在正方体中，点P为线段上的一个动点（不包含端点），则（）A．B ．直线PC 与直线异面C ．存在点P 使得PC与所成的角为60°D ．存在点P 使得PC 与底面ABCD 所成的角为60°13.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（ ）A ．过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点B．若为上的动点，则的最小值为5C ．直线与抛物线相交所得弦长为8D ．抛物线与圆交于两点，则14.双曲线，圆，双曲线与圆有且仅有一个公共点，则取值可以是（ ）A ．2.2B ．2.4C ．2.5D ．2.715. 已知三棱锥的各棱长均为1，且其四个顶点都在球O 的球面上．若过球心О的一个截面如图所示，则该截面中三角形（阴影部分）的面积为______．16. 如图是一容量为的样本的重量频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为_______四、填空题五、解答题六、解答题17.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间和上均单调递增，则实数的范围是______.18. 若二项式的展开式的各项系数之和为64，则___________，含项的系数为___________.19. 球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．如图，A ，B ，C 是球面上不在同一大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为，，，由这三条劣弧组成的图形称为球面．已知地球半径为R ，北极为点N ，P ，Q 是地球表面上的两点．若P ，Q 在赤道上，且经度分别为东经40°和东经80°，则球面的面积为__________；若，则球面的面积为__________．20. 已知角的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点.(1)求的值；(2)求值：.21. 已知椭圆C ：（）的离心率为，左顶点A 到右焦点的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A ），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求在上的射影的轨迹方程.22. 脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17．(1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）(2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X ，且X ~N （17，2），其中2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率．附：若随机变量×服从正态分布N （μ，2），则P （μ-≤X ≤μ+≈0.6827，P （μ-2≤X ≤μ+2）≈0.9545，≈4.7，≈4.8，0.158653≈0.004．23. 某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个七、解答题八、解答题九、解答题班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分为“成绩优良”.（1）由以上统计数据填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计（2）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下（不含60分）的学生中任意选取2人，记来自甲班的人数为，求的分布列与数学期望.附：（其中）24. 如图，在几何体中，平面平面，四边形为菱形，且，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的正弦值.25. 某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直接导致产品“合格”与“不合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有明显差异，得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品判定为“不合格”，小于或等于的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏检率时，求临界值和错检率；(2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．26. 已知函数.(1)若曲线的一条切线方程为，求的值；(2)若函数在区间上为增函数，求的取值范围；(3)若，无零点，求的取值范围．。

高三数学文科模拟考试 (含答案)高三模拟考试数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟。

考生作答时，请将答案涂在答题卡上，不要在试题卷和草稿纸上作答。

考试结束后，请将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：请使用2B铅笔在答题卡上涂黑所选答案对应的标号。

第Ⅰ卷共12小题。

1.设集合A={x∈Z|x+1<4}，集合B={2,3,4}，则A∩B的值为A.{2,4}。

B.{2,3}。

C.{3}。

D.空集2.已知x>y，且x+y=2，则下列不等式成立的是A.x1.D.y<-113.已知向量a=(x-1,2)，b=(x,1)，且a∥b，则x的值为A.-1.B.0.C.1.D.24.若___(π/2-θ)=2，则tan2θ的值为A.-3.B.3.C.-3/3.D.3/35.某单位规定，每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费。

某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米。

A.13.B.14.C.15.D.166.已知命题p：“存在实数x使得e^x=1”，命题q：“对于任意实数a和b，如果a-1=b-2，则a-b=-1”，下列命题为真的是A.p。

B.非q。

C.p或q。

D.p且q7.函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当-1≤x≤1时，f(x)=|x|。

若函数y=f(x)的图象与函数y=log_a(x)（a>0且a≠1）的图象有且仅有4个交点，则a的取值集合为A.(4,5)。

B.(4,6)。

C.{5}。

D.{6}8.已知函数f(x)=sin(θx)+3cos(θx)（θ>0），函数y=f(x)的最高点与相邻最低点的距离是17.若将y=f(x)的图象向右平移1个单位得到y=g(x)的图象，则函数y=g(x)图象的一条对称轴方程是A.x=1.B.x=2.C.x=5.D.x=6删除了格式错误的部分，对每段话进行了简单的改写，使其更流畅易懂。

