平稳随机过程及其遍历性

时间序列遍历性的重要性
遍历性遍历性是时间序列中非常重要的。

对于时间序列而言，我们可以得到一个随着时间顺序的样本观测值，对此可以得到一个时间平均值。

定义：假设时间序列是一个平稳过程，如果时间平均值按照概率收敛到总体平均值，则称该随机过程是关于均值遍历的。

遍历性是平稳时间序列非常重要的一个性质，如果一个平稳时间序列是遍历的，那么它在每个时点上的样本矩性质(均值和协方差等)就可以在不同
时点上的样本中体现出来。

这就是遍历性的含义。

定理：如果一个协方差平稳过程，如果自协方差函数满足，则随机过程是关于均值遍历的。

定义：假设时间序列是一个协方差平稳过程，如果样本协方差按照概率收敛到总体协方差，则称该过程是关于二阶矩遍历的。

高阶矩遍历意味着过程不同时间上的统计性质更接近同一时点上的随机抽
样性质。

如果随机过程是高斯协方差平稳过程，则它是均值遍历过程，也是二阶矩遍历过程。

一般情况下，平稳性和遍历性之间没有必然联系，下面的例子可以说明这一点。

假设随机过程的均值过程满足，其中均值满足，是独立的白噪声过程。

因为，上式表明，该过程是协方差平稳过程，因此，该过程不是均值遍历过程。

其中和是任意常数。

由于这个随机过程依赖最近两个时间阶段的的加权平均，因此称此过程为一阶移动平均过程。

平稳各态遍历随机过程的概念在概率论和数理统计中，平稳各态遍历随机过程是一种重要的概念，它由平稳性和各态遍历性两个性质共同定义。

这种随机过程在许多实际应用领域，如物理学、经济学、生物学等，都有广泛的出现。

本文将详细介绍平稳各态遍历随机过程的概念，包括平稳性、各态遍历性、随机过程和遍历性等方面。

1. 平稳性平稳性是指随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。

换句话说，平稳随机过程在任何时间点的概率分布与时间无关。

例如，在金融市场中，如果一个股票价格的时间序列是平稳的，那么无论何时观察该股票价格，其均值和方差等统计特性都保持不变。

2. 各态遍历性各态遍历性是指随机过程在长时间内能够充分地展现出所有可能的状态。

具体来说，如果一个随机过程是各态遍历的，那么对于任何给定的时间间隔，在间隔内的任何时刻观察到的样本点都具有相同的概率分布。

例如，在气象学中，如果一个气候模型的时间序列是各态遍历的，那么可以通过观察该时间序列来预测未来任何时间点的气候状态。

3. 随机过程随机过程是指一系列随时间变化的随机变量。

例如，在金融市场中，股票价格可以看作是一个随机过程，它随时间变化，并且每个时刻的股票价格都是一个随机变量。

随机过程可以用来描述许多自然现象和人为现象，如天气变化、交通流量、人口增长等。

4. 遍历性遍历性是指一个随机过程能够覆盖所有可能的状态。

具体来说，如果一个随机过程是遍历的，那么在足够长的时间内，该过程可以展现出所有可能的状态。

例如，在密码学中，一个随机密钥生成器是遍历的，意味着在足够多的次数之后，该生成器能够产生所有可能的密钥。

总的来说，平稳各态遍历随机过程是指具有平稳性和各态遍历性的随机过程。

这种随机过程在许多领域都有广泛的应用，如预测气候变化、金融市场分析、密码学等。

通过对其概念的理解和研究，可以更好地应用这些方法来处理和分析实际问题。

关于平稳过程中的各态历经性的综述首先要介绍一下什么是平稳过程，平稳过程是一类统计特性不随时间推移而变化的过程。

在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响。

有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化。

严格地说，如果对于任意的n （=1，2…），12,,t t t T ∈n …,和任意实数h,当12,,n t h t h t h T+++∈…,时，n 维随机变量（X(1t ),X(2t ),…,X(t n )）和 （X （1t h +）,X （2t h +）,…,X （n t h +）） 具有相同的分布函数，则称随机过程{}X ∈（t ）,t T 具有平稳性，并同时称此过程为平稳随机过程，或简称平稳过程。

在实际工作中，确定随机过程的均值函数和相关函数是很重要的。

而要确定随机过程的数字特征一般来说需要知道过程的一﹑二维分布，这在实际问题中往往不易办到，因为这时要求对一个过程进行大量重复的实验，以便得到很多的样本函数。

但是由于平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，就会提出这样一个问题：能否从一个时间范围内观察到的样本函数或一个样本函数在某些时刻的取值来提取过程的数字特征呢？所谓各态历经，是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性；具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程，只要有一个样本函数就可以表示出它的数字特征。

