24.2.2(第2课时)学案设计

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系（第2课时）一、教学目标【知识与技能】能判定一条直线是否为一条切线,会过圆上一点作圆的切线.会运用切线的判定定理和性质定理解决问题。

【过程与方法】经历切线的判定定理及性质定理的探究过程,养成学生既能自主探究,又能合作探究的良好学习习惯.【情感态度与价值观】体验切线在实际生活中的应用,感受数学就在我们身边,感受证明过程的严谨性及结论的正确性.二、课型新授课三、课时第2课时,共3课时。

四、教学重难点【教学重点】切线的判定定理及性质定理的探究和运用.【教学难点】切线的判定定理和性质的应用.五、课前准备课件、图片、圆规、直尺等.六、教学过程（一）导入新课教师问：转动雨伞时飞出的雨滴,用砂轮磨刀时擦出的火花,都是沿着什么方向飞出的？（出示课件2）学生问：都是沿着圆的切线的方向飞出的．（二）探索新知探究一切线的判定方法教师问：如图,在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系?（出示课件4）学生答：这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径．由d=r得到直线l是⊙O的切线．教师问：已知圆O上一点A,怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？（出示课件5）教师作图,学生观察并思考：（1）圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系?（2）二者位置有什么关系？为什么？出示课件6：教师归纳:切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.应用格式:∵OA为⊙O的半径,BC⊥OA于A,∴BC为⊙O的切线.教师问：下列各直线是不是圆的切线？如果不是,请说明为什么？（出示课件7）学生观察交流后口答：(1)不是,因为没有垂直.(2),(3)不是,因为没有经过半径的外端点A.教师强调：在切线的判定定理中,“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”,两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线.教师归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：（出示课件8）1.定义法：直线和圆只有一个公共点时,我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时,直线与圆相切；3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.出示课件9：例1 如图,∠ABC=45°,直线AB是☉O上的直径,且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线.教师分析：直线AC经过半径的一端,因此只要证OA垂直于AB即可.师生共同解答：证明：∵AB=AC,∠ABC＝45°,∴∠ACB＝∠ABC＝45°.∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°.∵AB是☉O的直径,∴AC是☉O的切线.巩固练习：（出示课件10）如图所示,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A、C,∠BAD＝∠B＝30°,边BD交圆于点D.BD是⊙O的切线吗？为什么？学生独立思考后板演：解：BD是⊙O 的切线．连接OD,∵OD＝OA,∠A＝30°,∴∠DOB＝60°.∵∠B＝30°,∴∠ODB＝90°.∴BD是⊙O 的切线．出示课件11：例2 已知：直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.学生思考交流后师生共同解答.证明：连接OC(如图).∵OA＝OB,CA＝CB,∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.∴AB⊥OC.∵OC是⊙O的半径,∴AB是⊙O的切线.巩固练习：（出示课件12-13）如图,△ABC 中,AB ＝AC ,O 是BC的中点,⊙O 与AB 相切于E. 求证：AC 是⊙O 的切线．教师分析：根据切线的判定定理,要证明AC是⊙O的切线,只要证明由点O 向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了,而OE是⊙O的半径,因此只需要证明OF=OE.证明：连接OE,OA,过O作OF⊥AC.∵⊙O与AB相切于E,∴OE⊥AB.又∵△ABC中,AB＝AC,O是BC的中点．∴AO平分∠BAC,又OE⊥AB,OF⊥AC.∴OE＝OF.∵OE是⊙O半径,OF＝OE,OF⊥AC.∴AC是⊙O的切线．出示课件14：学生对比思考.1.如图,已知直线AB经过⊙O上的点C,并且OA＝OB,CA＝CB求证：直线AB是⊙O的切线.学生答：连接OC.2.如图,OA＝OB=5,AB＝8,⊙O的直径为6.求证：直线AB是⊙O的切线.学生答：作垂直.教师归纳：（出示课件15）证切线时辅助线的添加方法：(1)有交点,连半径,证垂直;(2)无交点,作垂直,证半径.有切线时常用辅助线添加方法：见切点,连半径,得垂直.切线的其他重要结论：(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.探究二切线的性质定理教师问：如图,如果直线l是⊙O 的切线,点A为切点,那么OA与l垂直吗？（出示课件16）学生思考后教师总结：切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．应用格式：∵直线l是⊙O的切线,A是切点.∴直线l⊥OA.出示课件17-18,教师引导学生进行证明.证法1：反证法.证明：假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M.则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.