湖南省高三下学期模拟考试(文科)数学试卷-附含答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}1,0,1,|1A B x N x =-=∈<，则A B ⋃=（ ） A ．{}0B ．{}1,0-C ．{1,-0，1}D ．(),1-∞2．设m 、n 是两条不同的直线，α和β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n B ．m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n C ．m ⊥α，n ⊂β且m ⊥n ，则α⊥βD ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β3．已知角α的终边经过点()sin150,cos30A ，则tan α=（ ）A B ．C D ．4．在中国传统佳节元宵节中赏花灯是常见的活动.某单位拟举办庆祝元宵的活动，购买了A ，B ，C 三种类型的花灯，其中A 种花灯4个，B 种花灯5个，C 种花灯1个，现从中随机抽取4个花灯，则A ，B ，C 三种花灯各至少被抽取一个的情况种数为（ ） A ．30B ．70C ．40D ．845．已知函数()32233f x x ax x =-++是定义在R 上的奇函数，则函数()f x 的图像在点()()2,2f --处的切线的斜率为（ ） A ．27-B ．25-C ．23-D ．21-6．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.222:1(0)y C x b b-=>的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体，若P 为C 右支上的一点，F 为C 的左焦点，则PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．已知函数()()cos 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭＞，，4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩（0a >且1a ≠）．若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于原点对称，则a 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,1,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,11,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()()0,11,4⋃二、多选题9．某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100米体能测试成绩（单位：秒），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.由直方图推断，下列选项正确的是（ ） A ．直方图中a 的值为0.38B ．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的众数为13.75秒C ．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩不大于13秒的人数为54D ．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的中位数为13.7秒10．已知狄利克雷函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的值域为[]0,1B ．()f x 定义域为RC ．()()1f x f x +=D ．()f x 是奇函数11．已知拋物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 与圆22:(2)1M x y ++=上点的距离的最小值为2，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，以,A B 为切点的抛物线的两条切线的交点为P ，则下列结论正确的是（ ） A ．2p =B ．当l 与M 相切时，则l 的斜率是C ．点P 在定直线上D ．以AB 为直径的圆与直线1y =-相切12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,M N 分别为1,BB AB 的中点.下列说法正确的是（ ）A ．点M 到平面1ANDB ．正方体1111ABCD A BCD - C ．面1AND 截正方体1111ABCD A B C D -外接球所得圆的面积为34πD ．以顶点A三、填空题13．已知角α终边与单位圆相交于点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则化简()()()()sin 3sin sin 2cos 4παπααπαπ+---+--得___________. 14．若512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为________.15．若函数21()ln 22f x a x x bx =++在区间[1,2]上单调递增，则4a b +的最小值是__________． 16．定义x 是与实数x 的距离最近的整数（当x 为两相邻整数的算术平均值时，则x 取较大整数），如451,2,22,2.5333====‖‖‖‖，令函数()K x x =，数列{}n a 的通项公式为n a =其前n 项和为n S ，则4S =__________；2023S =__________.四、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin sin 1sin sin sin sin A b BB C b A c B+=++(1)求角C ；(2)CD 是ACB ∠的角平分线，若CD =，ABC的面积为c 的值. 18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,(1)n S a n n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭的公差为13的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：121112na a a ++⋅⋅⋅+< 19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD 是斜边PA的长为E ，F 分别是棱PA ，PC 的中点，M 是棱BC 上一点(1)求证：平面DFM ⊥平面PBC ；(2)若直线MF 与平面ABCD EDM 与平面DMF 夹角的余弦值． 20．国家发改委和住建部等六部门发布通知提到：2025年，农村生活垃圾无害化处理水平将明显提升.现阶段我国生活垃圾有填埋､焚烧､堆肥等三种处理方式，随着我国生态文明建设的不断深入，焚烧处理已逐渐成为主要方式.根据国家统计局公布的数据，对2013-2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y （单位：座）进行统计，得到如下表格：(1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y 与变量x 之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）；(2)求出y 关于x 的经验回归方程，并预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数；(3)对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用（2）所求的经验回归方程预测吗？请简要说明理由.参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为()()()121ˆˆˆ,nii i nii xx y y bay bx xx ==--==--∑∑ 参考数据：88882211112292,204,730348,12041i iii i i i i i y x y x y ========∑∑∑∑257385.84=≈ 21．已知函数()f x ax =(1)当1a =-时，则证明：当1x ≥x .(2)当0a =时，则对任意的1x ≥都有()22x m mf x x -≥-成立，求m 的取值范围.22．已知函数()()ln 1f x x ax =+-在12x =-处的切线的斜率为1．(1)求a 的值及()f x 的最大值． (2)证明：()1111ln 123n n++++>+()*N n ∈ (3)若()()e xg x b x =-，若()()f x g x ≤恒成立，求实数b 的取值范围．参考答案与解析1．C【分析】首先简化集合B ，然后根据并集的定义得结果. 【详解】B={x ∈N|x ＜1}={0}A ∪B={-1，0，1}∪{0}={-1，0，1}． 故选C ．【点睛】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键． 2．B【分析】A. 利用空间直线的位置关系判断；B.