定义 设X （t ）是均方连续平稳随机过程，如果它沿整个时间上的平均值即时间平均值〈X （t ）〉存在，即〈X （t ）〉=1lim()2T TT X t dtT-→∞⎰存在，而且〈X （t ）〉=E ｛X （t ）｝=X μ依概率1相等。

即〈X （t ）〉依概率1等于X μ= E ｛X （t ）｝, X μ代表随机过程的集平均（或称统计平均），则称该过程的均值具有各态历经性。

第四节遍历过程(历经过程)要讨论平稳随机过程的数字特征，就应该知道一族样本函数，而样本函数往往需要大量的观察试验，然后用数理统计的点估计理论进行估计才能取得，其要求是很高的。

讨论平稳随机过程的历经性就是讨论能否在较宽松的条件下，用一个样本函数去近似计算平稳过程的均值和相关函数等数字特征。

l一. 时间均值和时间相关函数设随机过程{X (t ),t ∈T = (-∞,+∞)} 任意固定e ∈S,样本函数X(e,t)=x(t), x(t)在区间[-l , l ](l >0)上的函数平均值定义为x (t ) = 12l ⎰-lx (t )dtx(t)在(-∞,+∞)上的函数平均值定义为x (t ) = lim 1⎰ x (t )dtl →+∞ 2l-l当e 变化时X (t ) =X (e ,t ) = lim 1⎰X (e ,t )dtl →+∞2l-lll定义1X (t) = X (e,t) =lim 1⎰X (e,t)dtl→+∞2l -l称为随机过程X(t)对于参数t的平均值, 通常称为X(t)的时间均值.显然X (t) 是一个随机变量.可以记Y= X (t)l定义2∀t,τ∈(-∞,+∞)X (t ) X (t +τ ) = X (e ,t ) X (e ,t +τ ) = lim 1 ⎰ X (e ,t ) X (e ,t +τ )dtl →+∞2l-l称为随机过程X(t)的时间相关函数.显然 X (t )X (t +τ ) = lim 1⎰X (e ,t )X (e ,t +τ )dtl →+∞ 2l-l是一个随机过程.可以记Y(τ)= X (t )X (t +τ )ll例1. 求随机相位正弦波 X (t ) = a c os(ωt + Θ)的时间均值和时间相关函数. 解: 时间均值X (t ) =X (e , t ) = lim 1⎰ X (e , t )dtl →+∞ 2l-l= lim 1⎰ a cos(ω t + Θ)dtl →+∞=2l -la ⋅1sin(ωt + Θ ) |l lim l → +∞ω - l= lim asin(ω l + Θ) -sin(-ω l + Θ)= 0l →+∞2ωlll2l时间相关函数X (t )X (t +τ ) = lim 1⎰X (e ,t )X (e ,t +τ )dtl →+∞2l-l= lim 1⎰ a cos(ωt + Θ) ⋅ a cos[ω(t +τ ) + Θ]dtl →+∞ 2l-l= lim a2⎰ cos ωτ + cos[ω(2t +τ ) + Θ] dtl →+∞ 2l-l 2 =a2cos ωτ2a2由第二节例1知 μX= 0, R X (τ ) = cos ωτ 2lll结论这样,对于随机相位正弦波, 用时间平均和集平均分别算得的均值和自相关函数是相等的，并且与t无关.称均值和相关函数都具有各态遍历性。

随机过程复习题一、随机过程的数字特征及平稳性1、设随机过程Z (t ) =X sin t +Y cos t ，其中X 和Y 是相互独立的随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取值-1和2，讨论Z(t)的平稳性。

2、设随机过程()Xt e t -=ξ （t >0），其中随机变量X 具有在区间（0，T ）中的均匀分布。

试求随机过程ξ（t ）的数学期望和自相关函数。

3、有随机过程{ξ(t )，-∞<t <∞}和{η(t )，-∞<t <∞}，设ξ(t )=A sin(ω t +Θ)，η(t )=B sin(ω t +Θ+φ), 其中A ，B ，ω，φ为实常数，Θ均匀分布于[0，2π]，试求R ξη(s ,t )4、设有随机过程{ξ(t )，-∞<t <∞}，ξ(t )=η cos t , 其中η为均匀分布于（0，1）间的随机变量，即()()112311212(a)=cos cos (b)C =cos cos 1212R t ,t t t t ,t t t ξξξξ试证：5、随机过程ξ(t )=sin(Ut )，其中U 是在[0，2π]上均匀分布的随机变量。

若t ∈T , 而T =[0，∞）, 试分析ξ（t ）的平稳性。

6、随机过程()()0=cos +t A t ξωθ；式中：A 、ω0是实常数；θ是具有均匀分布的随机变量：()2(0=20(f πθθπ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其他） 分析ξ(t )的平稳性。

7、随机过程ξ(t )=A cos(ωt +Φ )，-∞<t <+∞，其中A, ω,Φ 是相互统计独立的随机变量，E A =2, D A =4, ω 是在[-5, 5]上均匀分布的随机变量，Φ 是在[-π，π]上均匀分布的随机变量。