所以AB与CD垂直.证法2：构造法.作出小⊙O的同心圆大⊙O,CD切小⊙O于点A,且A点为CD的中点.连接OA,根据垂径定理,则CD⊥OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径．教师总结：利用切线的性质解题时,常需连接辅助线,一般连接圆心与切点,构造直角三角形,再利用直角三角形的相关性质解题.（出示课件19）出示课件20：例1 如图,PA为⊙O的切线,A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点,∠P＝30°,连接AO、AB、AC.(1)求证：△ACB≌△APO；(2)若AP求⊙O的半径．教师分析：(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°,由∠P=30°可得出∠AOP=60°,则∠C=30°=∠P,即AC=AP；这样就凑齐了角边角,可证得△ACB≌△APO；(2)由已知条件可得△AOP为直角三角形,因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长.师生共同解答：（出示课件21-22）(1)证明：∵PA为⊙O的切线,A为切点,∴∠OAP＝90°.又∵∠P＝30°,∴∠AOB＝60°,又∵OA＝OB,∴△AOB为等边三角形．∴AB＝AO,∠ABO＝60°.又∵BC为⊙O的直径,∴∠BAC＝90°.在△ACB和△APO中,∠BAC＝∠OAP,AB＝AO,∠ABO＝∠AOB,∴△ACB≌△APO（ASA）.(2)解：在Rt△AOP中,∠P＝30°,∴AO＝1,∴CB＝OP＝2,∴OB＝1,即⊙O的半径为1.巩固练习：（出示课件23）如图所示,点A是⊙O外一点,OA交⊙O于点B,AC是⊙O的切线,切点是C,且∠A＝30°,BC＝1.求⊙O的半径．学生独立思考后自主解决.解：连接OC.∵AC是⊙O的切线,∴∠OCA＝90°.又∵∠A＝30°,∴∠COB＝60°,∴△OBC是等边三角形．∴OB＝BC＝1,即⊙O的半径为1.（三）课堂练习（出示课件24-33）1.如图,在⊙O中,AB为直径,AC为弦．过BC延长线上一点G,作GD⊥AO于点D,交AC于点E,交⊙O于点F,M是GE的中点,连接CF、CM．判断CM与⊙O的位置关系,并说明理由.2.判断下列命题是否正确.（1）经过半径外端的直线是圆的切线.（）（2）垂直于半径的直线是圆的切线.（）（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（）（4）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.（）（5）过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.（）3.如下图所示,A是☉O上一点,且AO=5, PO=13, AP=12,则PA与☉O的位置关系是.4.如图,在☉O的内接四边形ABCD中,AB是直径,∠BCD=120°,过D点的切线PD与直线AB交于点P,则∠ADP的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．45°5.如图,⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？6.如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交边BC于P,PE⊥AC于E. 求证:PE是⊙O的切线.7.如图,O为正方形ABCD对角线AC上一点,以O为圆心,OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．8.已知：△ABC内接于☉O,过点A作直线EF.（1）如图1,AB为直径,要使EF为☉O的切线,还需添加的条件是（只需写出两种情况）：①_________；②_____________.（2）如图2,AB是非直径的弦,∠CAE=∠B,求证：EF是☉O的切线.参考答案：1.解：CM与⊙O相切．理由如下：连接OC,如图,∵GD⊥AO于点D,∴∠G+∠GBD=90°,∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∵M点为GE的中点,∴MC=MG=ME,∴∠G=∠1,∵OB=OC,∴∠B=∠2,∴∠1+∠2=90°,∴∠OCM=90°,∴OC⊥CM,∴CM为⊙O的切线.2.⑴×⑵×⑶√⑷√⑸√3.相切4.C5.解：连接OB,则∠OBP=90°.设⊙O的半径为r,则OA=OB=r,OP=OA+PA=2+r.在Rt△OBP中,OB2+PB2=PO2,即r2+42=(2+r)2. 解得r=3,即⊙O的半径为3.6.证明：连接OP.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵OB=OP,∴∠B=∠OPB.∴∠OBP=∠C.∴OP∥AC.∵PE⊥AC,∴PE⊥OP.∴PE为⊙O的切线.7.证明：连接OM,过点O作ON⊥CD于点N,∵⊙O与BC相切于点M,∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD,O为正方形ABCD对角线AC上一点,∴OM＝ON,∴CD与⊙O相切．8.解：⑴①BA⊥EF；②∠CAE=∠B.证明：连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为☉O的直径.∴∠D+∠DAC=90 °,∵∠D与∠B同对,∴∠D=∠B,又∵∠CAE=∠B,∴∠D=∠CAE,∴∠DAC+∠EAC=90°,∴EF是☉O的切线.（四）课堂小结本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流. （五）课前预习预习下节课（24.2.2第3课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本节课从常见的生活情况入手,引入切线的概念,能激发学生的求知欲,接着又得出切线的判定方法及过圆上一点作已知圆的切线,又从另一侧面利用反证法,证明了切线的性质定理,这样,既证明了定理又复习了反证法.。