利用线面垂直的性质定理判断；C.利用平面与平面的位置关系判断；D.利用平面与平面的位置关系判断.故选：B 3．C【分析】根据三角函数的定义直接求得答案.【详解】由题意可知12A ⎛ ⎝⎭则tan 2α=故选：C. 4．B【解析】由题可得,,A B C 三种花灯各至少被抽取一个的情况共有两种，列式计算即可. 【详解】由题意可知,,A B C 三种花灯各至少被抽取一个的情况共有两种：A 种花灯选2个，B 种花灯选1个，C 种花灯选1个； A 种花灯选1个，B 种花灯选2个，C 种花灯选1个.故不同的抽取方法有211121451451304070C C C C C C +=+=(种).故选：B. 5．D【分析】先由奇函数的性质求a ，再由导数的几何意义求切线的斜率.【详解】因为函数()32233f x x ax x =-++是定义在R 上的奇函数所以()()f x f x -=-，即()()()3232233233x a x x x ax x -+-+=----所以3232233233x ax x x ax x -+--= 所以0a =所以()323f x x x =-+，故()263f x x '=-+所以()221f '=-所以函数()f x 的图像在点()()2,2f --处的切线的斜率为21-. 故选：D. 6．C【分析】根据双曲线的离心率求得双曲线C 的方程，求得双曲线右焦点到渐近线的距离，结合双曲线的定义求得所求的最小值.【详解】由题意可知1,ca e c a====2224,2b c a b =-=∴= 双曲线方程为22:14y C x -=，一条渐近线方程为20x y -=焦点)2F 到渐近线20x y -=的距离为2==d 22PF a PF =+，2PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为2d =所以PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为224a +=. 故选：C 7．C【分析】根据三角函数的性质，利用整体思想，由单调区间与周期的关系，根据零点与对称轴之间的距离，表示所求参数，逐个检验取值，可得答案.【详解】由f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，即12618T ππ≥-，可得29T π≥，则ω≤9；∵4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴根据三角函数的图象可知零点与对称轴之间距离为：()1214T k ⨯-，k ∈N *．要求ω最大，则周期最小，∴()12142k T π-⨯=，则T 221k π=-；∴ω＝2k ﹣1；当9ω=时，则由2πϕ≤，则4πϕ=-，可得()cos 94f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭易知()f x 在5,1836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单减，在5,366ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，不合题意； 当7ω=时，则由2πϕ≤，则4πϕ=，可得()cos 74f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭易知()f x 在3,1828ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单减，在3,286ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，不合题意；当5ω=时，则由2πϕ≤，则4πϕ=-，可得()cos 54f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭易知()f x 在,186ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单减，符合题意；故选：C ． 8．C【分析】根据原点对称的性质，求出当40x -≤<时函数关于原点对称的函数，条件转化为函数()log a f x x =与|3|,(04)y x x =--+≤≤只有一个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合的方法，再结合对数函数的性质进行求解即可【详解】当40x -≤<时，则函数|3|y x =+关于原点对称的函数为|3|y x -=-+，即|3|,(04)y x x =--+≤≤ 若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于原点对称，则等价于函数()log a f x x =与|3|,(04)y x x =--+≤≤只有一个交点，作出两个函数的图象如图：若1a >时，则()log a f x x =与函数|3|,(04)y x x =--+≤≤有唯一的交点，满足条件； 当4x =时，则|43|1y =--+=-若01a <<时，则要使()log a f x x =与函数|3|,(04)y x x =--+≤≤有唯一的交点则要满足(4)1f <-，即1log 41log a a a -<-=解得故114a <<； 综上a 的取值范围是()1,11,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭故选：C 9．BC【分析】A ：根据频率直方图中，所有小矩形的面积之和为1，进行求解判断即可； B ：根据众数的定义，结合频率直方图进行判断即可； C ：根据直方图，结合题意进行判断即可；D ：根据中位数的定义，结合结合频率直方图进行判断即可. 【详解】A ：因为频率直方图中，所有小矩形的面积之和为1所以(0.080.160.30.520.30.120.080.04)0.510.4a a ++++++++⨯=⇒= 因此本选项说法不正确；B ：分布在[)13.5,14小组的矩形面积最大，因此众数出现在这个小组内，因此估计众数为13.51413.752+=，因此本选项说法正确； C ：高三男生100米体能测试成绩不大于13秒的小组有：频率之和为：(0.080.160.3)0.50.27++⨯=因此估计估计本校高三男生100米体能测试成绩不大于13秒的人数为0.2720054⨯=，所以本选项说法正确；D ：设中位数为b ，因此有(0.080.160.30.4)0.50.52(13.5)0.513.56b b +++⨯+-=⇒≈ 所以本选项说法不正确 故选：BC 10．BC【分析】根据函数的解析式逐个判定即可. 【详解】对A, ()f x 的值域为{}0,1,故A 错误. 对B, ()f x 定义域为R .故B 正确.对C,当x 是有理数时1x +也为有理数,当x 是无理数时1x +也为无理数故()()1f x f x +=成立.故C 正确. 对D, 因为()01f =,故D 错误. 故选：BC【点睛】本题主要考查了新定义函数性质的判定,属于基础题. 11．ACD【分析】根据题意求出p 的值，判断A ；根据直线和圆相切求出直线的斜率，判断B ；设直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，求出以,A B 为切点的抛物线的两条切线的方程，结合根与系数的关系求得点P 坐标，判断C ；求出弦AB 的长以及弦AB 的中点到抛物线准线的距离，即可判断D.【详解】对于A ，由题意拋物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 与圆22:(2)1M x y ++=上点的距离的最小值为2 即F 与圆上的点(0,1)-的距离为2，则||1,2OF p =∴=，A 正确；对于B ，过点(0,1)F 的动直线l 与M 相切时，则斜率必存在，设l 的方程为1y kx =+1=，解得k =B 错误；对于C ，设1122,,(()A x y B x y ),，由24x y =可得12y x '=联立214y kx x y =+⎧⎨=⎩ 消掉x 得2440x kx --= 216(1)0k ∆=+>所以12124,4x x k x x +==-设在点,A B 的切线斜率分别为12,k k ，则1212,22x x k k == 所以抛物线在点A 点的切线方程为111()2x y y x x -=-，即21124x x y x =-①同理可得在点B 的切线方程为 22224x x y x =-②由①②可得1222P x x x k +==，将122P x x x +=代入①得1214p x xy ==-所以P 点坐标为(21)k -，，即点P 在定直线1y =-上，C 正确；对于D ，由题意知12||42AB x x p k =++=+ AB 的中点的横坐标为124222x x kk +== 可得AB 的中点到抛物线准线1y =-的距离为121||2k AB +=则以线段AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切，故D 正确 故选：ACD 12．BCD【分析】A 选项由等体积法11M AND D AMN V V --=求得点M 到平面1AND 的距离即可；B 选项由外接球的直径为体对角线即可判断；C 选项由面1AND 经过外接球球心求得其外接圆圆心，即可求解；D 选项将球面与正方体的表面相交所得的曲线分为两类，按照弧长公式计算即可.