试分析ξ(t)的平稳性和各态历经性。

8、设(){}+∞<<∞-t t X ,的均值函数为m X (t )，协方差函数为C X (t )，而ϕ(t )是一个普通函数，令()()()t t X t Y ϕ+=，+∞<<∞-t ，试求(){}+∞<<∞-t t Y ,的均值函数和协方差函数。

随机过程复习题一、随机过程的数字特征及平稳性1、设随机过程Z (t ) =X sin t +Y cos t ，其中X 和Y 是相互独立的随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取值-1和2，讨论Z(t)的平稳性。

2、设随机过程()Xt e t -=ξ （t >0），其中随机变量X 具有在区间（0，T ）中的均匀分布。

试求随机过程ξ（t ）的数学期望和自相关函数。

3、有随机过程{ξ(t )，-∞<t <∞}和{η(t )，-∞<t <∞}，设ξ(t )=A sin(ω t +Θ)，η(t )=B sin(ω t +Θ+φ), 其中A ，B ，ω，φ为实常数，Θ均匀分布于[0，2π]，试求R ξη(s ,t )4、设有随机过程{ξ(t )，-∞<t <∞}，ξ(t )=η cos t , 其中η为均匀分布于（0，1）间的随机变量，即()()112311212(a)=cos cos (b)C =cos cos 1212R t ,t t t t ,t t t ξξξξ试证：5、随机过程ξ(t )=sin(Ut )，其中U 是在[0，2π]上均匀分布的随机变量。

若t ∈T , 而T =[0，∞）, 试分析ξ（t ）的平稳性。

6、随机过程()()0=cos +t A t ξωθ；式中：A 、ω0是实常数；θ是具有均匀分布的随机变量：()2(0=20(f πθθπ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其他） 分析ξ(t )的平稳性。

7、随机过程ξ(t )=A cos(ωt +Φ )，-∞<t <+∞，其中A, ω,Φ 是相互统计独立的随机变量，E A =2, D A =4, ω 是在[-5, 5]上均匀分布的随机变量，Φ 是在[-π，π]上均匀分布的随机变量。

试分析ξ(t)的平稳性和各态历经性。

8、设(){}+∞<<∞-t t X ,的均值函数为m X (t )，协方差函数为C X (t )，而ϕ(t )是一个普通函数，令()()()t t X t Y ϕ+=，+∞<<∞-t ，试求(){}+∞<<∞-t t Y ,的均值函数和协方差函数。

第2章平稳随机过程2．1 平稳随机过程的基本概念引言“平稳”的中文含意：平坦、稳定。

不大起大落。

随机过程X (t) ，当t变化时，得一系列随机变量：X(t1)，X(t2)，⋯⋯X(t n)。

X (t )具有“平稳”性，是指X(t i)的变化稳定，不“大起大落” ，各X (t i )具有相同的分布规律、或具有相同的数字特征、或具有相同的概率密度。

在统计学中，X (t1 ) ，X (t 2) ，⋯⋯X (t n )往往假设满足“独立同分布” ( iid )。

“独立” 性不太容易满足，“同分布”就包含了“平稳性” 。

2．1．1 严平稳过程及其数字特征一、定义随机过程X(t) 的n维概率密度(或n维分布函数) p X (x1,x2 x n,t1,t2 t n )不随时间起点选择不同而改变。

即：对任何n和，过程X (t )的概率密度满足：p X (x1,x2 x n,t1,t2 t n) p X (x1,x2 x n,t1 ,t2 t n )则称X (t )为严平稳过程。

二、严平稳过程的一、二维概率密度结论：严平稳过程X(t) 的一维概率密度与时间无关；严平稳过程X (t )的二维概率密度只与t1、t2 时间间隔t2 t1 有关。

证明：当n ＝1时，对任何，有p X (x1,t1) p X(x1,t1 )。

取t1，则有p X (x1,t1) p X (x1,t1 ) p X(x1,t1 t1) p X (x1,0) p X (x1)。

当n＝2时，对任何，有p X(x1,x2,t1,t2) p X (x1,x2,t1 ,t2 )。

取t1，t2 t1，则p X(x1,x2,t1,t2) p X (x1,x2,0,t2 t1) p X(x1,x2, )。

三、严平稳过程的数字特征(1)若X (t )是严平稳过程，则它的均值、均方值、方差皆为与时间无关的常数。

21证明：m X (t) E(X(t)) xp X (x,t)dx xp X (x)dx m XE( X 2(t)) x2p X(x,t)dx x2p X (x)dx X222D(X(t)) (x m X )2p X (x)dx 2X(2)若X (t )是严平稳过程，则它的自相关函数R X (t1 ,t 2 )只是间间隔t2 t1的单变量的函数。