24.2.2《相似图形的性质》教学案学习目标：1、探索并掌握相似多边形的性质。

2、解两个多边形相似的判定方法。

复习导学：1、怎样的图形是相似图形？2、什么是成比例线段？3、两个相似的平面图形之间有什么关系呢？为什么有些图形是相似的，而有些不是呢？相似图形有什么主要性质呢？课堂学习研讨：1、学生做一做（课本47--48页）：2、自主探究、猜想（1）动手实验，直观探索图18.2.2中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们的对应边之间是否为比例线段的关系呢？对应角之间又有什么关系？（提示：为了验证你的猜测是否正确，可以用刻度尺和量角器量量看。

）图18.2.2再看看图18.2.3中两个相似的五边形，是否与你观察图18.2.2所得到的结果一样？图18.2.33、交流合作，大胆猜想在独立动手的基础上，进行交流与合作，并大胆地猜想结果。

4、概括总结，确认猜想概括：由此可以得到两个相似多边形的特征：对应边成比例，对应角相等。

实际上这也是我们识别两个多边形是否相似的方法，即如果_________________________________________，那么这两个多边形相似。

提醒：这就是我们判定两个多边形是否相似的判定方法。

想一想：如果两个多边形的边数不同呢？5、范例讲解例：在图18.2.4所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角度a的大小。

图18.2.4解：由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，所以1847y ==解得x ＝ ， y ＝ 。

a ＝ 360°－（ ）＝ 。

注意:利用相似多边形的性质时,必须分清对应边和对应角.6、思 考：（1）两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？两个等腰直角三角形呢？（2）所有的菱形都相似吗？所有的矩形呢？所有的正方形呢？课堂达标练习：1．根据下图所示，这两个多边形相似吗？说说你的理由。

（第一题）(第2题)2．如图，正方形的边长a = 10，菱形的边长b = 5，它们相似吗？请说明理由。

1《24.2.2圆的切线判定》教学设计 昆十四中 曾晓坚教学目标（1）掌握圆的切线的判定定理，会用切线的判定解决问题，培养学生的逻辑推理能力。

（2）培养学生的观察能力、研究问题的能力、数学思维能力以及创新意识，充分领会数学转化思想。

（3）通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐，养成动手、动脑的习惯，并养成良好的书写习惯重点 理解圆的切线的判定定理，会运用切线的判定解决简单的数学问题难点 定理条件理解，利用切线的判定定理解决几何问题的技巧——辅助线的添加授课过程简要步骤内容提要设计目的反思（评价）几何画板动态演示圆与直线的三种位置关系，强调几种位置的特点（判定）讨论形成概念分析定理，提炼精华音乐放松，加深理解引入：切线的理解：英文tangent →touch →触摸的特点→直线与圆怎样touch几何画板动态演示并回顾圆与直线的三种位置关系 形成概念提问：形成切线时距离和半径有何关系？（小组讨论） 教师引导得出结论：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线图形辨析：下列图形l 是否是圆的切线定理的条件：①过半径外端；②垂直于这条半径。

符号语言：∵OT 是⊙O 半径，OT ⊥l 于T 。

∴l 是⊙O 的切线利用r&b 音乐（简单爱——周杰伦），转化成r&d 条件，巧妙记忆定理条件通过英文引入，提升学生的兴趣，利用肢体语言，形象理解切线.回顾旧知识，加强知识联系性，并为基础较差的同学做一个复习.学生参与知识形成，体验数学探索乐趣，体会数学的连贯性三个图形是显然错误的，对照切线判定加深概念理解，增强后进生学习信心图形语言+文字语言+符号语言 立体化强化定理，锻炼逻辑能力加深证明条件印象2例题分析独立思考+小组讨论教师及时引导做出辅助线并规范解题步骤强调r&b独立思考+小组讨论 引导学生勇于探索，大胆画出辅助线，教师巡回检查，指导学生写出解答步骤，并规范解题步骤，强化r&d比较归纳： 灵活运用巩固新学习的知识.结合学生实际适当选取2到3个题进行解决多个变式练习强化知识迁移能力例题讲解例1、 已知：直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB,CA=CB.求证：直线AB 是⊙O 的切线。