【详解】1111211112,2242228AND ANM AD S S =⨯⨯==⨯⨯=，设M 到平面1AND 的距离为d ，由11M AND D AMN V V --=，即1111133AND ANM d S D A S ⨯⨯=⨯⨯，解得4d =，故A 错误；正方体1111ABCD A B C D -=外接球的体积为343π⨯=⎝⎭故B 正确；易得面1AND 经过正方体1111ABCD A B C D -其圆的面积为34π，故C 正确； 如图球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B ､面ABCD 和面11AA D D 上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C ､面11CC D D 和面1111D C B A 上.在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上因为1A E ==，则16A AE π∠=，同理6BAF π∠=，所以6EAF π∠=，故弧EF 的长为6π=，而这样的弧共有三条. 在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，则小圆的圆心为B ，半径为1BF A E ==所以弧FG 2π=，这样的弧也有三条.于是，所得的曲线长33=D 正确. 故选：BCD. 13．34-##0.75-【分析】根据任意角三角函数的概念，可得3tan 4α=-，再利用诱导公式对原式化简，可得原式等于tan α，由此即可求出结果.【详解】因为角α终边与单位圆相交于点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3tan 4α=-又()()()()()()()()sin 2sin sin 3sin sin 2cos 4sin 2cos 4ππαπαπαπααπαπαπαπ⎡⎤⎡⎤++-++--⎣⎦⎣⎦=-+---++()()sin sin sin sin tan sin cos sin cos πααααααααα+-===--所以()()()()sin 3sin 3sin 2cos 44παπααπαπ+--=--+--.故答案为：34-14．40【分析】由1()(2)n a x x x x +-的展开式中的各项系数的和为2，令x =1，求得1a =，写出51(2)x x-的展开式的通项，分别乘以x ，1x再令x 的指数为0求得r 值，则展开式中的常数项可求． 【详解】解：由1()(2)n a x x xx+-的展开式中的各项系数的和为2 令1x =，得5(1)12a +=，得1a =． ∴5111()(2)()(2)n a x x x x xxxx+-=+-51(2)x x-的通项55521551(2)()(1)2,0,1,2,3,4,5r r r r r r r r T C x C x x r ---+=-=-⋅⋅⋅=．∴511()(2)x x x x+-的展开式中的通项有5625(1)2r r r r C x ---⋅⋅⋅和5425(1)2r r r r C x ---⋅⋅⋅．令420r -=，得2r =，则展开式中的常数项为2325(1)280C -⋅⋅=； 令620r -=，得3r =，则展开式中的常数项为3235(1)240C -⋅⋅=- 所以该展开式的常数项为80-40=40. 故答案为：40． 15．-4【分析】对函数求导可得：22()x bx af x x++'=，函数()f x 在区间[1,2]上单调递增等价于()f x '在区间[1,2]上大于等于零恒成立，即220x bx a ++≥在区间[1,2]上恒成立，利用二次函数的图像讨论出a ，b 的关系，再结合线性规划即可得到4a b +的最小值． 【详解】 函数21()ln 22f x a x x bx =++在区间[1,2]上单调递增 ∴22()20a x bx af x x b x x ++'=++=≥在区间[1,2]上恒成立，即220x bx a ++≥在区间[1,2]上恒成立，令2()2h x x bx a =++，其对称轴：x b =-当1b -≤，即1b ≥-时，则220x bx a ++≥在区间[1,2]上恒成立等价于：1(1)210b h a b ≥-⎧⎨=++≥⎩ 由线性规划可得：min (4)14(1)3a b +=+⨯-=-当2b -≥，即2b ≤-时，则220x bx a ++≥在区间[1,2]上恒成立等价于：2(2)440b h a b ≤-⎧⎨=++≥⎩ 由线性规划可得：min (4)44(2)4a b +=+⨯-=-当12b <-<，即21b -<<-时，则220x bx a ++≥在区间[1,2]上恒成立等价于：221()0b h b a b -<<-⎧⎨-=-≥⎩ 则244a b b b +≥+，由于24b b +在21b -<<-上的范围为(4,3)--，则443a b -<+<-综上所述4a b +的最小值是-4.【点睛】本题考查导数与函数单调性、线性规划、函数与不等式等知识，考查学生综合运用数学知识的能力，运算能力以及逻辑思维能力，属于难题． 16． 3400345【分析】根据数列新定义可知数列n a =()11111111111111,1,(,,,),(,,,,,),,(,,,)2222333333n nn，且满足第n 组有2n 个数，且每组中所有数之和为122n n⨯=，即可求解. 【详解】因为()()123411111,1,,,2122a a a a K K ======== 所以41111322S =+++=；根据()K x x =以此类推，将n a =()11111111111111,1,(,,,),(,,,,,),,(,,,)2222333333n nn第n 组有2n 个数，且每组中所有数之和为122n n⨯=设2023a =1n +组中则(22)20232n n+≤，可得(1)2023n n +≤解得44n ≤ 所以(20231140032444345452023S K=+=⨯+⨯=故答案为：3 40034517．(1)3C π=；(2)c =【分析】（1）先由正弦定理得21a b b c ba cb+=++，化简整理得222a b c ab +-=，再由余弦定理求得cos C ，即可求解；（2）先由面积求得8ab =，再由角平分线得AD b BD a=，结合平面向量得a bCD CA CB a b a b =+++，平方整理求得6a b +=，再由（1）中222a b c ab +-=即可求出c 的值.【详解】（1）由正弦定理得21a b b c ba cb+=++，即1a b b c a c +=++，整理得()()()()a a c b b c a c b c +++=++ 化简得222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，又()0,C π∈，则3C π=；（2）由面积公式得11sin 22ab C ab ==，解得8ab =，又CD 是ACB ∠的角平分线，则1sin261sin 26ACD BCDCA CD SCA AD SCB BD CB CD ππ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅ 即AD b BD a =，则()b b a b CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB a b a b a b a b=+=+=+-=+++++ 所以()()()2222222222a b a ab b CD CA CB CA CA CB CB a b a b a b a b a b ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪++⎝⎭+++，即()()()2222222162132a b ab a b ab a b a b a b =+⋅⋅++++ 整理得()2221633a b a b =+，又8ab =，解得6a b +=，则()222220a b a b ab +=+-= 由（1）知22220812c a b ab =+-=-=，则c =.18．(1)2n a n =；(2)证明见解析.【分析】（1）利用题意建立等式求出n S ，然后利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出通项即可；（2）先将2221111123n+++⋅⋅⋅+放大为11111223(1)n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯-，然后裂项求和即可. 【详解】（1）因为11a =，所以11122S =⨯ 又因为(1)n S n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是公差为13的等差数列，所以11(1)(1)23n S n n n =+-+ 所以1(1)(21)6n S n n n =++.当2n ≥时，则21,1n n n a S S n n -=-==时，则11a =也满足上式.所以{}n a 的通项公式是2n a n =；（2）当1n =时，则1112a =<，不等式成立； 当2n ≥时，则22212111111111111231223(1)n a a a n n n++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+⨯⨯- 11111111222231n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.19．