2009-2010学年高三立几建系设点专题
引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。
一、建立空间直角坐标系的三条途径
途径一、利用图形中的对称关系建立坐标系:图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系． 例1（卷理科第18题）已知两个正四棱锥P －ABCD 与 Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4． （1）证明：PQ ⊥平面ABCD ；
（2）求异面直线AQ 与PB 所成的角； （3）求点P 到平面QAD 的距离． 简解：（1）略；
（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线
CA DB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），易得(2202)(0222)AQ PB =--=-，，，，，，1
cos 3
AQ PB AQ PB AQ PB
<>=
=
，．所求异面直线所成的角是1arccos
3
． （3）由（2）知，点(0220)(22220)(004)D AD PQ -=--=-，
，，，，，，，． 设n =（x ，y ，z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得200x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，
，取x ＝1，得
(112)--，，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d =
=n n
．
途径二、利用面面垂直的性质建立坐标系:图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂
直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系．
例2 （全国卷Ⅱ理科第19题）在直三棱柱111ABC A B C -中，AB ＝BC ，D 、E 分别为11BB AC ，的中点．
（1）证明：ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线；
（2）设12AA AC AB ==，求二面角1
1A AD C --的大小． 解：（1）如图2，建立直角坐标系O xyz -，其中原点O 为
AC 的中点，设(00)A a ，
，则，1(00)(02)B b B b c ，，，，，， 则11(00)(002)0ED b BB c ED BB ===，，，，，，，即1ED BB ⊥．
x
y
z
同理
1
ED AC
⊥．因此ED为异面直线
1
BB与
1
AC的公垂线．
（2）不妨令1
a b c
===，则
1
(110)(110)(002)
BC AB AA
=--=-=
，，，，，，，，，
1
00
BC AB BC AA
==
，．即BC⊥AB，BC⊥
1
AA，又∵
1
AB AA A
=，∴BC⊥面
1
A AD．
又(101)(101)(010)0
EC AE ED EC AE
=--=-==
，，，，，，，，，，0
EC ED=，
即EC⊥AE，EC⊥ED，又∵AE∩ED＝E，∴EC ⊥面
1
C A
D ．∴
1
cos
2
EC BC
EC BC
EC BC
<>==
，，
即得EC和BC的夹角为60．所以，二面角
11
A AD C
--为60．
练2：如图，平面PAC⊥平面ABC，ABC
∆
是以AC为斜边的等腰直角三角形，,,
E F O分别为PA，
PB，AC的中点，16
AC=，10
PA PC
==．
（I）设G是OC的中点，证明：//
FG平面BOE；
（II）证明：在ABO
∆存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．
途径三、利用图形中现成的垂直关系建立坐标系:当图形中有明显互相垂直且交于一点的三
条直线，可以利用这三条直线直接建系．
例3．如图，在四棱锥O ABCD
-中，底面ABCD四边长为1的菱形，
4
ABC
π
∠=，
OA ABCD
⊥底面，2
OA=，M为OA的中点。
（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。
方法1：作AP CD
⊥于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为,,
x y z轴建立坐标系.
方法2：（利用菱形对角线互相垂直）连结BD，设交AC于E，取OC中点为F，以E为原点，
EB、EC、EF所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系.
练3：在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是边长为3
2
点A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点．
1
（Ⅰ）求证：A 1A ⊥BC ；
（Ⅱ）当侧棱AA 1和底面成45°角时， 求二面角A 1—AC —B 的大小余弦值；
二、求点的坐标的两条途径
途径一、作该点在xOy 面上的投影，转化成求该投影的横、纵坐标和该点到它投影的距离（即竖坐标）。
途径二、过该点和z 轴作xOy 面的垂面，把空间的距离问题转化平面的距离问题。
例4. 如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底边长为a,侧棱长为2a
建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角分析：（1）所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算；
（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量与直线所成的角，然后再求之解：（1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a,0）
A 1（0，0，2a),C 1（-
23a,a 2,2
a
)(2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ，于是M （0，
a 2,2
a
）
，连结AM ，MC 1
则有1(,0,0)2
MC a =-
(0,,0)AB a =
，1)AA =， ∴10MC AB ⋅=，110MC AA ⋅=，所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1 因此，AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角
1(,)2a AC =
-，(0,)2
a
AM =，∴2
194
a AC AM ⋅=
,而
|13||3,||2
AC a AM a == 由cos<1,AC AM >=
113
2
||||AC AM AC AM ⋅=
,∴ <1
,AC AM >=30
° 解法二： 1(,)2
a
AC =-
， 平面ABB 1A 1的一个法向量(1,0,0)n =-
∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角θ的正弦为：1sin cos ,AC n θ=<>=
111
2
||||AC n AC n ⋅=