24.2.2 切线的性质和判定（第2课时）教学目标：1.知识与技能：掌握圆的切线的判定方法和切线的性质，能够运用切线的判定方法判断一条直线是否是圆的切线，综合运用切线的判定和性质解决问题.2.过程与方法：通过切线的判定定理及性质定理的探究，培养学生的观察能力、研究问题的能力、数学思维能力以及创新意识，充分领会数学转化思想.3.情感态度：通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐，养成动手、动脑的习惯，并养成良好的书写习惯.教学重点：运用圆的切线的性质与判定定理解决数学问题.教学难点：运用圆的判定定理解决数学问题.教学过程：一、情境导入问题1 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？问题2 砂轮打磨零件飞出火星的方向是什么方向？（下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．）二、探索新知思考1如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？分析：∵直线l⊥OA，而点A是⊙O的半径OA的外端点，∴直线l与⊙O只有一个交点，并且圆心O到直线l的距离是垂线段OA，即是⊙O的半径.∴直线l与⊙O相切.归纳总结切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.符号语言：∵直线l⊥OA，且l 经过⊙O上的A点，∴直线l是⊙O的切线.在此定理中，题设是“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切线”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线,下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：思考2将思考1中的问题反过来，如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？分析：∵直线l是⊙O的切线，切点为A，∴圆心O到l的距离等与半径.∴OA是圆心到直线l的距离.∴OA⊥直线l.归纳总结切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.符号语言：∵直线l是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥直线l.三、掌握新知例1 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O上相切与点D.求证：AC是⊙O的切线.分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了.而OD是的半径，因此需要证明OE=OD.证明：过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA.∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB.又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线.∴OE=OD，即OE是⊙O的半径.∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，∴AC是⊙O的切线．例2如图，AB为⊙O直径,C是⊙O上一点,D在AB的延长线上,∠DCB=∠A．（1）CD与⊙O相切吗？若相切，请证明，若不相切，请说明理由．（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．答案：（1）CD与⊙O相切.理由如下：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC.∵AB是直径，∴∠ACB=90°.∴∠A+∠OBC=90°.∵∠DCB=∠A，∠OCB=∠OBC，∴∠DCB+∠OCB=90°，即∠OCD=90°.∵OC是半径，∴CD与⊙O相切.（2）在Rt△OCD中，∠D=30°，∴∠COD=60°.∴∠A=30°.∴∠BCD=30°.∴BC=BD=10.∴AB=20.∴⊙O的半径为10.四、巩固练习1.如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB.求证：AT是⊙O的切线.2.如图，AB是⊙O的直径，直线l1，l2是⊙O的切线，A，B是切点.l1，l2有怎样的位置关系？证明你的结论.3.已知，O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作⊙O.求证：⊙O与AC相切.答案：1.证明：∵AB=AT，∴∠ATB=∠ABT=45°.∴∠BAT=90°，即AB⊥AT .∵AB是⊙O的直径，∴AT是⊙O的切线.2.l1∥l2.证明如下：∵直线l1，l2是⊙O的切线，∴l1⊥AB，l2⊥AB，∴l1∥l2.3.证明：过O作OE⊥AC，垂足为E.∵O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D，∴OE=OD.∵OE⊥AC，∴⊙O与AC相切.五、归纳小结通过这堂课的学习你有什么收获？知道了哪些新知识？学到了哪些作辅助线的方法？。

24.2.2直线与圆的位置关系（第二课时）一、教与学目标1、探索切线的性质与判定。

2、通过应用切线的性质与判定，提高推理判断能力。

二、教与学重点和难点重点：直线与圆相切的判定条件与圆的切线的性质。

难点：直线与圆相切的判定与性质的应用。

三、教与学方法自主探究，合作交流四、教与学过程（一）复习回顾1.直线与圆的位置关系包括：、、。

2.直线与圆的位置关系的区别方法包括种：（a）根据________________的个数来判断；（b）根据_______ __的关系来判断。

若d r,则直线与圆相交；若d r,则直线与圆相切；若d r,则直线与圆相离。

下面，我们重点研究直线和圆相切的情况，观看课件问题导入。

（二）探究新知探究一探索直线与圆相切的另一种判定方法1、由圆心到直线的距离等于半径逆推可知：在⊙O中，经过半径OA的外端点A，作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离等于半径r，直线l与⊙O相切。

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线需满足两条：①经过半径外端；②垂直于这条半径．2、由此我们可以得到直线是圆的切线的三个判定方法：⑴与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；⑵与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

3、学以致用[例1]已知直线AB经过⊙O上的一点C，并且OA=OB，CA=CB，求证：直线AB是⊙O的切线。

思路分析：如图，由于直线AB经过⊙O上一点C，所以连结OC，只要证明OC⊥AB即可.证明：连结OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC是等腰△OAB底边，AB上的中线.∴AB⊥OC又∵点C在⊙O上，∴AB是⊙O的切线.[例2]已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。