(1)证明见解析【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得PD ⊥平面ABCD ，从而PD BC ⊥，又BC CD ⊥，由线面垂直的判定定理得BC ⊥平面PCD ，则BC DF ⊥，又DF ⊥PC ，得DF ⊥平面PBC ，根据面面垂直的判定定理即可证得结论；（2）取CD 的中点N ，则//NF PD ，112NF PD ==结合（1）得NF ⊥平面ABCD ，结合线面角的定义得FMN ∠是直线MF 与平面ABCD 所成角，求得MN ，MC ，建立空间直角坐标系，分别求出平面EDM 、DMF 的法向量，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）因为PAD 是斜边PA的长为PD DA ⊥ 2PD DA == 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD DA =，PD ⊂平面PAD ∴PD ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，∴PD BC ⊥又BC CD ⊥，PD CD D ⋂=和,PD CD ⊂平面PCD ，∴BC ⊥平面PCD 因为DF ⊂平面PCD ，∴BC DF ⊥∵PD DC =，F 是棱PC 的中点，∴DF ⊥PC又⋂=PC CB C ，,PC CB ⊂平面PBC ，∴DF ⊥平面PBC ． 又DF ⊂平面DFM ，∴平面DFM ⊥平面PBC ． （2）如图，取CD 的中点N ，连接MN ，NF则//NF PD 112NF PD == 由（1）知PD ⊥平面ABCD ，∴NF ⊥平面ABCD ∴FMN ∠是直线MF 与平面ABCD 所成角 ∴1tan FMN MN ∠==∴MN 23MC =以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系设平面EDM 的法向量为(),,m a b c =，平面DMF 的法向量为(),,n x y z = 则02023DE m a cDM m a b⎧=⋅=+⎪⎨=⋅=+⎪⎩，令3a =-，则()3,1,3m =- 有02023DF n y zDM n x y ⎧=⋅=+⎪⎨=⋅=+⎪⎩，令3x =-，则()3,1,1n =--∴cos 19m n m n m n⋅⋅===⋅∴平面EDM 与平面DMF ． 20．(1)答案见解析(2)ˆ41.12101.46yx =+ 513 (3)答案见解析【分析】（1）根据相关系数的公式，即可代入求值，根据相关系数的大小即可作出判断 （2）利用最小二乘法即可计算求解（3）根据相关关系不是确定的函数关系，而受多因素影响，即可求解. 【详解】（1）1234567892292573,8282x y +++++++====相关系数()()88niii ix x y y x y x yr ---⋅==∑∑957312041817270.9820.585.84-⨯⨯=≈≈⨯因为y 与x 的相关系数0.98r =，接近1，所以y 与x 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.（2）()()()8118222118ˆ8n iii ii i niii i x x y y x y x ybx x xx====---⋅==--∑∑∑∑957312041817272241.12814220484-⨯⨯==≈-⨯ 5739ˆˆ41.12101.4622ay bx =-≈-⨯= 所以y 与x 的线性回归方程为ˆ41.12101.46yx =+ 又2022年对应的年份代码10x =，当10x =时，则41.1210101.46512.6513ˆ6y=⨯+=≈ 所以预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数为513.（3）对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，不能由（2）所求的线性回归方程预测，理由如下（说出一点即可）：①线性回归方程具有时效性，不能预测较远情况；②全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数有可能达到上限，一段时间内不再新建； ③受国家政策的影响，可能产生新的生活垃圾无害化处理方式. 21．(1)证明见解析. (2)[2,1]-【分析】（1）方法1：由分析法可证得结果. 方法2：换元法求()f x 的最大值即可证得结果.（2）设出不等号两边的函数，转化为对任意的1x ≥都有()()g x h x ≥成立，对参数分类讨论，分别研究两个函数的单调性、最值即可. 【详解】（1）方法1：∵1x ≥ ∴2(1)0x -≥ ∴原命题得证. 方法2：对称轴1t =，()h t 在[1,)+∞上单调递减 ∴max ()(1)0h t h ==∴()0h t ≤，即：当1x ≥时，则()0f x ≤恒成立即：当1x ≥x .（2）当0a =时，则()f x =即：对任意的1x ≥都有22x m x -≥成立令22()g x x m =-， ()h x x = 即：对任意的1x ≥都有()()g x h x ≥成立 当1x =时，则211m m -≥-，故21m -≤≤. ①当20m -≤≤时，则()g x 在[1,)+∞上单调递增∴2min ()(1)1g x g m ==-，∴2()1g x m ≥-()h x 在[1,)+∞上单调递减，∴max ()(1)1h x h m ==-，∴()1h x m ≤-此时2min max ()()20g x h x m m -=--≥∴min max ()()g x h x ≥即()()g x h x ≥，故20m -≤≤符合.②当01m <≤时，则由（1）知1x ∀≥x ≤恒成立∴1x ∀≥ mx x ≤∴1x ∀≥，0x ≤ 即：1x ∀≥ ()0≤h x又∵()g x 在[1,)+∞上单调递增，∴2min ()(1)1g x g m ==-，∴2()10g x m ≥-≥∴1x ∀≥ ()()g x h x ≥ ∴01m <≤符合. 综述：21m -≤≤【点睛】对于x D ∀∈，()()f x g x ≥恒成立求参数，可以先取特殊值确定参数的初步范围，再利用下面的两种方法.方法1：当x D ∈时，则min [()()]0f x g x -≥； 方法2：当x D ∈时，则min max ()()f x g x ≥. 求最值的方法：方法1：分离参数求最值；方法2：分类讨论研究函数的最值.22．(1)1a = max (0)f x =；(2)证明见解析；(3)[)0,∞+【分析】（1）由题意可得112f ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭，可求出a 的值，然后利用导数求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值；（2）由（1）得()ln 1x x +≤，令()1N x k k *=∈，则有11ln 1k k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，然后利用累加法可证得结论； （3）由于()()00,0f g b ==，所以()()f x g x ≤恒成立，则0b ≥，然后分0b =和0b >两种情况讨论即可.【详解】（1）函数的定义域为()()11,,1f x a x'-+∞=-+． 由已知得112f ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭，得11112a -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭，解得1a =． 此时()()()1ln 1,111x f x x x f x x x-'=+-=-=++． 当10x -<<时，则()0f x '>，当0x <时，则()0f x '<所以()f x 在(1,0)-上单调递增，()f x 在(0,)+∞单调递减所以()max ()00f x f ==；（2）由（1）得()ln 1x x +≤，当且仅当0x =时，则等号成立 令()1N x k k *=∈，则11ln 1k k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭ 所以()()1ln 1ln 1,2,3,,k k k n k >+-=将上述n 个不等式依次相加，得()1111ln 123n n++++>+； （3）因为()()00,0f g b ==，若()()f x g x ≤恒成立，则0b ≥①0b =时，则显然成立②0b >时，则由()()e x g x b x =-，得()()e 1x g x b '=-．当()1,0-时，则()()0,g x g x '<单减，当()0,x ∈+∞时，则()()0,g x g x '>单增所以()g x 在0x =处取得极小值，即最小值()()min ()00g x g b f x ==>≥，即()()f x g x ≤恒成立综合①②可知实数b 的取值范围为[)0,∞+.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数证明不等式，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是先由()()00,0f g b ==，从而可得0b ≥，然后分情况讨论即可得答案，考查数转化思想，属于较难题.。