求证：⊙O与AC相切。

思考：例1与例2的证法有何不同?探究二探索直线与圆相切的性质1、如图，直线ｌ与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，直线ｌ与半径OA是否一定垂直？你能说明理由吗？一定垂直。

24.2.2直线与圆的位置关系（第2课时）【教学任务分析】
【教学环节安排】
【当堂达标自测题】
一、填空题
1．过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．
2．以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______．
3．△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，以B为圆心，5为半径的圆与直线AC的位置关系是二、选择题
4．若∠OAB=30°，OA=10cm，则以O为圆心，6cm为半径的圆与射线AB的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
5．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C为圆心作⊙C和AB相切，则⊙C的半径长为（）A．8 B．4 C．9．6 D．4．8
6．下列直线是圆的切线的是（）
A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线D．过圆直径外端点的直线
三、解答题
7.如图24.2.2.2-7，AB是半径⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，且AC=CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若OA=2，求AC的长．
图24.2.2.2-7
8．如图24.2.2.2-8，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．
图24.2.2.2-8。

24.2.2“切线的判定和性质”教学设计赵峰Ⅰ、教材分析切线的判定和性质的教学在平面几何乃至整个中学数学教学中都占有重要地位和作用，是中考的重要考点之一，除了在证明和计算中有着广泛的应用外，它也是研究三角形内切圆的作法，切线长定理以及正多边形与圆的关系的基础，所以它是《圆》这一章的重要内容，也可以说是本章的核心。

除了要求学生能够较灵活地运用有关知识解题外，还要求学生掌握一些解题技巧，在培养学生的逻辑思维能力和综合运用知识解决问题的能力方面也起了重要作用。

Ⅱ、教学目标（1）知识与技能：使学生掌握圆的切线的判定和性质定理，综合运用切线的判定和性质解决问题，培养学生的逻辑推理能力。

（2）过程与方法：培养学生的观察能力、研究问题的能力、数学思维能力以及创新意识，充分领会数学转化思想。

（3）情感、态度与价值观：通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐，养成动手、动脑的习惯，并养成良好的书写习惯。

Ⅲ、教学重点与难点重点：①理解圆的切线的判定和性质；②会运用切线的判定和性质解决简单的数学问题。

难点：利用切线的判定和性质解决几何问题的技巧——辅助线的添加。

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞教学过程：一、回顾与思考（多媒体显示问题）1、直线和圆有哪几种位置关系？判断的标准什么？2、三种位置关系填表.3、什么叫圆的切线？观察表格，怎样判断一条直线是不是圆的切线？通过以上检复，我们发现可以用切线的定义来判断一条直线是不是圆的切线，但有时使用起来很不方便。

反过来，如果一条直线是圆的切线，又能产生哪些作用和效果呢？为此，我们有必要学习切线的判定和性质定理。

（板书课题）：切线的判定和性质二、探索和发现1、上节课学习了“圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线”这一定义。

下面请同学们按我口述的步骤作图（两名同学板演）。

画出⊙O，在⊙O上任取一点A，连接OA，过点A作⊙O的切线l（完成后让学生回顾作图过程，并多媒体展示画图过程，观察切线是如何画出来的，它满足哪些条件？）。

24．2．2直线和圆的位置关系（一）教学目标：（1）知识与技能：a、知道直线和圆相交、相切、相离的定义。

会根据定义来判断直线和圆的位置关系。

b、根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置。

（2）过程与方法：让学生通过观察、发现、操作、实验、对比，能找出圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系，揭示直线和圆的关系。

此外，通过直线与圆的相对运动，培养学生运动变化的辨证唯物主义观点，通过对研究过程的反思，进一步强化对分类和归纳的思想的认识。

（3）情感与价值：通过观察生活中的例子，让学生感受到实际生活中，存在的直线和圆的三种位置关系，便于学生用运动的观点观察圆与直线的位置关系，有利于学生把实际的问题抽象成数学模型。

教学重难点：重点：掌握直线和圆的三种位置关系的性质与判定。

难点：如何引导学生发现隐含在图形中的两个数量d和r并加以比较。

教学过程一、情境创设，导入新课：活动1：欣赏王维的《使至塞上》中的“大漠孤烟直，长河落日圆”的情景，感知直线与和圆的位置关系。

二、合作交流，解读探究活动2：1．让学生通过实物演示，体会直线和圆的位置关系。

（1）在纸上画一条直线,把硬币的边缘看作圆,在纸上移动硬币.（2）在纸上画一个圆,把直尺看作直线,移动直尺.思考：你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗?公共点最少时有几个?最多时又有几个?2、定义归纳：明确用直线和圆的交点的个数来确定直线与圆的位置关系直线和圆没有公共点，这时我们说直线和圆相离．直线和圆有一个公共点，这时我们说直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。