江西高三模拟考试(文科)数学试卷附答案解析班级:___________姓名：___________考号：__________一、单选题1．设集合{}2560A x x x =--<和{}4,2,0,2,4B =--，则A B =（ ）A ．{}0,2B ．{}2,0-C ．2,0,2D ．{}0,2,42．复数1z 在复平面内对应的点为()1,3，22z i =-+（i 为虚数单位），则复数12z z 的虚部为（ ）. A ．75B ．75-C ．7i 5D ．7i 5-3．在ABC ∆中AB =AC=1，B=30°，和ABC S ∆=，则C = A ．60或120B ．30C ．60D ．454．已知x 与y 的数据如表所示，根据表中数据，利用最小二乘法求得y 关于x 的线性回归方程为0.7 1.05y x =+，则m 的值是（ ）A ．3.8B ．3.85C ．3.9D ．4.05．已知tan 2x =，则sin cos 1x x +=（ ） A ．25B ．75C ．2D ．36．已知直线:210l x y k +++=被圆22:4C x y +=所截得的弦长为4，则k 为（ ） A ．1-B ．2-C ．0D ．27．若0a >，0b >且24a b +=，则4ab的最小值为（ ） A ．2B ．12C ．4D ．148．已知命题:p 已知实数,a b ，则0ab >是0a >且0b >的必要不充分条件，命题:q 在曲线cos y x =上存在 （ ） A ．p 是假命题 B ．q 是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题9．执行如图所示的程序框图，若输出i 的值为7，则框图中①处可以填入（ ）A ．7S >？B ．15S >？C ．21S >？D ．28S >？10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 椭圆C 在第一象限存在点M ，使得112=MF F F ，直线1F M 与y 轴交于点A ，且2F A 是21MF F ∠的角平分线，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．12D 11．已知函数()()22e (e =--x xf x x x a ）有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1e -）B ．（0，2e -）C ．（0，1）D ．（0，e ）12．在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中E 是正方形BB 1C 1C 的中心，M 为C 1D 1的中点，过A 1M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1所得的截面面积为（ ）A ．B ．CD ．3二、填空题13．已知向量(),2AB m =，()1,3AC =和()4,2BD =--，若B ，C ，D 三点共线，则m =______．14．双曲线2219x y -=的渐近线方程为__________.15．已知f （x ）＝sin 6x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ω＞0），f （6π）＝f （3π），且f （x ）在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上有最小值，无最大值，则ω＝_____．16．已知过点(0,1)M 的直线与抛物线22(0)x py p =>交于不同的A ，B 两点，以A ，B 为切点的两条切线交于点N ，若0NA NB ⋅=，则p 的值为__________．三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n *=-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设13log n n b a =，n C ={}n C 的前n 项和n T18．如图，三棱柱111ABC A B C 各棱长均为2，且13C CA π∠=.(1)求证1AC BC ⊥；(2)若1BC 与平面ABC 所成的角为6π，求三棱柱111ABC A B C 的体积. 19．某工厂生产的产品是经过三道工序加工而成的，这三道工序互不影响，已知生产该产品三道工序的次品率分别为(1)求该产品的次品率；(2)从该工厂生产的大量产品中随机抽取三件，记次品的件数为X ，求随机变量X 的分布列与期望()E X ． 20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且过点()3,1A .(1)求椭圆C 的方程；(2)点M ，N 在椭圆C 上，且AM AN ⊥.证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.21．已知函数()f x 对任意实数x 、y 恒有()()()f x y f x f y +=+，当x>0时f (x )<0，且(1)2f =-. (1)判断()f x 的奇偶性；(2)求()f x 在区间[-3,3]上的最大值；(3)若2()22f x m am <-+对所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立，求实数m 的取值范围.22．数学上有很多美丽的曲线令人赏心悦目，例如，极坐标方程()1cos a ρθ=+（0a >）表示的曲线为心形线，它对称优美，形状接近心目中的爱心图形.以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程为1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.(1)求直线l 的极坐标方程和心形线的直角坐标方程；(2)已知点P 的极坐标为()2,0，若P 为心形线上的点，直线l 与心形线交于A ，B 两点（异于O 点），求ABP 的面积.23．已知函数()2|1|||(R)f x x x a a =-+-∈． (1)若()f x 的最小值为1，求a 的值；(2)若()||6f x a x <+恒成立，求a 的取值范围．参考答案与解析1．D【分析】求出集合A 中元素范围，然后求A B ⋂即可.【详解】{}{}256016A x x x x x =--<=-<<，又{}4,2,0,2,4B =--{}0,2,4A B ∴=.故选：D. 2．B【解析】根据题意，先得到113z i =+，再由复数的除法运算求出12z z ，即可得出其虚部. 【详解】因为复数1z 在复平面内对应的点为()1,3，所以113z i =+ 又22z i =-+所以()()()()1213213263171722241555i i z i i i i i z i i i +--+++--+===-=-=--+-+--+因此其虚部为75-.故选：B.【点睛】本题主要考查求复数的虚部，考查复数的除法运算，涉及复数的几何意义，属于基础题型. 3．C【分析】由三角形面积公式可得A ，进而可得解.【详解】在ABC ∆中AB 1AC =与30B =12ABC S AB ACsinA ∆=⋅=，可得1sinA =，所以90A = 所以18060C A B =--=【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，属于基础题. 4．D【分析】计算样本中心，将样本中心 710,24m +⎛⎫⎪⎝⎭代入线性回归方程中即可求解. 【详解】因为()17234542x =⨯+++= ()1102.5 3.0 4.544m y m +=⨯+++=．所以样本中心为710,24m +⎛⎫⎪⎝⎭，将其代入回归方程0.7 1.05y x =+得1070.7 1.0542m +=⨯+，解得4m =． 故选：D ． 5．B【分析】利用同角三角函数的平方关系、商数关系，将目标式化为2tan 1tan 1xx ++，结合已知即可求值.【详解】222sin cos tan 27sin cos 1111sin cos tan 155x x x x x x x x +=+=+=+=++． 故选：B ． 6．A【分析】利用点线距离公式求弦心距，再由弦长与半径、弦心距的几何关系列方程求参数k . 【详解】设圆心()0,0到直线:210l x y k +++=的距离为d ，则由点到直线的距离公式得|1|d k ==+由题意得：42==1k =-．故选：A 7．A【分析】利用基本不等式可求出2ab ≤，即可得出所求. 【详解】0a > 0b >42a b ∴=+≥2a b =，即1,2a b ==时等号成立所以2ab ≤，则42ab≥，即4ab 的最小值为2.故选：A. 8．C【分析】首先判断命题,p q 的真假，再判断选项.【详解】00ab a >⇒> 且0b >，反过来0a >且00b ab >⇒>，所以0ab >是0a > 且0b >的必要不充分条件，所以命题p 是真命题cos y x =，[]sin 1,1y x '=-∈-根据导数的几何意义可知曲线cos y x =所以命题q是假命题根据复合命题的真假判断可知()p q ∧⌝是真命题. 故选：C 9．C故选：C. 10．B【分析】根据题意和椭圆定义可得到2MF ，AM 和a ，c 的关系式，再根据122MF F MF A ∽△△，可得到关于a ，c 的齐次式，进而可求得椭圆C 的离心率e ． 【详解】由题意得1122F M F F c == 又由椭圆定义得222MF a c =- 记12MF F θ∠=则212AF F MF A θ∠=∠= 121222F F M F MF MAF θ∠=∠=∠= 则2122AF AF a c ==- 所以42AM c a =- 故122MF F MF A ∽△△则2122MF AMF F MF = 则2a c c a c a c --=-，即222010c ac a e e e +-=⇔+-=⇒=（负值已舍）． 故选：B ． 11．A【分析】令()()()22ee 0=--=xxf x x x a ，得到22e 0-=x x或e 0x x a -=，令()22e =-xg x x ，易知有一个零点，转化为则e 0x x a -=有两个根求解.【详解】令()()()22ee 0=--=xxf x x x a所以22e 0-=x x 或e 0x x a -=令()22e =-xg x x ，则()()2e '=-x g x x令()2(e )=-x h x x ，则()2(1)e '=-xh x当(,0)x ∈-∞时()0h x '>，h (x )在（－∞，0）上单调递增； 当,()0x ∈+∞时()0h x '<，h (x )在（0，＋∞）上单调递减 所以()(0)20h x h ≤=-<，即()0g x '< 所以g (x )在R 上单调递减，又()2110g e-=->，g （0）＝20-< 所以存在0(1,0)x ∈-使得()00g x =所以方程e 0x x a -=有两个异于0x 的实数根，则xxa e = 令()x x k x e =，则()1xx e xk -=' 当(,1)x ∞∈-时()0k x '>，k (x )在（－∞，1）上单调递增；当(1,)x ∈+∞时()0k x '<，k (x )在（1，＋∞）上单调递减，且()0k x >．所以()1()1k x k e≤= 所以()xxk x e =与y a =的部分图象大致如图所示由图知10a e<< 故选：A ． 12．B【解析】确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下： 由正方体的性质可知1A MNC ，则1A ，,,M C N 四点共面记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥． 连接EF ，则EF MC ⊥EFDF F =，EF DF ⊂，平面DEF所以MC ⊥平面DEF又DE ⊂平面DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥ NC MC C =则DE ⊥平面1A MCN 所以平面1A MCN 即平面α四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面． 因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形其对角线1AC = MN =所以其面积12S =⨯=故选：B【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 13．1-【分析】根据给定条件，求出向量BC 坐标，再利用共线向量的坐标表示计算作答. 【详解】因为向量(),2AB m =，()1,3AC =则(1,1)BC AC AB m =-=-，而()4,2BD =-- 又B ，C ，D 三点共线，则有//BC BD ，因此2(1)4m --=-，解得1m =- 所以1m =-. 故答案为：-1 14．30x y ±-=【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程的形式直接求出双曲线2219x y -=的渐近线方程.【详解】通过双曲线方程可知双曲线的焦点在横轴上,3,1a b ==,所以双曲线2219x y -=的渐近线方程为：1303b y x y x x y a =±⇒=±⇒±-=. 故答案为30x y ±-=【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程,通过双曲线方程判断双曲线的焦点的位置是解题的关键. 15．163【分析】由题意可得函数的图象关于直线4x π=对称，再根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，可得3462πππω+=，由此求得ω的值. 【详解】对于函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得函数图象关于6324x πππ+==对称 又()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭有最小值，无最大值可得()32462k k Z πππωπ+=+∈，即()1683k k Z ω=+∈，又342Tππ-≤，即12ω≤ 所以163ω=. 故答案为163. 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的最值，属于中档题． 16．2【分析】设()()1122,,,A x y B x y ,设直线AB 的方程为1y kx =+，利用“设而不求法”得到122x x p =-.利用导数求出两条切线斜率为1x p 和2x p，得到121x x p p ⋅=-,即可求出p =2.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ,且设直线AB 的方程为1y kx =+,代入抛物线的方程得2220x pkx p --=,则122x x p =-.又22x py =,得22x y p=,则x y p '=，所以两条切线斜率分别为1x p 和2x p .由0NA NB ⋅=,知NA NB ⊥,则121x x p p ⋅=-,所以221pp -=-,即p =2. 故答案为：2 17．(1)13n n a =(2)1n T =【分析】（1）由n a 与n S 关系可推导证得数列{}n a 为等比数列，由等比数列通项公式可得n a ； （2）由（1）可推导得到,n n b C ，采用裂项相消法可求得n T . (1)当1n =时111221a S a =-=，解得：113a =；当2n ≥时1122211n n n n n a S S a a --=-=--+，即113n n a a -=∴数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列，1133nn n a ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭. (2)由（1）得：131log 3n n b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭n C ∴==11n T ∴=⋅⋅⋅=18．(1)证明见解析【分析】（1）通过线面垂直的性质定理证明线线垂直；（2）由（1）知AC ⊥平面1BDC ，则进一步知平面1BDC ⊥平面ABC ，故过1C 作平面ABC 的垂线，垂足为E ，则1C E ⊥平面ABC ，求出1C E 的大小即可求解.【详解】（1）证明：取AC 的中点D ，连接BD ，1C D 和1C A ，则BD AC ⊥因为12CC CA ==，13C CA π∠=所以1ACC △为等边三角形又D 为AC 的中点，所以1C D AC ⊥ 因为1C D BD D =，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以AC ⊥平面1BDC ，.又1BC ⊂平面1BDC ，所以1AC BC ⊥.（2）由（1）知AC ⊥平面1BDC ，又AC ⊂平面ABC ，所以平面1BDC ⊥平面ABC平面1BDC 平面ABC BD =，故过1C 作平面ABC 的垂线，垂足为E ，则E 一定在直线BD 上，因为1BC 与平面ABC 所成的角为6π，所以16C BD π∠= 由题意知1C D BD =，所以123C DB π∠=所以13BC == 所以113sin 62C E BC π==.（或：由题意知1C D BD =13C DE π∠=，所以113sin 32C E CD π===）所以11322sin 232ABC V S C E π=⋅=⨯⨯⨯⨯=△19．(1)14(2)分布列见解析，()34E X =【分析】（1）利用相互独立事件的乘法概率计算公式能求出产品为正品的概率，即可由对立事件求次品概率（2）由题意得X 0=，1，2，3，分别求出其相对应的概率，能求出X 的分布列和数学期望．【详解】（1）产品正品的概率为：11131111011124P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以为次品的概率为31144-= （2）由题意得X 0=，1，2，3，且13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭3327(0)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 2133127(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 223319(2)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 311(3)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ X ∴的分布列如下：∴()27279130123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．(1)221124x y += (2)证明详见解析，定点坐标3122⎛⎫ ⎪⎝⎭，-【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得222,,a b c ，从而求得椭圆C 的方程.（2）根据直线MN 的斜率进行分类讨论，结合根与系数关系以及·0AM AN =求得定点坐标.【详解】（1）由题意可得：22222911c aab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2221248a b c ===，， 故椭圆方程为221124x y +=. （2）设点()()1122,,,M x y N x y若直线MN 斜率存在时设直线MN 的方程为：y kx m =+代入椭圆方程消去y 并整理得：()2221363120k x kmx m +++-= 可得122613km x x k +=-+ 212231213m x x k -=+ 因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121233110x x y y --+--=根据1122,kx m y kx m y =+=+有()()()()221212121239110x x x x k x x k m x x m -++++-++-=整理可得： ()()()()22121213190k x x km k x x m ++--++-+= 所以()()()222223126131901313m km k km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭ 整理化简得2299210k km m m ++--=则有()()321310k m k m +++-=得3210k m ++=或310k m +-=若3210k m ++=，则直线MN 的方程为：3122y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，恒过3122⎛⎫- ⎪⎝⎭， 若310k m +-=，则直线MN 的方程为：()31y k x =-+，过A 点，舍去.所以直线MN 过定点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当直线MN 的斜率不存在时可得()11,N x y -由·0AM AN =得：()()()()121233110x x y y --+--=得()1221210x y -+-=()2211310x y -+-=，结合22111124x y += 解得：132x = 或23x =（舍去），此时直线MN 方程为32x =,过点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 综上，直线MN 过定点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 21．（1）奇函数（2）6（3）{2,m m 或者2}m <-【分析】（1）令x ＝y ＝0⇒f （0）＝0，再令y ＝﹣x ，⇒f （﹣x ）＝﹣f （x ）；（2）设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，结合条件用单调性的定义证明函数f （x ）为R 上的增函数，从而得到()f x 在区间[-3,3]上的最大值；（3）根据函数f （x ）≤m 2﹣2am ﹣2对所有的x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，说明f （x ）的最大值2小于右边，因此先将右边看作a 的函数，m 为参数系数，解不等式组，即可得出m 的取值范围．【详解】（1）取x=y=0，则f （0+0）=f （0）+f （0）；则f （0）=0；取y =﹣x ，则f (x ﹣x )=f (x )+f (﹣x )∴f (﹣x )=﹣f (x )对任意x ∈R 恒成立∴f (x )为奇函数；（2）任取x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0；∴f （x2）+f (﹣x1）=f （x2﹣x1）＜0； ∴f （x2）＜﹣f （﹣x1）又∵f （x ）为奇函数∴f （x 1）＞f （x 2）；∴f （x ）在（﹣∞，+∞）上是减函数；∴对任意x ∈[﹣3，3]，恒有f （x ）≤f （﹣3）而f （3）=f （2+1）=f （2）+f （1）=3f （1）=﹣2×3=﹣6； ∴f （﹣3）=﹣f （3）=6；∴f （x ）在[﹣3，3]上的最大值为6；（3）由（2）可知函数()f x 在[]1,1-的最大值为()12f -=所以要使()222f x m am <-+对所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立只需要()()2max 2212m am f x f -+>=-=即220m am ->对所有[]1,1a ∈-恒成立令()[]22,1,1g a m am a =-∈-，则()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩即222020m m m m ⎧+>⎨->⎩解得22m m ><-，或者 所以实数m 的取值范围是{}2,2m m m <-或者【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性与函数的值域、不等式恒成立等知识点，属于中档题，解题时应该注意题中的主元与次元的处理．22．(1)极坐标方程为π3θ=或4π3θ=；()()222222x y ax a x y +-=+【分析】（1）先消去参数t 得到直线l 的普通方程，进而得到极坐标方程，由()1cos a ρθ=+，得到2cos a a ρρρθ=+，即22x y ax +=求解.（2）将()2,0代入方程()1cos a ρθ=+得到1a =，进而得到1cos ρθ=+，分别与直线l 的极坐标方程联立，求得A ，B 坐标求解.【详解】（1）解：消去参数t 得到直线l 的普通方程为y = 所以极坐标方程为π3θ=或4π3θ=； （π3θ=（ρ∈R 也正确）由()1cos a ρθ=+，得2cos a a ρρρθ=+，即22x y ax +=化简得心形线的直角坐标方程为()()222222x y ax a x y +-=+. （2）将()2,0代入方程()1cos a ρθ=+，得1a =∴1cos ρθ=+.由π,31cos ,θρθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得3π,23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 由4π,31cos ,θρθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得14π,23B ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴13π112π2sin 2sin 223223ABP AOP BOP S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△23．(1)0或2(2)[)3,4【分析】（1）根据1()(1)1x a x x a x a -+-≥---=-结合取等条件即可得解；（2）把()||6f x a x <+恒成立，转化为()2160g x x x a a x =-+---<恒成立，分情况讨论去绝对值符号，从而可得出答案.【详解】（1）因为1()(1)1x a x x a x a -+-≥---=-，当且仅当()(1)0x a x --≤时取等号()2|1||||1||1||1|f x x x a x a a =-+-≥-+-≥-，当且仅当1x =时取等号 所以11a -=，解得0a =或2a =故a 的值为0或2；（2）令g()2|1|||6x x x a a x =-+---，由题意知()0g x <恒成立 当{1x x x ∈≥且}x a ≥时 ()()()g()21638x x x a ax a x a =-+---=---,要使得()0g x <恒成立则30,a -≤可得3,a ≥当3a ≥时()()()()()34,034,0118,138,a x a x a x a x g x a x a x a a x a x a ⎧-+-<⎪-++-≤<⎪=⎨-+-≤<⎪⎪---≥⎩因为()0g x <恒成立, 则max ()0g x <,由图像可知()max ()0g x g = 所以()g()g 040x a ≤=-<,所以4a < 综上可知实数a 的取值范围为[)3,4．。