直线和圆有两个公共点，这时我们说直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。

3、定义运用：如何根据基本概念来判断直线与圆的位置关系？4、性质探究、知识小结活动3：思考：设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，在直线和圆的不同位置关系中,d与r具有怎样的大小关系？反过来，你能根据d与r的大小关系确定直线和圆的位置关系吗？观察讨论:当直线与圆相离、相切、相交时，圆心到直线的距离d与半径r有何关系？直线与圆 O相交 <=> d<r 直线l与圆 O相切 <=> d=r 直线l与圆 O相离 <=> d>r判定直线与圆的位置关系的方法有两种：（1）根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断；（2）根据性质，由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断。

24．2.2 直线和圆的位置关系第1课时 直线和圆的位置关系教学目标1．理解掌握同一平面内的直线与圆的三种位置关系．2．理解记忆割线、切线、切点等概念．3．能根据圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，准确判断出直线与圆的位置关系． 预习反馈阅读教材P95～96，完成下列知识探究．1．直线和圆有两个公共点时，直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．2．直线和圆只有一个公共点时，直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．3．直线和圆没有公共点时，直线和圆相离．4．设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则有：直线l 和⊙O 相交⇔d ＜r ；直线l 和⊙O 相切⇔d ＝r ；直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r ．例题讲解例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4 cm ，BC ＝2 cm ，以C 为圆心，r 为半径的圆与AB 有何种位置关系？请你写出判断过程．(1)r ＝1.5 cm ；(2)r ＝ 3 cm ；(3)r ＝2 cm.【解答】 过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D.∵AB ＝4 cm ，BC ＝2 cm ，∴AC ＝2 3 cm.又∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12BC ·AC ，∴CD ＝BC ·AC AB ＝ 3 cm. (1)r ＝1.5 cm 时，相离；(2)r ＝ 3 cm 时，相切；(3)r ＝2 cm 时，相交．【跟踪训练1】 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以C 为圆心，r 为半径作圆．当r 满足0<r<125__cm 时，⊙C 与直线AB 相离；当r 满足r ＝125__cm 时，⊙C 与直线AB 相切；当r 满足r>125__cm 时，⊙C 与直线AB 相交． 【跟踪训练2】 已知⊙O 的半径为5 cm ，圆心O 到直线a 的距离为3 cm ，则⊙O 与直线a 的位置关系是相交．直线a 与⊙O 的公共点个数是2．例2 已知⊙O 的半径是3 cm ，直线l 上有一点P 到O 的距离为3 cm ，试确定直线l 和⊙O 的位置关系．【解答】 相交或相切．【跟踪训练2】 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，若以C 为圆心，r 为半径的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是多少？【点拨】 分相切和相交两类讨论．解：r ＝2.4或3<r ≤4.巩固训练1．已知⊙O 的半径为5，直线l 是⊙O 的切线，则点O 到直线l 的距离是(C)A ．2.5B ．3C ．5D ．102．已知OA平分∠BOC，P是OA上任意的一点．若以点P为圆心的圆与OC相离，则⊙P 与OB的位置关系是(B)A．相切B．相离C．相交 D．相离或相切3．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以点A为圆心，4为半径作⊙A，则BC与⊙A的位置关系是(C)A．相交 B．相离C．相切 D．不确定4．已知∠AOB＝30°，M为OB上的一点，且OM＝5 cm，以M为圆心，r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？(1)r＝2 cm；(2)r＝4 cm；(3)r＝2.5 cm.解：圆心M到OA的距离d＝0.5OM＝0.5×5＝2.5(cm)．(1)r＝2 cm时，d>r，直线OA与⊙M相离；(2)r＝4 cm时，d<r，直线OA与⊙M相交；(3)r＝2.5 cm时，d＝r，直线OA与⊙M相切．第2课时切线的判定和性质教学目标1．探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系．2．能判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．3．会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题．预习反馈阅读教材P97～98，完成下列问题．1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2．切线的性质：①切线和圆只有一个公共点；②切线到圆心的距离等于半径；③圆的切线垂直于过切点的半径．3．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点，得到半径，那么半径垂直于切线．例题讲解例(教材P98例1)如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，求证：AC是⊙O的切线．【解答】证明：过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA.∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB.又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线．∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径．这样，AC经过⊙O的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC与⊙O相切．【方法归纳】在解决有关圆的切线问题时，常常需要作过切点的半径．【跟踪训练】 如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，C 为BE ︵的中点，过点C 作直线CD ⊥AE 于D ，连接AC.试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．解：直线CD 与⊙O 相切，理由：连接OC.∵C 为BE ︵的中点，∴BC ︵＝CE ︵.∴∠DAC ＝∠BAC.∵OA ＝OC ，∴∠BAC ＝∠OCA.∴∠DAC ＝∠OCA.∴OC ∥AD.∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥CD.又∵OC 为⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线．巩固训练1．在正方形ABCD 中，点P 是对角线AC 上的任意一点(不包含端点)，以P 为圆心的圆与AB 相切，则AD 与⊙P 的位置关系是(B)A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定2．如图，A ，B 是⊙O 上的两点，AC 是过点A 的一条直线，如果∠AOB ＝120°，那么当∠CAB 的度数等于60°时，AC 才能成为⊙O 的切线．第2题图 第3题图3．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于C.若∠A ＝25°，则∠D ＝40°．4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点E ，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为F ，连接DE.求证：直线DF 与⊙O 相切．证明：连接OD.∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠C.∴∠ODC ＝∠B.∴OD ∥AB.∵DF ⊥AB ，∴OD ⊥DF.又∵点D 在⊙O 上，∴直线DF与⊙O相切．课堂小结1．有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径；2．“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切．①当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；②当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．第3课时切线长定理教学目标1．理解并掌握切线长定理，能熟练运用所学定理来解答问题．2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．预习反馈阅读教材P99～100，完成下列知识探究．1．经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长．图中的切线长为PA，PB．2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，图中相等的线段有PA，PB，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，图中相等的角为∠APO＝∠BPO．3．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．4．三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，它到三边的距离相等．例题讲解例(教材P100例2)如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13.求AF，BD，CE的长．【解答】设AF＝x，则AE＝x，CD＝CE＝AC－AE＝13－x，BD＝BF＝AB－AF＝9－x.由BD＋CD＝BC，可得(13－x)＋(9－x)＝14.解得x＝4.因此AF＝4，BD＝5，CE＝9.【跟踪训练】如图，已知⊙O是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆，切点分别为D，E，F.(1)求证：四边形ODCE 是正方形；(2)设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，求⊙O 的半径r.解：(1)证明：∵BC ，AC 分别与⊙O 相切于D ，E ，∴∠ODC ＝∠OEC ＝∠C ＝90°.∴四边形ODCE 为矩形．又∵OE ＝OD ，∴矩形ODCE 是正方形．(2)由(1)得CD ＝CE ＝r ，∴a ＋b ＝BD ＋AE ＋2r ＝BF ＋AF ＋2r ＝c ＋2r ，解得r ＝a ＋b －c 2. 巩固训练1．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则△ABC 的内切圆半径r ＝2．第1题图 第2题图 第3题图2．如图，AD ，DC ，BC 都与⊙O 相切，且AD ∥BC ，则∠DOC ＝90°．3．如图，点O 为△ABC 的外心，点I 为△ABC 的内心．若∠BOC ＝140°，则∠BIC ＝125°．4．如图，△ABC 切⊙O 于D ，E ，F 三点，内切圆⊙O 的半径为1，∠C ＝60°，AB ＝5，则△ABC 的周长为课堂小结1．切线长定理． 2．三角形的内切圆及内心． 3．直角三角形内切圆半径公式．。