高三数学模拟试题（十三）一、选择题（5×10=50分）1．设全集{}{}{}2,1,0,1,2,2,1,0,0,1,2U A B =--=--=则)U C A B （=（ )A ．{}B ．{}2,1--C ．{}0,1,2D ．{}1,22．已知正数m 是2，8的等比中项，则圆锥曲线122=+myx 的离心率是（ ） A ．23 B ．25C ．5D ．33．已知函数()f x =是奇函数，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2 4．复数22i z i-=+（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．连续掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(,)a m n =与向量(1,1)b =-的夹角2πθ>的概率是（ ）A ．12B ．13C ．712D ．5126．角α的终边经过点A ()a ，且点A 在抛物线214y x =-的准线上，则sin α=（ ）A ．12-B ．12 C．2- D．27．已知变量x y ，满足条件10290x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，，则x y +的最大值是( )A ．2B ．5C ．6D ．8 8．下列命题中正确的个数为（ ）①三点确定一个平面；②若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直；③同时垂直于一条直线的两条直线平行；④底面边长为2，侧棱长为5的正四棱锥的表面积为12。

A ．0B ．1C ．2D ．3 9．函数x xy sin 3+=的图象大致是（ ）10．在ABC ∆中，角A B C 、、所对边的长分别为a b c 、、，若60=∠A ,2=a ,则ABC ∆面积的最大值为 ( )A ．1B ．3C ．2D ．23二、填空题（5×5=25分）11．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家。

为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市_______家 12．设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为13．已知函数322()3(1)1(0)f x kx k x k k =+--+>的单调递减区间是(0,4)，则k 的值是14．数列{}n a 满足*11()2n n a a n N ++=∈，且112a =-，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则2011S =15．若函数2()4f x x x a =--的有3个零点，则a =（选做）若)0,3(-C 、)0,3(D ，M 是椭圆1242=+y x 上的动点，则11+的最小值为 . 三、解答题（75分）16．（本题满分13分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且83ABC AB AC S ∆⋅=（其中ABC S ∆为ABC ∆的面积）。