《24.2.2切线的判定和性质》教学设计【学习目标】1、知识与技能（1）能判定一条直线是否为圆的切线。

（2）切线的性质定理的应用。

2、过程与方法（1）通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力。

（2）通过切线的判定定理和性质定理的学习，提高学生的综合运用能力。

3、情感态度与价值观（1）经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．（2）经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．【学习重点】圆的切线的判定定理和性质定理，并能灵活运用。

【学习难点】圆的切线的判定定理灵活运用。

【教学过程】二、探究讨论，发现新知探究切线的判定定理1、通过画图发现：(1)直线l经过半径OA的外端点A；(2)直线l垂直于半径OA．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2、对定理的理解：引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．反例巩固知识点：图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．图1 图23、总结切线的判定方法教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．4、应用定理，强化训练'例1 如图,直线AB 经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求证:直线AB是⊙O的切线.oCA B5、切线的性质定理如图，已知直线l为⊙O的切线，A为切点，观察并猜想直线l与半径OA有怎样的位置关系?答问题，教师引导学生总结切线的前两种判定方法。

请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．用反例加深印象。

师生共同总结切线的三种判定方法。

24.2.2 直线和圆的位置关系教案一、【教材分析】二、【教学流程】究点作⊙O的切线L.请学生回顾作图过程，切线L是如何作出来的？它满足哪些条件？引导学生总结出：①经过关径外端，②垂直于这条半径.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.请同学们思考一下，该判定定理的两个条件缺少一个可以吗？①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.③经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.3.已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.OCA B分析：已知直线AB和⊙O有一个公共点C，要证AB是⊙O的切线，只需连结这个公共点C和圆心O，得到半径OC，再证这条半径和直线AB垂直即可. 它就是一条切线，这就是本节要讲的“切线的判定定理”.（板书定理）从以上两个反例可看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线.经过学生讨论后，师生小结以下三种方法（板书）.逆向思维讨论总结关键在于辅助线的做法尝试应用1：已知：⊙O的直径长6cm，OA=OB=5cm，AB=8cm.OCA B求证：AB与⊙O相切.分析：题目中不明确直线和圆有公共点，故证明相切，宣用方法2，因此只要证点O到直线AB的距离等于半径即可，从而想到作辅助线OC⊥AB于C.2、如图D是⊙O的直径AB延长线上一点，PD是⊙O的切线，P是切点，∠D=30°.求证：P A=PD.3小结与反思①已明确直线和圆有公共点，辅助线的作法是连结圆心和公共点，即得“半径”，再证“直线与半径垂直”.②不明确直线和圆有公共点，辅助线的作法是过圆心作直线的垂线，再证“圆心到直线的距离等于半径”.注意：当题目中不明确直线和圆有公共点时，不能将圆上任意一点当作公共点而连结出半径.教师提出问题学生独立思考解答证明略让学生根据以上例题总结一下，证明直线与圆相切时，作辅助线的一般规律，以及证明方法的一般规律.经学生讨论后得出：思路分析：欲证P A=PD，只要证明∠A=∠D=30°即可.切线的证明方式关键点和常用辅助线做法对教材知识的加固强化辅助线总结补偿提高1、梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，且AD+BC=AB，AB为⊙O的直径求证：⊙O与CD相切.2、已知：在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E求证：(1)DE⊥AC；(2)BD2=CE·CA.3、在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为(m，0)，半径是2，如果⊙M与y轴所在的直线相切，那m等于______，若⊙M与y轴所在的直线相交，那么m的取值范围是__________.欲证⊙O与CD相切只需证明圆心O到直线CD的距离等于⊙O的半径即可.思路分析：本例是考查切线的性质与直径所对的圆周角是直角的综合题，掌握常见的辅助线做法是解题关键，即连接圆心和切点的半径，根据切线的性质，则有半径垂直于这条切线。

人教版九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系教学设计一、教学目标知识目标1.了解直线和圆的定义。

2.掌握直线与圆的位置关系：相离、相切、相交。

3.能够判断直线与圆的位置关系。

能力目标1.学会将理论知识运用到实际问题中。

2.培养分析问题、解决问题的能力。

情感目标1.激发学生的数学兴趣。

2.培养学生的合作与交流能力。

二、教学重难点教学重点掌握直线与圆的位置关系：相离、相切、相交。

教学难点能够判断直线与圆的位置关系。

三、教学过程1. 导入新课通过讲解直线和圆的定义，引出本节课的主题：直线和圆的位置关系。

2. 练习题解析1.画出一条直线和一个圆，分析它们的位置关系。

通过解析这道题，引导学生了解直线与圆的位置关系，包括相离、相切、相交等三种情况。

2.画出两条直线和一个圆，分析它们的位置关系。

通过解析这道题，让学生了解直线与圆的位置关系并加以运用，同时培养学生的分析问题和解决问题的能力。

3. 探究性学习让学生自己设计几道问题，并在小组内相互交流，让学生通过彼此的讨论来加深对直线和圆的位置关系的理解和掌握。

4. 作业布置布置有关直线和圆的位置关系的作业，以检测学生掌握情况。

四、教学评估1. 测试出一份测验，测试学生掌握直线和圆的位置关系的能力。

2. 课堂表现通过学生的课堂表现，如回答问题、举手发言等，来了解学生对直线和圆的位置关系的掌握情况。

3. 作业评查通过检查学生的作业情况，来了解学生是否掌握了直线和圆的位置关系的理论知识并能够应用于实际问题中。

五、教学体会本节课通过设计练习题解析、探究性学习等多种形式，使得学生更加深入地理解和掌握了直线和圆的位置关系，同时培养了学生的分析问题、解决问题的能力和合作交流能力。